大題01三角函數、三角恒等變換與解三角形根據近幾年的高考情況，三角函數、三角恒變換與解三角形是高考必考點。雖然九省聯考中調整了試題順序，但今年高考仍有可能在解答中考查這部分內容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函數與解三角形的綜合問題，轉化為三角函數的圖象及其性質進行求解。還考察把實際應用問題轉化為解三角形的問題，體現數學與實際問題的結合.題型一：三角恒等變換與三角函數（2024·福建福州·統考模擬預測）已知函數，是的零點．（1）求的值；（2）求函數的值域．【思路分析】（1）根據函數的零點性質并結合范圍求解；（2）利用余弦二倍角公式以及二次函數的性質求值域.【規范解答】（1）由已知可得，解得，即，又，可得．（2）由，可得，其中，則當時，函數取得最小值，當時，取得最大值2，故函數的值域為．此類題型考察恒等變形和三角函數函數性質，涉及到三角恒等變形的公式比較多。1、首先要通過降冪公式降冪，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通過輔助角公式“化一”，化為3、輔助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最后利用三角函數圖象和性質，求解計算：一般將看做一個整體，利用換元法和數形結合的思想解題。與三角函數相關的方程根的問題（零點問題），通常通過函數與方程思想轉化為圖象交點問題，再借助圖象進行分析。1.（2024·北京海淀·高三首都師范大學附屬中學校考開學考試）已知函數.（1）求函數在區間上的最大值和最小值；（2）求方程的根.【答案】（1）最大值為2，最小值為；（2）.【分析】（1）求出函數有意義的取值，再由切化弦及輔助角公式化簡函數式，利用正弦函數性質求解即得.（2）由（1）的結論，利用正弦函數的性質求解并驗證即得.【解析】（1）函數中，，即，，顯然，由，得，則，即，所以當，即時，函數的最大值為2；當；即時，函數的最小值為.（2）由，得，即或，，解得或，，而，所以方程的根是.2.（2022·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于直線對稱.（1）求函數的單調增區間；（2）求函數在區間上的最值.【答案】（1），；（2）最小值為2，最大值為3【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數的解析式，然后通過對稱性和周期得到，然后求解單調區間．（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，然后根據正弦函數的性質求解函數的值域即可．【解析】（1）∵，由函數的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數圖象關于直線對稱，所以，所以，所以，所以，由，，得，∴函數的單調增區間為，.（2）∵，∴，，由，∴當或時，，當時，題型二：正余弦定理解三角形的邊與角（2024·浙江·高三浙江金華第一中學校考開學考試）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）若，求的面積；（2）若，求.【思路分析】（1）由已知結合正弦定理得，再利用余弦定理得，從而得解；（2）由三角形內角和結合已知可得，化簡可得：，再利用求解.【規范解答】（1）在中，，由正弦定理可知：可化為：故可得：，代入可得：所以，故（*）在中，由余弦定理可得：代入數據和（*）式可得：所以三角形面積為：，故三角形的面積為.（2）因為且，故，所以，代入可得：因此化簡可得：，則，因為，所以，所以，所以可得：，化簡可得：在中，由正弦定理可得：.利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質是實現邊角的轉化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉化：化邊為角后一般要結合三角形的內角和定理與三角恒等變換進行轉化；若將條件轉化為邊之間的關系，則式子一般比較復雜，要注意根據式子結構特征靈活化簡.3、得結論：利用三角函數公式，結合三角形的有關性質（如大邊對大角，三角形的內角取值范圍等），并注意利用數形結合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。1．（2024·山東日照·統考一模）在銳角中，角A，B，C．所對的邊分別為a，b，c．已知且，（1）求角B及邊b的大小；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據正弦定理邊換角即可得，再利用余弦定理即可得；（2）利用余弦定理求得，再結合同角三角函數關系和兩角和的正弦公式即可得到答案.【解析】（1）依題意，，由正弦定理得，由于銳角三角形中，所以，而是銳角，所以.由余弦定理得.（2）由余弦定理得，而是銳角，所以，所以..2．（2024·江蘇·高三統考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，，求；（2）點D在邊上，，若，，求a．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據余弦定理求出，再利用正弦定理求出；（2）在，中分別利用余弦定理列式可得，再由條件切化弦，根據正、余弦定理化簡得，運算求得.【解析】（1）在中，，，由余弦定理得，即，所以．，由正弦定理，得，所以．（2）因為，，所以，．在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即①因為，所以．又，由正弦定理得，，即，則②聯立①②可得，所以．題型三：利用正弦定理求三角形外接圓（2024·山西晉城·統考一模）在中，，，．（1）求A的大小；（2）求外接圓的半徑與內切圓的半徑．【思路分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內切圓半徑.【規范解答】（1）由余弦定理得，因為，所以．（2）設外接圓的半徑與內切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．的面積，由，得．利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過三角函數的范圍來求半徑的范圍。1．（2023·全國·模擬預測）銳角中，角的對邊分別為，，其中．（1）求角；（2）過點作，且四點共圓，，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理的推論和正弦定理進行角化邊，得，將代入得；（2）因為四點共圓，，所以是外接圓的直徑，由正弦定理可求得，在中，由正弦定理，可得，最后由三角形面積公式可解.【解析】（1）由余弦定理的推論和正弦定理得，整理得，將代入得．又因為角是銳角，所以角．（2）因為四點共圓，，所以，所以是外接圓的直徑，設外接圓的半徑為，則，得，即．因為，所以．在中，，所以．又為銳角，所以，所以，所以，所以．2．（2023·河南·高三校聯考階段練習）已知中B為鈍角，且．（1）證明：；（2）已知點在邊上，且，求外接圓面積的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由已知利用輔助角公式化簡可得，進而求得的關系證得結果；（2）由可知可得，由，可得，利用正弦定理可得，從而可得通過函數性質計算求解即可.【解析】（1）因為，所以，即，又，，所以，所以，即，或，即（舍去），又，所以，即；（2）因為，所以，又，可得，設外接圓半徑為，在中，，可得，在中，，因為中為鈍角，所以，得，所以，，所以，即的取值范圍為．可得外接圓面積的取值范圍．題型四：解三角形中邊長或周長的最值范圍（2024·黑龍江·高三大慶實驗中學校聯考階段練習）已知在銳角三角形中，邊，，對應角，向量，，且與垂直，．（1）求角；（2）求的取值范圍．【思路分析】（1）通過，利用三角恒等變形公式計算即可；（2）利用正弦定理，將用角表示出來，然后利用的范圍求的取值范圍．【規范解答】（1）因為與垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根據三角形是銳角三角形得，解得，則，所以，所以，則，則的取值范圍為.利用正、余弦定理等知識求解三角形邊長或周長最值范圍問題，一般先運用正、余弦定理進行邊角互化，然后通過三角形中相關角的三角恒等變換，構造關于某一角或某一邊的函數或不等式，再利用函數的單調性或基本不等來處理。1．（2024·廣東湛江·統考一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數的性質求解即可.【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯考一模）記的內角的對邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）；（2）6【分析】（1）根據題意利用正、余弦定理進行邊角轉化，進而可得結果；（2）根據，結合基本不等式運算求解.【解析】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由（1）可知：，整理得，即，因為，當且僅當時，等號成立，則，可得，即，所以周長的最大值為.題型五：解三角形中面積的最值范圍（2024·四川德陽·統考模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的面積范圍.【思路分析】（1）根據，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等變換求解；（2）設的外接圓半徑為，得到，再由求解.【規范解答】（1）因為，，所以，因為，所以，則，因為，所以，又，則，所以.（2）設的外接圓半徑為，則，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則，則，所以，所以的面積范圍.1、常用三角形的面積公式：（1）；（2）；（3）（為三角形內切圓半徑）；（4），即海倫公式，其中為三角形的半周長。2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形面積用所設變量表示出來，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函數思想的應用。1．（2024·陜西安康·高三統考開學考試）在中，角的對邊分別是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題設條件求得，即得，在三角形中即可求得角；（2）由（1）和可利用正弦定理將邊分別用的三角函數表示，運用三角形面積公式，經三角恒等變換將面積表示成正弦型函數，最后結合角的范圍和三角函數的圖象即得.【解析】（1）由可得：，則.由，又因，故得：.（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，則，記的面積為，則，因，則，故，所以，面積的最大值為.2．（2024·河北石家莊·高三石家莊市第二十四中學校聯考期末）設的內角的對邊分別為，且.（1）求角;（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化簡得到，進而得到，即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求得，進而求得面積的最大值.【解析】（1）因為，由正弦定理得，即，所以，因為，可得，所以，顯然，所以，又因為，所以.（2）因為，由余弦定理可得，所以，當且僅當時取到號，故面積的最大值為.題型六：三角形的角平分線、中線、垂線（2024·廣東·高三統考期末）已知中，角所對的邊分別為，，，，且.（1）求角的大小；（2）若，點在邊上，且平分，求的長度.【思路分析】（1）利用正弦定理將角化邊，找到邊的關系，借助余弦定理計算即可；（2）結合（1）問，求出，利用，計算出的長度即可.【規范解答】（1）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，即，由余弦定理可得，在中，,所以.（2）由（1）問可知,，所以，解得，設，由平分，所以,即，解得：，故的長度為.1、解三角形角平分線的應用如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，（1）利用角度的倍數關系：∠（2）內角平分線定理：AD為?ABC的內角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內角平分線性質定理將分對邊所成的線段比轉化為對應的兩邊之比，再結合抓星結構，就可以轉化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。（3）等面積法：因為S?ABD+S所以b+cAD=2bccosA2，2、解三角形中線的應用（1）中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中（2）向量法：AD【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD3、解三角形垂線的應用（1）分別為邊上的高，則（2）求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產生直角三角形；（2）與三角形的面積相關。1．（2023·安徽·高三校聯考期末）如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.（1）求的大小;（2）若,求的面積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）因為是的角平分線,所以,在中利用余弦定理求出的長,再次利用余弦定理即可求出的大小.（2）在中,由正弦定理求出的長,再根據四邊形內角和為可得到，從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.【解析】（1）因為是的角平分線,所以,在中,根據余弦定理得所以，則,因為,所以.（2）因為,所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）記的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.（2）根據三角形的面積求得，根據同角三角函數的基本關系式求得，利用正弦定理、向量數量積運算來求得邊上的中線長.【解析】（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依題意，，解得，又，所以為鈍角，所以由，解得，由正弦定理可得，又，所以，設的中點為，則，所以，所以邊上的中線長為.1．（2024·北京海淀·高三101中學校考開學考試）已知函數．（1）求函數的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）求函數在區間上的最值．【答案】（1）最小正周期，圖象的對稱軸方程為；（2）最大值，最小值【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期，整體法求出函數的對稱軸方程；（2）整體法求出函數的最值.【解析】（1）因為，所以函數的最小正周期，令，解得故圖象的對稱軸方程為．（2）因為，所以，所以當，即時，取最大值，當，即時，取最小值．2．（2024·遼寧大連·高三統考期末）已知函數，其中，__________.請從以下二個條件中任選一個，補充在題干的橫線上，并解答下列問題：①是的一個零點；②.（1）求的值；（2）當時，若曲線與直線恰有一個公共點，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據三角函數的性質建立并解方程，可得答案；（2）利用三角函數恒等式整理函數解析式，根據復合型三角函數的單調性，可得答案.【解析】（1）選條件①由題設.所以.因為，所以.所以.所以.選條件②.由題設.，，，，，整理得.因為，所以.所以.所以.（2）由（1）.令，所以在單調遞增，在單調遞減，于是，當且僅當，即時，取得最大值1；當且僅當，即時，取得最小值.又，即時，.所以的取值范圍是.3．（2024·浙江寧波·高三統考期末）在中，內角所對的邊分別為．已知．（1）求A的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）由同角三角函數關系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面積公式求出答案.【解析】（1）由，結合正弦定理，得，即，即，即，因為，所以，即．（2）因為，所以．利用正弦定理得．而，故的面積為．4．（2024·廣東·高三校聯考開學考試）在中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大小；（2）若，，是邊的中點，求的長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用正弦函數性質及誘導公式計算即得.（2）由（1）的結論，借助向量數量積及運算律計算即得.【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，由，知，因此，解得，所以角的大小為.（2）由（1）知，由是邊的中點，得，所以.5．（2024·浙江紹興·高三統考期末）已知銳角的內角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用誘導公式和正弦定理即可；（2）根據正弦定理得，從而化邊為角，結合三角恒等變換和三角函數值域即可得到其范圍.【解析】（1）由已知得，，則根據正弦定理得，，為銳角三角形，．（2）由正弦定理得，即，則，因為，解得，得，所以，得．6．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校聯考期末）某景區為吸引游客，擬在景區門口的三條小路之間劃分兩片三角形區域用來種植花卉（如圖中陰影部分所示），已知，三點在同直線上，.（1）若，求的長度；（2）求面積的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據余弦定理求得的長，利用三角函數的恒等式，結合正弦定理，可得答案；（2）設出未知角，表示出邊長，利用三角形面積公式，整理其函數解析式，根據三角函數恒等式以及二次函數的性質，可得答案.【解析】（1）因為，所以在中，由余弦定理可得，所以，解得.由正弦定理得，即，解得，所以.可得.在中，由正弦定理得，則，解得，所以.（2）設，則，由于，則.在中，由正弦定理得，解得.過點作的垂線，交于點，設的面積為.則.所以，所以.所以，即面積的最小值為.1．（2023·天津·統考高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據正弦定理即可解出；（2）根據余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．2．（2023·全國·統考高考真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【解析】（1）方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.3．（2004·全國·高考真題）已知銳角中，，（1）求證：；（2）設，求AB邊上的高.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理計算即得；（2）利用同角公式求出，再結合（1）的結論及和角的正切求出即可列式計算得解.【解析】（1）由，得，即，兩式相除得，所以.（2）在銳角中，，，則，，即有，將代入上式并整理得，而，解得，，設邊上的高為，則，由，得，所以邊上的高等于4．（2023·全國·統考高考真題）已知在中，．（1）求；（2）設，求邊上的高．【答案】（1）；（2）6【分析】（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數基本關