對點練17函數模型及其應用【A級基礎鞏固】1.(2024·綿陽診斷)某檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程中指數級增加的靶標DNA實時監測，在PCR擴增時期，熒光信號強度達到閾值時，DNA的數量X與擴增次數n滿足lgX＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中X0為DNA的初始數量，p為擴增效率.已知某被測標本DNA擴增12次后，數量變為原來的1000倍，則擴增效率p約為(參考數據：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)()A.22.2% B.43.8%C.56.2% D.77.8%2.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝eq\f(1,2)(x2－1)C.y＝log2x D.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x3.(2024·煙臺調研)海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID＝I0e－KD表示其總衰減規律，其中K是平均消光系數(也稱衰減系數)，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強.已知某海區10米深處的光強是海面光強的30%，則該海區消光系數K的值約為(參考數據：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A.0.12 B.0.11C.0.07 D.0.014.(2024·合肥聯考)一般地，聲音大小用聲強級LI(單位：dB)表示，其計算公式為：LI＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))，其中I為聲強，單位：W/m2，若某種物體發出的聲強為5－10W/m2，其聲強級約為(參考數據：lg2≈0.30)()A.50dB B.55dBC.60dB D.70dB5.(2024·深圳質檢)某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產x萬件該產品，需另投入成本ω(x)萬元，其中ω(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋10x，0<x≤40，,71x＋\f(10000,x)－945，x>40.))若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每年利潤的最大值為()A.720萬元 B.800萬元C.875萬元 D.900萬元6.(多選)甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是()A.甲同學從家出發到乙同學家走了60minB.甲從家到公園的時間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快D.當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝eq\f(1,15)x7.(多選)(2024·河北部分學校聯考)某大型商場開業期間為吸引顧客，推出“單次消費滿100元可參加抽獎”的活動，獎品為本商場現金購物卡，可用于以后在該商場消費.已知抽獎結果共分5個等級，等級x與購物卡的面值y(元)的關系式為y＝eax＋b＋k，三等獎比四等獎的面值多100元，比五等獎的面值多120元，且四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，則()A.a＝－ln5 B.k＝15C.一等獎的面值為3130元 D.三等獎的面值為130元8.當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少要經過________個“半衰期”.9.里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅.假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍.10.“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內最大限度地激發一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數的空間尤其大.現有某班主任老師根據歷年成績在中等偏下的學生經歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經過時間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分數f(t)(單位：分)的函數模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg（t＋1）)，k為增分轉化系數，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.現有某學生在高考前100天的最后一次模考總分為400分，依據此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為________.(保留到個位)(lg61≈1.79)11.某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，經搶修排氣扇恢復正常.排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)之間存在函數關系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m為常數).(1)求c，m的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態？12.“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養殖密度x(單位：尾/立方米)的函數.當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x≤20時，v是x的一次函數，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.(1)當0<x≤20時，求v關于x的函數解析式；(2)當養殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值.【B級能力提升】13.(2023·紹興二模)某鄉村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形(如圖)，水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水渠的深度(即梯形的高)約為(參考數據：eq\r(3)≈1.732)()A.0.58米 B.0.87米C.1.17米 D.1.73米14.某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據行業規定，每個城市至少要投資80萬元，由前期市場調研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))設甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元).(1)當投資甲城市128萬元時，求此時公司的總收益；(2)試問：如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大？對點練17函數模型及其應用答案1．D[由題意知，lg(1000X0)＝12lg(1＋p)＋lgX0，即lg103＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，即3＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.故選D.]2．B[由題中表格可知函數在(0，＋∞)上是增函數，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.]3．A[由題意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，兩邊取自然對數得，－10K＝ln3－ln10＝ln3－ln2－ln5，所以K＝eq\f(ln2＋ln5－ln3,10)≈eq\f(0.7＋1.6－1.1,10)＝0.12.故選A.]4．A[由已知得LI＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－10,10－12)))＝10×(12－10lg5)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－10lg\f(10,2)))＝10×(2＋10lg2)≈10×(2＋10×0.30)＝50(dB)．故選A.]5．C[該企業每年利潤f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70x－（x2＋10x＋25），0<x≤40，,70x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(71x＋\f(10000,x)－945＋25))，x>40，))當0<x≤40時，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，當x＝30時，f(x)取得最大值875；當x>40時，f(x)＝920－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤920－2eq\r(x·\f(10000,x))＝720(當且僅當x＝100時，等號成立)，即當x＝100時，f(x)取得最大值720.由于875>720，所以該企業每年利潤最大值為875萬元．故選C.]6．BD[在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；當0≤x≤30時，設y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正確．]7．ACD[由題意可知，四等獎比五等獎的面值多20元，所以eq\f(（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）,（e4a＋b＋k）－（e5a＋b＋k）)＝e－a＝eq\f(100,20)＝5，則a＝－ln5，故A正確；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因為四等獎的面值是五等獎的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B錯誤；三等獎的面值為e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正確；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等獎的面值為3130元，故C正確．]8．10[設該死亡生物體內原有的碳14的含量為1，則經過n個“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經過10個“半衰期”．]9．610000[M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.設9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，則eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，則eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104，即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍．]10．462[由題意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)≈eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴該學生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462.]11．解(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))兩式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))(2)由題意可得128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排氣32分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態．12．解(1)由題意得，當0<x≤4時，v＝2；當4<x≤20時，設v＝ax＋b(a≠0)，顯然v＝ax＋b在(4，20]內單調遞減，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2).))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函數v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N*.))(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，x∈N*，))當0<x≤4時，f(x)單調遞增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當4<x≤20時，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.即當養殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．13．B[如圖，設過水橫斷面為等腰梯形ABCD，過點B作BE⊥CD于點E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使過水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，則100×(AB＋BC＋AD)×100＝30000，解得AB＋BC＋AD＝3米．設BC＝x，則AB＝3－2x，BE＝eq\f(\r(3),2)x，CE＝eq\f(1,2)x，CD＝3－x，且0<x<eq\f(3,2)，則梯形ABCD的面積S＝eq\f(（3－2x＋3－x）×\f(\r(3)