主題一藁一章集合與常用邏輯用語、不等式

預備知識(必修第一冊)

第1節集合

O課程標準要求

1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系;能用自然語言、圖形

語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.

2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;在具體

情境中了解全集與空集的含義.

3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集

與交集；

(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集;

(3)能使用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算,體會圖

形對理解抽象概念的作用.

?帕教材夯賣四條

必備知識,課前回顧

困知識梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是-屬--于-或-不--屬--于-,，用符號-￡-和在-表示.

(3)集合的表示方法:歹J舉法、描述法、Venn圖法.

(4)常見數集的記法

集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NM（或N.）ZqR

■釋疑

圖表中所列舉的字母符號均是集合的形式,不要加｛),這是因為｛R｝不

是實數集,它表示一個集合，該集合中只有一個元素R.

2.集合間的基本關系

關系自然語言符號語言Venn圖

如果集合A中任意一個元素都是

ACB或

子集集合B中的元素,稱集合A為集O

B2A

合B的子集(即若x￡A,則x￡B)或

如果集合AWB,但存在元素x￡

A-B或

真子集B,且海A,則稱集合A是集合B

BSA金

的真子集

如果集合A的任何一個元素都是

集合集合B的元素，同時集合B的任

A=B

相等何一個元素都是集合A的元素，

那么集合A與集合B相篁

■釋疑

(DACB包含兩層含義:A曝B或A二B.

(2)。是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運算

運算自然語言符號語言Venn圖

由所有屬于集合A且屬于集合B的AAB=

交集元素組成的集合,稱為集合A與B的{xlxWA,

APIA

交集，記作AAB且x￡B}

由所有屬于集合A或屬于集合B的AUB二

并集元素組成的集合,稱為集合A與B的{x|x￡A,GD

并集,記作AUB或x￡B}

對F一個集合A,由全集U中不屬于

CuA=

集合A的所有元素組成的集合稱為

補集{xlxWU,

集合A相對于全集U的補集，記作匚|Q|

且X&A}

yA

4.集合的重要性質

(DACIA=A,AH0=0,AAB=BGA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)AA([iA)=0,AU([1A)=U,[u(〔『A)=A.

￡重要結論

1.對于有限集合A,其元素個數為n,則集合A的子集個數為2；真子集

個數為2n-l,非空真子集個數為2"-2.

2.ACB,AAB=A,AUB=B,CuBcCuA以及AA([⑻=0兩兩等價.

3.Cu(AAB)=([,：A)U([.B),CU(AUB)=(CMA([.B).

一『對點自測:一

1.(2021?新高考I卷)設集合A={xk2<x<4},B=⑵3,4,5},則AnB

等于(B)

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

解析:由2WA,3WA,4?A,5住A,可得AAB={2,3}.故選B.

2.(必修第一冊P9習題1、2T1改編)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集

合P二{1,3,5},0={1,2,4},則([#)外等于(C)

A.{1}B.{3,5}

C.{1,2,4,6}D.{1}2,3,4,5}

解析：根據補集的運算得〔正={2,4,6},所以([十)UQ={2,4,6)U

{1,2,4}={1,2,4,6}.故選C.

3已知集合A二{1,2,5,6},B={5,X},若BGA,則X可以取的值為

(D)

A.1,2B.1,6

C.2,6D.1,2,6

解析：由BCA和集合元素的互異性可知,X可以取的值為1,2,6.故

選D.

4.(2021?云南昆明一中高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B=

{(x,y)12x+y=3},則ACB等于(C)

A.(-3,-3)B.(3,3)

C.{(-3,-3)}D.{(3,3)}

|x-y=0,

解析：聯立方程組卜西+^=3,解得*二-3,片-3,所以Ang

{(-3,-3)}.故選C.

12

5.已知集合A={x￡N|廣布￡Z},則列舉法表示集合A二,集合

A的真子集有個.

12

解析：因為y二不且x￡N,所以x=0或1或3或9,所以列舉法表示

集合A為(0,1,3,9),所以集合A的真子集個數為24-1=15.

答案：{0,1,3,9}15

關鍵能力?課堂突破美"盧.實〃

蹶考點一集合的概念與表示

1.(多選題)下列各個說法中，正確的是(CD)

A.高三(1)班所有高個子的同學可以構成一個集合

B.若m￡N,n￡N且mWn,則m+n的最小值為2

C.四個集合{x|x=l},{y|(y-1)2=0},{x=l},{1}所表示的含義不完全

相同

D.若{x|x2+3ax+b=x}={l},則a=-l,b=l

2.(2021?四省名校高三聯考)已知集合A={(x,y)|y《"k,x,yG

N},則集合A中元素的個數為(B)

A.3B.4C.5D.6

解析：由已知可得滿足條件的點有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),共4個,

所以集合A中的元素共有4個.故選B.

3.（2021?河北石家莊模擬）已知集合A={0,a+bJ},B={0,1-b,l},a,b

￡凡若收8,則@+213等于（D）

A.-2B.2C.-lD.1

a^b=l-b,

-=1

解析:因為A=B,①當口時，

1

解得a二b三,所以a+2b=1.

a+b=l,

②當a-=1-b時，

華=0,

解得lb=L此時A={0,1,0),與集合中元素的互異性矛盾.

綜上,a+2b=l.故選D.

4.已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|xGA,yGA,y-xGA),則集合B中

的元素的個數為(C)

A.4B.5C.6D.7

解析:因為集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|xGA,yEA,y-xGA),所以當

x=l時,y=2或y=3或y=4,當x=2時，y=3或y=4,當x=3時,y=4,所以

集合B中的元素個數為6.故選C.

5.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1￡A,則2023a的值

為.

解析:①若a+2=l,即a=-l,m(a+l)2=0,a2+3a+3=l,不滿足集合中元素

的互異性；

②若(a+1)2=1,則a=-2或"0,

當a=-2時,則a+2=0,a2+3a+3=l,不滿足集合中元素的互異性；

當a=0時，則a+2=2,a2+3a+3=3,滿足題意;

③若a2+3a+3=l,則a-1或-2,由①②,可知均不滿足集合中元素的互

異性.綜上,實數a的值為0,故2023a的值為L

答案：1

一題后悟通

1.求解描述法表示的集合問題，首先要明確構成集合的元素以及元素

滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的意義.常見的集合的意

義如下表:

{x|f（X）（x|f（X）{x|y二（yy二{（X,y）I

集合

=0}>0）f（X））f（X）}y=f（x）］

函數y二

方程不等式函數y=函數

集合的f(x)圖

f(x)=0f(x)>0f(x)的y=f(x)

意義象上的

的解集的解集定義域的值域

點集

2.利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時,

要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.

3.求解集合相等問題,要注意分類討論以及集合中元素性質的應用.

啜考點二集合間的基本關系

1.(2021?山東濰坊高三聯考)已知集合A二{-1,0,1),B={(x,y)|x￡

Z

A,yWA,$￡N},則集合B的子集個數為(D)

A.4B.8C.13D.16

解析:因為x￡A,y￡AJ￡N,所以滿足條件的有序實數對為

(-1,-1),(0,-1),(0,1),(1,1).由于集合B中含有4個元素，因此集合

B的子集個數為2二16.故選D.

2.(2021?江西重點中學協作體模擬)已知集合A={x|x2-5x-6〈0},若

BGA,則B可以是(D)

A.{x|-2<x<0}B.{x|x<6}

C.{x|x>-l}D.{x|0<x<2}

解析：因為X2-5X-6<0,所以T<x<6,所以A={x|-l<x<6},因為BGA,則B

可以為{x[0<x<2}.故選D.

k1k2

3.設集合M={x|x=.4k￡Z},N={x|xV+&k￡Z}』l」(B)

A.M=NB.MCN

C.NGMD.無法確定

k1

解析：由集合M二年日二錄片,1<￡2}得

k12i+l

X=3+fc6,分子是奇數，

k2

由集合N={x|xV+Wk￡Z}得

k2i-H

x/+至T,分子可以是奇數也可以是偶數,則MCN.故選B.

4.已知集合A={x|TWxW3},集合B={x|1-mWxWl+m}.若BGA,則m

的取值范圍是(A)

A.(-8,2]B.[-1,3]

C.[-3,1]D.[0,2]

fI-mZ-1,

解析：當m20時,要滿足BCA,只需11+mW工解得0;當m<0

時，所以此時B=o,滿足BCA.綜上,m的取值范圍為mW2.故

選A

一題后悟通

1.判斷集合之間的關系的常用方法:對于用列舉法表示的集合,只需

要觀察其元素即結合定義判斷它們之間的關系,對于用描述法表示的

集合,要從所含元素的特征來分析,若集合之間可以統一形式,則需要

統一形式后判斷.

2.已知兩個集合間的關系求參數時,關鍵是將兩個集合間的關系轉化

為元素或區間端點間的關系,進而轉化為參數滿足的關系.合理利用

數軸、Venn圖幫助分析及對參數進行討論.確定參數所滿足的條件時,

一定要把端點值代入進行驗證,否則易增解或漏解.

展考點三集合的基本運算

幅度-給定具體集合的基本運算

（1）（2021?廣東深圳高三二模）己知A={xeN|x<7},B={5,6,

7,8）,則集合AUB中的元素的個數為（）

A.7B.8C.9D.10

（2）（2021?安徽合肥高三三模）已知全集U=R,集合A二{1,2,3,4,5）,

B={-2,0,1,2}之間關系的Venn圖如圖所示，則圖中陰影部分表示的

集合為（）

A.{-2,0}B.{-2}

C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1}

解析：（1）由解析￡N|x<7}可知A={0,1,2,3,4,5,6},結合B={5,6,7,

8},因此AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8},共9個元素.故選C.

⑵由題意畫出Venn圖,如圖所示.則陰影部分的集合為{-2,0}.故

選A.

1.進行集合運算時:首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡,再研究其

關系并進行運算.

2.涉及與集合的補集有關的集合運算問題,要求出補集后再求解.

3.由Venn圖給出的集合運算問題,首先將Venn圖轉化為集合之間的

運算關系后再求解.

4.若由集合的元素性質具有明顯的幾何意義的兩曲線構成的集合交

集問題,可以利用解方程組的方法求解,涉及點集時，也可以利用列舉

法求解.

幅度二含參數的集合運算

(SH)(1)(2021?廣東江門高三調研)已知集合A二{1,2}B二{a,b},

若AGB二回，則AUB等于()

A.{1,2}B.{-1,2}

C.{-1,1,2}D.{b,1,2}

(2)(2021?寧夏高三聯考)已知集合A={1,個(a￡R)},B={-1,0,1},若

AUB二B,則A中元素的和為()

A.0B.1C.2D.-l

(3)(2021?安徽示范高中高考模擬)若集合A={x|x<a},B={x|lgx2

0),且滿足AUB二R,則實數a的取值范圍是()

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(0,+°°)D.[0,+8)

ii

解析：⑴因為集合A二{1,2“}，且AnB=同，所以2=2解得a=-l,則

i

b=2.

1

所以AUB={T,1,2.故選C.

(2)因為AUB二B,所以AGB,所以a2=0,則a=0,所以A={1,0),

因此集合A中元素的和為0+1=1.故選B.

(3)因為集合A={x|x<a},B={x|lgx20},所以由題意得B={x|x^l),

因為AUB=R,所以a2L所以實數a的取值范圍是[1,+8).故選B.

解題策略

求解含參數的集合運算問題，主要有以下方法

(1)涉及離散的集合運算求參數，要注意所求參數是否滿足集合中元

素的性質.

(2)與集合的運算性質有關的集合運算,要注意將運算性質轉化為集

合之間的關系.

(3)涉及與連續的數集有關的集合運算,要注意借助數軸轉化為與參

數有關的不等式(組)，比時要注意集合端點的取值.

帷度三抽象集合的運算

(1)(2021?江蘇、福建等八省高三聯合模擬)己知M,N均為R

的子集,且]RMCN,則MU(CRN)等于()

A.0B.MC.ND.R

(2)(2021?百校聯盟高三聯考)已知全集為U且P,Q為U的子集,PC

([?)邛力慎口([田)等于()

A.0B.PC.QD.U

解析：⑴法一因為[RMCN,所以M3CRN,所以MU([RN)=M.故選B.

法二如圖，由[MEN易知MU(CRN)=\\.

(2)由題意可知全集為U,

P,Q為U的子集，

且PG([cQ)=P,

如圖所示,可得QC[iP=Q.故選C.

解題策略

涉及抽象集合的運算問題,可利用集合的包含關系或者畫出Venn圖，

結合Venn圖求解.

［針對訓練］

1.（2021?河南新鄉高三一模）已知集合A={a,a2-2,0},B={2\a+b},若

AAB={-1},則b等于（）

A.-lB.-2C.OD.1

解析：因為AGB={T},所以-1￡A,TWB.又a=-l或a2-2=-l,且aW

a-2^0,得a=l.因為2a>0,所以a+b=-l,即b=-2.故選B.

2.（2021?山東濱州高三二模）設全集

U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3},B={x|（x-3）（x-2）=0}，則圖中陰影部分

所表示的集合為（）

A.{-3,2,3}B.{-3,-2,0,2}

C.{3}D.{-2,0：

解析:因為B={x|(x-3)(x-2)=0}=解3},A={-3,3},

所以AUB={-3,2,3},又全集U={-3,-2,0,2,3},所以圖中陰影部分所

表示的集合為(:表UB)={-2,0}.故選D.

3.若集合M={(x,y)|3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0},則()

A.MAN=MB.MUN=M

C.MUN=ND.MAN=0

解析:因為集合M={(x,y)13x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},

（3x^=0,Q

因為M+y=0'=b=。，所以MGN=｛（0,0）｝二N,所以MUN二M.故

選B.

4.（2021?江蘇連云港高三聯考）若非空且互不相等的集合M,N,P滿

足:MCN=M,NUP=P,則MUP等于（）

A.0B.MC.ND.P

解析:由MnN=M可得,MCN,NUP=P可得NGP.故MGP.因此MUP=P.

故選D.

，國備選例題

CHD(2021?湖北武漢模擬)已知全集U={x￡N|(Kx<8},An(C.B)=

{1,2},Cu(AUB)={5,6},BA(CuA)={4,7},則集合A為()

A.{1,2,4}B.{1,2,7}

C.{1,2,3}D.{1,2,4,7}

解析:U={1,2,3,4,5,6,7},根據題意得到如圖所示的Venn解

所以A二{1,2,3}.故選C.

CHD(2021?山東濰坊三模)已知全集U二{1,2,3,4,5},集合A二{1,2},

B={3,4},則集合⑸等于()

A.Cu(AUB)B.(CLA)U([LB)

C.([IA)UBD.([⑻UA

解析:AUB={1,2,3,4},則【u(AUB)*5}，故選項A正確;[L={3,4,5},

C田二{1,2,5},所以([MU(C⑻={1,2,3,4,5},故選項B錯誤;[次二

{3,4,5},所以([小)口3={3,4,5},故選項C錯誤;[uB={1,2,5},所以

(CuB)UA={1,2,5},故選項D錯誤.故選A.

CHD(2021?福建廈門高三二模)已知集合A二{l,a},B二{x|log2X<l},

且AAB有2個子集,如實數a的取值范圍為()

A.So]B.(0,1)U(1,2]

C.[2,+oo)D.(-8,0]U[2,4-00)

解析:由題意得B={x|log2x<l}=(0,2),因為AAB有2個子集,所以A

GB中的元素個數為1.

因為(ACB),所以m(AAB),即a陣B,所以aWO或a22,即實數a

的取值范圍為(-8,o]U[2,+8).故選D.

CffiD(2021?陜西西安中學高考模擬)集合A二{x|x〈T或xN

3),B={x|ax+1WO},若BcA,則實數a的取值范圍是()

i

A.[-31)

B.[-31]

C.(-00,-1)U[0,+8)

D.[-30)U(0,1)

解析：由題知BCA,

①當B=0時，即ax+l〈O無解,此時a=0,滿足題意.

②當BWo時，即ax+1^0有解，當a>0時,可得xWf

7z>0,

要使BGA,則需要I。'解得OGG.

1

當a<0時，可得x2二，

a<0,

4-1>3-

耍使BUA,則需耍（。'解得-3Wa<0.

1

綜上,實數a的取值范圍是[與,1）,故選A.

C0?（多選題）（2021?江蘇徐州高三期末）對任意A,BGR,記A十

B={x|xGAUB,x陣AAB},并稱A?B為集合A,B的對稱塞例如，若

A={1,2,3},B={2,3,4},則A十B={1,4},卜列命題中，為真命題的是

（）

A.若A,BGR且A?B=B,則A=。

B.若A,BGR且A十B=0,則A=B

C.若A,BCR且A十BGA,則A—B

D.存在A,BGR,使得A缶B=[RA?[RB

解析:對于A選項，因為A十B=B,所以B={x|x￡AUB,x至AAB},

所以AGB,且B中的元素不能出現在AAB中，因此A=0,即選項A正確;

對于B選項，因為A十B=0,所以0={x|xWAUB,xEAGB},

即AUB與AGB是相同的,所以A二B,即選項B正確；

對于C選項，因為A十BGA,所以{x|xWAUB,xGAAB}￡A,

所以BUA,即選項C錯誤；

對于D選項,設A={x|x<2},B={x|x>l},

則AUB:R,ACB={x|l〈x<2},

所以A十B={x|xWl或x22},又[RA={x|x22},[RB={X|XW1},

(CRA)U(CRB)={xlxWi或x22},(CRA)n(CRB)=0,所以(CM十(C

RB)={X|X<1或x22},因此AaB=[RA十[KB,即選項D正確.故選ABD.

；里口rbgI,靈活于發為敬提他

選題明細表

知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練

集合的概念與表示1,3,8,9

集合間的關系4,611,15

集合的運算2,5,7,1012,13,1416

A級基礎鞏固練

1.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a^A,beA},則集合B中元素的個

數為(C)

A.1B.2C.3D.4

解析：由A={1,2}及題意得B={x|x=a+b,aGA,beA}={2,3,4),則集合

B中元素的個數為3.故選C.

2.(2020?全國I卷)設集合A={xK-4?0},13=32*+@忘0},且AA

B={x|-2WxWl},則a等于(B)

A.-4B.-2C.2D,4

xW)

解析:A={x|-2Wx<2},B={x2}.

由APIB={x|-2WxWl},知-2=1,所以a=-2.故選B.

2

3.(2021?百校聯盟聯考)設集合A={2,3,a-3a,a+-+7),B={|a-21,0).

已知4￡A且4住B,則實數a的取值集合為(D)

A.{-1,-2}B.{-1,2：

C.{-2,4}D.{4}

解析：由題意可得①當a2-3a=4且析-21W4時，解得a=-l或4.

a=-l時,集合A={2,3,4,4)不滿足集合中元素的互異性,故aW-1.

23

a二4時,集合A=⑵3,4,萬},集合B二⑵0},符合題意.

2

②當a+二+7=4且|a-2|W4,解得a=-l,由①可得不符合題意.綜上,實

數a的取值集合為{4},故選D.

4.設P={y|y=-x2+l,x￡R},Q={y|y=2；x￡R}4[l(C)

A.PcQB.Qcp

C.C?P￡QD.QCCKP

解析:因為P={yIy=-X2-l,xeR}={y|y^l},Q={y|y=2x,xER}={y|y>0),

所以CRP={yIy〉1},所以CRPGQ.故選C.

5.(2021?福建廈門外國語學校高三模擬)已知全集U={1,2,3,4,5),

A={2,3,4},B={3,5},則下列結論正確的是(B)

A.BCAB.CiA={1,5}

C.AUB={3}D.AAB={2,4,5}

解析：已知全集U={1,2,3,4,5},A=解3,4},B={3,5}.可知BQA,A選

項錯誤；［5},B選項正確;AUB={2,3,4,5},C選項錯誤;AG

B={3},D選項錯誤.故選B.

6.(2021?江蘇南通高三四模)已知集合A二{1,2,3},B={-1,0,1,2},若

MGA且M￡B,則M的個數為(C)

A.1B.3C.4D.6

解析：因為集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},所以AAB={1,2},又MGA

且MCB,所以Me(AAB),即世{1,2},所以M的個數為2M.故選C.

7.(2021?浙江杭州二中模擬)定義集合A二{x|f(x)二任N},B二

2

{x|X-2X-3<0}，貝ljAGB=,AU［RB=.

解析:因為集合A={x|f(x)=1-X2)={X|-KX^1),集合{x|x-2x-

3<0}={x|T〈x<3},所以［RB={x|xWT或x23},故ACB={x［T<xW

1},AUCRB={XIxWl或x23}.

答案：{x|-1<XW1}{K|XW1或x、3}

8.(2021?湘豫名校高三聯考)設集合A={-1,0,1},集合B={x|x>t},

若A,B兩集合的關系如圖,則實數t的取值范圍為.

0?

解析：由題意可知ADB=0,結合集合A=1},集合B={x|x>t}可

知t21.

答案：［1,+°°)

9.已知A={x|-Kx<k,xEN},若集合A中恰有3個元素,則實數k的取

值范圍是.

解析:因為A={x|-Kx<k,xeN),且集合A中恰有3個元素,所以集合

A={0,1,2},所以2<kW3.

答案：⑵3]

10.學校運動會上某班62名學生中有一半的學生沒有參加比賽,參加

比賽的學生中，參加田賽的有16人,參加徑賽的有23人,則田賽和徑

賽都參加的學生人數為.

解析:設田賽和徑賽都參加的學生人數為x,

因為62名學生中有一半的學生沒有參加比賽,所以參加比賽的學生

有31人，

故16-x+x+23-x=31=x=8,故田賽和徑賽都參加的學生人數為8.

答案：8

B級綜合運用練

11.已知集合M={x|x2-3x+2^0},N={x|y=""},若MCN=M,則實數a

的取值范圍為(D)

A.(1,+8)B.[1,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

解析：因為x2-3x+2<0,所以（xT）（x-2）WO,所以1WXW2,所以

M={x|lWxW2}.

因為x-a>O,所以x2a,所以N={x|x2a}.

因為MAN=M,所以MUN,所以aWl.所以實數a的取值范圍為（-8,i].

故選D.

12.（多選題）（2021?山東濟南三模）圖中陰影部分用集合符號可以表

示為（AD）

A.AA(BUC)B.AU(BAC)

C.An[u(BAC)D.(APB)U(AAC)

解析：圖中陰影部分用集合符號可以表示為An(BUC)或(AGB)U(A

nC).故選AD.

13.(多選題)已知全集U=Z,集合A={x12x+l20,x￡Z},B={-1,0,1,2},

則(ACD)

A.AAB={0,1,2}

B.AUB={x|x^O}

C.([MAB={-1}

D.AAB的真子集個數是7

i

解析:A={x|2x+l20,xEZ}={xx2-2,x^Z},B={-1,0,1,2},

AAB={0,1,2},故A正確;

AUB={x|x^-l,x￡Z},故B錯誤;

1

[i:A={x|x<-2,x￡Z},

所以([1A)AB={T},故C正確；

由AnB={0,1,2},則AnB的真子集個數是23-l=7,故D正確.故選ACD.

14.(多選題)(2021?湖北重點中學高三聯考)己知非空集合A,B滿足:

全集U=AUB=(-1,5],AACUB=[4,5],則下列說法不一定正確的有

(ABD)

A.AAB=0B.AGBWo

C.B=(-l,4)D.BACLA=(-1,4)

解析:因為Ar[4二[4,5],U=AUB=(-1,5],

所以B=u-An[]B=(-1,4),所以C正確.

則集合A一定包含[4,5],當A=[4,5]時,

AAB=0,所以B錯誤.

當A=(3,5]時,AnB=(3,4),所以A錯誤.

此時[uA=(-l,3],Bn[?A=(-1,3],所以D錯誤.故選ABD.

15.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},若[出/CuA,則實數a的

取值集合是；若BGA,則實數a的取值范圍是.

解析:A={-3,2}.由[vBCCuA可知ACB,因此{-3,2}lB,則方程

x2+x+a=0的兩個根是-3,2,因此a=-6.

對于x2+x+a=0,結合BcA可知

(1)當A=l-4a<0,即a>?時，B=0,BGA成立;

(2)當A=l-4a=0,即a=?時,B={-2},BqA不成立;

i

(3)當A=l-4a>0,即aG時，若B￡A成立，則B={-3,2},

所以a二-3X2=-6.

1

綜上,a的取值范圍為a>彳或a=-6.

1

答案：{-6}心彳或肝-6

C級應用創新練

16.若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構成“全食”；

若兩個集合有公共元素但不互為對方的子集,則稱兩個集合構成“偏

食”.已知集合A={x|修t}和集合B={x|X2-X-2<0},若集合A,B構成

“偏食”，則實數t的取值范圍為.

解析:集合A={x|"“<t}={x|-t〈x〈t,t>0},集合

13二以以2-乂-2<0}=5|-16<2},因為集合人,13構成“偏食”,

rt>o,rt>o,

所以IT<-t<2<t或IT<-I<t<2,

解得l<t<2.

所以實數t的取值范圍為(1,2).

答案：(1,2)

第2節常用邏輯用語

@課程標準要求

1.通過已知的數學實例，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.

理解性質定理與必要條件的關系、判定定理與充分條件的關系以及數

學定義與充要條件的關系.

2.通過已知的數學實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

?帕敖材夯賣四條

必備知識?課前回顧

選知識梳理

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

P是q的充分不必要條件p=q且q/>p

P是Q的必要不充分條件D今q且q=p

P是q的充要條件P=q

P是q的既不充分也不必要條件p#*q且q*p

I#疑

若P是q的充分條件，則q是P的必要條件.反之，若P是q的必要條

件,則q是P的充分條件,而如果P=q,那么P與q互為充要條件.

2.全稱量詞命題與存在量詞命題

(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符

號“豆”表示.含有全稱量翅的命題叫做全稱量詞命題.

⑵短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，

并用符號“寸表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.

■釋疑

⑴全稱量詞命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命

題,常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”等,相應的詞語是“都”.

(2)存在量詞命題就是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性

質的命題,常見的存在量詞還有“有的”“存在”等.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

量詞命題量詞命題的否定結論

3xe存在量詞命題的否定是全稱量詞

Vx￡M,—^p(x)

M,p(x)命題

VxG全稱量詞命題的否定是存在量詞

mx￡M,f(x)

M,p(x)命題

■釋疑

一般命題的否定通常是保留條件否定其結論，得到真假性完全相反的

兩個命題;含有一個量詞的命題的否定，是在否定結論p(x)的同時?，改

變量詞的屬性，即全稱量詞改為存在量詞,存在量詞改為全稱量詞.

一三！自測3-

1.(必修第一冊P31練習T1改編)已知命題p:Vn^N*,n2>n~l,則命題p

的否定一^為(C)

A.VnEX*,n'Wn-l

B.VneN*,n2<n-l

C.3n^N*,nWn-l

D.3nEN*,n2<n-l

解析：由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可得命題P：Vn￡N：n2>

n-1的否定「p為TneMlWn-1”.故選C.

2.（必修第一冊P22習題L4T2改編）設x￡R,貝J“x>l”是，x|>l"

的（A）

A.充分不必要條件

B.必耍不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：當x>l時一定能夠得到“|x|>1",但是|x|〉1卻不一定得到x>l,

也可以是x<7.故選A.

3.命題“一次函數都是單調函數”的否定是（D）

A.一次函數都不是單調函數

B.非一次函數都不是單調函數

C.有些一次函數是單調函數

D.有些一次函數不是單調函數

解析:命題的否定只對結論進行否定，“都是”的否定是“不都是”，

即“有些”.故選D.

4.（多選題）下列存在量詞命題中的真命題是（ABC）

A.3xeR,xWO

B.至少有一個整數，它既不是合數，也不是素數

CTxW{x|x是無理數},X?是無理數

D.3x^Z,l<5x<3

解析:mx=0￡R,使得xWO,故A為真命題.整數1既不是合數,也不是

素數，故B為真命題.若x二冗，則x￡{x|x是無理數},x2是無理數,故C

13

為真命題.因為l〈5x<3,所以及x<￡所以“及￡2,l〈5x<3”為假命題.

故選ABC.

5.己知命題p:“關于x的方程xMx+a=0有實根"，若非p為真命題

的充分不必要條件為a>3m+l,則實數m的取值范圍是.

解析：由命題p有實數根,則△=16-4a20則aW4,所以非p為真命題

時a的取值范圍為a>4.

又a>3m+l是非p為真命題的充分不必要條件，所以3m+l>4,m>l,則m

的取值范圍為（1,+8）.

答案：（1,+8）

關鍵能力?課堂突破美"立.實〃

質考點一全稱量詞命題與存在量詞命題

1.（2021?山東泰安高三三模）命題“奇函數的圖象關于原點對稱”的

否定是（C）

A.所有奇函數的圖象都不關于原點對稱

B.所有非奇函數的圖象都關于原點對稱

C.存在一個奇函數的圖象不關于原點對稱

D.存在一個奇函數的圖象關于原點對稱

解析:全稱量詞命題“所有奇函數的圖象關于原點對稱”的否定是存

在量詞命題，所以命題“奇函數的圖象關于原點對稱”的否定是“存

在一個奇函數的圖象不關于原點對稱”.故選C.

2.(2021?廣東中山紀念中學等校高三聯考)命題“Vx>T,ln(l+x)Wx

T

且ln(l十x)三手'’的否定是(C)

Z

A.Vx>-1,ln(l+x)>x或ln(l+x)<1+a

T

B.Vx^-1,In(1+x)>x且In(1+x)<1+x

z

C.3x>-l,ln(l+x)>x或ln(l+x)<1+z

z

D.3x>-l,In(1+x)>x且Ind+x)。4^

解析:命題“Vx>T,ln(l+x)Wx且ln(l+x)2年”的否定是

z

3x>-l,ln(l+x)>x或In(1+x)<1+*.故選C.

3.(2021?重慶南開中學高三模擬)下列命題為真命題的是(C)

A.VxeR,x2-|x|+1^0

B.

C.3x^R,(Inx)?W0

D.3x€=R,sinx=3

13

解析：因為x2-|x|+l=(|x卜3)2森>0恒成立,所以Vx￡R,X?-|x|+lW0是

二11

假命題；當x=3時,g=2,所以Vx￡R,TW??>W1是假命題；當x=l

時,Inx=0,所以mx￡R,(Inx)2^0是真命題；因為T<sinxWl,所以

3x^R,sinx=3是假命題.故選C.

4.若命題Fx￡R,使得x2+mx+2n1-3〈0”為假命題，則實數m的取值范

圍是(A)

A.[2,6]B.[-6,-2]

C.(2,6)D.(-6,-2)

解析:因為命題“mx《R,使得x2+mx+2nl-3<0”為假命題，故"VxW

R,x2+mx+2m-320恒成立"為真命題，因為二次函數的圖象開口向上，

故△=m2-4(2m-3)W0,所以[2,6].故選A.

R題后悟通

L含量詞的命題的否定的寫法

(1)一般地,寫含有一個量詞的命題的否定,首先要明確這個命題是全

稱量詞命題還是存在量詞命題,并找到其量詞的位置及相應結論,然

后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或把存在量詞改成全稱量詞，同

時否定結論；

⑵“p或q”的否定是『且―”.

提醒:對于省略量詞的命題，在寫其否定時應先根據題意找出其中省

略的量詞,寫出其完整形式,再寫出命題的否定.

2.全稱量詞與存在量詞命題真假的判斷

(1)要確定一個全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對所有的元素

都成立;若能舉出一個反例說明命題不成立，則該全稱量詞命題是假

命題；

(2)要確定一個存在量詞命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成

立即可;若經過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在

量詞命題是假命題.

3.由于存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，因此涉及存在量詞命題

是假命題時,常轉化為其全稱量詞命題是真命題求解.

戚考點二充分必要條件的綜合應用

惟度-充分、必要條件的判斷

(1)(2021?黑龍江哈爾濱三中高三模擬)設x￡R,則“X2-3X<0”

是的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

(2)(2019?浙江卷)若心0,13>0,則'％+1344”是“abW4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(3)p:x,yeR,x2+y2<2,q:x,y￡R,|x|+1y|<2,則p是q的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充耍條件

D.既不充分也不必要條件

解析：（1）由x-3x<0=^0<x<3,由0<x<3不一定能推出"x<2,但是由

l<x<2一定能推出0<x<3,所以"x2-3x<0w是的必要不充分

條件.故選C.

解析：（2）因為a>0,b>0,若a+bW4,所以2倔Wa+bW4.所以ab<4,

此時充分性成立.當a>0,b>0,abW4時,令a=4,b=l,則a+b=5>4,這與

a+bW4矛盾，因此必要性不成立.綜上所述，當a>0,b>0時，"a+bW4”

是“abW4”的充分不必要條件.故選A.

解析：（3）如圖所示，

1+丫2<2”對應的圖象為半徑為"2的圓的內部，“|x|+|y|<2"對應

的圖象為正方形的內部,則勺+丫?。”是“|x|+|y|<2"的充分不必要

條件.故選A.

解題策略

判斷充分、必要條件的3種方法

⑴定義法:根據p=q,q=p進行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.

（2）集合法:根據p,q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷，多

適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題.

（3）數形結合法:充要條件的判定問題中，若給出的條件與結論之間有

明顯的幾何意義,且可以作出滿足條件的幾何圖形，則可作出其幾何

圖形后利用數形結合思想求解.

提醒:判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向，要注意“A是

B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區別,要正確

理解“P的一個充分不必要條件是q”的含義.

降度二充分、必要條件的探求

1

麗）（1）不等式x-二>0成立的一個充分不必要條件是（）

A.T〈x<0或x>lB.x?l或0<x<l

C.x>-lD.x>l

（2）（2021?江西上饒高三模擬）命題“Vx￡[l,2],3x2-a20”為真命

題的一個必要不充分條件是（）

A.aW4B.aW2CaW3D.aWl

2tf-KO,

i±1fx-l>0,或卜v°，解不等式組

解析：（1）由x-?>0可知x>0,即lx>0

可知X-；）O的解集為{x|x〉l或T〈x<0},故不等式X-；>（）成立的一個允

分不必要條件是x>l.故選D.

解析：(2)若“Vx￡[1,2],3x2-a>0”為真命題,得3x2>a在x￡[1,2]

上恒成立，只需awG—皿=3,所以a<4時,不能推出“Vx￡

[1,2],3x2-a>0"為真命題，“Vx￡[1,2],3x2-a>0"為真命題時能推

出aW4,故aW4是命題“Vx￡[1,2],3x?-a20”為真命題的一個必耍

不充分條件.故選A.

解題策略

1.選擇題中的充分不必要條件問題,是由選擇項推出題干，但是題干

不能推出選擇項,而選擇題中的必要不充分條件問題,是由題干推出

選擇項，但是選擇項不能推出題干.

2?對于充分、必要條件的探求,一般轉化為集合問題.根據“小充分、

大必要”判斷求解其充分、必要條件.注意理解：“充分性”即“有它

就行”；“必要性”即“沒它不行”.

帷度三充分條件、必要條件的應用

<<>,

(2021?安徽淮北一模)已知p：log2x<2,q:“|x-a|<3"，若

P是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是.

解析：由不等式log2X<2,得0<x<4,由不等式x-a<3解得-3+a<x<3+a.

因為P是q的充分不必要條件，

所以(0,4)c(-3+a,3+a),

r-3+a<0,

所以匕+解得lWaW3,故實數a的取值范圍是[1,3].

答案：[1,3]

解題策略

根據充分、必要條件求解參數范圍的方法

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根

據集合之間的關系列出關于參數的不等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解

參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍,處理

不當容易出現漏解或增解的現象.

［針對訓練］

1.“x>2”是“log2（x+l）>l”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析:因為log2（x+l）>l,所以x+l>2,所以x因為x|x>2}是{x|x>l}的真

子集，所以“x〉2”是“log2（x+l）>l”的充分不必要條件.故選B.

2.使a>0,b>0成立的一個必要不充分條件是（）

A.a+b>0B.a-b>0

<z

C.ab>lD.*>1

解析：因為a>0,b>0=>a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出

a

a-b>0,ab>l,*>1.故選A.

x-2

3.（2021?山西八校高三聯考）己知p:A={xIYWO},q:B={x|x-a<0},

若P是q的必要不充分條件,則實數a的取值范圍是（）

A.(2,+8)B.[2,+8)

C.(-0°,1)D.(-8,i]

解析:因為A={x|(x-2)(x-1)20且*#1}二以除22或*<1},1>僅鼠3},

又P是q的必要不充分條件,所以B￡A,所以aWl.故選D.

■備選例題

CSBD命題“Vx￡R,mn￡N*,使得nWx"'的否定形式是()

A.Vx￡R,mn￡N”,使得n>x?

B.Vx￡R,Vn￡N",使得n>x?

C.3xER,mnWN*,使得n>x?

D.3x￡R,Vn￡N”,使得W

解析:V改寫為土m改寫為V,nWx?的否定是n>x；則該命題的否定形式

為，為xWR,使得n>x2v.故選D.

CSD(2021?廣西欽州、崇左高三聯考)已知a,b￡R,“a>|b|”是

“a|a|>b|b|”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析:法一由題意,若a>|b|,則a>|b|2。,則a>0且a>b,所以

a|a|二a；則a|a|>bb成立.當a=l,b=-2時，滿足a|a|〉b|b|,但a>|b|

不成立，所以“a>|b|"是不成|〉b|b|"的充分不必要條件.故選A.

（X2,x>0,

法二由a>|b|可知a>0且a>b,構造函數f（x）二x|x|」一X<仇則

函數f（x）在R上是增函數，因此由a>0且a>b可知aIa|>b|b|,反之則

不一定成立，如b<a<0時也可以有a|a|>b|b|.故選A.

醞“abWO”是“l+b,WO”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由abWO可得,aWO且bWO