專題37軸對稱、平移、旋轉【十二大題型】

＞題型梳理1

【題型1軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別】.....................................................1

【題型2與坐標系有關的對稱、平移、旋轉問題】................................................3

【題型3與幾何圖形有關的折疊問題】...........................................................4

【題型4與拋物線有關的折疊問題】.............................................................6

【題型5利用軸對稱求最值】....................................................................7

【題型6根據中心對稱的性質求面積、長度、角度】...............................................9

【題型7與軸對稱、平移、旋轉有關的規律探究問題】............................................10

【題型8用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱作圖】................................................11

【題型9旋轉或軸對稱綜合題之線段問題1...................................................................................13

【題型10旋轉或軸對稱綜合題之面積問題】.......................................................15

【題型11旋轉或軸對稱綜合題之角度問題】.......................................................17

【題型12利用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱設計圖案】.........................................19

，舉一反三

【知識點軸對稱、平移、旋轉】

1.平移

（1）定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動，這種圖形的平行移動，簡稱為平移。

（2）平移的性質：平移后的圖形與原圖形全等；對應角相等；對應點所連的線段平行（或在同一條直線上）

且相等。

（3）坐標的平移：點（x,y）向右平移。個單位長度后的坐標變為（x+a,y）；

點（x,y）向左平移a個單位長度后的坐標變為（x-a,y）；

點（x,y）向上平移。個單位長度后的坐標變為（x,y+a）；

點（x,y）向下平移a個單位長度后的坐標變為（x,y-a）。

2.軸對稱

（1）軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關

于這條直線成軸對稱。這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。

（2）軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形。這條直線叫做它的對稱軸。

⑶軸對稱的性質：關于某條直線對稱的圖形是全等形。

經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形

的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

(4)線段垂直平分線的性質

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；

與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上。

(5)坐標與軸對稱：點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標是(x,-y)；

點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標是(-x,y)；

3旋轉

⑴旋轉

定義：把一個平面圖形繞著平面內某一點。轉動一個角度，叫做圖形的旋轉。點。叫做旋轉中心，轉

動的角叫做旋轉角。如果圖形上的點P經過旋轉變為點P',那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點。

旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③

旋轉前后的圖形全等。

(2)中心對稱

定義：把一個圖形繞著某一點旋轉180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這

個點對稱或中心對稱。這個點叫做對稱中心。這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對

稱點。

中心對稱的性質：①中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分;

②中心對稱的兩個圖形是全等圖形。

⑶中心對稱圖形

定義：如果一個圖形繞一個點旋轉180。后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫

做它的對稱中心。

(4)關于原點對稱的點的坐標

兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x,y)關于原點。的對稱點為P((-x,-y)o

【題型1軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別】

【例1】(2023?廣東東莞?一模)如所示圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()

【變式1-1]（2023?安徽合肥?校考一模）如果一個圖形繞著一個點至少旋轉72度才能與它本身重合，則下

列說法正確的是（）

A.這個圖形一定是中心對稱圖形.

B.這個圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

C.這個圖形旋轉216度后能與它本身重合.

D.這個圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形.

【變式1-212023?福建泉州?統考模擬預測）如所示的四個交通標志圖中，為旋轉對稱圖形的是（）

A瓜A瓜金

【變式1-3]（2023?山東青島?統考三模）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型2與坐標系有關的對稱、平移、旋轉問題】

【例2】（2023?江蘇無錫?統考二模）如圖，在ABDE中，Z.BDE=90°,BD=4混，點。的坐標是（4逐,0）,

tanzSDO=將ABDE旋轉到△ABC的位置，點C在BD上，則旋轉中心的坐標為（）

A.（2V5,yV5）B.（3V5,|V5）C.得低2伺D.信遮（有）

【變式2-1］（2023?廣東潮州?統考模擬預測）在平面直角坐標系中，線段48平移得到線段CD,點4（-1,4）的

對應點C（l,2）,則點B（2,1）的對應點。的坐標為（）

A.（4,-1）B.（0,3）C.（4,1）D.（-4,1）

【變式2-2］（2023?吉林長春?二模）在平面直角坐標系中，已知4（2,1）,現將A點繞原點。逆時針旋轉90。

得到乙,則&的坐標是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,-2）D.（-2,1）

【變式2-3X2023?四川眉山?校考三模）平面直角坐標系內有一點M（x,y）,已知無,y滿足慶下I+（5y-2/=

0,則點M關于y軸對稱的點N在第象限.

【題型3與幾何圖形有關的折疊問題】

【例3】（2023?廣西南寧?校考二模）如圖，已知平行四邊形紙片力BCDQ4D>AB）,將平行四邊形紙片沿過

點A的直線折疊，使點8落在邊力。上，點8的對應點為F,折痕為AE,點E在邊BC上，連接BF,若力E=

4,BF=8,則四邊形ABEF的面積為（）

A.64B.48C.32D.16

【變式3-1］（2023?河南?統考中考模擬）將三角形紙片（AABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊4C上,

記為點次，折痕為EF,已知2B=4C=3,BC=4.若以點次、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，貝UBF的

長度是

【變式3-2］（2023?山西大同?校聯考模擬預測）如圖，正六邊形力BCDEF內接于半徑為8cm的。。中，連接CE,

AC,AE,沿直線CE折疊，使得點D與點。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

A

BF

D

A.32V3cm2B.8V3cm2C.8TTcm2D.(—+3Tr)cm2

【變式3-3]（2023?河南周口?校聯考模擬預測）綜合與實踐課上,老師讓同學們以“正方形的折疊，，為主題開

圖⑶圖(4)

（1）操作判斷

操作一：如圖（1）,正方形紙片力BCD,點E是BC邊上（點E不與點B,C重合）任意一點，沿4E折疊AABE至IJ

△力FE,如圖（2）所示；

操作二：將圖（2）沿過點F的直線折疊，使點E的對稱點G落在4E上，得到折痕MN,點C的對稱點記為“,

如圖（3）所示；

操作三：將紙片展平，連接BM,如圖（4）所示.

根據以上操作，回答下列問題：

①B,M,N三點一（填“在”或“不在”）一條直線上；

②4E和BN的位置關系是一，數量關系是一；

③如圖（5）,連接4V,改變點E在上的位置，_（填“存在”或“不存在”）點E,使AN平分ND4E.

（2）遷移探究

蘇在同學將正方形紙片換成矩形紙片ABCD,AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖

（7）.請完成下列探究:

①當點N在CD上時，如圖(6),BE和CN有何數量關系？并說明理由;

②當DN的長為1時，請直接寫出BE的長.

【題型4與拋物線有關的折疊問題】

【例4】(2023?廣西貴港?統考三模)拋物線y=—+|x+c與％軸交于A、8兩點，且點A在點2的左側,

與y軸交于點C,點。(3,2)為拋物線上一點，且直線CDIIx軸，點M是拋物線上的一動點.

(1)求拋物線的解析式與A、2兩點的坐標.

(2)若點E的縱坐標為0,且以4E,D,M為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點"的坐標.

(3)過點M作直線CD的垂線，垂足為N,若將ACMN沿CM翻折，點N的對應點為N1則是否存在點使

點N，則恰好落在x軸上？若存在，求出此時點"的坐標；若不存在，說明段理由.

【變式4-1](2023?山東棗莊?校考模擬預測)已知：如圖，拋物線y=-％2+bx+c經過原點。，它的對稱軸

為直線x=2,動點P從拋物線的頂點4出發，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向下運動，設動點P運動的時

間為t秒，連接OP并延長交拋物線于點B,連接04AB.

(1)求拋物線解析式及頂點坐標;

(2)當三點40,B構成以為OB為斜邊的直角三角形時，求t的值;

(3)將AP4B沿直線PB折疊后，那么點力的對稱點兒能否恰好落在坐標軸上？若能，請直接寫出所有滿足條

件的t的值；若不能，請說明理由.

【變式4-2](2023?山西臨汾?統考一模)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=一：乂一4與無軸交于力，B兩點(點8在點4的右側)，與y軸交

42

于點C.將△ABC沿BC所在的直線折疊，得至IUDBC,點4的對應點為D.

(2)求直線8D的函數表達式.

(3)在拋物線上是否存在點P,使NPC8=乙48。？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式4-3](2023?湖南岳陽?統考一模)如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線F1:y=/+。久+c經過

點4(1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,經過點A的直線/與y軸的負半軸交于點。，與拋物線工交于點E,

且。。=0A.

(1)求拋物線F1的解析式；

(2)如圖②,點P是拋物線Fi上位于x軸下方的一動點，連接CP、EP,CP與直線/交于點Q,設^EPQ^AECQ

的面積為Si和S2,求善的最大值；

S2

(3)如圖③，將拋物線尻沿直線x=/n翻折得到拋物線尸2,且直線/與拋物線&有且只有一個交點，求相的值.

【題型5利用軸對稱求最值】

[例5](2023?遼寧盤錦?統考中考真題)如圖，四邊形48CD是矩形，AB=y/10,AD=4位,點尸是邊4。上

一點(不與點A,。重合)，連接PB,PC.點、M,N分別是PB,PC的中點，連接MN,AM,DN,點E在

邊4。上，MEWDN,則4M+ME的最小值是()

A.2A/3B.3C.3V2D.4V2

【變式5-1］（2023?江蘇鹽城?統考模擬預測）如圖，已知，等邊AABC中，AB=6,將AABC沿2C翻折，得

lljAXDC,連接BD,交AC于。點，E點在。。上，S.DE=2OE,F是BC的中點，尸是4C上的一個動點，則

|PF-PE|的最大值為.

【變式5-2］（2023?江蘇宿遷?統考二模）如圖，菱形2BCD的邊長為10,tanA=（點M為邊力D上的一個動

點且不與點A和點。重合，點A關于直線BM的對稱點為點4,點N為線段CA的中點，連接DN,則線段DN

長度的最小值是.

【變式5-3］（2023?浙江?統考二模）如圖，在正方形4BCD中，點E為邊BC上一個動點，作點2關于4E的對

稱點夕，連接并延長。夕，交4E延長線于點凡連接BB，，BF.

(1)求證:BF=B'F.

⑵求NBB'D的度數.

（3）若AB=2,在點E的運動過程中，求點尸至UBC距離的最大值.

【題型6根據中心對稱的性質求面積、長度、角度】

【例6】（2023?江蘇泰州?統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，MBC的頂點4、C分別是直線y=-1+4

與坐標軸的交點，點B（-2,0）,點。是邊力C上的一點，DE1BC,垂足為E,點尸在48邊上，且D、尸兩點關

于y軸上某點成中心對稱，連接DF、EF.線段EF長度的最小值為.

【變式6-1］（2023?山西朔州?統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，有7個半徑為1的小圓拼在一起，下

面一行的4個小圓都與x軸相切，上面一行的3個小圓都在下一行右邊3個小圓的正上方，且相鄰兩個小圓

只有一個公共點，從左往右數，y軸過第2列兩個小圓的圓心，點尸是第3列兩個小圓的公共點.若過點尸

有一條直線平分這7個小圓的面積，則該直線的函數表達式是.

【變式6-2］（2023?江蘇南通?統考一模）如圖，矩形4BCD中，4B=6,AD=3.E為邊48上一動點，連接

。從作人尸工;^交矩形人呂^^的邊于點尸，垂足為G.

（備用圖）

(1)求證："FB=Z.DEA；

(2)若CF=1,求AE的長;

(3)點O為矩形4BCD的對稱中心，探究。G的取值范圍.

【變式6-3](2023?吉林長春?統考一模)如圖，在AABC中，ABAC=90°,AB=15,AC=20,動點P從

點8出發，在線段BC上以每秒5個單位長度的速度向終點C運動，連接AP.將△力PB沿直線2P翻折得到

KAPB'.

⑴求BC的長;

⑵當四邊形4BP9為中心對稱圖形時，求，的值;

(3)當點B'在BC下方時，連接8夕、CB',求此時△CB9面積的最大值；

(4)當直線與AABC一邊垂直時，直接寫出f的值.

【題型7與軸對稱、平移、旋轉有關的規律探究問題】

【例7】(2023?河南商丘?統考三模)如圖，平面直角坐標系中，4(1,1),5(0,3),以4B為邊在4B右側作

正方形力BCD.第一次操作：將正方形4BCD繞點。順時針旋轉90。得到正方形4B1QD1；第二次操作：將正

方形4B1GD1繞點。順時針旋轉90。得到正方形4282c2。2……則第2023次操作得到正方形

A2023B2023c2023。2023中，點。2023的坐標為()

D.(2,-4)

【變式7-1](2023?重慶南岸?二模)如圖，以4711當。1的斜邊力/1在直線)7=百乂一百上，點當在乂軸上，

Q點坐標為(2,0).先將△4/iQ沿較長直角邊&G翻折得到44殳6，再將△2G沿斜邊&殳翻折得到

△為B2c2，再將AAiB2c2沿較短直角邊B2c2翻折得到2c2；…；按此規律，點的坐標為()

A.（15,5⑹B.（15,6百）C.（17,5⑹D.（17,6百）

【變式7-2]（2023?河北保定?三模）如圖，在平面直角坐標系中，函數y=x的圖象為直線1,作點41（1,0）關

于直線1的對稱點4，將4向右平移2個單位得到點區；再作4關于直線1的對稱點人4,將4向右平移2個

單位得到點人5；則按此規律，所作出的點^2015的坐標為（）

A.(1007,1008)B.(1008,1006)C.(1006,1008)D.(1008,1007)

【變式7-3]（2023?河南周口?淮陽第一高級中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，菱形02BC的位置如

圖所示，其中點B的坐標為（-1,1）,第1次將菱形。ABC繞著點。順時針旋轉90。，同時擴大為原來的2倍得

到菱形。4當6（即。當=2。8）,第2次將菱形。繞著點。順時針旋轉90。，同時擴大為原來的2倍

得到菱形。2c2（即O&=2。％）,第3次將菱形。4282c2繞著點。順時針旋轉90°，同時擴大為原來的

2倍得到菱形。力3B3c3（即。B3=2。夕2）…依次類推，則點B2025的坐標為（）

2

507507

A.（22025,22025）B（2,2）C.（一22005,22025）D（-_22025（_22025）

【題型8用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱作圖】

【例8】（2023?安徽?模擬預測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，AABC的頂點均

在格點(網格線的交點)上.

(1)將△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度得到△A/1G，畫出AaiBiG；

⑵將(1)中的A&B1C1以41G為軸進行翻折得到△力/26，畫出2cl.

【變式8-1](2023?陜西西安?校考模擬預測)如圖，在直角坐標系中，A/IBC的各頂點坐標分別為力(a,l),

B(3,3),C(4,-l)；△4BC經過平移得到△4夕L,其各頂點坐標分別為4(—5,-3),4(-3,匕)，「(一2,-5).

(1)觀察各對應點坐標的變化并填空：。的值為，b的值為;

(2)畫出△力BC及將△4BC繞點8順時針旋轉90。得到△DBE,點C的對應點為點E,寫出點E的坐標.

【變式8-2](2023?安徽?校聯考模擬預測)如圖是6x6的正方形網格，線段A8的端點4B都在格點(網格線

的交點)上.

(1)將線段48繞點4逆時針旋轉90。得到對應線段4a,畫出線段A%；

(2)請僅用無刻度的直尺過點B作一條直線2,使得點4到/的距離相等.

【變式8-3](2023?黑龍江哈爾濱?統考三模)在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,

△ABC的三個頂點都在格點上(每個小方格的頂點叫格點).

(1)畫出△ABC向下平移3個單位后的△&B1Q；

(2)畫出△ABC關于點0的中心對稱圖形4A2B2C2；

(3)連接GQ，請直接寫出GG的長為.

【題型9旋轉或軸對稱綜合題之線段問題】

【例9】(2023?河南?統考中考真題)李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯系

的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣.下面是李老師在“圖形的變化”主題下設計的問題，請你解答.

(1)觀察發現：如圖1,在平面直角坐標系中，過點”(4,0)的直線I||y軸，作AABC關于y軸對稱的圖形△

4/iQ,再分別作4A/iG關于x軸和直線Z對稱的圖形△2c2和44383c3,則44282c2可以看作是△ABC

繞點。順時針旋轉得到的，旋轉角的度數為；A&B3c3可以看作是AaBC向右平移得到的，平移距離

為個單位長度.

(2)探究遷移：如圖2,團4BCD中，/.BAD=?(0°<?<90°),P為直線4B下方一點，作點P關于直線AB的

對稱點B，再分別作點Pi關于直線4D和直線CD的對稱點「2和P3,連接4P,AP2,請僅就圖2的情形解決以

下問題：

①若4PAp2=0,請判斷￡與a的數量關系，并說明理由；

②若4D=TH,求P,23兩點間的距離.

(3)拓展應用：在(2)的條件下，若a=60。，AD=2V3,Z.PAB=15°,連接P2P3.當P2P3與回ABC。的邊

平行時，請直接寫出4P的長.

【變式9-1］（2023?河南周口?校聯考二模）【問題發現】如圖1所示，將AABC繞點4逆時針旋轉90。得△4DE,

連接CE、BD.根據條件填空：

①乙4CE的度數為」

②若CE=2,則C4的值為」

【類比探究】如圖2所示，在正方形4BCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且滿足NEAF=45。，BE=1,

DF=2,求正方形ABCD的邊長；

圖2

【拓展延伸】如圖3所示，在四邊形ABCD中，CD=CB,/.BAD+ABCD=90°,AC.BD為對角線，且滿

足4C=TCD,若4D=3,AB=4,請直接寫出BD的值.

圖3

【變式9-2］（2023?北京房山?統考二模）如圖，ABAC=90。，4B=AC,點。是B4延長線上一點，連接OC,

點E和點8關于直線DC對稱，連接BE交AC于點尸，連接EC,ED,DF.

c

（1）依題意補全圖形，并求NDEC的度數；

（2）用等式表示線段EC,E0和CF之間的數量關系，并證明.

【變式9-3］（2023?山西忻州?校聯考模擬預測）綜合與實踐——探究圖形旋轉中的問題，問題背景：在一次

綜合實踐活動課上，同學們以兩個菱形為對象，研究相似菱形旋轉中的數學問題.已知菱形ABCD一菱形

A'B'C'D',它們各自對角線的交點重合于點。，且4B=8,AB'=2,ZB=AB'=60°,

ADADAD

B'\A

觀察發現：（1）如圖1,若AB'liaB,連接44',DD',則44與的數量關系是；

操作探究：（2）保持圖1中的菱形4BCD不動，將菱形4BO從圖1的位置開始繞點。順時針旋轉，設

旋轉角為a.

①當0。<&<90。時，得到圖2.此時（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由;

②小穎發現，在菱形4BO繞點。順時針旋轉到圖3位置時，連接CC，，AC,AC判斷四邊形力4CC，的

形狀，并說明理由；

③當菱形繞點。旋轉至A,A',。'三點共線時，直接寫出此時線段44的長.

【題型10旋轉或軸對稱綜合題之面積問題】

【例10】（2023?江蘇無錫?統考二模）如圖，將不是矩形的回力BCD繞點A旋轉得到回力8'C'D'.

fE

BR'C

⑴當點夕落在邊BC上，且與邊CD相交于點E時,

①點DC。上(填“在”或“不在”)；

②如果點夕、E分別為邊BC、CD的中點，求黑的值；

BC

(2)當點次落在對角線4C上，且B'C'經過邊4D的中點M時，設黑=x,2^=y，求y關于X的函數關系

BCS^ABCD

式，并寫出尤的取值范圍.

【變式10-1](2023?吉林松原?統考二模)如圖，在RtAABC中，AB=8,ZXCB=90°,NA=60。，點P從

點4出發，以每秒2個單位長度的速度沿2B向終點8運動，當點P不與點4、B重合時，作,BPD=120°,邊PD

交折線力C-CB于點D,作點力關于直線PD的對稱點為E,連接ED、EP得到△PDE,設點P的運動時間為X秒).

(1)直接寫出線段PD的長(用含t的代數式表示)；

(2)當點E落在邊BC上時，求t的值；

(3)設4PDE與△ABC重合部分圖形的面積為S,求S與t的函數關系式；

(4)設M為4B的中點，N為ED的中點，連接MN,當MN1AC時，直接寫出t的值.

【變式10-2】(2023?四川成都?模擬預測)如圖1,在△力BC中，^ABC=90°,AB=BC=2,將線段力B繞

點B逆時針旋轉得線段BD,旋轉角為a,連接CD.

⑴①若a=60°,貝!=°：

②若0<a<90°,求NC7L4的度數.

(2)如圖2,當0<a<90。時，過點3作BE1AD于點E,CD與BE相交于點F,請探究線段CF與線段8E之

間的數量關系;

(3)當0<a<360。時，作點A關于CD所在直線的對稱點4,當點A在線段BC所在的直線上時，求△44。的

面積.

【變式10-3】（2023?江西?統考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問

題：將足夠大的直角三角板PEFQP=90。,NF=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋

轉，探究直角三角板PEF與正方形2BCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發現：如圖1,若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，當。尸與。8重合時，重疊部分的面

積為;當OF與BC垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在旋轉

過程中，重疊部分的面積又與S的關系為；

（2）類比探究：若將三角板的頂點廠放在點。處，在旋轉過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點N.

①如圖2,當BM=CN時，試判斷重疊部分A0MN的形狀，并說明理由;

②如圖3,當CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結果保留根號）；

（3）拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NG。"（設NG。"=a）,將NGO”

繞點。逆時針旋轉，在旋轉過程中，NG。”的兩邊與正方形2BCD的邊所圍成的圖形的面積為S2,請直接寫

出S2的最小值與最大值（分別用含a的式子表示），

（參考數據：sinl5。=漁工2,cosl5。=恒WZ,tanl5。=2-V3）

44

【題型11旋轉或軸對稱綜合題之角度問題】

【例11】（2023?貴州六盤水?一模）如圖，在Rt△力BC中，"=90。，點P為邊AB上異于4B的一個動點,

作點2關于CP的對稱點4,連接4P,A'C,交直線4B于點Q.

c

AB

A，

(1)若7^=8,BC=6,CE是邊力B上的高線.

①求線段CE的長；

②當NPQ4=90。時，求線段4Q的長；

(2)在乙4=35。的情況下，當A4PQ是等腰三角形時，直接寫出的度數.

【變式11-1](2023?廣東廣州?二模)如圖，等腰RtAlBC中,^ABC=90°,BA=BC,將BC繞點8順時針

旋轉。(0<8<90。)，得到BP,連結CP,過點A作4"1CP交CP的延長線于點H,連結2P,貝UNP力”的度

數()

A.30°B.45°C.60°D.隨若0的變化而變化

【變式11-2](2023?福建泉州?一模)如圖1,已知AABC的內角N4CB的平分線CD與它的一個外角NE4C的

(1)求證：4B=24D；

(2)若作點。關于2C所在直線的對稱點D',并連接2。'、CD'.

①如圖2,當NBAC=90。時，求證：AD1AD'；

②如圖3,當AC=BC時，試探究AD4D'與ND之間的數量關系，并說明理由.

【變式11-3】（2023?湖南岳陽?統考中考真題）如圖1,在A/IBC中，A