高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市澄宜六校2025屆高三上學期12月階段性聯合測試數學試題一、單項選擇題：本題共8題，每小題5分，共計40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，則.故選：D.2.已知為虛數單位，復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，則，所以，所以，可得，所以，則，因此，故選：B.3.“直線與圓相交”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與圓相交，則圓心到直線的距離滿足，故，由于能推出，當不能得到，故“直線與圓相交”是“”的充分不必要條件，故選：A4.已知數列的通項公式是（），若數列是遞增數列，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】為單調遞增的數列，故，解得，故選：C5.已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】由于直線與曲線相切，設切點為，且，所以，則切點的橫坐標，則，即.又，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為1.故選：D6.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，若C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據橢圓定義可得，又，故，因此，故，故，故選：D7.在等比數列中，，則能使不等式成立的最大正整數是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】∵在等比數列中，，∴公比，∴時，；時，.∵，∴，，，∴，又當時，，∴使不等式成立的的最大值為.故選：C8.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，成等差數列，則的最小值為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由于，，成等差數列，則，由正弦定理可得故,，由于，因此，故當且僅當，取等號，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知fx=Asinωx+φ（，，）的部分圖象如圖所示，則（A.B.的最小正周期為C.在內有3個極值點D.當時，與的圖象有3個交點【答案】ABD【解析】由圖可知，，周期，則，故AB正確；由，得，即，得，，即，，因為，所以，則；對于C，由，得，因為函數在上有2個極值點，則在內有2個極值點，故C錯誤；對于D，利用五點作圖法畫出函數y=fx與的圖象，由圖可知，當時，與的圖象有3個交點，故D正確.故選：ABD.10.已知函數及其導函數的定義域均為R，記.若，均為奇函數，且，則（）A.關于直線對稱 B.關于點對稱C.的周期為4 D.【答案】BCD【解析】對于A，由f2x+1可得，故關于1,0對稱，故A錯誤，對于B，由于gx+2為奇函數，故，故關于點2,0對稱，B正確，對于C，由和gx=f'令，故，故，因此，結合關于1,0對稱可得，故的周期為4，C正確，對于D，由于，故，且，由于，令，則，，故D正確，故選：BCD11.如圖，在平行四邊形中，，且，為的中線，將沿折起，使點到點的位置，連接、、，且，則（）A.平面B.與所成的角為C.與平面所成角的正切值是D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A選項，在平行四邊形中，，且，因為，則，且，則，因為為的中點，則，且，將沿折起，使點到點的位置，使得，翻折后，，所以，，所以，，且有，因此，，、平面，所以，平面，A對；對于BCD選項，因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，，則，所以，與所成的角為，B錯，，易知平面的一個法向量為，所以，，設直線與平面所成的角為，則，所以，，則，故直線與平面所成的角的正切值為，C對；設平面的法向量為，，，則，取，可得，，則點到平面的距離為，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數列的前項和為，若，則___________.【答案】【解析】設等比數列的公比為，若，則，不合乎題意，故，所以，，所以，，所以，，，，因此，.故答案為：.13.已知函數的兩個極值點為、，且，則實數的最小值是_____.【答案】【解析】函數定義域為，且，因為函數有兩個極值點、，則，可得，由題意可知，、為方程的兩根，由韋達定理可得，所以，，解得，所以，，因此，實數的最小值為.故答案為：.14.已知向量，，，，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】如圖，設，則，，由題意，設向量與夾角為，直線與軸正半軸夾角為，則，則，因為，，則，即，又，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的前項和為，且滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設，設數列的前項和，求證：.（1）解：數列的前項和為，對任意的，，當時，則有，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，所以數列為等比數列，且其首項和公比都為，所以.（2）證明：由（1）可得，則，則，所以，所以.16.在銳角中，內角、、所對邊分別為、、，且滿足.（1）求角；（2）求的取值范圍.解：（1）因為，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理可得，因為，故.（2）由（1）得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，解得，所以，，則，則，因為雙勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，當或時，，所以，函數在上的值域為，因，則，故.因此，的取值范圍為.17.已知O為坐標原點，是橢圓C：的右焦點，點M是橢圓C的上頂點，以點M為圓心且過F的圓恰好與直線相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，直線與軸的交點分別是，求證：線段中點的橫坐標為定值.（1）解：由題意可得，由于以點M為圓心且過F的圓恰好與直線相切，故，即，故，進而，故橢圓方程為（2）證明：由題意可知的斜率一定存在，設方程為，則，且，Δ=16k設Ax則，直線的方程為，令，則，故,故，則由于故，因此線段中點的橫坐標為定值，18.如圖，在三棱錐中，側面PAC是邊長為2的正三角形，，，E，F分別為PC，PB的中點，平面AEF與底面ABC的交線為l.（1）證明：l∥平面PBC.（2）已知平面平面，若在直線l上存在點Q，使得直線PQ與平面AEF所成角為，異面直線PQ，EF所成角為，且滿足，求.（1）證明：因為分別為的中點，所以.又平面，平面，所以平面又平面，平面與底面的交線為，所以，，從而.而平面，平面，所以，平面.（2）解：取的中點記為，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，所以，.又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）可知，在底面內過點作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即，取的中點記為，連接，則.因為，所以.以為坐標原點，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則A1,0,0，，，，，，設，則，，，設平面的一個法向量為n=x則，即，取，則，，即是平面的一個法向量，所以又直線與平面所成角為，于是.又，而異面直線所成角為，于是.假設存在點滿足題設，則，即，所以.當時，，此時有；當時，，此時有.綜上所述，這樣的點存在，且有.19.定義運算：，已知函數.（1）若函數的最大值為0，求實數a的值；（2）證明：；（3）若函數存在兩個極值點，證明：.（1）解：由題意知：，，①當時，，在單調遞減，不存在最大值．②當時，由得，當