第7講解直角三角形（一）（銳角三角函數）（精練）

A基礎訓練B能力提升

A基礎訓練

一、單選題

1.（2022秋?江蘇淮安?九年級校考期中）如圖，在RtZ\4BC中，ZC=90°,8c=12,AC=5,貝!|sin/的

【答案】B

【詳解】解：4B=>jAC2+BC2=V52+122=13，

,,,.,BC12

則sinA=---=——,

AB13

故選：B.

2.（2022秋?內蒙古鄂爾多斯?九年級統考期末）如圖，在4x4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為

格點，的頂點都在格點上，則圖中的正切值是（）

A.2B.技

CD

5-I-T

【答案】A

【詳解】由圖可知，

AB=A/32+42=5，

/C=五+4?=2石，

SC=V12+22=&，

.**BC2+AC2=AB2,

DBC是直角三角形，44c8=90。,

tanZABC=—=莖=2

BCV5

故選：A

3.（2022秋?遼寧大連?九年級校考期末）在Rtz\4BC中，ZC=90°,乙4=60。，則cos/的值為（）.

A1R&NA/3

2323

【答案】A

【詳解】解：RtZXNBC中，ZC=90°,N/=60。，

cosA-cos60°=—,

2

故選：A

4.（2022?浙江?九年級專題練習）sin30。的值是（）

A.|B.—C.1D.V3

222

【答案】A

【詳解】解:sin300=1,

故選：A.

4

5.（2022秋?浙江金華?九年級校考階段練習）如圖，在RtZXNBC中，ZC=90°,N2=10,cos8=m，則

的長為（）

【答案】A

【詳解】解：在RtZk/BC中,

cBC4

?cosB=----=—,AB=10,

AB5

BC=8,

故選：A.

6.（2022秋?湖南株洲?九年級校聯考期末）已知在“8C中，/A、/8都是銳角，siiU--+cosS--=0,

22

則/C的度數是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

（6丫

【詳解】解：〈siM------+cosB——=0,

22

.?./4=60。，/5=600,

/C=180°—/A—/B=60°,

故選：C.

7.（2022秋?山東濟南?九年級統考期末）如圖，點/（2,加）在雙曲線y=V（左wo,左是常數）位于第一象

限的圖象上，481x軸，3為垂足，tan05=2,則左的值是（）

【答案】D

【詳解】解：：點/（2,〃。在雙曲線了=勺（左二0,左是常數）位于第一象限的圖象上，軸,

OB=2,AB=m,

〈tanZAOB=2,

.ABm

??——z,

OB2

m=4,

.?.點42,4),

把42,4)代入y=&得:

4吾，解得」:8.

故選：D

8.（2022秋?河北邯鄲?九年級邯鄲市第二十三中學校考期末）如圖，在2U3C中，ACIBC,AABC=30°,

/C=l,點。是C8延長線上的一點，且BO=BN,貝iJtanNO/C的值為（）

A.V3B.2A/3C.3+6D.2+G

【答案】D

【詳解】解：VAC1BC,ZABC=30°,ZC=1,

AB=2AC=2,

?*-BC=4AB2-AC2=V3，

BD=BA,

：.BD=2,

/.CD=DB+BC=2+也，

：.tanZD/C=q^=2+G.

AC

故選：D

9.（2022秋?河南新鄉?九年級統考期中）下列計算錯誤的是（）

A.sin60°-sin30°=sin30°B.sin245°+cos245°=1

sin60°

C.tan60=------D.tan300-tan60°=1

cos60°

【答案】A

【詳解】解：A.sin60。-sin30。=更二而sin3（T=:，因此選項A符合題意;

22

B.sin2450+cos2450=）2+（y）2=1=1，因此選項B不符合題意；

旦

C.堊/=，=g=tan60。，因此選項C不符合題意；

cos601

2

D.tan30°.tan60°=—x^=1,因此選項D不符合題意;

故選：A.

10.（2022春?全國?九年級專題練習）如圖，矩形/8CG中，AB=\,BC=3,將矩形4BCG繞點C順時針

旋轉90度得矩形CDE尸，連接NE交FC于點貝UtanNE/G為（）

CD

【答案】c

【詳解】解：???△尸瓦

.FM_EF\

一而一而一§'

33

由圖中可得77G=2,那么AfG=2x1=5,

則tanZEAG==--?3=—.

AG22

故選C.

二、填空題

11.（2022秋?河南鄭州,九年級校考期末）若疝“X+15。）=",則銳角x=1

【答案】45

【詳解】解：：sin60。=且

x+15°=60°,

故答案為：45.

12.（2022秋?安徽?九年級統考期末）計算：2sin3（T+l=

【答案】2

【詳解】解：原式=2x；+l=l+l=2.

故答案為：2.

13.（2022秋?江蘇淮安?九年級校考期中）sin40°cos50°（填＞、（或=）.

【答案】=

【詳解】解：：sin40°=cos（90°-40°）=cos50°,

/.sin40°=cos50°,

故答案為：=.

14.（2022秋?河南南陽?九年級統考期末）如圖，點P為矩形48co的對角線/C上一動點，點E為5c的

中點，連接尸E,PB,若43=4,BC=4^3＞則尸￡+尸8的最小值為.

【詳解】解：如圖，作點8關于NC的對稱點3',交/C于點尸，連接5'E交NC于點尸，則尸￡+尸3的最

小值為的長度，

在RtZUBC中，48=4,BC=4jj,

...?DABA/3

??tanACB==—,

BC3

???ZACB=30°,

由對稱的性質可知，B'B=2BF,BfBLAC,

：.BF=-BC=2^>,Z.CBF=60°,

2

；?B'B=2BF=4百，

,/BE=BF,ZCBF=60°,

ABEF是等邊三角形,

：.BE=BF=B'F,

防'是直角三角形，

B'E=ylB'B2-BE2=一（26『=6,

；.尸￡+尸8的最小值為6,

故答案為：6.

三、解答題

15.（2022秋?山東濟寧?九年級校考階段練習）計算：sin260°+tan45°-cos60°.

【答案】

4

【詳解】解：sin260°+tan45°-cos60°

=—3I—1

42

_5

~4

16.（2022秋?山東泰安?九年級統考期末）計算：tan300'Sin3°O+V2.sin45°--cos60°.

tan450-cot6002

【答案】

4

?、*即、即tan30°-sin30°式Voi

【詳解】解：-------------I-V2-sm7145——cos6<0no

tan45°-cot6002

V31

_5

-4,

17.（2022秋?河南南陽?九年級統考期末）如圖，在中，ZC=90°,的垂直平分線與BC,AB

4

的交點分別為。，E.若4D=10,sinZADC=~,求4C的長和tanB的值.

【答案】/C=8,tan3=L

2

4

【詳解】解：???在RtZ^/BC中，ZC=90°,AD=10fsinZADC=-

.AC_4

??布一不

：.AC=Sf

在RtZ\/C。中，CD=ylAD2-AC2=6，

DE是AB的垂直平分線，

：.DA=DB=10,

：.BC=BD+DC=10+6=16,

.」4c81

,.tanB==——=—.

BC162

Bi

18.(2022秋?河北廊坊?九年級校考期末)如圖，在中，4D是邊8C上的高，sinC='，tanB=—,

22

AD=2.

(1)求cosN84D的值;

⑵求“SC的面積.

【答案】⑴孚

(2)6

AT)1

【詳解】(1)解：?.,在RtA48Z>中，tan5=——=-,AD=2,

BD2

BD=4.

AB=yjAL^+BD2=2石，

?/…一?一也

??cos/BAD-——;

AB5

（2）解：*.*sinC=----，

2

???ZC=45°.

4D

*.*tanC=-----=19AD=2,

CD

：.CD=2,

：.BC=BD+CD=6,

=/xADxBC=6.

19.（2022秋?湖南郴州?九年級校考期末）如圖，在中，點、D,E分別是邊5C和ZC上的點,

DA1AB,AADB=/DEC.

⑴求證：AAEDS^ADC；

Ap1

（2）^AE=2,——=—,ZB=30°,求皮）的長.

AC2

【答案】⑴見解析

⑵ao=46

【詳解】（1）證明：:NBDE=NC+2DEC,

又ZBDE=ZADB+ZADE,NADB=ZDEC,

/.ZC=ZADE,

又：ZCAD=ADAE,

二AAED^AADC；

(2)解：由(1)知△/￡Z>S4/￡)C,

.AE_AD

即AD2=AE-AC,

AD~AC

-=-,AE=2,

EC2

:?AC=6,

AD2=AE-AC,

AD=2V3,

在△ABD中，DALAB,ZB=30°,

；sm2嗡

2V3

BD==4A/3?

sin30°

B能力提升

20.（2022秋?浙江金華?九年級校考期中）如圖，在平行四邊形/BCD中，對角線ZC/。交于點。，AB=6,

AD=10,AC=8.

⑴求/氏4C的度數；

(2)設乙4&)=a,求sina的值.

【答案】⑴90。；

⑵獨1.

13

【詳解】(1)???平行四邊形48co中，48=6,40=10,4。=8,

BC=10,

BC2=102=AB2+AC2=62+82=102,

：.ZBAC=90°.

(2),??平行四邊形48co中，AB=6,AD=10,4C=8,

/.BC=10,AO=4

,：ZBAC=90°.

?*-OB=^62+42=2V13

..OA42V13

??sinct-----——f=

OB2V1313

21.（2022春?廣西欽州?八年級階段練習）超速行駛是引發交通事故的主要原因.交警部門在近年來事故多

發的危險路段設立了固定測速點.觀測點設在到公路/的距離為100m的尸處.這時，一輛轎車由西向東勻

速駛來，測得此車從A處行駛到8處所用的時間為3s,并測得N/OP=90。，ZAPO=60°,Z￡PO=45°,

試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？(6"732)

【答案】是

【詳解】解：此車超過了80km/h的限制速度，

理由：在中，ZAPO=60°,P0=100m,

../O=OPtan6()o=1006(m)，

在RMBO尸中，ZBPO=45°,

S(9=OP-tan45o=100(m),

=-80=100。-100。73.2(m),

732

-----=24.4m/s=87.84km/h>80km/h,

3

「?此車超過了80km/h的限制速度.

22.(2022?遼寧盤錦?校考一模)如圖1,圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介

紹，獲得了如下信息：滑桿。口箱長5C、拉桿45的長度都相等，即點5、戶在線段4c

上，點。在QE上，支桿=30。加，CE：CD=1：3,ZZ>CF=45°,ZCDF=30°.請根據以上信息，解

決下列問題；參考數據：V2=1.41,V3=l.73,76=2.45.

ECD

圖2

⑴求NC的長度(結果保留根號)；

(2)求拉桿端點/到水平滑桿ED的距離(結果保留到1c加).

【答案】⑴(40+406"

(2)77cm

【詳解】(1)解：過F作FHLDE于H

ZFHC=ZFHD=90°

VZFDC=30°,DF=30cm

1/T

/.FH=sz7?30°-DF=-DF=15,DH=cos30°DF=^-DF=15逝

ZFCH=45°

：.CH=FH=\5

CD=CH+DH=15+15也

'：CE：CD=1：3

：.DE=-CD=20+20s/3

3

AB=BC=DE=20+20A/3

AC=2AB=(40+4073jew?

(2)解：過A作/G_L￡D交E。的延長線于G

：.ZACG=45°,AC=40+40^3cm

5

二AG=sin45°-AC=—AC=2陋+20/6

2

,?*V2?1,