第02講定義與命題證明

產知識點梳理

一、定義、命題、基本事實與定理

1.定義

一般地，能清楚的規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義.

2.命題

一般地，判斷某一件事情的句子叫命題.正確的命題叫做真命題；不正確的命題叫做假

命題.

命題通常由條件、結論兩個部分組成，條件是已知事項，結論是由已知事項得到的事項.

通常命題可以寫成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”開始的部分是條件，”那

么“后面的部分是結論.

要點：

命題屬于判斷句或陳述句，是對一件事情作出判斷，與判斷的正確與否沒有關系.當證

明一個命題是假命題時只要舉出一個反例就可以.

3.基本事實

人們經過長期實踐后公認為正確的命題，作為判斷其他命題的依據，也可稱為公理.

4.定理

用推理的方法判斷為正確的命題.定理也可以作為判斷其他命題真假的依據.

要點：

滿足以下兩個條件的真命題稱為定理：

(1)其正確性可通過公理或其它真命題邏輯推理而得到.

(2)其又可作為判斷其它命題真假的依據.

二、證明

1.證明

從命題的條件出發，根據已知的定義、基本事實、定理(包括推論)，一步一步推得結

論成立，這樣的推理過程叫做證明.

2.證明表述格式

證明幾何命題時，表述格式一般如下：

(1)按題意畫出圖形；

(2)分清命題的條件和結論，結合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結

論；

(3)在“證明”中寫出推理過程.

要點：

在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線，添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常

要畫出虛線.

三、三角形外角的性質

三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內角的和。

.下列語句中，不是命題的是()

A.兩點確定一條直線B.垂線段最短

C.同位角相等D.作/A的平分線

【答案】D

【解析】

判斷一件事情的語句叫命題，以此進行判斷.

A.兩點確定一條直線，是一個真命題；

B.垂線段最短，是一個真命題；

C.同位角相等，是一個假命題；

D.作NA的平分線，沒有判斷的意義，不是命題.

故選D.

【點睛】

本題考核知識點：命題.解題關鍵點：理解命題的意義.

、1例2.下列命題是假命題的是（）

A.和為180。的兩個角互補

B.在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

C.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

D.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

【答案】D

【解析】

根據互補的定義，平行線的判定與基本事實，進行判斷.

A、和為180。的兩個角互補，是真命題；

B、在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題；

C、在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題；

D、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，是假命題.

故選D.

【點睛】

本題考查真假命題的判斷，熟練掌握平行線的判定與基本事實是解題的關鍵.

1例3.命題：①對頂角相等；②平面內垂直于同一條直線的兩直線平行；③同位角相

等④相等的角是對頂角；其中假命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

利用對頂角的性質、平行線的性質分別進行判斷后即可確定正確的選項.

①對頂角相等，正確，是真命題；

②在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行，正確，是真命題；

③同位角相等，錯誤，是假命題；

④相等的角是對頂角，錯誤，是假命題,

故選：B.

【點睛】

本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解對頂角的性質、平行線的性質等基礎知識,

難度較小.

立例4

.把命題“等角的余角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，正確的是（）

A.如果兩個角互余，那么這兩個角相等B.如果兩個角相等.那么這兩個角互為余角

C.如果兩個角相等，那么這兩個角的余角也相等D.如果兩個角互余，那么這兩個角的余

角相等

【答案】C

【解析】

根據任何一個命題都可以寫成“如果…，那么…”的形式，如果后面是題設，那么后面是結論,

從而得出答案.

解：命題“等角的余角相等”的題設是“兩個角相等”，結論是“這兩個角的余角相等”.

故命題”等角的余角相等，，寫成“如果…，那么…”的形式是：如果兩個角相等，那么這兩個角

的余角相等.

故選擇：C.

【點睛】

此題考查了命題與定理，解答此題的關鍵是找出原命題的題設和結論，此題比較簡單.

N2,N3中是，A6C外角的是（)

A.Zl.Z2B.Z2,Z3C.Zl.Z3D.Zl.N2,Z3

【答案】C

【解析】

根據三角形的一條邊的延長線于另一邊的夾角叫做這個三角形的外角判斷.

屬于ABC外角的有Nl、Z3.

故選C.

【點睛】

本題考查了三角形的外角的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

、j例6.如圖，在AABC中，ZB=60°,ZA=80°,延長至點。，則NACD的

大小為（）

【答案】A

【解析】

根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和計算.

由三角形的外角性質可知，ZACD=ZB+ZA=140°,

故選：A.

【點睛】

此題考查三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題

的關鍵.

、：例7.如圖，直線AB〃CD,NA=70。，NC=40。，則NE等于。

A.30°B.40°

C.60°D.70°

【答案】A

VAB//CD,ZA=70°,

：.Z1=ZA=7O°,

VZ1=ZC+ZE,ZC=40°,

ZE=Z1-ZC=70°-40°=30°.

故選A.

.下列句子：①爸爸你去哪兒呢?②舌尖上的中國；③中國好聲音是選秀節目;

④邱波是喀山世錦賽十米跳臺的冠軍；⑤你不是調皮搗蛋的壞孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命題

的有（只填序號）.

【答案】③④⑤

【解析】

直接根據命題的定義進行判斷.

①是疑問句，沒有判斷；②沒有對事情作出判斷；⑥是祈使句，不含判斷的意思；只有③④⑤

是對某一件事情作出判斷的語句.

故答案為：③④⑤.

【點睛】

本題考查命題的判斷，熟練掌握命題是對一件事情作出判斷的語句是解題的關鍵.

：例9.請寫出命題，，互為相反數的兩個數和為零，，的逆命題：

【答案】和為零的兩個數是互為相反數.

【解析】

兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個

命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

逆命題是:和是0的兩個數互為相反數；

故答案為和是0的兩個數互為相反數.

【點睛】

本題主要考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論,

而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題

稱為另一個命題的逆命題，難度適中.

例10.把命題“直角三角形的兩個銳角互為余角”改寫成“如果...那么…”的形式是

,這個命題是（填嗔”或“假”）命題

【答案】如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互為余角真

【解析】

找出命題中的題設與結論即可得，根據直角三角形的性質即可得判斷真假.

命題“直角三角形的兩個銳角互為余角”中的題設是三角形是直角三角形，結論是它的兩個銳

角互為余角，

則改寫成：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互為余角，

由直角三角形的性質得：這個命題是真命題，

故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互為余角；真.

【點睛】

本題考查了命題、直角三角形的性質，掌握理解命題的概念是解題關鍵.

士躡蹤就線

一曲舞廝

1.下列句子中，屬于命題的是（）

A.直線和CD垂直嗎？B.過線段的中點C作的垂線

C.同旁內角不互補，兩直線不平行D.已知片=1,求。的值

【答案】C

【分析】對一件事情作出判斷的語句叫做命題，根據定義判斷即可.

【解析】解：A.是問句，不是命題，故該選項不符合題意，

B.是作圖，沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項不符合題意，

C.對一件事情作出判斷，是命題，故該選項符合題意，

D.沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項不符合題意，，

故選：C.

【點睛】此題考查了命題的定義，熟記定義是解題的關鍵.對一件事情作出判斷的語句叫做

命題，注意，假命題也是命題.

2.下列說法是真命題的有（）

①同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④若。〃6,b//c,則。〃c.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據平行線的性質與判定以及垂線的定義逐一判斷即可.

【解析】解：①兩直線平行，同位角相等，是假命題；

②同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，是假命題；

③過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，是假命題；

④若bPc,則"Pc是真命題；

真命題只有1個，

故選A.

【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質與判定，垂線的定義，熟知相關知識

是解題的關鍵.

3.說明“若〃那，則同>葉'是假命題的反例可以是（）

A.a=6,b=5B.a=—5,b=-6

C.a=-6,b=5D.a=6,b=-5

【答案】B

【分析】反例就是要符合命題的題設，不符合命題的結論的例子.

【解析】當。=-5,b=-6時，a>b,但I。|<|61.

故選：B.

【點睛】本題考查了命題與定理，理解反例的概念是解題的關鍵.

4.能說明命題“一個鈍角與一個銳角的差一定是銳角”是假命題的反例是（）

A.Zl=91°,Z2=50°B.Z1=89°,Z2=1°

C.Zl=120°,Z2=40°D,Zl=102°,Z2=2°

【答案】D

【分析】分別計算出各選項角的度數，進而可得出結論.

【解析】解：A、91。-50。=41。是銳角，不符合題意；

B、89。與1。是兩個銳角，不符合題意；

C、120。-40。=80。是銳角，不符合題意；

D、102。-2。=100。是鈍角，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查的是命題與定理，熟知反例的定義是解題的關鍵.要指出一個命題是假命

題，只要能夠舉出一個例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結論就可以了，這樣的

例子叫做反例.

5.如圖，NBCD為ABC的外角，ZA=64°,ZBCD=142°,那么（）

【答案】C

【分析】根據外角的性質進行求解即可.

【解析】解：：ZA=64°,ZBCD=142°,

ZB=ZBCD-ZA=78°；

故選C.

【點睛】本題考查三角形的外角.熟練掌握三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和,

是解題的關鍵.

6.如圖，直線機〃〃，—A的兩邊分別與直線加，”相交.若NA=60。，Nl=140。，則N2

的度數是（）

A.140°B.120°C.100°D.80°

【答案】D

【分析】利用三角形外角的性質與平行線的性質求解.

【解析】解：如圖所示.

ZA=60°,Zl=140°,

Z3=Z1-ZA=8O°,

又，m//n,

：-Z2=Z3=80°.

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形外角的性質，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關

鍵.

7.如圖，點。在ABC的邊的延長線上，且OE〃3C,若NA=32。，ZD=58°,則NC

的度數是（）

【答案】B

【分析】根據平行線的性質求出〃火C,根據三角形外角性質得出即可.

【解析】解：：ND=58。，

ZDBC=58°,

?/NA=32。，

ZC=58°-32°=26°,

故選：B.

【點睛】此題考查三角形外角性質和平行線的性質，能熟練地運用性質進行推理是解此題的

關鍵.

8.如圖，N1,N2,N3的大小關系正確的是（）

3

A.Z1=Z2+Z3B.2Z2=Z1+Z3C.Z3>Z2>Z1D.Z1>Z2>Z3

【答案】D

【分析】根據三角形的外角的性質進行解題.

【解析】由三角形的外角大于與它不相鄰的每一個內角，可得Nl、N2、N3的大小關系為:

Z1>Z2>Z3.

故選D.

【點睛】本題考查三角形外角的性質，掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵.

9.如圖，已知AB〃￡>E,ZB=130°,ZD=110°,則/C的度數為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】利用平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，得出皿G=NCDE=110。，再利

用三角形外角的性質即可求出答案.

【解析】如圖所示，延長AB,8交于點E

VAB//DE,ZCDE=U0°,

：.Z.DFG=ZCDE=110°,

ZBFC=180°-ZDFG=70°,

ZABC=130°,

：.ZC=ZABC-ZBFC=60°.

故選：B.

【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，牢固掌握以上知識點是做出本題

的關鍵.

10.如圖，ABC中，AD」BC交BC于點、D,AE平分/BAC交BC于點E,點尸為8C的

延長線上一點，/GLAE交AD的延長線于點G,AC的延長線交FG于點打，連接3G,

下列結論：

@ZDEA^ZAGH；

②NDAE=；(NABD-ZACE)；

③ZAGH=NBAE+NACB；

④S^AEB''S^AEC=AB:AC.

其中正確結論的個數是()

G

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】如圖，①根據直角三角形的性質即可得到/DK4=NAG//；②根據角平分線的定義

^ZEAC=^-ZBAC,由三角形的內角和定理得/ZME=90。-NA￡D,變形可得結論；③根

2

據三角形的內角和和外角的性質即刻得到ZAGH=ZBAE+ZACB；④根據三角形的面積公式

即可得到SA^EB:5AAEC=AB:CA.

?-AD±BC,FG±AE,

:.ZADE=ZAMF=90°,

ZDEA+ZDAE=ZAGH+Z.GAM=90°,

:.ZDEA=ZAGH,故①正確；

②。AE平分NA4C交8C于E,

ZEAC=-ZBAC,

2

ZDAE=90°-ZAED,

=90°-(ZACE+ZEAC),

=90°-(NACE+1ABAC),

=1(180°-2ZACE-ABAC),

=1(ZABD-ZACE),

故②正確；

?-NDAE=NF,ZFDG=ZFME=90°,

:.ZAGH=ZMEF,

ZMEF=ZCAE+ZACB,

ZAGH=ZCAE+ZACB,

ZAGH=ZBAE+ZACB,故③正確；

AE平分NBAC交BC于E,

???點E到AB和AC的距離相等，

S/WEB-SAAEC=AB.AC,故④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，直角三角形的性質，三角形的面積公式，三角形外角

的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

二、填空題

11.下列語句：

①整數一定是有理數；

②畫直線A&

③直角都相等；

④如果x=-l,那么x+l>0；

⑤我下次考試能得滿分嗎？

其中是命題的是.(填序號)

【答案】①③④

【分析】根據命題的定義：判斷一件事情的句子逐一判斷即可.

【解析】解：①整數一定是有理數，是命題；②畫直線A3,不是命題；③直角都相等，是

命題；④如果尸-1,那么尤+1>0,是命題；⑤我下次考試能得滿分嗎？不是命題.

綜上，是命題的是：①③④.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查的是命題的定義，屬于基礎概念題型，熟知命題的定義、熟練掌握基本知

識是解題的關鍵.

12.將命題“有一個內角是直角的三角形是直角三角形”改寫成如果…那么...的形式.

【答案】如果一個三角形有一個內角是直角，那么這個三角形是直角三角形

【分析】判斷語句中的條件和結論，將條件放在如果后面，將結論放在那么后面即可.

【解析】題中“有一個內角是直角的三角形”是條件，“直角三角形”是結論，所以命題“有一

個內角是直角的三角形是直角三角形”改寫成如果…那么...的形式為：如果一個三角形有一

個內角是直角，那么這個三角形是直角三角.

故答案為：如果一個三角形有一個內角是直角，那么這個三角形是直角三角形.

【點睛】本題主要考查命題的改寫，正確找出條件和結論是解決本題的關鍵.

13.判斷命題“若"=4,則。=2”是假命題，需要舉出的反例是.

【答案】當。=一2時，滿足〃=4,但是2

【分析】根據舉反例的要求舉出滿足題設，但是不滿足結論的例子即可.

【解析】解：,當。=一2時，滿足°2=4,但是“力2,

，“若6=4,則。=2”是假命題的反例為：當。=一2時，滿足〃=4,但是。22,

故答案為：當。=-2時，滿足"=4,但是

【點睛】本題主要考查了乘方、命題以及證明，熟知舉反例的要求舉出滿足題設，但是不滿

足結論的例子是解題的關鍵.

14.指出下列命題的題設和結論：

(1)“平行于同一直線的兩條直線互相平行”命題的題設、結論.題設是：，結論是：

(2)“兩個負數的和是負數”命題的題設、結論.題設是：,結論是：.

(3)“相交的兩條直線一定不平行”命題的題設、結論.題設是：,結論是：.

(4)“任意兩個偶數之差是偶數”命題的題設、結論.題設是：,結論是：.

【答案】兩條直線平行于同一條直線這兩條直線互相平行有兩個負數

它們的和是負數兩條直線相交它們一定不平行有任意兩個偶數它們

的差是偶數

【分析】對每一個命題，根據命題的結構，寫出題設、結論即可求解.

【解析】解：(1)“平行于同一直線的兩條直線互相平行”可以改寫成“如果兩條直線平行于

同一條直線，那么這兩條直線互相平行”.

題設是：兩條直線平行于同一條直線，結論是：這兩條直線互相平行；

(2)“兩個負數的和是負數”可以改寫成“如果有兩個負數，那么它們的和是負數”.

題設是：有兩個負數，結論是：它們的和是負數；

(3)“相交的兩條直線一定不平行”可以改寫成“如果兩條直線相交，那么它們一定不平行”.

題設是：兩條直線相交，結論是：它們一定不平行；

(4)“任意兩個偶數之差是偶數”可以改寫成“如果有任意兩個偶數，那么它們的差是偶數”.

題設是：有任意兩個偶數，結論是：它們的差是偶數

故答案為兩條直線平行于同一條直線，這兩條直線互相平行；有兩個負數，它們的和是負數;

兩條直線相交，它們一定不平行；有任意兩個偶數，它們的差是偶數.

【點睛】本題考查了命題與定理，命題由題設和結論兩部分組成，找題設和結論的關鍵是會

把命題寫成“如果…那么…”的形式.

15.如圖，在，ABC中，。是延長線上一點，ZB=50°,ZA=70°,則NACZ)=.

【答案】120。/120度

【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和即可求解.

【解析】解：：ZB=50。，ZA=70°,

ZACD=ZB+ZA=50°+70°=120°,

故答案為：120。.

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于與它

不相鄰的兩個內角之和.

16.如圖，己知在ABC中，8是邊A3上的高線，CE平分NACD,交A3于點E,

ZACD=46°,則ZAEC的度數為°.

【分析】由垂直的定義得到NADC=90。，由角平分線的定義求得/ECD=23。，最后利用三

角形的外角性質即可求解.

【解析】解：是邊上的高線，

ZADC=90°,

:CE平分/AC。，/ACD=46。，

NECD=-ZACD=23°,

2

ZAEC=90°+23°=113°,

故答案為：113.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質，角平分線的定義，垂直的定義，熟記各圖形的性質

并準確識圖是解題的關鍵.

17.將一把直尺與一塊三角板如圖放置，若4=130。，則N2的度數為.

【分析】由平行線的性質可得/3=/1=130。，再利用三角形的外角性質即可求解.

【解析】解：如圖，

由題意得：ZE=90°,AB//CD,

：.N3=4=130。，

,//3是一ABE的外角，

Z2=Z3-ZE=130°-90°=40°.

【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質.解題的關鍵是熟記平行線的性質：兩

直線平行，同位角相等.

18.已知:15C中，ZA=70°,BO是/A3C的角平分線，8是NACB的外角角平分線，

交點為。，則"=

【答案】35

【分析】由角平分線的定義可得“加/DCE3ACE'再由三角形的外角

性質可得NACE=NA+NABC,ZDCE^ZCBD+ZD,從而可求解.

【解析】解：；8。是NABC的角平分線，CZ)是NACB的外角角平分線,

ZCBD=-ZABC,ZDCE=-ZACE,

22

?/NACE是sABC的外角，NDCE是ABCD的外角，

ZACE=ZA+ZABC=70°+ZABC,ZDCE=ZCBD+ZD,

：.ZD=ZDCE-ZCBD

=-ZACE-ZCBD

2

=1(70°+ZABC)-ZCBD

=35°.

故答案為：35.

【點睛】本題主要考查三角形的外角性質，解答的關鍵是熟記三角形的外角性質：三角形的

外角等于與其不相鄰的兩個內角之和.

二、解答題

19.寫工下列命題的條件和結論.

(1)兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；

(2)絕對值等于3的數是3；

(3)如果/OOE=2NEOH那么。尸是的平分線.

【答案】(1)條件：兩條直線被第三條直線所截；結論：同旁內角互補

⑵條件：一個數的絕對值等于3；結論：這個數是3

(3)條件：ZDOE=2ZEOF；結論：OE是NZJOE的平分線

【分析】命題由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項;

命題常常可以寫為“如果…那么…”的形式，如果后面接題設，而那么后面接結論.

(1)解：兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補的題設是兩條直線被第三條直線所截,

結論是同旁內角互補；

(2)解：絕對值等于3的數是3的題設是一個數的絕對值等于3,結論是這個數是3；

(3)解：如果NOOE=2/EOR那么。歹是NOOE的平分線的題設是

結論是。尸是4DOE的平分線.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，寫出一個命題的題設和結論常常改寫成“如果...那

么...”的形式；熟練地掌握命題的組成是解題的關鍵.

20.把下列命題改成“如果...那么…”的形式.

⑴不相交的兩條直線是平行線

(2)相等的兩個角是對頂角

(3)經過一點有且只有一條垂線

(4)直角都相等.

【答案】(1)如果兩條直線不相交，那么這兩條直線平行

(2)如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角

(3)如果經過一點，那么有且只有一條直線與已知直線垂直

(4)如果所有的角是直角，那么它們都相等

【分析】(1)根據命題及其組成即可寫得；

(2)根據命題及其組成即可寫得；

(3)根據命題及其組成即可寫得；

(4)根據命題及其組成即可寫得.

(1)解：不相交的兩條直線是平行線，.??原命題的條件是：“兩條直線不相交”，結論是：“這

兩條直線平行”，，命題“不相交的兩條直線是平行線”寫成“如果...那么…”的形式為：“如果

兩條直線不相交，那么這兩條直線平行”；

(2)解：相等的兩個角是對頂角，：原命題的條件是：“兩個角相等“，結論是：“這兩個角

是對頂角”，，命題“相等的兩個角是對頂角”寫成“如果...那么…”的形式為：“如果兩個角相

等，那么這兩個角是對頂角”；

(3)解：經過一點有且只有一條垂線，???原命題的條件是：“經過一點”，結論是：“有且只

有一條垂線”，，命題“經過一點有且只有一條垂線”寫成“如果…那么...”的形式為：“如果經

過一點，那么有且只有一條直線與已知直線垂直”；

(4)解：直角都相等?原命題的條件是：“所有的直角”，結論是：“都相等”，命題“直

角都相等”寫成“如果...那么…”的形式為：“如果所有的角是直角，那么它們都相等”.

【點睛】本題考查了命題的組成，命題由題設和結論兩部分組成，把命題寫成“如果...，那

么...”的形式時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面接的部分是結論.

21.如圖，現有以下三個條件：①ABUCD,②/B=/C,③ZE=ZF.請你以其中兩個作為

題設，另一個作為結論構造命題.

(1)你構造的是哪幾個命題?

（2）你構造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請給予證明；若是假命題，請舉出

反例（證明其中的一個命題即可）.

【答案】（1）可構造如下幾個命題：如果AB//CD,ZB=NC那么4如果

AB//CRN石=/尸，那么4=NC,如果NB=NC,ZE=//，那么AB//CD；（2）證明見

解析.

【分析】（1）分別以其中2句話為條件，第三句話為結論可寫出3個命題；

（2）根據平行線的判定與性質對3個命題分別進行證明，判斷它們的真假.

【解析】解：（1）有：如果AB//8,N5=NC那么N￡=NF；

如果AB//CD,ZE=ZF,那么N5=NC；

如果N3=NC,N￡=NK那么AB//CD；

（2）如圖：

VAB//CD,

???NB=NCDF,

VZB=ZC,

.\ZC=ZCDF,

???CE〃BF,

AZE=ZF,

???如果ABI/CD,ZB=ZC,那么ZE=/F為真命題;

VAB//CD,

.\ZB=ZCDF,

VZE=ZF,

???CE〃BF,

AZC=ZCDF,

AZB=ZC,

???如果A3//CD,NE=NR那么NB=NC為真命題;

VZE=ZF,

???CE〃BF,

.*.ZC=ZCDF,

*ZB=ZC,

NB=NCDF,

AABCD,

如果NB=NC,/石=//,那么45〃8為真命題.

【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的

命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理.

22.如圖，現有以下3個論斷：BD//EC；ND=NC；ZA=ZF.

（1）請以其中兩個為條件，另一個為結論組成命題，你能組成哪幾個命題？

（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請你選擇一個真命題加以證明.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）分別以其中兩個作為條件，第三個作為結論依次交換寫出即可；

（2）根據平行線的判定和性質對（1）題的3個命題進行證明即可判斷其真假.

【解析】解：（1）由3O//EC,ZD=ZC,得到NA="；

由ZA=ZF,得到/D=NC；

由ZA=NF,ZD=ZC,得到3D//EC；

故能組成3個命題.

（2）由BD//EC,ZD=ZC,得到NA=4,是真命題.理由如下：

BD!/EC,:.ZABD=ZC.

ZD=ZC,：.ZABD=ZD,

ACIIDF,:.ZA=ZF.

由BD//EC,ZA^ZF,得到/D=NC,是真命題.理由如下:

BD!/EC,:.ZABD=NC.

ZA=N產，AC//DF,

:.ND=ZABD,：.ND=NC.

由NA=NF,ZD=ZC,得到瓦）//EC,是真命題.理由如下:

VZA=ZF,AC//DF,:.ZD=ZABD.

/￡>=",:.AABD=AC,

:.BDHEC.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識和平行線的判定與性質，屬于基礎題型，熟練掌握平

行線的判定與性質是解題的關鍵.

23.填寫推理的理由.

已知：如圖，CDLAS于點D,于點E,Z1=Z2,DG交AC于點G,EF交BC

于點歹.求證：ZADG=ZB.

CDEF（）.

：.N2=N3（）.

VZ1=Z2（）,

Z1=Z3（）.

DGBC（）.

:.ZADG=NB（）.

【答案】（1）已知

（2）如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行

（3）兩直線平行，同位角相等

（4）已知

（5）等量代換

（6）內錯角相等，兩直線平行

（6）兩直線平行，同位角相等

【分析】根據已知條件，先判定CD所和0GBC,然后利用平行線的性質來求證.

【解析】CDLAB,EFLAB（已知），

：.CDEF（如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行）.

：.N2=N3（兩直線平行，同位角相等）.

?/Zl=Z2（已知），

/.Z1=Z3（等量代換）.

ADGBC（內錯角相等，兩直線平行）.

：.ZADG=AB（兩直線平行，同位角相等）.

【點睛】此題考查平行線的判定與性質，解題關鍵在于掌握判定定理.

24.點。為AABC的邊BC的延長線上的一點，。尸，AB于點E交AC于點￡,ZA=35°,

ZD=40°,求NACD的度數.

【分析】根據三角形外角與內角的關系:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和;

及三角形內角和定理：三角形的三個內角和為180。解答.

【解析】解：于點F,

/DFB=90°

在RfADFB中,/DFB=90°,

：.ZB+ZD=90°

VZ￡)=40o,

NB=50。

■:ZACD是△DFB的外角,ZA=35°,

ZAC￡)=ZB+ZA=50°+35°=85°

【點睛】此題考查三角形外角與內角的關系、三角形內角和定理，解題的關鍵是熟記三角形

外角與內角的關系及三角形內角和定理.

25.如圖，在AABC中，NA=70。，ZACZ)=30°,C￡)平分/AC2.求：

(1)/2。。的度數.

(2)/8的度數.

【答案】(l)ZBDC=100°

⑵/8=50°

【分析】(1)在AABC中，根據NA=70。，NAC￡>=30。，由外角的性質=

代入即可求出.

(2)根據角平分線的定義求出NAC8,再利用三角形的內角和等于180。列式計算即可得解.

(1)在AABC中，/3￡^=4+/48,又；/4=70。，ZAC￡>=30°,

.?.ZBDC=70°+30°=100°.

(2)VZACD=30°,CD平分NAC-NACB=2x30°=60°在AABC中，

ZA=70°,ZACB=6Q°：.ZB=180o-70O-60o=50°

【點睛】本題主要考查了三角形的外角的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟

練掌握這些性質定理是解此題的關鍵.

26.如圖所示，Zl+Z2=180°,/3=NB.

(1)4。與所平行嗎？請說明理由；

(2)試判斷與/C的大小關系，并說明理由.

【答案】(1)平行，見解析

(2)相等，見解析

【分析】(1)由己知條件和三角形外角性質推出NBOE+N3=180。，利用“同旁內角互補，

兩直線平行”即可證明；

(2)利用(1)的結論，推出DE//BC,利用“兩直線平行，同位角相等”可

得NAED=NC.

【解析】(1)證明：(1)平行；

'：Z1=ZFDE+Z3,Zl+Z2=180°,

Z2+ZFDE+/3=180°,

:/BDE=/2+/FDE,

N2￡)E+/3=180°,

：.AD//EF；

(2)解：NAED=NC；理由如下：

'：AB//EF,

NADE=/3,

VZ3=ZB,

ZADE=ZB,

：.DE//BC,

：.NAED=NC.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質、三角形外角的性質等知識點，難度較小，要熟記平

行線的判定定理和性質.

27.如圖，BP,CP分別平分NASD,NACD,它們交于點P,求證：ZP=^(ZA+ZD).

【答案】見解析

【分析】延長3尸交AC于點E,設NPBA=/PBD=x,ZPCA=ZPCD=y,利用三角形

外角的性質求出-3PC=x+/A+y,可得x+y=NBPC-NA,同理求出

2/BPC=NA+ND,進而可得結論.

【解析】證明：如圖，延長第交AC于點E,

設/PBA=/PBD=x,/PCA=NPCD=y,

NBPC=^BEC+y=x+XA+y,

:.x+y=^BPC-XA,

同理可得"=x+y+ZBPC=2NBPC-ZA,

.,.2NBPC=NA+ND,

:.ZBPC=^(ZA+ZD)

【點睛】本題考查了三角形外角的性質，角的和差計算，熟知三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內角和是解題的關鍵.

28.已知：如圖1,點8在PQ上，ZABQ+ZCPQ=ZPCD.

⑴求證AB〃CD；

⑵如圖2,BQ平分/ME,過點C作CFLBE于點孔

①補全圖形；

②若NPCF=NDCF,設NABQ=x°,ZCPQ^y0,求x,y之間的數量關系.

【答案】（1）見解析

（2）①見解析；②y=3x-180

【分析】（1）過點P作PK〃鉆，得ZABQ=/1,再根據/ABQ+NCPQ=/PCD,得出

PK//CD,即可解得.

（2）①根據題意補全圖形即可.

②過點尸作RW77AB,得到N/LBE=NMAf,根據已知得NABE=2x。，再由垂直定理得

NCFB=90°,再由NBFM=ZAFB+N2=90°+N2,得至I]N2=2x°-90°,由（1）AB//CD,

可得/2+/3=180。，再根據三角形內角和定理得/2=（彳。+力，即可解答.

【解析】（1）過點P作尸K〃AB.

：.ZABQ=Z1,

?：ZABQ+ZCPQ=/PCD,

Z1+ZCPQ=ZPCD.即NCPK=NPCD,

：.PK//CD,

：.AB//CD.

（2）①補全圖形；

②過點F作

:.ZABE=ZBFM,

〈BQ平分NABE,ZABQ=x0,

ZABE=2x°.

?；CF1BE,

：.NC必=90。，

ZBFM=ZAFB+Z2=90°+Z2,

???90°+Z2=2x°.

JZ2=2x°-90°f

由(1)知，AB//CD,

,/FM//AB,

：.FM//CD,

.?.Z2+Z3=180°,

ZPCF=Z3,ZPCF+Z3+Z4=360°,

/.Z3=180°-Z4,

???N1+NCPQ=N4,Nl=x。，ZCPQ=y°f

AZ3=180°-(x°+y°),

VZ2+Z3=180°,

??.Z2=(x°+y°),

???Z2=2x°-90°,

y=3x-180.

【點睛】本題考查了平行線的判斷與性質，角平分線的性質，垂直定理，三角形外角和定理,

熟練掌握作輔助線是解題的關鍵.

29.如圖1,已知線段A3、。相交于點。，連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱

為“8字型”.

BC

A

⑴求證：ZA+NC=N3+NO.

⑵如圖2所示，Zl=130°,貝U/A+/3+NC+/D+/E+/F的度數為.

⑶如圖3,若，。LB和N3DC的平分線AP和DP相交于點P,且與CD,AB分別相交于點

M,N.

①若ZB=100。，ZC=120°,求/尸的度數.

②若角平分線中角的關系改成=NCDP=—CDB”,試直接寫出—P與

44

ZB,2C之間存在的數量關系，并證明理由.

【答案】(1)見解析

(2)260°

(3)①110。；?4ZP=ZS+3ZC,理由見解析

【分析】(1)根據三角形的內角和即可得到結論；

(2)利用(1)的結論，結合三角形外角的性質即可求解；

(3)①根據角平分線的定義得到NC4P=Zfl4P,NBDP=NCDP,再根據三角形內角和定

理得至|J/C4P+NC=NCDP+/P,ZBAP+ZP=ZBDP+ZB,兩等式相減得到

ZC-ZP=ZP-ZB,BPZP=1(ZC+ZB),然后把NC=120。，N3=100。代入計算即可;

②與①的證明方法一樣得到4/尸=ZB+3NC.

【解析】(1)證明：在圖1中，有ZA+NC=18(r-ZAOC,ZB+ZD=1800-ZBOD,

'：ZAOC=ZBOD,

：.ZA+NC=NB+N。；

(2)解：如圖2所示,

VZDME=ZA+ZE,N3=NDME+ND,

：.Z\+ZE+ZD=Z'i,

VZ2=Z3+ZF,Zl=130°,

Z3+ZF=Z2=Z1=13O°,

???ZA+ZE+ZD+ZF=130°,

,/ZB+ZC=Z1=13O°,

ZA+Z5+NC+ZD+ZE+N/=260°.

故答案為：260°.

(3)解①以M為交點“8字型”中，有NT+/CDP=，C+/C4P,

以N為交點“8字型”中，有4P+/BAP=4B+/BDP,

：.2ZP+ZBAP+NCDP=ZB+NC+NCAP+ZBDP,

,：AP,。尸分別平分/C4B和N5DC,

ZBAP=ZCAP,ZCDP=ZBDP,

:.2ZP=ZB+ZC,

VZB=100°,ZC=120°,

ZP=|(ZB+ZC)=110°；

(2)4ZP=ZB+3ZC,其理由是:

VZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,

44

33

???NBAP=-NCAB,NBDP=-NCDB,

44

以M為交點“8字型”中，有NP+/CD尸=/C+/C4P,

以N為交點“8字型”中，有/P+/BAP=/B+NBDP,

NC—NP=ZCDP-ZCAP=；(/CDB-ZCAB)

3

NP-NB=NBDP-ZBAP=-(NCDB-ZCAB)

：.3(/C-/尸)=ZP-ZB,

4NT=4+3NC.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180。，三角形外角的性質，角平

分線的定義.明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵.

［域真題演練:

----------------------lllllllllllllllllllilllllllllllillllllill------------------------

一、單選題

1.（2020.四川雅安?中考真題）下列四個選項中不是命題的是（）

A.對頂角相等

B.過直線外一點作直線的平行線

C.三角形任意兩邊之和大于第三邊

D.如果a=6,a=c,那么＞=c

【答案】B

【分析】判斷一件事情的語句，叫做命題.根據定義判斷即可.

【解析】解:由題意可知，

A、對頂角相等，故選項是命題；

B、過直線外一點作直線的平行線，是一個動作，故