2025高考數學考二輪專題復習-第五講-函數的概念與性質-專項訓練一：考情分析命題解讀考向考查統計1.高考對函數的考查，重點是函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性，需要關注周期性、對稱性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查。2.高考對函數的考查重點關注以基本初等函數組成的復合函數以及抽象函數為載體，對函數內容和性質進行考查，考查函數的定義域、值域，函數的表示方法及性質（單調性、奇偶性、對稱性、周期性）、圖像等。冪、指、對函數的圖像與性質2023·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，102023·新高考Ⅱ卷，4抽象函數的性質2022·新高考Ⅰ卷，122023·新高考Ⅰ卷，112024·新高考Ⅰ卷，82022·新高考Ⅱ卷，8函數與不等式結合2024·新高考Ⅱ卷，8分段函數、三次函數的圖像與性質2024·新高考Ⅰ卷，62024·新高考Ⅰ卷，102024·新高考Ⅱ卷，11二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數、抽象函數、三次函數的性質的應用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數的性質及將函數與不等式結合考查，難度是較難的。總體來說函數主要以課程學習情景為主，備考應以常見的選擇題和填空題為主進行訓練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且常考常新。函數考查應關注：（1）指數函數、對數函數、冪函數及一次函數、二次函數的圖像和性質是基礎，要求考生要在理解的基礎上熟練掌握這些函數的圖像和性質，準確把握函數概念和性質的本質，會處理分段函數與抽象函數的相關問題，會識別函數圖像的變化。同時，指對運算也是常考查的知識點，考生應加強對公式的理解及應用的訓練。（2）函數性質、零點、圖像等問題是函數專題的重點考察內容，注意函數的奇偶性、單調性的綜合應用，注重數形結合，轉化與化歸思想以及構造新函數的訓練，為突破難點作好準備工作。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數為，在R上單調遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數為的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設函數，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設函數，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設函數，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．13．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．1二、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數 D．為的極小值點知識點總結一、函數定義域限制求解函數的定義域應注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數次冪的底數不為零；（5）三角函數中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域．二、基本初等函數的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當時，值域為；當時，值域為．（3）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．三、函數的單調性（1）單調函數的定義一般地，設函數的定義域為，區間：如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區間上是增函數．如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區間上是減函數．=1\*GB3①屬于定義域內某個區間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．（2）復合函數的單調性復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.四、函數的奇偶性函數奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數關于軸對稱奇函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數關于原點對稱判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數為偶函數；如果或，則函數為奇函數．注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．五、函數的對稱性(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．(3)若，則函數關于對稱．(4)若，則函數關于點對稱．六、函數的周期性（1）周期函數：對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.七、常見的冪函數圖像及性質函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點八、指數及指數運算1、指數(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數，稱為根底數．(2)根式的性質：當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.當為偶數時，正數的次方根有兩個，它們互為相反數.(3)指數的概念：指數是冪運算中的一個參數，為底數，為指數，指數位于底數的右上角，冪運算表示指數個底數相乘.(4)有理數指數冪的分類①正整數指數冪；②零指數冪；③負整數指數冪，；④的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義．(5)有理數指數冪的性質①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數函數圖象性質①定義域，值域②，即時，，圖象都經過點③，即時，等于底數④在定義域上是單調減函數在定義域上是單調增函數⑤時，；時，時，；時，⑥既不是奇函數，也不是偶函數九、對數及對數運算1、對數式的運算(1)對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．(2)常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；(3)對數的性質和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像(1)對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，十、函數與方程1、函數的零點對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.2、方程的根與函數零點的關系方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點.3、零點存在性定理如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.4、二分法對于區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.5、用二分法求函數零點近似值的步驟（1）確定區間，驗證，給定精度.（2）求區間的中點.（3）計算.若則就是函數的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【函數性質常用結論】1、單調性技巧（1）證明函數單調性的步驟①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數單調性的判斷方法①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．（3）記住幾條常用的結論：①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；②若和均為增(或減)函數，則在和的公共定義域上為增(或減)函數；③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；④若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．2、奇偶性技巧(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數的圖象特征.函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足.(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數或函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數或函數=4\*GB3④函數或函數．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數或函數．偶函數：=1\*GB3①函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數類型的一切函數．④常數函數3、周期性技巧4、函數的的對稱性與周期性的關系（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.5、對稱性技巧（1）若函數關于直線對稱，則．（2）若函數關于點對稱，則．（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．名校模擬練一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數，則（

）A．1 B．0 C． D．22．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數（且）在上單調遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數據：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級4．（2024·河北·二模）已知函數為奇函數，則函數的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數是上的增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·二模）已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數，則下列說法不正確的是（

）A．函數單調遞增 B．函數值域為C．函數的圖象關于對稱 D．函數的圖象關于對稱8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數，則（

）A．有一個極值點B．有兩個零點C．點（0，1）是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數有3個零點，，，有以下四種說法：①②③存在實數a，使得，，成等差數列④存在實數a，使得，，成等比數列則其中正確的說法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·河北保定·三模）已知的值域為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2024·河南·三模）設函數的定義域為為奇函數，為偶函數，若1，則（

）A．1 B． C．0 D．12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數與的圖象關于直線對稱，且函數為奇函數，則函數圖象的對稱中心是（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2024·全國·模擬預測）已知函數下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區間上單調遞減D．函數的圖象是中心對稱圖形15．（2024·湖南長沙·模擬預測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質量隨時間(單位:年)的衰變規律滿足，其中表示氚原有的質量，則（

）(參考數據:)A．B．經過年后，樣本中的氚元素會全部消失C．經過年后，樣本中的氚元素變為原來的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則16．（2024·福建廈門·模擬預測）已知函數的定義域為，，且，則（

）A． B．C．為奇函數 D．在上具有單調性17．（2024·江西南昌·三模）已知函數，若的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（

）A．的圖象也關于直線對稱 B．的圖象關于中心對稱C． D．18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．19．（2024·湖北·二模）我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數．有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數．已知函數，則下列結論正確的有（

）A．函數的值域為B．函數的圖象關于點成中心對稱圖形C．函數的導函數的圖象關于直線對稱D．若函數滿足為奇函數，且其圖象與函數的圖象有2024個交點，記為，則20．（2024·湖北荊州·三模）已知函數的定義域為，且，，則（

）A． B．關于中心對稱C．是周期函數 D．的解析式可能為21．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數的函數滿足，則（

）A． B． C． D．22．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數，的定義域為，若函數是奇函數，函數是偶函數，，且.則下列結論正確的是（

）A．函數圖像關于直線對稱B．函數為偶函數C．4是函數的一個周期D．23．（2024·河北邢臺·一模）已知函數和函數的定義域均為，若的圖象關于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數B．C．若在區間上的解析式為，則在區間上的解析式為D．參考答案與詳細解析一：考情分析命題解讀考向考查統計1.高考對函數的考查，重點是函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性，需要關注周期性、對稱性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查。2.高考對函數的考查重點關注以基本初等函數組成的復合函數以及抽象函數為載體，對函數內容和性質進行考查，考查函數的定義域、值域，函數的表示方法及性質（單調性、奇偶性、對稱性、周期性）、圖像等。冪、指、對函數的圖像與性質2023·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，102023·新高考Ⅱ卷，4抽象函數的性質2022·新高考Ⅰ卷，122023·新高考Ⅰ卷，112024·新高考Ⅰ卷，82022·新高考Ⅱ卷，8函數與不等式結合2024·新高考Ⅱ卷，8分段函數、三次函數的圖像與性質2024·新高考Ⅰ卷，62024·新高考Ⅰ卷，102024·新高考Ⅱ卷，11二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數、抽象函數、三次函數的性質的應用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數的性質及將函數與不等式結合考查，難度是較難的。總體來說函數主要以課程學習情景為主，備考應以常見的選擇題和填空題為主進行訓練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且常考常新。函數考查應關注：（1）指數函數、對數函數、冪函數及一次函數、二次函數的圖像和性質是基礎，要求考生要在理解的基礎上熟練掌握這些函數的圖像和性質，準確把握函數概念和性質的本質，會處理分段函數與抽象函數的相關問題，會識別函數圖像的變化。同時，指對運算也是常考查的知識點，考生應加強對公式的理解及應用的訓練。（2）函數性質、零點、圖像等問題是函數專題的重點考察內容，注意函數的奇偶性、單調性的綜合應用，注重數形結合，轉化與化歸思想以及構造新函數的訓練，為突破難點作好準備工作。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數為，在R上單調遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調遞增，且時，單調遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數為的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函數性質和不等式的性質，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因為當時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據表明ACD一定正確.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用，再利用題目所給的函數性質，代入函數值再結合不等式同向可加性，不斷遞推即可.3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設函數，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】解法一：由題意可知：的定義域為，分類討論與的大小關系，結合符號分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據對數函數的性質分析的符號，進而可得的符號，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；若，當時，可知，此時；當時，可知，此時；可知若，符合題意；若，當時，可知，此時，不合題意；綜上所述：，即，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域為，令解得；令解得；則當時，，故，所以；時，，故，所以；故，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：分別求、的根，以根和函數定義域為臨界，比較大小分類討論，結合符號性分析判斷.二、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設函數，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】求出函數的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，故是函數的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數在上單調遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數在上單調遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設函數，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項，先分析出函數的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據極值和導函數符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，，，，由，于是該三次函數的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數都有對稱中心，對稱中心是三次函數的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數的對稱中心高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優解】構造特殊函數由，聯想到余弦函數和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.3．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.故選：B.二、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數，所以即，，所以，，則，故C正確；函數，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，對于選項A：可得，因為，則，即，所以且，可得，故A正確；對于選項B：可得，因為，則，即，所以且，可得，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；對于選項C：因為，即，可得，即，故C正確；對于選項D：由選項A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數 D．為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調遞減，在上單調遞增，因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.知識點總結一、函數定義域限制求解函數的定義域應注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數次冪的底數不為零；（5）三角函數中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域．二、基本初等函數的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當時，值域為；當時，值域為．（3）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．三、函數的單調性（1）單調函數的定義一般地，設函數的定義域為，區間：如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區間上是增函數．如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區間上是減函數．=1\*GB3①屬于定義域內某個區間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．（2）復合函數的單調性復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減函數.四、函數的奇偶性函數奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做偶函數關于軸對稱奇函數如果對于函數的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數關于原點對稱判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數為偶函數；如果或，則函數為奇函數．注意：由函數奇偶性的定義可知，函數具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．五、函數的對稱性(1)若函數為偶函數，則函數關于對稱．(2)若函數為奇函數，則函數關于點對稱．(3)若，則函數關于對稱．(4)若，則函數關于點對稱．六、函數的周期性（1）周期函數：對于函數，如果存在一個非零常數，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數為周期函數，稱為這個函數的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做的最小正周期.七、常見的冪函數圖像及性質函數圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減，在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減公共點八、指數及指數運算1、指數(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數，稱為根底數．(2)根式的性質：當為奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數.當為偶數時，正數的次方根有兩個，它們互為相反數.(3)指數的概念：指數是冪運算中的一個參數，為底數，為指數，指數位于底數的右上角，冪運算表示指數個底數相乘.(4)有理數指數冪的分類①正整數指數冪；②零指數冪；③負整數指數冪，；④的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義．(5)有理數指數冪的性質①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數函數圖象性質①定義域，值域②，即時，，圖象都經過點③，即時，等于底數④在定義域上是單調減函數在定義域上是單調增函數⑤時，；時，時，；時，⑥既不是奇函數，也不是偶函數九、對數及對數運算1、對數式的運算(1)對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．(2)常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；(3)對數的性質和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像(1)對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，十、函數與方程1、函數的零點對于函數，我們把使的實數叫做函數的零點.2、方程的根與函數零點的關系方程有實數根函數的圖像與軸有公共點函數有零點.3、零點存在性定理如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.4、二分法對于區間上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數零點的近似值.5、用二分法求函數零點近似值的步驟（1）確定區間，驗證，給定精度.（2）求區間的中點.（3）計算.若則就是函數的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【函數性質常用結論】1、單調性技巧（1）證明函數單調性的步驟①取值：設，是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數單調性的判斷方法①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區間．（3）記住幾條常用的結論：①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；②若和均為增(或減)函數，則在和的公共定義域上為增(或減)函數；③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；④若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．2、奇偶性技巧(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數的圖象特征.函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足.(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同.(5)若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記，，則.(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如.對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數模型奇函數：=1\*GB3①函數或函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數或函數=4\*GB3④函數或函數．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數或函數．偶函數：=1\*GB3①函數．=2\*GB3②函數．=3\*GB3③函數類型的一切函數．④常數函數3、周期性技巧4、函數的的對稱性與周期性的關系（1）若函數有兩條對稱軸，，則函數是周期函數，且；（2）若函數的圖象有兩個對稱中心，則函數是周期函數，且；（3）若函數有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數是周期函數，且.5、對稱性技巧（1）若函數關于直線對稱，則．（2）若函數關于點對稱，則．（3）函數與關于軸對稱，函數與關于原點對稱．名校模擬練一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數，則（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】由已知為偶函數，可得，列方程求解即可.【詳解】由，得，因為為偶函數，所以，即，所以，解得.故選：.2．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數（且）在上單調遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分和兩種情況討論的單調性，結合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則的圖象為：可知在上單調遞增；若，則的圖象為：可知在上單調遞減；綜上所述：“”是“函數（且）在上單調遞減”的充要條件.故選：C．3．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標準地震振幅.假設在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數據：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【答案】B【分析】根據題意，得到，結合對數的運算法則，即可求解.【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標準地震振幅為，可得.故選：B.4．（2024·河北·二模）已知函數為奇函數，則函數的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于點對稱 D．關于點對稱【答案】C【分析】由函數的平移變化即可求得出答案.【詳解】函數為奇函數，圖象關于對稱，將函數向左平移一個單位可得函數，則函數關于對稱，所以函數的圖象關于對稱.故選：C.5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數是上的增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用分段函數單調性，結合一次、二次函數單調性求解即得.【詳解】由是上的增函數，得，解得，所以實數a的取值范圍是.故選：B6．（2024·湖北·二模）已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題設條件證明，再驗證時條件滿足即可.【詳解】若在上單調遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當時，所以在上有定義，再由知在上單調遞增，所以在上單調遞增.故選：C.7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數，則下列說法不正確的是（

）A．函數單調遞增 B．函數值域為C．函數的圖象關于對稱 D．函數的圖象關于對稱【答案】C【分析】分離常數，再根據復合函數單調性的判斷方法，即可判斷A；根據函數形式的變形，根據指數函數的值域，求解函數的值域，即可判斷B；根據對稱性的定義，與的關系，即可判斷CD.【詳解】，函數，，則，又內層函數在上單調遞增，外層函數在上單調遞增，所以根據復合函數單調性的法則可知，函數單調遞增，故A正確；因為，所以，則，所以函數的值域為，故B正確；，，所以函數關于點對稱，故C錯誤，D正確.故選：C.8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數，則（

）A．有一個極值點B．有兩個零點C．點（0，1）是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】C【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A錯誤；因，，，所以，函數在上有一個零點，當時，，即函數在上無零點，綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；令，該函數的定義域為，，則是奇函數，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：C.9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數有3個零點，，，有以下四種說法：①②③存在實數a，使得，，成等差數列④存在實數a，使得，，成等比數列則其中正確的說法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意設，根據，求導分析的單調性，進而數形結合分析，根據可判斷①，根據函數的極大值可判斷②，根據三次函數的對稱性可判斷③，舉例可判斷④.【詳解】由，得，設，則，則的極小值為，極大值為．對①，因為，所以，當且僅當時，，所以，①正確．對②，因為在上單調遞減，且，所以，所以未必成立，②錯誤．對③，設，令有，則有，故圖象存在對稱中心，所以存在實數，使得，，成等差數列，③正確．對④，因為，所以存在實數，使得，，成等比數列，④正確．故選：C.10．（2024·河北保定·三模）已知的值域為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函數在兩段上分別根據自變量范圍求函數值的范圍，跟值域對比求實數的取值范圍.【詳解】①若，當時，在上單調遞減，此時，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數的值域D滿足，則解得；②若，當時，在上單調遞增，此時，當時，，當且僅當時，等號成立，又函數的值域D滿足，不合題意；③當時，，若，有（當且僅當時取等號）符合題意，綜上所述：.故選：D.11．（2024·河南·三模）設函數的定義域為為奇函數，為偶函數，若1，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】根據函數的奇偶性可得的圖象關于點中心對稱且關于直線軸對稱，進而得的周期為4，即可求解.【詳解】因為為奇函數，所以，所以的圖象關于點中心對稱，則.因為為偶函數，所以，所以的圖象關于直線軸對稱.由，得，所以，則，則的周期為4，，則.故選：D【點睛】方法點睛：抽象函數的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結論（1）關于軸對稱，（2）關于中心對稱，（3）的一個周期為，（4）的一個周期為.可以類比三角函數的性質記憶以上結論.12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據抽象函數性質可確定關于直線對稱，關于點對稱，從而可確定其周期性，再結合單調性可得函數的大致圖象，結合周期性、對稱性、對數函數性質、三角函數性質逐項判斷即可得結論.【詳解】對于A，因為，則函數關于直線對稱，由，則函數關于點對稱，所以，所以得，則，故函數的周期為，且，故函數為偶函數，因為函數在區間上單調遞增，則函數的大致圖象如下圖：令，由，所以，且，令，由，由得，所以，根據對稱性，在單調遞減，而，所以，因為函數的周期為，所以，故A不正確；對于B，由于，，在單調遞減，所以，所以，故B不正確；對于C，又，，根據圖象在上單調遞增，所以，故C不正確；對于C，，且，因為，所以，故，因為在上單調遞減，所以，故D正確．故選：D．【點睛】關鍵點點睛：抽象函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性，解決本題的關鍵是結合函數的性質確定函數的圖象，從而可確定函數值的大小關系、對稱關系.13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數與的圖象關于直線對稱，且函數為奇函數，則函數圖象的對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據條件得到的對稱中心，再根據對稱得到的對稱中心.【詳解】因為為奇函數，所以，即，故的對稱中心為，即，由于函數與的圖象關于直線對稱，且關于的對稱點為，故的對稱中心為.故選：D二、多選題14．（2024·全國·模擬預測）已知函數下列結論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區間上單調遞減D．函數的圖象是中心對稱圖形【答案】BD【分析】求出函數的導數，當時，有兩解，列表表示出導數值的正負以及函數的單調情況，當時，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因為，所以，當時，，則在R上單調遞增，不是極值點，故A錯誤；B：由選項A的分析知，函數的值域為，所以，使得，故B正確；C：由選項A的分析知，當時，在上單調單調遞增，在上單調遞減，所以若為的極小值點時，在上先遞增再遞減，故C錯誤；D：，而，則，所以點為的對稱中心，即函數的圖象是中心對稱圖形，故D正確.故選：BD．15．（2024·湖南長沙·模擬預測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質量隨時間(單位:年)的衰變規律滿足，其中表示氚原有的質量，則（

）(參考數據:)A．B．經過年后，樣本中的氚元素會全部消失C．經過年后，樣本中的氚元素變為原來的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【分析】利用給定式子進行化簡判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時取對數得，故得，故A錯誤，當時，，故B錯誤，而當時，，得到經過年后，樣本中的氚元素變為原來的，故C正確，由題意得，化簡得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD16．（2024·福建廈門·模擬預測）已知函數的定義域為，，且，則（

）A． B．C．為奇函數 D．在上具有單調性【答案】AC【分析】根據題意，令即可判斷A，令，，即可判斷B，令結合函數奇偶性的定義即可判斷C，令即可判斷D【詳解】對A：令，則有，即，故A正確；對B：，，則有，即，由，，故，即，故B錯誤；對C：令，則有，即，即，又函數的定義域為，則函數的定義域為，故函數為奇函數，故C正確；對D：令，則有，即，即有，則當時，有，即，故在上不具有單調性，故D錯誤.故選：AC17．（2024·江西南昌·三模）已知函數，若的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（

）A．的圖象也關于直線對稱 B．的圖象關于中心對稱C． D．【答案】BCD【分析】根據題意，由函數圖象的對稱性可得，，由此分析可得由此分析選項，即可得答案.【詳解】設關于直線對稱，所以，，所以或，當時，，的圖象關于直線對稱，此時，，∴，當時，,∴，∴，又∵是一個定值，而隨的不同而不同，∴此等式不成立，即不成立,∴，即，所以的圖象關于中心對稱，B正確；∴，，即，C正確.與關于對稱，∴，即，即，∴，D正確，又，則，即，，而，若A選項成立，則時，，所以但此時，，所以由可得，但這與已知矛盾，所以的圖象不可能關于直線對稱，A錯誤.故選：BCD.18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數在區間上單調遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據抽象函數性質可確定關于直線對稱，關于點對稱，從而可確定其周期性，再結合單調性可得函數的大致圖象，結合周期性、對稱性、對數函數性質、三角函數性質逐項判斷即可得結論.【詳解】對于函數有，，則函數關于直線對稱，由，則函數關于點對稱，所以，所以得，則，故函數的周期為，且，故函數為偶函數，因為函數在區間上單調遞增，則函數的大致圖象如下圖：由對稱性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因為，所以，故，所以，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：抽象函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性，解決本題