第33講解三角形圖形問(wèn)題

知識(shí)梳理

解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定

理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更

為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比

例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向

量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何

性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.

必考題型全歸納

題型一：妙用兩次正弦定理

例L(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四邊形ABCD中/BAC=90，ZABC=30，

AD±CD,設(shè)NACD=6.

(1)若AABC面積是AACD面積的4倍，求sin26；

TT

(2)若=—,求tan?.

6

【解析】(1)設(shè)=則=AD=asmO,CD=acosO,由題意

S^ABC=4sAz1cD，

則L.A/^Q=4'”cose.〃sine,所以sin28=立

222

BD_6a

BDA3

(2)由正弦定理，A/題中,即sin(乃一6).萬(wàn)①

sinZBAD~sinZADB\sin—

6

BD2a

BD_BC曰門:

AfiCD中,~9即,I.Z)sin2②

sin/BCDsinZCDBsinly+6>

3

①:②得：2sinK+eJ=3sin。，化簡(jiǎn)得

括cos9=2sine,所以tan8=^^

2

例2.(2024.湖北黃岡.高一統(tǒng)考期末)如圖，四邊形ABCD中NB4C=90,ZABC=60,

ADLCD,設(shè)ZACD=8.

(1)若ABC面積是ACO面積的4倍，求sin20;

(2)若tmZADB=—,求tan。.

2

【解析】⑴設(shè)AB=〃，

則AC=y/3a，AD=y/3asin6，CD=y/3acos0，

由題意SABC=4SACD，

22

所以sin20=.

6

BDAB

(2)由正弦定理，在△ABD中,

sinZBAD-sinZADB

BDa

即「---ZT="―777^①

sin(?—8)sinZADB

BDBC

在△5CD中,

sin/BCDsinZCDB

BDla

即sin[?+。]sin(1-ZADB)?

sin。

=2tanZ.ADB=1

②+①得:sin5+0

.?.sin0=sinp|+0,化簡(jiǎn)得

cos0=(2-A/3)sin0,

所以tan6=2+A^.

例3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①AB=2A￡>,?sinZACB=2sinZACD,③

SABC=2S.AC?這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

已知在四邊形ABC。中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且

(1)證明：tanZABC=3tanNBAC；

(2)若AC=3,求四邊形ABC。的面積.

【解析】(1)方案一：選條件①.

ACBCAB

在，ABC中,由正弦定理得,

sinZABCsinABACsinZACB

ACCDAD

在/ACD中,由正弦定理得,

sinZADC-sinND4c.sinZACD，

因?yàn)?ABC+/ADC=7i,所以sinNABC=sinNWC,

因?yàn)?C=CD,所以sin4AC=sinNZMC,

因?yàn)?BAC+NZMCCTT,所以/BAC=/ZMC,

因?yàn)锳B=2AD,所以sinNACB=2sinNACD.

因?yàn)閟inZACB=sin(ZABC+ABAC),

sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(ZBAC+兀一ZABC)=sin(ZABC-Za4C),

所以sin(ZABC+NBAC)=2sin(ZABC-ZBAC),

即

sinZABCcosABAC+cosZABCsinZ.BAC=2(sinZABC-cosABAC—cosZABCsinZ.BAC),

所以sinZABCcosABAC=3cosZABCsinABAC,

所以tanNABC=3tanNBAC.

方案二：選條件②.

ACBC

在ABC中，由正弦定理得,

sinZABC—sinZBAC'

ACCD

在.ACD中，由正弦定理得,

sin/ADC一sin/ZMC'

因?yàn)?ABC+/ADC=7T,所以sinNABC=sinZ4DC,

因?yàn)?C=CD,所以sin/84C=sin/ZMC.

因?yàn)镹BAC+ND4c<兀，所以/B4C=/ZMC.

因?yàn)閟inZACB=sin(ZABC+ABAC),

sinZACD=sin(ZG4D+ZADC)=sin(ZB4c+兀一ZABC)=sin(ZABC-NBAC),

sinZACB=2sinZACD,

所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC-ABAC),

即

sinZABCcosABAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABC?cosABAC-cosZABCsinABAC),

所以sinZABCcosNS4C=3cosZABCsinNBAC,

所以tanZABC=3tanZ.BAC.

方案三：選條件③.

因?yàn)?"qBCAC/ACB'S^CD.AC^ACD,且BC=CD,

°ABC~ACD，

所以sinZACB=2sinZACD

ACBC

在ABC中，由正弦定理得,

sinZABC—sinNBAC，

ACCD

在.ACD中，由正弦定理得,

sinNADC-sinNDAC

因?yàn)?ABC+/ADC=7i,所以sinNABC=sinNWC,

因?yàn)?C=CD,所以sin/BAC=sinNZMC,

因?yàn)?BAC+NZMC<兀，所以N5AC=/ZMC.

因?yàn)閟inZACB=sin(ZABC+ABAC),

sinZACD=sin(ZC4D+ZADC)=sin(ZBAC+兀一ZABC)=sin(ZABC-ZBAC),

所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC-ABAC),

即

sinZABCcosZBAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABCcosABAC-cosZABCsinNBAC),

所以sinZABCcosABAC=3cosZABCsinZBAC,

所以tanNABC=3tan44C.

（2）選擇①②③，答案均相同,

由(1)可設(shè)AD=x,則AB=2x,

在.ABC中，由余弦定理得,

AB2+BC2-AC24x2-5

cosZABC=

2ABBC8x

在4ACZ）中，由余弦定理得,

AD2+CD2-AC2X2-5

cosZ.ADC=

2ADCD4x

因?yàn)閏osZABC=cos(7i-ZADC)=-cosZADC,

4X2-5X2-5,解得x=叵或x=一巫（舍去）,

所以

8x4x22

所以cosZABC=

8

3y/6

所以sinNABC=sinZADC

8

39^5

所以四邊形ABCD的面積S=3SAACD=-ADCD^nZADC=—^

28

變式1.（2024.甘肅金昌.高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在平面四邊形ABC。

TT37r

中，ABCD=-,AB=l,ZABC=—

24

（D當(dāng)BC=6,CD二夜時(shí),求ACD的面積.

JT

⑵當(dāng)NAOC=—,AO=2時(shí)，求tanZAB.

6

3冗

【解析】(1)當(dāng)8C=a時(shí)，在帥C中，AB=1,ZABC=—,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC,

即AC?=3-2&cos丁=5,解得AC=VL

所以MCB=心些3。=河

2ACBC2麗10

因?yàn)?BCD==,則sin/ACD=cos/ACB=2^

210

又C￡>="

所以ACD的面積是SArD=-AC.CDsinZACD=-xV5x^/7x^^=-Vi4.

AC。22104

ABAC

(2)在一ABC中，由正弦定理得

sinZACBsinZABC

.?.3兀

artA3sin仄

即AC=4=12

sinZ.ACB2cosZACD

4c.兀

ADACADsin—

在一ACD中,由正弦定理得即1

sinZACDsinZADCAC=6

sinZACDsinZACD

則----------=---------，整理得sinZACD=0cosZACD，

2cosZACDsinZACD

TT

因?yàn)镹AC￡)<5,

所以tanNACD=0，

TT

因?yàn)?8。=],所以

sin^-ZACD

tanZACB=tan]一ZACDcosZACD1_y/2

sinZACDtanZACD_2

cos-ZACO

變式2.(2024.廣東廣州?高一統(tǒng)考期末)如圖，在平面四邊形A3CD中,

712%

ZBCD=—,A8=1,ZABC=——

23

⑴若BC=2,CD=A/7,求ACD的面積;

TT

⑵若ZADC=—,AD=2,求cosZACD.

27r

【角軍析】(1)因?yàn)锳B=LNA5C=T，5C=2,

2萬(wàn)

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-ACcos—=7,即AC=?,

由余弦定理得cosZACB=----------------------二二一，

2xACxBC14

所以sinZAC￡)=sin「2-ZAC』|二cosZAC3=^,

(2)14

所以ACD的面積S=LxACxC0xsinNACD=也

24

2AC

ADAC

（2）在ZVIDC中，由正弦定理得即sinNAC。一工①,

sinZACDsinZADC

2

11AC

43AC

在，ABC中，由正弦定理得即.「乃7A^rC\cosNACO正

sin/AC3sinZABCsinI--ZACDI

2

①②聯(lián)立可得=

所以cosNACD=X^

因?yàn)?ACOe

7

變式3.（2024.廣東.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，ZABD=/BCD=9。，

ZDAB=45.

D

AB

(1)若AB=2,ZDBC=30，求AC的長(zhǎng);

3

(2)若tan/A4C=—,求tan/DSC的值.

【解析】（1）在RtZVIBD中，因?yàn)閆DAB=45，所以06=2,

在RtBCD中，BC=2cos30=石,

在，ASC中，由余弦定理得

AC?=A82+8C2—2A8-BCCOSZABC=4+3-2x2x石COS120=7+2石，

所以4c=，7+2折

(2)設(shè)NDBC=a,在RtBCD中，BC=BDcosa=2cosa,

因?yàn)閠anABAC=smZR4C=3,所以cosABAC=-sinABAC,

cosZBAC43

25

于是cos?ZBAC+sin*23*SZBAC=ysin2ZBAC=1,

因?yàn)?<NBAC<90,

34

所以sinNA4C=y,cosZBAC=-

A3CB

在4ABe中，由正弦定理得

sinZACBsinABAC

2_2coscr

所以sin(90-a-ZCAB)~3,

5

3

于是8$。?05（0+/。13）=二,

BP4cos2a—3sinacosa=3，

匕廠24cos2a—3smacosa4-3taner「

所以-----2-------=--------=--------；—=3，

cos6Z+sina1+tana

因?yàn)?<a<90,所以tanZDBC=tana=~

6

變式4.（2024?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期末）在①——―小②

cosBcosCa+c-b

sinB-cosB=,③ABC的面積

c4

S=1^（bsinC+ctanCcos5）這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,

并完成解答.

在,ABC中，角A、5、。的對(duì)邊分別為〃、b、J已知.

⑴求角C；

（2）若點(diǎn)。在邊A8上，且&）=2A￡>,cosB=,求tan/BCD.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

【解析】（1）若選擇①：因?yàn)閟i-=,2一一結(jié)合余弦定理cosB="2+，

cosBcosCa+c-blac

sinA2/sinAa

得=9即Qn----=—

cosBcosClac-cosBcosCc

由正弦定理可得q=器,sinA_sinA

所以

csinCcosCsinC

又Ae（O,7t）,所以sinA>0,所以」一=」一，即tanC=l,

cosCsinC

又Ce（O,7r）,所以C=：；

若選擇②：因?yàn)閟inB-cosB=?一",

c

結(jié)合正弦定理可得sinB-cosB=Ain'Tin',

sinC

即sinBsinC-cosBsinC=V2sinB-sinA=夜sinB—sin［兀一（3+C）］,

=>/2sinB-sin（B+C）=V2sinB-（sinBcosC+cosBsinC）,

BPsinBsinC=0sinB-sinBcosC，

又5￡（0,兀），sinB>0,故sinC=0-cosC，即sinC+cosC=V5，

所以y/2sin（0+，即sin=1,

因?yàn)镃e（O㈤，C+不息亳，所以C+得C=；

若選擇③：條件即sinCsinA=^-fsinBsinC+sincSinCcos.］,

2IcosC）

又。?0,兀），sinC>0,

=^^-sin（B+C）,

兀一A）=sinAcosC,所以^^sinA=sinAcosC,

72

又因?yàn)锳￡（0,7i）,貝!JsinA>0,所以cosC二乎,

又因?yàn)椤！辏?,兀），所以c=會(huì)

JT

（2）設(shè)N3CD=e,貝|J/ACO=--e.

4

A

D

B

因?yàn)閏osB=—,B40,兀),故sinB=Jl-cos?B=12

13

=旦斕+2inB=110,

所以sinA=sin[兀一(5+C)]=sin[-7t-S

1422

CDADCD

在,ACD中，由正弦定理可得,即通=

sinAsinZACDsinR-0

12

在△及?中，同理可得，CD_B,

BDsin0

12

12

13

因?yàn)橥撸?2AD,所以即13，

2sinf|-6>sin3'

應(yīng)cos6—0sinesin。

2424

整理得tan6=—,BPtanZBC￡)=—

4141

變式5.（2024.廣東深圳.深圳市高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）記,ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊

分別為a、b>c,已知fecosA—acos3=Z?—c.

⑴求A；

(2)若點(diǎn)。在3C邊上，且CD=25D,cosB=—,^tanZBAD.

3

【解析】(1)因?yàn)椤╟osA—acos5=Z?-c,

由余弦定理可得b-匕工-'-a-空工*=b-c

2bc2ac

b2+c2-iz21

化簡(jiǎn)可得/+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=

2bc2

.71

因?yàn)?<A<7l,所以,A=—

3

(2)因?yàn)閏osB=，則3為銳角，所以，sinB=A/1-cos2B=

3

2兀

因?yàn)锳+5+C=TI,所以，C=------B,

3

.(2兀?.2兀2兀.V3g1V6_1V6

所以,sinC=sin------B=sin——cosB—cos——sin5=-----x1—x=—|--------,

3332---32326

2兀

^ZBAD=0,貝!]NC4O=3--d,

B

D

CDA。6A。

BDAD3AD

在△ABD和二ACD中，由正弦定理得S陪_「出廠3+卡,

sin0sinBa

因?yàn)镃D=2BD,上面兩個(gè)等式相除可得"sin；-0=(3+佝sin。,

即0cos6=(2+V^sin6,

所以，tan/BAD=tan0=--匕==y/3—V2.

2+V6

變式6.(2024.廣東揭陽(yáng).高三校考階段練習(xí))在,ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,且2cosA(ccos3+0cosC)=〃.

⑴求角A;

(2)若。是ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=120°,ZAOC=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.

【解析】(1)因?yàn)?cosA(ccosB+Z7cosc)=a,

所以由正弦定理得

2cosA(sinCeosB+sinBcosC)=2cosAsin(B+C)=2sinAcosA=sinA；

0°<A<180°,二.sinAwO,?.cosA=-,則A=60°；

2

(2)

ZOAC+ZOAB=ABAC=60,ZOAB+ZABO=1SO-ZAOB=60,:.ZOAC=ZABO；

百十E，曰4八AB-sinZABO3sinZABO、后."八八

在/AXAB。中，由正弦定理得：AO=------------------=----------------=2。3smzA30；

sinZAOBsin120

在VACO中，由正弦定理得:

AC-sinZACOsin(30-ZABO

AO==2sin(30-ZABO)；

sinZAOCsin150

sinZABO=2sin(30-ZABO)=cosZABO-sinZABO,

即cosZABO=3百sinZABO,tanZABO=—

3石9

題型二：兩角使用余弦定理

例4.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，四邊形45co中，cosZBAD=^,

AC=AB=3AD.

(1)求5出/48￡)；

⑵若/BCD=90。，求tanNCBD.

【解析】(1)△ABO中，設(shè)AC=AB=3AD=3(>0),則

1(?>t\+t2-BD--r-

cosABAD=-=V-----,解得2￡)=2萬(wàn)

32x(3?)xz

An1

BD2+AD2=AB2,sinZABD=—=-；

AJJ3

(2)設(shè)AC=AB=3AD=3(r>0),則20=2萬(wàn)

設(shè)3C=M,CD=yt(x>0,y>0),

(3r)2+(xr)2-(3r)2%

ABC中，cosZBCA=

2x(3%)x(M6

1⑶)2+(”)272/+8

△ADC中,cosZDCA=-=—,「、

32x(3/)x(x)6y

，一，，，一71?+8

ZBCA+ZDCA=ZBCD=—,cosADCA=sinZBCA,可得2，化簡(jiǎn)得

26y

22

/+8X

=1,5Px2y2+/+64=20y2

6y

又?.BC2+CD2=BD2,x2t2+y-f=8r,即Y+/=8

.?.(8-/)/+/+64=20/,解得丫？=g,/=8_/=|

16

CD

ZCBD=——

BCxt

3

例5.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在梯形A8C0中，AB//CD,

AD=y/3BC=0.

⑴求證：sinC=V3sinA;

(2)若C=2A,AB=2CD,求梯形ABC。的面積.

【解析】（1）連接8。.

因?yàn)锳B〃CD,所以=

ADBD丁

在△AB。中，由正弦定理得----，①

sinZABDsinA

BCBD

在△3CD中，由正弦定理得

sinNBDCsinC

由AD=gBC,ZABD=ZBDC,結(jié)合①②可得sinC=^sinA.

(2)由(1)知sinC=>/3sinA,sinC=sin2A=2sinAcosA=\/3sinA,

cosA=^~,又0<A<7T,所以A=工，則C=2A=工.

263

連接BD,

在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD-AB-cosA=(73):+AB2-2百.AB-g

=AB2-3AB+3=4CD2-6CD+3;

在公BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCD-cosC=I2+CD2-2xlxC￡>x-

」’2

=CD2-CD+1,

7

所以45-68+3=5—8+1,解得CO=1或4.

2

當(dāng)=1時(shí)，連接AC,在‘ACD中，由余弦定理，得

57r

AC2=AD2+CD2-2xADxCDxcos——

6

=3+--2xV3x-xf--49

932)9

747?

所以AC=—,而止匕時(shí)A5+BC=—+1=—,故CQ=—不滿足題意，經(jīng)檢驗(yàn)CD=1滿足題

3333

A.

后、，

此時(shí)梯形ABCD的高〃=AD.sin色=在，

62

當(dāng)C￡>=1時(shí)，梯形ABC。的面積S=；（A8+CD）/z=竽;

所以梯形ABCD的面積為記.

4

例6.（2024.河北.校聯(lián)考一模）在，ABC中，AB=4,AC=2近，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連

接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使鉆=3D￡.

（1）若OE=1,求/BAC的余弦值;

7T

(2)若/ABC=T，求線段BE的長(zhǎng).

4

【解析】(1)因?yàn)镈E=1,AE=3DE,所以A￡)=2,

因?yàn)?4D3+/ADC=7i,所以COSNADB+COS/ADC=0,

BD-+AD2-AB-CD-+AD2-AC2

設(shè)BD=DC=x,------------------------------1-------------------------------=0,即

2BDAD2CDAD

X2+4-16八4一8

------------------1----------------=0,

2-x-22x2

解得x=20，所以如=28。=40,

6+松-叱16+8-32_A/2

在，ASC中，由余弦定理知，cosNB4C=

2ABAC242后—4

(2)在一ABC中，由余弦定理知，AC2AB2+BC2-2ABBC-cosZABC,

所以8=16+BC2-24BCq，化簡(jiǎn)得302_4回C+8=0，解得3c=2點(diǎn),

因?yàn)椤Ｊ荁C的中點(diǎn)，所以==

2

在△ABO中，由余弦定理知，AD2^AB2+BD2-2ABBD-COSZABC

=16+2-2x4x^x—=10,

2

所以AO=JiU,

因?yàn)?所以AE=3AD=^^,

22

在△AB。中，由余弦定理知,

4爐+加-小16+10-23

cos/BAE=

2ABAD2X4X-71OVio

連接BE,在，ABE中，由余弦定理知,

一2x4x通35

BE2^AB2+AE2-2AB-AE-cosNBAE=16+

22

變式7.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）在銳角ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為”,b,c,

2cos22c=3—5cos21子-C1]

⑴求角C;

AC

⑵若點(diǎn)。在AB上，BD=2AD,BD=CD,求行的值.

BC

【解析】（1）因?yàn)?/p>

2cos22c=3-5cos2[等一C）=3-5cos（23兀-2C）=3-5cos（兀-2C）=3+5cos2C,

所以2cos,2C-5cos2C-3=0,解得cos2c=或cos2c=3（舍去）,

所以2cos七-1=-工，BPCOSC=±-,

22

因?yàn)?<C<g,所以c=f.

23

(2)如圖，因?yàn)锽D=2AD,BD=CD,設(shè)AD=〃z,BD=CD=2m,

在.ABC中，由余弦定理得9m2=AC2+BC2-ACBC,

在△BCD中，由余弦定理得

/cn-BD2+CD2-BC2(2m)2+(2m)2-BC28m2-BC2

cos/BDC=—=zf

2BD-CD2x2mx2m8"

在△ADC中，由余弦定理得

/“八八AD2+CD2-AC2m2+(2m)2-AC25m2-AC2

cosZADC=------------------------=-----------------------=--------------,

2AD-CD2mx2m4m~

因?yàn)?3DC+NAr>C=萬(wàn)，所以cosNBL>C+cosNADC=0,

8〃?—-BC~5〃廠—AC__br、r“-7?

即pn-----3—+--------—=0,所以18〃/—BC2-2AC2=0,

8"4m

所以2(4^+8。2-4050-叱-23=0,

因?yàn)?CV0,所以3c=2AC,

濟(jì)四AC1

所以商=5.

變式8.(2024?浙江舟山.高一舟山中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,

ADsmD^2CDsmB.

⑴求證：BC=2CD；

(2)若AO=3C=2,ZADC=120,求48的長(zhǎng)度.

AF)AC

【解析】⑴證明：在A8中,由正弦定理得擊而

sin。

即4)?sin。=AC?sinZACD,

因?yàn)锳B〃CD,所以NACD=NC4B,所以ADcin。：ACsinNCAB,

ACBC

在ABC中，由正弦定理得

sinBsinZCAB

即AC-sinZCAB=8C?sin3,所以AD?sinO=BC?sin5.

又ADsinD=2CZ>sin3,所以5Csin5=2CDsin8,即3C=2CD.

(2)由(1)知CD=LBC=1.

2

2

在.ACD中，由余弦定理得AC=AD?+CD2_2AD.CD-COSZADC

=22+l2-2x2xlxf-|j=7,故AC=V7.

2

「力2._Ar)l2+7-22_2A/7

所以cosZCAB=cosZACD=---------------

2CDAC2xlx^一7

在，ABC中，由余弦定理得BC"=AC2+AB2-2AC-ABcosZCAB，

BP22=1+AB2-2xy/lxABx^-,AB2-4AB+3=0,解得AB=1或3.

7

又因?yàn)锳BCD為梯形，所以AB=3.

題型三：張角定理與等面積法

例7.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知△ABC中，。，瓦c分別為內(nèi)角C的對(duì)邊，且

2asinA=(26+c)sin5+(2c+Z?)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)設(shè)點(diǎn)。為3C上一點(diǎn)，AD是ABC的角平分線，且AD=2,b=3,求ABC的面積.

【解析】(1)在△A3C中，由正弦定理及2asinA=(2Z?+c)sinB+(2c+b)sinC得：

a1—b2—bc=c2J..

由余弦定理得cosA=

2bc2

2冗

又0<4<兀，所以4=胃

jr

(2)AD是ABC的角平分線，ZBAD=ZDAC=~,

I2冗1jr1jr

由SMe=SAM+SCAD^sin-=—exADxsinj+—Z?xADxsin—

因?yàn)椤?3,AD=2f即有3c=2c+6,c=6,

痂C17?41QA09百

改3=—〃csinA=—x3x6x——=------

的。2222

例8,(2024.貴州黔東南.凱里一中校考三模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,且2asinA=(2Z?+c)sin_B+(2c+/?)sinC.

⑴求A的大小；

⑵設(shè)點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，是△ABC的角平分線，且">=4,AC=6,求△ABC的面

積.

【解析】(1)因?yàn)?asinA=(26+c)sinB+(2c+b)sinC

所以根據(jù)正弦定理得：2a2=(26+c)b+(2c+b)c

即/="+/+歷

由余弦定理得：a2=c2+b2-2bccosA

故cosA=一1

2

又Ae(O㈤

所以4號(hào)2元.

(2)因?yàn)锳。是△ABC的角平分線，由5ADC=SABC

/口1A/I?兀1A,?兀IATI/.2兀

得：—AB-4sin—+—x4x6sin—=—AB-6sin——,

232323

所以AB=12

=-^-ACsin—=-xl2x6x^-=18^.

△ABC2322

例9.(2024.山東濰坊.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在ASC中，設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,

b,c,.fi(c-Z2)sinC=(d:-Z?)(sinA+sinB).

(1)求A；

(2)若。為BC上點(diǎn)，AD平分角A,且〃=3,AD=6,求5T.

【解析】(1)因?yàn)?c—b)sinC=(Q—Z?)(sinA+sin3),

由正弦定理可得(c-b)c=(a-b)(a+b),整理得/+一A=/,

b2+c2-a2be_1

由余弦定理,可得cosA=

2bc2bc~2

又因?yàn)锳￡(0,1),可得A=q.

(2)因?yàn)椤锽C上點(diǎn)，AD平分角A,貝1JS-BC=gAsinA=，

又由ZMC=-AC-ADsin-+-AB-ADsin—=--AD(b+c)=—(b+c),

2224"4"

可得Z?c=Z?+c,

3

又因?yàn)閆?=3,可得3c=3+c,解得0=5,

因?yàn)锳ABBDBDC

AC所,所以灰=g

2

變式9.（2024?安徽淮南?統(tǒng)考二模）如圖，在中，AB=2,

3sin2B-2cosB-2=0.且點(diǎn)。在線段BC上.

（2）若BD=2DC,smZBA"=40,求△A3。的面積.

sinZCAD

【解析】（1）由—2cos5—2=0,可得3cos23+2cos5—1=0,

所以cos5=g或cos5=-l（舍去）,

所以sinB=RL

3

因?yàn)镹ADC=型，所以44￡>8=工,

44

ABADQ

由正弦定理可得:所以AO=,

sinZADBsinB

s-ABADsinZBAD

（2）由BL>=2L>C,得產(chǎn)坦=2,所以彳----------------=2,

%加-AC-ADsinZCAD

2

esinZBAD./-

因?yàn)殂@=2'所