第1頁/共1頁廣東省六校（廣東省北中、河中、清中、惠中、陽中、茂中）2024-2025學年高二上學期12月聯合質量檢測數學試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.5.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數函數性質得集合，然后由交集定義計算．【詳解】，又，故選：B.2.已知數列滿足,則（）A.2024 B.2025 C. D.【答案】C【解析】【分析】通過已知條件構造數列，得到數列數列為等差數列，求出數列通項公式，進而求出數列的通項公式即可求解.【詳解】因為，，則有，故數列是以1為首項，公差的等差數列，故，所以，則.故選：C.3.已知直線的傾斜角為，直線的方向向量為，若，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求得直線的斜率，再根據方向向量的知識求得.【詳解】設的斜率分別為，因為直線的傾斜角為，則，因為，則，又因為直線的方向向量為，則有，則有.故選：D4.斐波那契數列因數學家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數列”.因趨向于無窮大時，無限趨近于黃金分割數，也被稱為黃金分割數列.在數學上，斐波那契數列由以下遞推方法定義：數列滿足，若從該數列前12項中隨機抽取1項，則抽取項是偶數的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據古典概型的概率計算公式計算即可求解.【詳解】由題意可知數列滿足，所以該數列前12項分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中是偶數的有：2，8，34，144，故從該數列前12項中隨機抽取1項，則抽取項是偶數的概率為.故選；C.5.如圖，在四面體中，點，分別是，的中點，點是線段上靠近點的一個三等分點，令，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據空間向量的線性運算來求得正確答案.【詳解】連接，，則.故選：A6.已知圓截直線所得線段的長度為，則圓與圓的位置關系是（）A.內切 B.外切 C.相交 D.外離【答案】D【解析】【分析】根據圓的弦長公式，結合點到直線的距離公式可得，即可根據圓心距與半徑的關系求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以.圓的圓心為，半徑，所以兩個圓的位置關系是外離.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角的正切公式求出，然后將其次式化簡求值即可.【詳解】，解得或，所以，故選：A.8.已知函數的定義域為，且為奇函數，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據求出的一個周期為4，由為奇函數求出函數的圖象關于點對稱，然后求解即可.【詳解】由，則，所以，所以的一個周期為4.由，令，則有，所以.因為為奇函數，所以，所以，所以函數的圖象關于點對稱，所以，所以，令，則，即，令，則，令，則，而，又因為的一個周期為4，所以，故選：B.二、選擇題.本題共有3小題，本題共18分，每小題6分.每小題有四個選項，其中有多個選項是正確的，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最小值為?2 B.最小正周期為C.在上單調遞減 D.的圖象關于對稱【答案】AC【解析】【分析】先利用輔助角公式化簡可得，再利用余弦函數的性質進行逐項檢驗即可求解.【詳解】因為.對于A，當時，最小值為，A正確；對于B，因為，所以的最小正周期為B錯;對于C，當時，，則在上單調遞減，C正確；對于D，當時，，D錯.故選：AC.10.設為等差數列的前項和，且.若，則（）A.的最大值是 B.的最小值是C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據等差數列求和公式可得單調遞增，結合得且，結合單調性以及求和的性質即可求解.【詳解】因為，則，即.故單調遞增，因為，即有且，故數列前1012項均為負數，而第1013項以及以后各項都是正數，故的最小值是，無最大值，故A錯誤，B正確;又因為，則有，故C錯誤，D正確.故選:BD.11.如圖，在邊長為2的正方體中，點在線段上運動，則下列結論正確的是（）A.B.的最小值為C.三棱錐的體積是定值D.存在點使直線與直線夾角的余弦值為【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐項判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設，則.對于選項A：因為，故，故A正確;對于選項B:結合題意易得：，當時，取得最小值為，故B正確;對于選項C:因為平面平面，則平面，所以三棱錐的體積為，故C錯誤；對于選項D:因為，，設與的夾角為，則，因為，則，故不存在點使直線與直線夾角的余弦值為，故D錯誤.故選:AB.三、填空題.本題共有3小題，每小題5分，本題共15分.12.有一組按從小到大順序排列的數據：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數相等，則這組數據的中位數為___________.【答案】##【解析】【分析】由極差和平均數求出，即可求出中位數.【詳解】依題意可得極差為，平均數為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：13.如下圖所示,一座圓拱橋,當水面在某位置時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬為________m.【答案】【解析】【分析】以圓拱拱頂為坐標原點,以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂的豎線為縱軸,建立直角坐標系,根據題意可以求出找到一個點的坐標,這樣可以求出圓的方程,最后可以求出當水面下降1m后,水面寬的大小.【詳解】以圓拱拱頂為坐標原點,以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂的豎線為縱軸,建立直角坐標系,如下圖所示：由題意可知：設圓的方程為：(其中為圓的半徑),因為拱頂離水面2m,水面寬12m,所以設,代入圓的方程中得：,所以圓的方程為：,當水面下降1m后,設代入圓的方程中得：.故答案為：【點睛】本題考查了圓的方程的實際應用,考查了數學運算能力和閱讀能力.14.已知正四面體的棱長為3，平面BCD內一動點滿足，則取最小值時，直線AP與直線BC所成角的余弦值為_____________.【答案】##【解析】【分析】先利用正四面體性質由確定點軌跡，然后根據圓的性質確定最小時點位置，再建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量法求異面直線所成角．【詳解】設在平面BCD內的投影為，故為的重心，故，，故的軌跡為平面BCD內以為圓心，為半徑的圓.當取最小值時，三點共線時，且在BE之間時，的最小值是.以為原點，BE所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，故.設直線AP與直線BC所成角為.故答案為：．四、解答題.本題共有5小題，本題共77分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角求解即可；（2）先由正弦定理求出，然后由三角形內角的關系求出，再由三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】，由正弦定理得，即，又，【小問2詳解】且，則，，由正弦定理有，即，解得.，，的面積.16.記為等差數列的前項和，已知.（1）求的通項公式;（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；（2）討論的符號去絕對值，結合等差數列求和公式求解.【小問1詳解】在等差數列中，，解得，則.【小問2詳解】因為，則.當時，數列的前項和；當時，數列的前項和.故.17.籃球三人賽參賽隊伍要進行投球測試，測試規定每支球隊三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和為2分或以上視通過測試.現有甲、乙、丙組隊參與投球測試，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影響.（1）求乙、丙兩人各自命中的概率;（2）求甲、乙、丙這支球隊通過投球測試的概率.【答案】（1）乙、丙兩人各自命中的概率分別為.（2）【解析】【分析】（1）根據題意結合獨立事件的概率乘法公式運算求解；（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中兩種情況，結合獨立事件的概率乘法公式運算求解.【小問1詳解】設乙、丙兩人各自命中的概率分別為，每人是否命中互不影響，故，解得，故乙、丙兩人各自命中的概率分別為.【小問2詳解】甲、乙、丙這支球隊通過投球測試，則三人得分和為2分或3分.三人得分和為3分，即甲、乙、丙三人均命中，概率為，三人得分和為2分，即甲、乙、丙三人中恰有2人命中，其概率為，故甲、乙、丙這支球隊通過投球測試的概率為.18.如圖，在四棱錐中，平面，且為CD的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式求解即可；（3）不妨設則設出的坐標，利用向量求線面所成的角的正弦值得出的坐標，然后求解點到平面的距離即可.【小問1詳解】證明：因為，所以四邊形是平行四邊形，因為，所以平行四邊形是矩形，則.因為平面平面，所以，又因為平面，且，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，即兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，而所以，令，則.設平面的一個法向量為，而，所以，令，則，記平面與平面的夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】依題意，不妨設則又由（2）得平面的一個法向量為，記直線CM與平面所成角為，所以，解得（負值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.19.已知過點，且圓心關于直線對稱的點為，過點作兩條相異直線分別與相交于，，且直線和直線的斜率互為相反數.（1）求的標準方程；（2）為坐標原點，證明直線與平行；（3）設直線的斜率為正數，且直線和直線PB與軸的交點分別為，，求面積的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據點關于直線的對稱點的知識求得，再求得的半徑，從而求得的標準方程.（2）設出直線的方程并與的方程聯立，求得點的橫坐標，同理求得點的橫坐標，進而求得的斜率，從而證得結論成立.（3）先求得的坐標，求得三角形面積的表達式，然后利用換元法和基本不等式來求得面積的最大值.【小問1詳解】因為圓心關于直線對稱的點為，則，解得.則圓的方程為，將點P的坐標代入得，故圓的方程為.【小問2詳解】因為直線和直線的斜率存在，且互為相反數，故可設，其中由，得因為的橫坐標一定是該方程的解，故可得同理，可得，所以直線與平行.小問3詳解】直線的斜率為正數，則，由（2）知，則PA與軸交點為，同理PB與軸交點為，則由（2）有，則，則，所以，令，