期中真題必刷壓軸60題（16個考點專練）

一.全等三角形的判定與性質（共20小題）

1.（2022秋?江都區(qū)期中）如圖，點C在線段A8上，AD//EB,AC=BE,AD=BC.C/平分NOCE.

求證：（1）AACD^ABEC；

（2）CF1DE.

【分析】（1）根據(jù)平行線性質求出N4=N&根據(jù)SAS推出即可.

（2）根據(jù)全等三角形性質推出CO=CE,根據(jù)等腰三角形性質求出即可.

【解答】證明：（1）,:ADUBE,

???/A=N8,

在AACO和△BEC中

rAD=BC

<ZA=ZB>

AC=BE

:.△ACDgABEC（SAS）；

（2）:△ACO絲△BEC,

：.CD=CE,

又戶平分NOCE,

：.CFVDE.

【點評】本題考查了平行線性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形性質的應用，注意：全等三角

形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

2.（2022秋?江都區(qū)校級期中）如圖，己知在四邊形48co中，點E在AD上,ZBCE=ZACD=W,Z

BAC=ZD,BC=CE.

（1）求證：AC=CD,

(2)若AC=AE,求NOEC的度數(shù).

D

E

BC

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等可得到N3=N5,結合條件可得到N1=NO,再加上BC=CE,可證

得結論；

(2)根據(jù)NACO=90°,AC=CD,得到N2=NO=45°,根據(jù)等腰三角形的性質得到N4=N6=67.5°,

由平角的定義得到N￡>EC=180°-Z6=112.5°.

【解答】解：VZBCE=ZACD=90°,

/.Z3+Z4=Z4+Z5,

r.Z3=Z5,

rZl=ZD

在ZXABC和△OEC中，./3=/5，

BC=CE

:.XABCm4DEC(AAS),

，AC=CO；

(2)VZACD=90°,AC=CD,

AZ2=ZD=45°,

*：AE=AC,

???/4=N6=67.5°,

.?.Z￡>￡C-1800-Z6=112.5°.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、

AAS和HL.

3.（2021秋?武進區(qū)期中）如圖，在四邊形A8CO中，AD//BC,E為CD中點、,連接AE并延長交8C的延

長線于點F.

(1)求證：C〃=A￡)；

(2)連接BE,BE±AF,AD=2,AB=6r求△。的長.

【分析】（1）根據(jù)4As證明AAO七與△八;七全等即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質解答即可.

【解答】證明：（1）,：AD//BC,

?"DAE=/CFE,/D=/ECF,

???￡為CO的中點，

:?DE=CE,

在AAOE與AFCE中，

rZDAE=ZCFE

<ZD=ZECF，

DE=CE

LADE^△FCE（AAS）,

：.CF=AD；

（2）VAADE^AFCE,

：.CF=AD=2,AE=EF,

??跖_LAA,

???8尸=48=6,

：,BC=BF-CF=6-2=4.

【點評】此題主要考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據(jù)A4S證明AAOE與△FCE全等.

4.（2021秋?廣陵區(qū)期中）如圖，AB=AD,CBLAB,CDLAD,E、F分別是8C、OC的中點.求證：AE

=AF.

（2）如圖，若8七的延長線交AC于點F,且8凡LAC,垂足為F,NB4C=45°,原題設其它條件不變,

求證：△入RFg^BCF.

【分析】（1）由等腰三角形的性質知/84E=NCAE,由AB=AC.AE=AE利用“S4S”證△ABEgAACE

即可得證.

（2）根據(jù)垂直定義求出NA尸8=N8尸C=N4O8=90°,求出NC8F=NE4F,根據(jù)等腰三角形的判定

推出AF=BF,根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可.

【解答】證明：（1）'：AB=AC,。是8c的中點，

???/84E=NCAE,

在AASE和AACE中，

rAB=AC

???<ZBAE=ZCAE

AE=AE

:.2ABE色MCE（SAS'）,

：.BE=CEt

(2)*：AB=AC,點。是BC的中點，

???AO_LBC,即NAOC=90°,

???/CAZMNC=90°,

???BF_LAC,NBAC=45°,

尸

+NC=90°,ZBFC=ZAFE=90°,BF=AFf

：?2CAD=NCBF；

在△4E〃和△BCr中，

rZEAF=ZCBF

AF=BF，

ZAFE=ZBFC

:?△AEF9RBCF(ASA).

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質.解答此題也可以利用等腰三角形“三

線合一”的性質來證明相關三角形的全等.

6.（2021秋?靖江市校級期中）如圖，/R=NE=RiN.AB=AE,N1=N2.求證：N3=N4.

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得到4C=A。，然后由全等三角形的判定和性質即可得到結論.

【解答】證明：VZ1=Z2,

：.AC=AD,

在Rt^ABC和Rf/\AED中

[AB=AE,

lAC=AD，

ARtAABC^RtAAro（HL）,

AZ3=Z4.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質

是解題的關鍵.

7.（2020秋?啟東市校級期中）（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如

圖1,已知：在△4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點A,8O_L直線/,CE_L直線/,垂足分

別為點。、E.證明：DE=BD+CE.

（2）組員小劉想，如果二個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2,將（1）中的條件改為：在Z\A6c

中，AB=AC,。、A、E三點都在直線/上，并且有NBD4=NAEC=N8AC=a,其中a為任意銳角或

鈍角.請問結論OE=8D+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,過△8水：的邊4B、

AC向外作正方形ABQE和正方形AUG,AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點J,求證：/是EG的

中點.

G

【分析】(1)由條件可證明△ABOgACAE,可得D4=CE,AE=BD,可得OE=BO+CE；

(2)由條件可知N8AO+NCAE=180°-a,且/。84+/朋。=180°-a,可得NOB4=NCAE,結合

條件可證明AAB。絲/XCAE,同(1)可得出結論；

(3)由條件可知EM=4H=GM可得石M=GM結合條件可證明可得出結論/是EG

的中點.

???BD_L直線/,CEJ?直線/,

；./BDA=NCEA=900，

VZfiAC=90",

：.^BAD+ZCAE=90°

*：^BAD+ZABD=90°,

，乙CAE=/ABD

在AAOB和ACEA中，

rZABD=ZCAE

?NBDA:NCEA，

AB=AC

:?△ADB4BCEA(AAS),

：.AE=BD,AD=CEt

:.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)DE=BD+CE.

如圖2,

AE

圖2

證明如下：

???/BOA=NBAC=a,

A^DBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a

：.^DBA=ZCAE,

在AAOB和ACEA中.

rZBDA=ZAEC

<ZDBA=ZCAE.

AB=AC

A^ADB^/\CEA(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

:.DE=AE+AD=BD+CE

(3)如圖3,

BHC

圖3

過E作EM_LH/于M,GN_Lm的延長線于N.

???NEMI=GNI=90°

由(1)和(2)的結論可知EW=A"=GN

：,EM=GN

在△EM/和△GM中，

rZEIM=ZGIN

<ZEMI=ZGNL

EM=GN

叢GNI(A4S),

：,EI=Gl,

；?/是EG的中點.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，由條件證明三角形全等得到CE=4C是解題

的關鍵.

8.(2020秋?啟東市校級期中)如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于。，點P

是BA延長線上一點，點。是線段A。上一點，OP=OC.

(1)求NAPO+NOCO的度數(shù)；

(2)求證：AC=AO+AP.

BD~

【分析】(1)由AB=AC,4。_13。可得/0。3=/0。。，公用，二個條件可證明△03。名△08,

得到08=。。，已知。尸=0C,可得兩個等腰三角形△SPO和△8C0,根據(jù)等腰三角形的性質和角的和

差得N4PO+NOCO；

(2)因N84C=120°,AB=AC,AD1BC,得N/MO=60°；在RtZXAOH中，N/MO與N//OA互余，

求得N"Q4=3O°,即可證明40=247；等腰三角形ABP。中，BO=PO,尸可得8"=尸〃；再

由線段“P=AP+A〃，AB=BH+AH,可證明AC=APMO.

【解答】解：(1)連接30,如圖1所示：

D-

圖1

'：AB=AC,ADLBC,

:,BD=CD,NODB=NODC,

在△OBO和△OCO中，

rOD=OD

?NODB=NODC，

BD=CD

:.4OBD當AOCD(SAS),

：.OB=OC,

又???OP=OC,

二OB=OC=OP,

二/APO=NAB。,ZDBO=ZDCO,

又???N84C=120°,

4BC=N4C8=30°,

又??,ZABD=NABO+NO8O=30°,

???/4PO+NOCO=30°；

(2)過點O作OH上BP于點H,如圖2所示:

???/BAC=120°,AB=AC,ADVBC-

???/HAO=NC4O=60°,

又'??OHIBP,

???/O/M=90°,

：.ZHOA=30°,

：.AO=2AH,

又'：BO=PO,OH上BP,

:,BH=PH,

又'??HP=4P+A”，

：.BH=AP+AH,

^'：AB=BH+AH,

：.AB=AP+2AH,

又'.Y8=4C,AO=2AH,

：,AC=AP+AO.

【點評】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，直角三角形中30°角對

應的直角邊等于斜邊的一半，線段、角的和差等相關知識，重點掌握全等三角的判定與性質，難點是輔

助線構建等腰三角形和直角三角形：本題證明線段。8=0。時，用線段垂直平分線的性質更簡便.

9.（2022秋?浦水縣期中）已知：如圖，在△ABC、/XADE中，N84C=NOAE=90°,A8=AC,AD=AE,

點、C、D、E三點在同一直線上，連接8D

（】）求證：HBMyg4CAE：

（2）請判斷80、CE有何大小、位置關系，并證明.

【分析】（1）要證△84。且△&1￡：,現(xiàn)有A8=AC,AD=AE,需它們的夾角N84￡>=NCAE,而由NB4C

=ZDA￡=90°很易證得.

（2）BD、CE有何特殊位置關系，從圖形上可看山是垂直關系，可向這方面努力.要證3O_LC￡,需證

NBDE=90：需證NAO8+NAOE=90°可由直角三角形提供.

【解答】證明：（1）???NB4C=ND4E=90°,

：.^BAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,

.??/BAO=NC4E

在△64。和△C4E中，

'AB=AC

?ZBAD=ZCAE-

AD=AE

/.△BAD^ACAE（SAS）.

（2）BD=CE,BDA.CE,理由如下：

由（1）知，△BADg△C4E,

:?BD=CE；

?.?△BADdCAE,

/ABD=NACE,

VZABD+ZDBC=45°,

AZACE+ZDBC=45°,

：?NDBC+/DCB=NDBC+/ACE+/ACB=90°,

則BDVCE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質；全等問題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細觀察,

認真推敲方可.做題時，有時需要先猜后證.

10.(2021秋?平邑縣校級期中)(1)如圖①，在四邊形A5CO中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E,尸分別

是邊BC,CD上的點，且NEA尸請直接寫出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關系：EF=

2

BE+FD；

(2)如圖②，在四邊形A8CO中，AB=AD,ZB+ZD=I8O°,E,尸分別是邊BC,CO上的點，且N

EAF=1ZBAD,(1)中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；

2

(3)在四邊形48co中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,〃分別是邊8C,C0所在宜線上的點，且N

請直接寫出線段E尸，BE,尸。之間的數(shù)量關系：EF=BE+FD或EF=BE■尸。或E尸

2

【分析】(1)如圖1,延長石8到G,使8G=。凡連接4G,即可證明△ABG0△4。尸，可得AF=AG,

再證明△AEF且ZXAEG,可得EF=EG,即可解題；

(2)如圖2,同理可得：EF=BE+DF-,

(3)如圖3,作輔助線，構建△4BG,同理證明△ABGgZXAD廣和△4EG絲△AEE可得新的結論：EF

=BE-DF.

【解答】解：(1)如圖1,延長EB到G,使BG=OF,連接AG.

???在△48G與△AO尸中，

rAB=AD

<NABG=NADF=90°，

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：,AG=AF,Z1=Z2,

Z1+Z3=Z2+Z3=—ZBAD=NE4F.

2

：.^GAE=ZEAF.

又AE=AE,

易證

：,EG=EF.

'：EG=BE+BG.

:?EF=BE+FD

(2)(1)中的結論E尸=8E+FO仍然成立.

理由是：如圖2,延長到G,使BG=DF,連接AG.

VZABC+ZD=180°,NA8G+N4BC=180°,

:./ABG=ND,

??,在△4BG與F中，

rAB=AD

'ZABG=ZD?

BG=DF

A(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

???Z1+Z3=Z2+Z3=^ZBAD=ZEAF.

2

:"GAE=NEAF.

又AE=AE,

：,EG=EF.

,：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)當(1)結論EF=BE+FD成立,

當圖三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

證明：在8E上截取5G,使8G=。凡連接4G.

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=\S00,

:.乙B=4ADF.

???在ZVIBG與44。尸中,

'AB=AD

-NABG=NADF，

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

???N8AG=NOA尸，AG=AF.

???NBAG+NEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=-ZBAD.

2

???/G4E=NEA尸.

9

：AE=AEf

:.XAEGQXAEFCSAS).

：.EG=EF

*：EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：，EG=M

?:EG=BG?BE

：.EF=FD-BE.

故答案為：(I)EF=BE+FD;(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.

GC

圖2

【點評】本題是三角形的綜合題，利用全等三角形的判定與性質得出A/=4G是解題關犍，再利用全等

三角形的判定與性質得出EF=EG,本題的4個問題運用了類比的方法依次解決問題.

11.（2022秋?臨淄區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=2,N8=40。，點。在線段BC上運動（點。不

與點B、。重合），連接AO,作乙4。￡=40。，。上交線段AC于點￡

（1）當N8ZM=115°時，ZEDC=250,ZAED=65°；

（2）線段。。的K度為何值時，AABD沿ADCE,請說明理由；

（3）在點。的運動過程中，△4DE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求NBD4的度數(shù)；若不可以，

請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到N3AO=25°,根據(jù)等腰三角形的性質得到NC=N3=40°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案；

（2）當。。=2時，利用NOEC+NEZ）C=140°,ZADB+ZEDC=\40°,得到/AOB=NOEC,根據(jù)

AB=DC=2,證明△ABOg/XOCE；

（3）分。AE=AD.E4=E。三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理計算.

【解答】解：⑴*：AB=ACt

.*.ZC=ZB=40°,

VZADE=40°,ZBDA=115°,

VZEDC=1800-ZADB-ZADE=25°,

：./AED=ZEDC+ZC=25°+40°=65°,

故答案為：25；65；

（2）當OC=2時，AABD妾ADCE,

理由：*：AB=2fDC=2,

：.AB=DC,

VZC=40°,

/.^DEC+ZEDC=140°,

???/AOE=40°,

AZADB+ZroC=140°,

:.^ADB=/DEC,

在△ABO和△￡>(；￡：中，

rZADB=ZDEC

?ZB=ZC，

AB=DC

:.XABD9&DCE(A4S)；

(3)當N8D4的度數(shù)為110°或80°時，的形狀是等腰三角形，

①當OA=OE時，ZDAE=ZDEA=70°,

.??/BD4=ND4E+NC=700+40°=110°；

②當AO=AE時，ZAED=ZADE=4Q0,

AZDAE=100°,

此時，點。與點8重合，不合題意；

③當E4=E。時，ZE4D=ZADE=40°,

/.ZBDA=Z￡AD+ZC=400+40°=80°；

綜上所述，當N8D4的度數(shù)為110°或80°時，△4/)￡：的形狀是等腰三角形.

【點評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，掌握

全等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵.

12.(2021秋葉B江區(qū)期中)已知：如圖，△ABC中，AB=AC,D是BC上一點，點E、P分別在AB、AC

上，BD=CF,CD=BE,G為E產(chǎn)的中點.求證：DG±EF.

B

D

【分析】先證明△加陀法△（:p￡>,進而得到。石=。凡然后根據(jù)等腰三角形的性質可得OGJ_）:

【解答】證明：'：AB=AC,

：2B=/C,

在△BED和△CO尸中，

BE=CD

<NB=NC，

BD=CF

：?、BDE在叢CFD（SAS）,

:?DE=DF,

???G是E尸的中點,

：.DG±EF,

【點評】此題主要考查了全等三角形的性質與判定，以及等腰三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的

判定定理.

13.（2021秋?錫山區(qū)期中）如圖，在RtAABC中，NC=90°,點尸為AC邊上的一點，將線段AP繞點A

順時針方向旋轉（點P對應點P'）,當AP旋轉至AP'_LAB時，點8、P、尸恰好在同一直線上，此

時作P'EJ_AC于點E

(1)求證：NCBP=NABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當空/，BP'=5祈時，求線段A8的長.

PE2

【分析】（I）根據(jù)旋轉的性質可得AP=4P',根據(jù)等邊對等角的性質可得NAPP'=ZAP'P,再根據(jù)

等角的余角相等證明即可；

（2）過點P作PDA.AB于D,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出N

PAD=ZAP'E,利用“角角邊”證明△八PO和△2'AE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=QP,

從而得證：

（3）設CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP'=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P'E=

伏，再求出△A8P'和△EP'P相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出P'LAB,然后在RtA

ABP'中，利用勾股定理列式求解即可.

【解答】（1）證明：???AP'是4P旋轉得到，

：.AP=APr,

:.乙APP=N4PP,

VZC=90°,AP'LAB,

???/CBP+NBPC=90°,ZABP+ZAP'P=90°，

又'：NBPC=NAPP'（對頂角相等），

:.NCBP=ZABPx

（2）證明：如圖，過點P作FO_LA3于。，

?：/CBP=NABP,ZC=90°,

：,CP=DP,

VP/ELAC,

：.^EAP'+ZAP'F=90°,

又'；/以￡>+/&^'=90°,

：./PAD=ZAP'E,

rZPAD=ZAPyE

在"PO和4E中，.ZADP=ZPZEA=90°，

AP=APy

/.AAPD^AP1AE（A4S）,

：.AE=DP,

：.AE=CPi

???設CP=3A,PE=2k,

則AE=CP=3A,AP'=AP=3A+2A=5億

在RtZ\AEP'中，P'E=d（5k）2-（3k）2=軟,

VZC=90°，P'E_LAC,

，NCBP+NBPC=90°，NEP'P+NEPP'=90°,

*：/BPC=ZEPP'（對頂角相等），

:,乙CBP=NEP'P,

又；/CBP=/ABP,:?/ABP=/EP'P,

又???NBAP=NPEP=90°,

:‘XABP'sREP'p,

.AB_PZA

??JEPE

即膽=3,

4k2k

解得P'A=^AB,

2

在RtZXABP中，A^+P'A1=BP,2,

即A"+1A^2=（5V5）2,

4

解得AB=10.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的

性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，（2）作輔助線構造出過渡線段OP并得到全等三角形是解

題的關鍵，（3）利用相似三角形對應邊成比例求出P'4=當8是解題的關鍵.

14.（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們

一起活動吧.

【探究與發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,40是△44C的中線，延長A。至點E,使￡￡>=4￡>,連接BE,寫出圖中全等的兩個三角

形△ACDWAEBD

【理解與應用】

（2）填空：如圖2,EP是尸的中線，若EF=5,DE=3,設EP=x,則x的取值范圍是一IVxV

4

（3）已知：如圖3,A。是△A6C的中線，ZBAC=ZACB,點。在BC的延長線上，QC=BC,求證:

AQ=2AD.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結論;

（2）延長EP至點。，使PQ=PE,連接尸Q,根據(jù)全等三角形的性質得到尸。=OE=3,根據(jù)三角形的

三邊關系即可得到結論；

（3）延長A￡>到用，使連接于是得到AM=2AO由已知條件得到3。=8,根據(jù)全等

三角形的性質得到BM=CA,NM=NCAD,于是得到NBAC=N8AM+NC4O=N8AM+NM,推出△

ACQ^AMBA,根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】（1）證明：在△ADC與△EDB中，

'AD=DE

<NADC=/BDE，

CD=BD

△ADC^AEDB：

故答案為：△AOCg/XEOB：

（2）解：如圖2,延長EP至點。，使PQ=PE,連接尸Q,

仕△尸DE與ZXPQ廠中,

rPE=PQ

<NEPD=NQPF，

PD=PF

/.△PEP^AQFP,

：.FQ=DE=3,

在AEF。中，EF-FQ<QE<EF+FQ,

即5-3V2xV5+3,

.F的取值范圍是l<x<4；

故答案為：1VXV4；

(3)證明：如圖3,延長AQ到",使"￡)=人￡),連接由

：.AM=2AD,

,?飛。是△ABC的中線,

：.BD=CD,

在Z\BM。與△CA。中,

rMD=AD

</BDA=NCDA，

BD=CD

:.XBMD94CAD,

：.BM=CAtNM=NC4￡>,

:./BAC=NBAM+NCAD=NBAM+NM,

???/AC8=NQ+NCAQ,AB=BC,

???/ACQ=180°-(NQ+NC4Q),NMB4=180°-(NBAM+NM),

:./4CQ=NMBA,

,:QC=BC,

：,QC=ABf

在AACQ與△MBA中，

fBH=CA

IZACQ=ZMBA，

IQC=AB

：.AQ=AM=2AD.

圖2

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的中線的定義，三角形的三邊關系，正確的作出

圖形是解題的關鍵.

15.(2021秋?松山區(qū)期中)［閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖1,△A8C中，若48=8,AC=6,求4c邊上的中線4。的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,

得到了如下的解決方法：延長到點￡使OE=A。，請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△4OC也4EOB的理由是一B.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范圍是C.

A.6<AD<8B.6WAOW8C.1<AD<7D.IWAOW7

【感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線"字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,A。是△ABC的中線，BE交AC于E,交AD于尸，KAE=EF.求證：AC=BF.

【分析】(1)根據(jù)AO=OE,ZADC=ZBDE,80=0。推出△AOC和aEOB全等即可；

(2)根據(jù)全等得出8E=4C=6,AE=2AD,由三角形三邊關系定理得出8?6<2AO<8+6,求出即可;

(3)延長4D到“，使AD=OM,連接BM,根據(jù)S4S證推出BM=4C,ZCAD=Z

M,根據(jù)AE=石產(chǎn)，推出NC4￡>=NA/E=NBm,求出N8H)=NM,根據(jù)等腰三角形的性質求出即可.

【解答】(1)解：???在△4OC和△EOB中

rAD=DE

?ZADC=ZBDE.

BD=CD

:?△ADCQAEDB(SAS),

故選8；

(2)解：二?由(1)知：AADC^AEDB.

：.BE=AC=6,AE=2AD,

???在△ABE中，AB=8,由三角形三邊關系定理得：8-6V2ADV8+6,

???1VAOV7,

故選C.

(3)證明：

延長4拉到M,使人。=。“，連接aW,

是△ABC中線，

:.CD=BD,

???在△AOC和△MOB中

DC=DB

<ZADC=ZMDB

DA=DM

:.AADgAMDB,

:?BM=AC,NCA￡>=NM,

?:AE=EF,

:.乙CAD=/AFE,

'：乙AFE=/BFD,

:"BFD=/CAD=/M,

：.BF=BM=AC,

即AC=BF.

【點評】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質和判定，全等三角形的性

質和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力.

16.(2022秋?潮安區(qū)期中)如圖，N84Q=NCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFVCB,垂足為尸.

(1)求證：

(2)求的度數(shù)；

【分析】(1)根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABCgZVIOE的條件；

(2)根據(jù)(1)中的結論和等腰直角三角形的定義可以得到/胡E的度數(shù)；

(3)根據(jù)題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結論成立.

【解答】證明：(1)VZfiAD=ZC4E=90°,

???/BAC+NCA0=9O°,ZCAD+ZDAE=90°，

：.^BAC=ZDAE,

在/XBAC和△DAE中,

'AB二AD

<ZBAC=ZDAE，

AC=AE

：,nBAC^/\DAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

AZE=45°,

由(1)知△8ACg△OAE,

???/BCA=NE=45°,

VAF1BC,

/.ZCM=90°,

.,.ZC4F=45°,

AZFAE=ZFAC+ZCAE=450+90°=135°；

(3)延長BF到G,使得“G=FB,

VAF±BG,

???/A尸G=NA/8=90°,

在尸8和產(chǎn)G中，

'BF=GF

</AFB=NAFG，

AF=AF

:?△AFB咨AAFG(SAS),

：,AB=AG,NABF=NG,

VABAC^ADAE,

：.AB=AD,/CBA=/EDA,CB=ED,

：,AG=AD,/ABF=/CDA,

?"G=/CDA,

???/GC4=NOCA=45°,

在ACGA和△CD4中，

2GCA=NDCA

<ZCGA=ZCDA-

AG=AD

AACGA^ACDA(AAS),

：.CG=CD,

VCG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

:.CD=2BF+DE.

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，

利用數(shù)形結合的思想解答.

17.（2021秋?船山區(qū)校級期中）如圖，AP//BC,NBAB的平分線與NC助的平分線相交于E,CE的延長

線交AP于D

（1）思考AE與8E的位置關系并加以說明；

（2）說明A8=AD+BC；

（3）若BE=6,AE=6.5,求四邊形A8CO的面積？

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得出/D4B+NC8A=180°,再利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和

解答即可；

（2）此題要通過構造全等二角形來求解，延長A七交6C'的延長線于M；由A“〃6C,及A七平分/外從

可求得NB4E=NM,即A8=BM,因此直線證得AO=MC即可；在等腰△A8M中，BE是頂角的平分

線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質知：E是AM的中點，WAE=EM,而陽〃8M,即可證得△4。巴烏

△MCE,從而得到所求的結論.

（3）由（2）的全等三角形可知：△ADE、△WCE的面積相等，從而將所求四邊形的面積轉化為等腰^

AB”的面積，易得AM、8E的值，從而根據(jù)三角形的面積公式求得aABM的面積，即四邊形AOC8的

面積.

【解答】（1）解：AE與垂直，理由如下：

■:AP//BC、

???/D48+NCB4=I80°,

,//PAB的平分線與NG3A的平分線相交于E,

???/E4B+NE8A=90°,

???NAE8=90°,

???AE_LE8；

(2)證明：延長4E交BC的延長線于M,

TAE平分NB4B,BE平分NCBA,

AZ1=Z2,N3=N4,

?：AD//BC

AZ1=ZA/=Z2,Zl+Z2+Z3+Z4=180°

：.BM=BAtN3+N2=90°,

???BE_L4M,

在ZVIBE和AMBE中，

23=N4

,BE=BE，

ZAEB=ZMEB

△ABEgAMBE

：.AE=ME,

在AAOE和△MCE中，

rZl=ZM

<AE=ME；

Z5=Z6

???△ADEMMCE,

：,AD=CM,

：,AB=BM=BC+AD.

(3)解：由(2)知：XROE烏XMCE、

?,?5四邊形A8C￡>=SziABM

又???AE=ME=6.5,BE=6,

，遼ABM9x13X6=39，

*?*S四邊%A5C￡>=39.

M

【點評】此題主要考查的是全等三角形的判定和性質，同時還涉及了角平分線定義、平行線的性質以及

等腰三角形的性質，正確地構造出全等三角形是解答此題的關鍵.

18.（2019秋?延平區(qū)期中）如圖1,ZUBC和△OEC都是等腰直角三角形，NACB=NOCE=90°,E在

線段AC上，連接AO,BE的延長線交AO于F.

（1）猜想線段BE,4。的數(shù)量關系和位置關系：BE=AD,BE上AD（不必證明）:

（2）當點E為△ABC內(nèi)部一點時，使點。和點E分別在AC的兩側，其它條件不變.

①請你在圖2中補全圖形；

②（1）中結論成立嗎？若成立，請證明：若不成立，請說明理由.

【分析】（1）判定△8CE0ZXACO,運用全等三角形的性質，即可得到線段BE,AO的數(shù)量關系和位置

關系；

（2）①依據(jù)點E為△ABC內(nèi)部一點時，點。和點E分別在AC的兩側，其它條件不變，即可補全圖形：

②判定△BCEg^ACO,運用全等三角形的性質，即可得到線段BE,A￡＞的數(shù)量關系和位置關系.

【解答】解：（1）BE=AD,BELADx

（2）①如圖所示：

②（1）中結論仍然成立.

證明：和△DEC都是等腰直角三角形，NAG?=NZ）CE=90°,

：.BC=AC,EC=DC,

V^ACB=ZDCE=90°,

:./ACB=NDCE,

:,乙BCE=NACO,

在ABCE和△ACO中，

BC=AC

<ZBCE=ZACD>

EC=DC

；?△BCE絲△AC。（SAS）,

：.BE=AD,Z1=Z2,

VZ3=Z4,

???/A尸8=NAC8=90°,

???BE_LAO.

【點評】本題主要考查了三角形全等的性質和判定，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線

段卻角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

19.（2023春?達川區(qū)期中）如圖，在四邊形48co中，AD//BC,E為8的中點，連接4E、BE,BELAE,

延長AE交BC的延長線于點凡已知.4。=2%，BC=5cm.

（1）求證：FC=AD；

【分析】（1）根據(jù)AQ〃BC可知NAOC=NEC/，再根據(jù)E是CO的中點可求出△4DE/根據(jù)

全等三角形的性質即可解答.

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質判斷出48=8尸=8C+b=8C+4Q,將已知代入即可.

【解答】（1）證明：???AO〃BC（已知），

???/4OC=NECF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

是。）的中點（已知），

：.DE=EC（中點的定義）.

???在△AOE與△尸CE中，

2ADC=NECF

<DE=EC，

ZAED=ZCEF

???△AOEg△尸CE（ASA）,

：.FC=AD（全等三角形的性質）；

（2）解：V^ADE^￡\FCE,

：.AE=EF,AO=CF（全等三角形的對應邊相等），

???BE是線段A尸的垂直平分線，

:.AB=BF=BC+CF,

,：AD=CF（已證），

：,AB=BC+AD（等量代換）

=5+2=7（cm）.

【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識.關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線

段的兩個端點的距離相等.

20.（2022秋?南關區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCO中，AD=BC=4,AB=CD,80=6,點、E從D點、

出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿OA向點A勻速移動，點尸從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C-

8-C做勻速移動，點G從點8出發(fā)沿8。向點。勻速移動，三個點同時出發(fā)，當有一個點到達終點時，

其余兩點也隨之停止運動.

（1）證明：AD//BC.

（2）在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)當點G的運動速度取某個值時，有AOEG與ABFG全等的情況出現(xiàn)，請

你探究當點G的運動速度取哪些值時，會出現(xiàn)ADEG與全等的情況.

【分析】(1)由AO=8C=4,AB=CD,80為公共邊，所以可證得△ABDg/XCOB,所以可知乙4￡>8=

ZCBD,所以AO〃8C；

(2)設運動時間為八點G的運動速度為y,根據(jù)全等三角形的性質進行解答即可.

【解答】(1)證明：在△A3。和ACDB中，

'AD=BC

?AB=CD，

BD=DB

:?△ABDW4CDB(SSS),

:.乙ADB=/CBD,

：.AD//BC；

(2)解：設運動時間為，，點G的運動速度為明

當0<t號時,

若2DEGmABGF,

則巧呻，

DG=BG

.ft=4-3t

?二6-BG二BG'

A(t=1,

!BG=3

???F=3：

若△OEG四△BGF,

rt=BG

6-BG=4-3t

rt=-l

(舍去);

BG=-1

若△DEGg△Bf'G,

DE=BF

則

DG=BG

.It=3t-4

：6-BG二BG

.t=2

??,

BG=3

.3

’,%；

若2DEG咨ABGF,

DE=BG

則

DG=BF

..'t;BG

6-BG=3t~4

'5

.t至

5,

BG得

?**v=1.

綜上，當點G的速度為3或1.5或1時.會出現(xiàn)AOEG與△BFG全等的情況.

【點評】本題主要考查三角形全等的判定和性質，平行四邊形的判定與性質，第（2）題解題的關鍵是利

用好三角形全等.

二.線段垂直平分線的性質（共2小題）

21.（2022秋?靖江市校級期中）如圖，在△A8C中，ZC=90°,點P在AC上運動，點。在48上，PD

始終保持與外相等，8。的垂直平分線交4c于點E,交BD于點、F,連接

（1）判斷與OP的位置關系，并說明理由；

（2）若AC=6,8c'=8,M=2,求線段。七’的長.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得到NA=NPD4,根據(jù)線段垂直平分線的性質得到即=即，于是

得到結論；

（2）連接設。￡=斯則EB=ED=x,CE=8-x,根據(jù)勾股定理即瓦得到結論.

【解答】解：（1）DEA.DP,

理由如下：?.?PO=%,

/./A=ZPDA,

???E尸是8。的垂直平分線，

:?EB=ED,

:.乙B=4EDB,

VZC=90°,

???/A+N8=90°,

；?/PDA+NEDB=90°,

AZPDE=180°-90°=90°,

：.DEA.DP；

(2)連接PE,設DE=x,則EB=ED=x,CE=8-x,

VZC=ZPDE=90°,

:.PC^+CE1=PE1=PD1+DE^,

A42+(8-x)2=22+X2,

解得：x=4.75>

則DE=4.75.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線解題的

關鍵.

22.(2021秋?阜寧縣期中)如圖，在△ABC中，DM.EN分別垂直平分4c和BC,交4B于M、N兩點,

0M與硒相交于點凡

(1)若的周長為15cm,求A8的長;

(2)若NMFN=70°,求NMCN的度數(shù).

c

【分析】（l）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=CM，BN=CN,然后求出4

CMN的周長=AB；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出NM/VF+NNM凡再求出N4+/B,根據(jù)等邊對等角可得NA=N

ACM,NB=NBCN,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.

【解答】解：（1）&V分別垂直平分AC和4C,

：.AM=CM,BN=CN,

；?〉CMN的周長=CM+MN+CN=HM+MN+3N=A8,

?「△CMN的周長為15cm,

.\AB=15cm；

（2）VZMFN=10Q,

???/MNF+NNMF=l800-70°=110°,

?:4AMD=/NMF,ZBNE=ZMNF,

；?/AMD+/BNE=NMNF+NNMF=110°,

/.ZA+ZB=900-ZAMD+900?NBNE=180°-110°=70°,

\'AM=CM,BN=CN,

，/A=NACM,/B=NBCN,

，/MCN=180°-2（NA+NB）=180°-2X70°=40°.

【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，三角

形的內(nèi)角和定理，（2）整體思想的利用是解題的關鍵.

三.等腰三角形的性質（共6小題）

23.（2022秋?金湖縣期中）如圖，在△ABC中，A8=4C,D、E兩點在邊上，KAD=AE.

求證：BD=CE.

【分析］先過A作AP_L8C于P,而H8=AC,根據(jù)三角形三線合一定理可得8P=CP,同理可得。