專題15易錯易混集訓：利用勾股定理求解四大易錯

【考點導航】

目錄

【典型例題】.................................................................................................................................1

【易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解】............................................1

【易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解】.................................................3

【易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解】.......................................9

【易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式】............................................................................16

【典型例題】

【易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解】

例題：（2023春?河南安陽?八年級校考期末）若三角形的兩邊長為4和5,要使其成為直角三角形，則第三

邊的長為.

【答案】3或兩7歷或3

【分析】根據勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角

三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊.

【詳解】解：當較大的數5為斜邊時，第三邊=石寸=3，

當第三邊為斜邊時，第三邊=，5?+42=如，

故答案為：3或6T.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角

形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?甘肅平涼?八年級校考階段練習）若一直角三角形兩邊的長為12和5,則第三邊的長為.

【答案】13或VH?

【分析】已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既可

以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利

用勾股定理求解.

【詳解】解：當12和5均為直角邊時，第三邊=病行=13；

當12為斜邊，5為直角邊，則第三邊=疤二手而，

故第三邊的長為13或而？.

故選：B.

【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊

長的平方是解答此題的關鍵.

2.（2022秋?廣東梅州?八年級校考階段練習）若直角三角形的兩條邊長為。，b,且滿足（。-3『+|〃-4|=0,

則該直角三角形的第三條邊長為.

【答案】5或4

【分析】先根據非負數的性質求出。與6的長，再分兩種情況根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：由題意得，a-3=0,6-4=0,

解得：fl=3,b=4,

當6為直角邊時，直角三角形的第三條邊長=,3?+4?=5,

當6為斜邊時，直角三角形的第三條邊長=?2-3?=幣,

故答案為：5或幣.

【點睛】本題考查了非負數的性質，勾股定理，以及分類討論的數學思想，分類討論是解答本題的關鍵.

3.如圖，點N把線段分割成AM,MN和NB,若以AM,MN,N8為邊的三角形是一個直角三角形，

則稱點N是線段的"勾股分割點已知點N是線段48的"勾股分割點"，若AM=3,MN=4,

則BN的長為.

【答案】5或近##"或5

【解析】

【分析】

分兩種情況討論：當AM=3,M0=4為直角邊時，當MN=4為斜邊時，則AM=3為直角邊，再利用勾股定

理可得答案.

【詳解】

解：當AM=3,M0=4為直角邊時，

\BNf'U=5,

當MV=4為斜邊時，則40=3為直角邊，

\BN=j￡-乎=幣,

故答案為：5或3

【點睛】

本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應用，理解新定義，再分類討論是解本題的關鍵.

【易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解】

例題：（2023春?湖北孝感?八年級校考階段練習）已知CD是AABC的邊A2上的高，若CO=V7,AD=3,

AB=2AC,則的長為.

【答案】5或11/11或5

【分析】分AABC是銳角三角形和AABC是鈍角三角形兩種情況，根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：當AABC是銳角三角形，如圖1,

-.-CDLAB,

ZCDA=90°,

由勾股定理得，AC=y/CD2+AD2=7（^）2+32=4,

AB=2AC,

AB=8,

.?.SD=8—3=5,

當”RC是鈍角三角形，如圖2,

AD=-JAC2-CD2=J42_訴2=3,

:.BD=AD+AB=3+S=ll

則BD的長為5或11,

故答案為：5或11.

222

【點睛】本題考查的是勾股定理,如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a+b=c,

解題關鍵是進行分類討論求解.

【變式訓練】

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統考三模）AABC的高AD長為3,且3。=6,CD=2,則"IBC的周長是

【答案】3指+A+8或3指+舊+4

【分析】分情況利用勾股定理求出各邊的長，繼而根據三角形的周長公式計算即可.

【詳解】解:如圖1：

圖1

3c=2+6=8,AB=打+6?=3/，AC=722+32=713>

所以三角形A3C的周長=AB+A￡)+BC=3岔+加+8；

如圖2：

圖2

3c=6-2=4,AB=V37+6?=3^-AC=V22+32=V13-

所以三角形ABC的周長=AB+A￡）+BC=36+JB+4；

故答案為：375+713+8^375+713+4.

【點睛】本題考查勾股定理，關鍵是根據題意畫出圖形，分情況討論.

2.（2022?北京?101中學八年級期中）在R/EL4BC中，EL4CB=90o,AC=4,AB=5.點尸在直線AC上，且

BP=6,則線段AP的長為.

【答案】36-4或36+4

【解析】

【分析】

根據題意，作出圖形，分類討論，根據勾股定理求解即可.

【詳解】

解：如圖，

EL4CB=90°,AC=4,AB=5

BC=sjAB2-AC2=V52-42=3

在中，pc=4PB。-3c2=后-32=34

PA-PC-AC=3^-4^PA=PC+AC=3A^+4

故答案為：3括-4或3V+4

【點睛】

本題考查了勾股定理，根據題意作出圖形，分類討論是解題的關鍵.

3.（2023春,四川綿陽?八年級東辰國際學校校考期中）在AABC中，AO是BC邊上的高，49=4,AB=4y/10,

AC=5,則AABC的面積為.

【答案】30或18/18或30

【分析】分兩種情況求解，首先利用勾股定理即可求得8C的長，再利用三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】解：分兩種情況：

(1)如圖，當AO在AABC的內部時,

A

?.?AD是3C邊上的高，

ZADB=ZADC=90°,

???在RtAABD中，BD=飛AB?-AD2=J(4A/10)2-42=12,

在RSACD中，CD=yjAC2-AD2=V52-42=3-

:.BC=BD+CD=12+3=15,

???^C=15CAZ)=1X15X4=30,

(2)如圖，當AD在&4BC的外部時，

?.?AO是BC邊上的高，

ZADB=ZADC=90°,

在RtAABD中，BD=JAB?-AD?=不(4廂j—4。=12,

222

在RLAACD中，CD=4AC-ACr=A/5-4=3-

:.BC=BD-CD=12-3=9,

??-5ABC=1BCAD=1x9x4=18,

故答案為：30或18.

【點睛】本題考查了勾股定理及三角形的面積公式，注意分類討論求得BC的長是解決本題的關鍵.

4.（2023春?黑龍江齊齊哈爾,八年級校考階段練習）已知等邊AABC的邊長為6,。為的中點，如果點尸

是射線AD上的一點，且PB=PC=2拒,那么AP的長為.

【答案】2指或4右/4右或2檔

【分析】分兩種情況，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：等邊的邊長為6,。為的中點

則AD13C,AZ）平分/R4C,BD=：BC=3

0ABAD=-ABAC=30°,ZADB=90°

2

^AD=y/AB2-BD2=3y/3

由題意可得：PD±BC

當點尸在AABC的內部時，如圖1,

由勾股定理可得：PD=^BP--BD-=A/3

^AP=AD-PD=2S!3

當點尸在“BC的外部時，如圖2,

由勾股定理可得：PD=《BP2-BD。=#）

^AP=AD+PD=4y/3

故答案為：2下＞或4拒

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質，學會分類討論

的思想求解問題.

5.（2023?黑龍江哈爾濱?統考模擬預測）在AABC中，AB=AC=6,線段AC的垂直平分線分別交AC,直

線AB于點O,E,若DE=4,則線段BE的長為.

【答案】1或11

【分析】分兩種情況，①AA5C是銳角三角形，②AABC是金屯角三角形，作出簡圖，由垂直平分線的性質可

得A￡)=gAC=3,由勾股定理可求得AE的長度，即可求8E.

【詳解】解：①當AABC是銳角三角形時，如圖，

回OE是AC的垂直平分線，AB=AC=6,

團ZADE=90。，AD=-AC=3,

2

團DE=4,

^AE=y/AD2^DE2=V32+42=5,

^BE=AB-AE=1；

②當AABC是鈍角三角形時，如圖，

團。石是AC的垂直平分線，AB=AC=6,

團石=90。，AD=-AC=3

2f

?：DE=4,

回AE=(">2+。￡2=打+42=5,

^BE=AB+AE=11；

故答案為：1或11.

【點睛】本題主要考查垂直平分線的性質，解答關鍵是熟記垂直平分線的性質.

【易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解】

例題：(2023春?遼寧撫順?八年級統考階段練習)如圖，在AABC中，ZACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,

動點尸從點8出發，沿射線以Icm/s的速度移動，設運動的時間為is,當△AB尸為等腰三角形時，，等

于_____

【分析】根據尸為等腰三角形進行分類討論，分別求出3P的長，即可求出

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZACB=90。，

由勾股定理得：SC=V102-62=8(cm),

由題意可知共三種情況，如下：

①=時，BP=t,則PC=8-

②當54=尸3時，AB=10,

所以f=10+l=10,

③當AB=AP時，即3P=23C=16,

所以/=16+1=16,

綜上所述，當f的值為925或10或16；

4

故答案為：?25或10或16

【點睛】本題主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分類討論思想，能夠正確地分類是解決

本題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022秋?江西萍鄉?八年級統考期中）如果等腰三角形的兩邊長為分別為5和3,那么等腰三角形的周長

為.

【答案】11或13/13或11

【分析】根據等腰三角形的性質即可求解.

【詳解】解：等腰三角形的兩邊長為分別為5和3,

團①邊長分別為5,3,3,

05-3<3<5+3,即2<3<8,能構成等腰三角形，

團該等腰三角形的周長為：5+3+3=11；

②邊長分別為5,5,3,

05-3<5<5+3,即2<5<8,能構成等腰三角形，

團該等腰三角形的周長為：5+5+3=13；

故答案為：11或13.

【點睛】本題主要考查等腰三角形三邊關系，掌握構成三角形三邊大小關系，等腰三角形的性質是解題的

關鍵.

2.（2023秋?全國?八年級專題練習）如圖，RtAu4CB中，NACB=90。，AC=5cm,AB=13cm,動點尸從

點B出發沿射線BC以Icm/s的速度運動，設運動時間為八，當△4PB為等腰三角形時，，的值為

【分析】當△APB為等腰三角形時，分三種情況：①當=3尸時；②當=時；③當=”時,

分別求出8尸的長度，繼而可求得f的值.

【詳解】解：?1-ZC=90°,AC=5cm,AB=13cm,

BC=V132-52=12(cm).

①當BP=BA=13時，r=y=13；

②當=時，BP=2BC=24cm,f=y=24；

③當尸3=以時，PB=PA=tcm,CP=(12-r)cm,AC=5cm,

在RjACP中，AP2=AC2+CP2,

即r=5?+(127)2,

mt=—169.

24

169

綜上，當尸為等腰三角形時，t=13或24或不.

24

故答案為：13或24或埒169.

24

【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用分類討論的思想思

考問題，屬于中考常考題型.

3.(2023?江西新余?統考一模)在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=12,。、E分別是邊BC、

AB上的動點?將△區＞￡沿直線OE翻折，使點8的對應點3'恰好落在邊AC上?若△A￡B'是等腰三角形，則

08的長是.

【答案】6或60-6或0

【分析】分三種情況討論：當AB'=班'時，△岫'是等腰三角形；當=時，△A￡8'是等腰三角形；

當=時，是等腰三角形，分別根據等腰三角形的性質以及勾股定理進行計算，即可得到C9

的值.

【詳解】解：?.?"=90。，ZA=30°,AB=6=12,

.-.ZB=60°,BC=6,

分三種情況討論：

①如圖所示，當點。與點C重合時，ZB=ZCB'E=60°,

vZA=30°,

，ZAEB'=30°,

:.ZA=AAEB',

:.AB'=EB',即是等腰三角形，

此時，CB'=BC=6；

②如圖所示，當=時，△A￡B'是等腰三角形,

，、、」

CB'

:.ZAB'E=15°,

由折疊可得，ZDB'E=ZABC=O)°,

:.ADB'C=45°,

X-.-ZC=90°,

:.ADCB'是等腰直角三角形，

T^CB'=X=DC,則BD=6—x=D5',

?.?RtADC夕中，x2+x2=(6-x)2,

解得-6,%=—6>/^—6(舍去),

:.CB'=6y/2-6;

③如圖所示，當點"與點C重合時，NB=ZDCE=60。，

:.ZEB'A=30°=ZA,

:.AE=B'E,即是等腰三角形，

此時CB'=O,

綜上所述，當△AEB'是等腰三角形時，C?的值是6或60-6或0.

故答案為：6或6&-6或0.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應用，解決

問題的關鍵是依據△AEB'是等腰三角形，畫出圖形進行分類討論，解題時注意方程思想的運用.

4.（2023春?江西九江?八年級統考期中）如圖是一張長方形紙片A8CD,已知AB=8,AT>=7,AE=5,現要

剪下一張等腰三角形紙片（△>1￡?）,則等腰三角形但的底邊長是.

【答案】5近或4指或5

【分析】分情況討論：①當AP=AE=5時，則4收是等腰直角三角形，得出底邊PE=@E=5應即可;

②當PE=AE=5時，求出3E,由勾股定理求出<8,再由勾股定理求出等邊片A即可；③當心A=5E時,

底邊AE=5；即可得出結論.

【詳解】解：如圖所示:

①當AP=A￡=5時，

?.*/BAD=90°,

/.△AEP是等腰直角三角形，

:.底邊PE=6AE=5五；

②當［E=AE=5時，

BE=AB-AE=8-5=3,^B=90°,

/.,52-32=4,

22

底邊APX=V8+4=475；

③當心A=6E時，底邊AE=5；

綜上所述：等腰三角形田的底邊長為50或40或5；

故答案為：5正或4石或5.

【點睛】本題考查了矩形的性質、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質和等腰三角形的判

定，進行分類討論是解決問題的關鍵.

5.（2023春,福建寧德?八年級校聯考期中）定義：如果三角形有兩個內角的差為60。，那么這樣的三角形叫

做“準等邊三角形”.

【理解概念】

（1）頂角為120。的等腰三角形"準等邊三角形".（填"是"或"不是"）

【鞏固新知】

（2）已知"IBC是"準等邊三角形”，其中NA=45。，ZC>90°.求-3的度數.

【解決問題】

（3）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZA=30°,3c=1+百，點。在AC邊上，若△BCD是“準等

【答案】（1）不是（2）的度數為30。或37.5。（3）8。的長為漢詈或2&

【分析】（1）根據等腰三角形的性質，求得三角形的內角，再根據"準等邊三角形"即可求解；

（2）分兩種情況求解，ZC-ZA=60°^ZC-ZB=60°,分別求解即可；

（3）△BCD是“準等邊三角形”，分兩種情況，NC—NCBO=60。或/3DC—NCBO=60。，分別求解即可.

【詳解】解：（1）團等腰三角形的頂角為120。，

回等腰三角形的兩個底角度數分別為30。，30。，

回頂角為120。的等腰三角形不是"準等邊三角形"；

（2）EIAABC是“準等邊三角形"，ZA=45°,ZC>90°,

團分兩種情況：

當/C—NA=60。時，

0ZC=ZA+60°=105°,

0ZB=18O°-ZC-ZA=3O°；

當NC-N3=60。時，

0ZA=45°,

回"+4=180°-NA=135°,

02Zfi=75°,

0ZB=37.5°；.........

綜上所述：的度數為30。或37.5。；

(3)EZACB=90°,ZA=30。，BC=l+6,

0ZABC=90°-ZA=60°,AB=2BC=2+2。

回△3CD是“準等邊三角形”，回分兩種情況：

當NC-NCBD=60。時，

回ZCBD=ZC-60°=30°,

^BD=2CD,

0CD2+BC2=BD-,

0CD2+(1+A/3)2=(2Cr>)2,

解得：或。。=—(舍去)，

33

回5。=2。。=2肉%

3

當ZBDC-ZCBD=60°時，

過點。作。￡工科，垂足為E,

0ZC=9O°,

團N3￡)C+NCBO=90。，

02ZBDC=15O°,

⑦ZBDC=75。,

^ZABD=ZBDC-ZA=45°f

團ABDE是等腰直角三角形，

^BE=DE,BD=y/2DE

設DE=BE=x,

在RtzXADE1中，ZA=30°,

0AE=6DE=6x,

^BE+AE=AB,

團x+y/3x=2+2,\/3，

解得：x=2,

?BE=DE=2,

^BD=42DE=2y/2;

綜上所述：的長為笠型或2a.

【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，含30度直角三角形的性質，勾股定理,

解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質，利用分類討論的思想求解問題.

【易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式】

例題：（2023秋?廣東揭陽?八年級惠來縣第一中學校考階段練習）如圖，長方體盒子的長寬高分別為12cm,

8cm,30cm,在AE中點M處有一滴蜜糖，有一只小蟲從G點爬到M處去吃，有很多種走法，求出最短

路線長為.

【答案】25cm

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體的側面展開，然后利用兩點之

間線段最短解答.

【詳解】解：①如圖，連接GM,

CBA

在Rt^GEM中，GE=12+8=20(cm),EM=x30=15(cm),

由勾股定理得：GM=V202+152=25(cm),此時G”=20?+15?=625；

②如圖，連接GM,

G1D

■S

F14

在RtaG/；M中，GF=12（cm）,FM=8+1x30=23（cm）,

由勾股定理得：GM2=232+122=673;

0625<673,

團從G處爬到A1處的最短路程是25cm.

故答案為：25cm

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，關鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的

代表性，是一道比較好的題目，切記要進行分類討論.

【變式訓練】

1.（2023春?江西上饒?八年級統考階段練習）如圖是一個二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為60cm、

30cm>10cm.A和B是這個臺階兩個相對的端點，在A點有一只螞蟻，想到8點去受食，那么它爬行的最

短路程是.

【分析】將臺階展開，得到一直角邊長為30cm+30cm+10cm+10cm=80cm,另一直角邊為60cm的直角三角形，

求其斜邊即可.

【詳解】將臺階展開，得到一直角邊長為30cm+30cm+10cm+10cm=80cm,另一直角邊為60cm的直角三角形，

所以最短距離為1602+802=100（cm）,

故答案為：100cm.

【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，勾股定理，熟練掌握展開圖，勾股定理是解題的關鍵.

2.（2023春,山東青島?八年級統考開學考試）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以

看作是一個長方體去掉一個"半圓柱"而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4nl的半圓，其邊緣

四=CD=20m,點石在。上，CE=2m,一滑板愛好者從U形池內側的點A滑到點E,則他滑行的最短

距離約為加.（乃取3）

【答案】6岳

【分析】要求滑行的最短距離，需將該。形池的側面展開，進而根據兩點之間線段最短，得出結論.

【詳解】解：。形池的側面展開圖如圖：

?jCE=2m,CD=20m,

ED=CD—CE=18m,

在RtAAED中，AE=VAD2+ED2=J（4萬丫+18??6^111,

故答案為：6A/13.

【點睛】本題考查了最短路徑問題，把U形池的側面展開矩形，化曲面為平面是解題的關鍵.

3.（2023秋,四川成都?八年級校考階段練習）長方體的長為15cm,寬為10cm,高為20cm，點8離點C5cm,

一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是.

【答案】25cm

【分析】畫出長方體的幾種側面展開圖，根據勾股定理求出A3的長即可.

【詳解】解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如圖1：

,?,長方體的寬為10cm,高為20cm,點B離點C的距離是5cm,

BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20cm,

在直角三角形麗中，根據勾股定理得：

AB=yjBD-+AD2=V152+202=25(cm);

只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如圖2：

/.BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm,

在直角三角形4犯中，根據勾股定理得：

AB=yjBD2+AD2=7102+252=5屈(cm);

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如圖3：

,長方體的寬為10cm,高為20cm,點8離點C的距離是5cm,

AC=CD+AD=20+10=30(cm),

在直角三角形A3c中，根據勾股定理得:

AB=VAC2+BC2=V302+52=5歷(cm);

■,-25<5729<5A/37

螞蟻爬行的最短距離是25cm.

故答案為：25cm.

【點睛】本題考查的是平面展開一最短路徑問題，根據題意畫出長方體的側面展開圖，根據勾股定理求解是

解答此題的關鍵.

4.(2023秋?江蘇?八年級專題練習)如圖，圓柱形容器的高為120cm,底面周長為100cd在容器內壁離容

器底部40c機的點8處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40c機與蚊子相對的點A處，

求壁虎捕捉蚊子的最短距離.

【答案】130c機

【分析】將容器側面展開，建立A關于EC的對稱點A"根據兩點之間線段最短可知的長度即為所求.

【詳解】解：如圖，將容器側面展開，作A關于EC的對稱點A,連接AB交EC于則即為最短距

離.

團高為120c〃z,底面周長為100cm,在容器內壁離容器底部40c機的點2處有一蚊子，此時一只壁虎正好在

容器外壁，離容器上沿40。"與蚊子相對的點A處，

0AfD=50cm,BD=120cm,

團在直角△A'OB中，A'B=YJA'D-+BD2=7502+1202=130(cm).

故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130cm.

【點睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算

是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創造性思維能力.

5.(2023春?湖北孝感?八年級校考階段練習)如圖，圓柱形容器高12cm,底面周長24cm,在杯口點B處有

一滴蜂蜜，此時螞蟻在杯外壁底部與蜂蜜相對的A處，

⑴求螞蟻從A到B處吃到蜂蜜最短距離；

(2)若螞蟻剛出發時發現B處的蜂蜜正以每秒鐘1cm沿杯內壁下滑，4秒鐘后螞蟻吃到了蜂蜜，求螞蟻的平

均速度至少是多少？

《二75蜜蜂

螞蟻4匕二

【答案】⑴螞蟻要吃到食物所走的最短路線長度是12&cm；

⑵螞蟻的平均速度是5米/秒

【分析】(1)先將圓柱的側面展開，再根據勾股定理求解即可；

(2)作點E關于點3的對稱點F,再根據勾股定理得到螞蟻所走的路程，于是得到結論.

【詳解】(1)解：如圖所示，

7

團圓柱形玻璃容器，高12cm,底面周長為24cm,

0AD=12cm,

回AB=yjAD2+BD-=A/122+122=120(cm).

答：螞蟻要吃到食物所走的最短路線長度是120c相；

(2)解：4秒鐘后蜂蜜下滑了4c7"到點E,

作點E關于點B的對稱點E,

回螞蟻所走的最短路程就是AE'，

0AD=12cm,DE=12+4=16（cm）,

回螞蟻所走的路程AE'=7122+162=20，

回螞蟻的平均速度=20+4=5（米/秒）.

答：螞蟻的平均速度為5米/秒.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關鍵.

6.（2023春?河南駐馬店?八年級統考期中）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫

隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角G處.小明認為螞蟻能夠最快到達目的地的路徑AG,

小王認為螞蟻能夠最快到達目的地的路徑ACJ.已知AB=4,BC=4,CG=5時，請你幫忙他們求出螞蟻爬過

【答案】最短路徑長是

【分析】根據題意，先將長方體展開，再根據兩點之間線段最短.

【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經線段881到CJ,爬過的路徑的長是

4CY=&+（4+5）2=屈.

螞蟻沿著木柜表面經線段到Ci,爬過的路徑的長是

ACi=J（4+4）2+5?=y/89.

因為：ACi'>ACi,

所以最短路徑長是屈.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，本題是一道趣味題，將長方體展開，根據兩點之間線段最短,

運用勾股定理解答即可.

7.（2023秋?全國?八年級專題練習）如圖是長AB=4cm、寬BC=3cm、高BE=12cm的長方體容器.

⑴求底面矩形ABCD的對角線的長；

⑵長方體容器內可完全放入的棍子最長是多少？

⑶一只螞蟻從。點爬到E點最短路徑是多少？

【答案】⑴底面矩形ABCD的對角線的長為5cm

⑵長方體容器內可完全放入的棍子最長是13cm

⑶螞蟻從D點爬到E點最短路徑辰cm

【分析】（1）根據題意運用勾股定理即可得出結果；

（2）根據題意連接3D、E