第12講函數與方程

知識梳理

一、函數的零點

對于函數y=/(尤)，我們把使〃同=0的實數x叫做函數y=/(x)的零點.

二、方程的根與函數零點的關系

方程”同=0有實數根0函數尸“X)的圖像與x軸有公共點o函數尸〃x)有零

點.

三、零點存在性定理

如果函數>="X)在區間［凡句上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有

那么函數y=在區間(a,b)內有零點，即存在ce(4,b),使得

〃c)=O,c也就是方程"尤)=0的根

四、二分法

對于區間［a,0上連續不斷且0的函數/(x),通過不斷地把函數的

零點

所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃龍)=0的近似解就是求函數“同零點的近似值.

五、用二分法求函數/(x)零點近似值的步驟

(1)確定區間［a,6］,驗證/(a)"(6)<0,給定精度￡.

(2)求區間(a,6)的中點X1.

(3)計算"xj.若〃再)=0,則不就是函數的零點；若再)<0,貝(J令

6=占(此時零點尤°).若/'優)"(%)<0,則令a=±(此時零點尤°)

(4)判斷是否達到精確度￡,即若卜-耳<￡,則函數零點的近似值為"(或b)；否

則重復第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.

【解題方法總結】

函數的零點相關技巧：

①若連續不斷的函數/(尤)在定義域上是單調函數，則/(元)至多有一個零點.

②連續不斷的函數/(X),其相鄰的兩個零點之間的所有函數值同號.

③連續不斷的函數〃X)通過零點時，函數值不一定變號.

④連續不斷的函數/(尤)在閉區間團，句上有零點，不一定能推出了(“)/(6)<0.

必考題型全歸納

題型一：求函數的零點或零點所在區間

【例1】(2024?廣西玉林?博白縣中學?？寄M預測)已知函數以幻是奇函數，且

/(無)=〃(尤)+2,若x=2是函數y=/(x)的一個零點，則〃-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【對點訓練11(2024?吉林?通化市第一中學校校聯考模擬預測)已知與是函數

/(x)=tanx-2的一個零點，貝?。輘in2%的值為()

A.--B.--C.-D.-

5555

【對點訓練2】(2024?全國?高三專題練習)己知函數

/(%)=2*+x,g(x)=k>g2X+x,//(x)=k)g2X-2的零點依次為a,b,c,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【對點訓練3】(2024?全國?高三專題練習)已知/(x)=e￡+lnx+2,若馬是方程

/⑺-/'(x)=e的一個解，則與可能存在的區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D,(3,4)

【解題總結】

求函數f(x)零點的方法：

(1)代數法，即求方程/(x)=0的實根，適合于宜因式分解的多項式；(2)幾何

法，即利用函數y=/(x)的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數.

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍

【例2】(2024?山西陽泉?統考三模)函數〃x)=log2X+x2+用在區間(1,2)存在零

點.則實數，"的取值范圍是()

A.（—8,-5）B.（—5,—1）C.（1,5）D.（5,+8）

3

【對點訓練4】（2024?全國?高三專題練習）函數/（x）=2、---〃的一個零點在區間

x

（1,3）內，則實數〃的取值范圍是（）

A.（7,+oo）B.（-oo,-l）C.（-oo,-l）U（7,+oo）D.（-1,7）

2

【對點訓練5］（2024?河北?高三學業考試）已知函數/（x）=a-是R上的奇函數，

2+1

若函數y=2咽的零點在區間（-1,1）內，則加的取值范圍是（）

A.B.（-L1）C.（-2,2）D.（0,1）

【對點訓練6】（2024?浙江紹興?統考二模）已知函數〃x）=lnx+加+6,若/⑺在區

間［2,3］上有零點，則成的最大值為.

【對點訓練7】（2024?上海浦東新?高三上海市進才中學校考階段練習）已知函數

/1（元）=5近仆-湎11天在（0,2兀）上有零點，則實數。的取值范圍___________.

【解題總結】

本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數的零點及其他相關性質，建立參數關系，

列關于參數的不等式，解不等式，從而獲解.

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題

［例3］（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測）己知實數x,y滿足

InJ2y+l+y=2,e*+x=5,貝。無+2y=.

【對點訓練8】（2024?新疆?校聯考二模）已知函數/（力=0?+3/—4,若/（x）存在唯

一的零點%,且％<0,則。的取值范圍是.

x2+4x+a,x<0

【對點訓練9】（2024?天津濱海新?統考三模）己知函數/。）=1,若函

—Fa+1,尤〉0

數g（x）=/（x）-辦-1在R上恰有三個不同的零點，則。的取值范圍是.

【對點訓練101（2024?江蘇?校聯考模擬預測）若曲線y=xlnx有兩條過（e,a）的切線，

則a的范圍是.

【對點訓練11】（2024?天津北辰?統考三模）設aeR,對任意實數無，記

/(x)=min{e^-2,e2^-ae+a+24).若〃x)有三個零點，則實數a的取值范圍是

【對點訓練121(2024?廣東?統考模擬預測)已知實數機，"滿足

2023-2/n3-ln2

----------m=---------Inn-In(2e2020)=0,貝！|相九=___________.

2n')

【解題總結】

方程的根或函數零點的存在性問題，可以依據區間端點處函數值的正負來確定，但是

要確定函數零點的個數還需要進一步研究函數在這個區間的單調性，若在給定區間上是單

調的，則至多有一個零點；如果不是單調的，可繼續分出小的區間，再類似做出判斷.

題型四：嵌套函數的零點問題

1

v~2_|__尤尤0

【例4】(2024?全國?高三專題練習)已知函數2',若關于x的方

—|2x—1|+1,x>0

程r(x)-(k+1)#(力+?2=0有且只有三個不同的實數解，則正實數上的取值范圍為

()

A.B.1^(1,2)C.(O,1)U(1,2)D.(2,+s)

【對點訓練13](2024?全國?高三專題練習)已知函數〃到=忖-2卜1,則關于x的方

程r(x)+時(x)+〃=。有7個不同實數解，則實數私〃滿足()

A.機〉0且〃>0B.機<0且〃>0

C.0(加<1且〃=0D.—IvmvO且〃=0

【對點訓練14】(2024?四川資陽?高三統考期末)定義在R上函數/(x),若函數

,、，、，、2(

y=/(x-l)關于點(1,0)對稱，且〃x)=-1x,x.eI0,1「),、則關于x的方程

e—z,xGi,+ooj,

尸⑺-2〃礦(x)=1(eR)有〃個不同的實數解，則?的所有可能的值為

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【對點訓練15](2024?全國?高三專題練習)已知函數〃幻=(r-了-1)/,設關于％的

方程/(無)7棚5)=2(加eR)有"個不同的實數解，則〃的所有可能的值為

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【解題總結】

1、涉及幾個根的取值范圍問題，需要構造新的函數來確定取值范圍.

2、二次函數作為外函數可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數的基本功要扎

實.

題型五：函數的對稱問題

【例5】(2024?全國?高三專題練習)已知函數f(x)=2x+1[；VxV2j的圖象上存在點

P,函數g(x)=依-3的圖象上存在點°,且P,。關于原點對稱，則實數a的取值范圍是

()

A.[-4,01B.0,1C.[0,41D.1,4

|_oJ|_8

【對點訓練16](2024?全國?高三專題練習)已知函數/(幻=靖，函數g(x)與/(無)的圖

象關于直線丫=無對稱，若〃x()=g(x)-區無零點，則實數上的取值范圍是()

A.B.C.(e,+<?)D.g，+0°)

【對點訓練17】(2024?全國?高三專題練習)已知函數y=a-21nx,dw尤We)的圖象上

e

存在點"，函數y=f+l的圖象上存在點N,且"，N關于x軸對稱，則。的取值范圍

是()

【對點訓練18](2024?全國?高三專題練習)已知函數g(x)=a-x2d<x<e,e為自

然對數的底數)與%x)=21nx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數。的取值范圍是

()

A.1,—+2B.[l,e2—2]

C.—+2,-2D.[e~-2,+co)

【解題總結】

轉化為零點問題

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型

【例6】(2024?浙江寧波?高三統考期末)若函數/(x)=「一2eJ+-Inx至少存在一

X

個零點，則加的取值范圍為()

A.B.+-,+00^c.D.e+L+s]

【對點訓練19](2024?湖北?高三校聯考期中)設函數/(X)=/_2夕2+如_1口工，記

g(x)=—,若函數g(x)至少存在一個零點，則實數機的取值范圍是

A.1――片+―[B.C.(0,/+—D.18,/十一

【對點訓練201(2024?福建廈門?廈門外國語學校?？家荒?若至少存在一個元，使得

方程In犬一加^=工(爐一24)成立.則實數機的取值范圍為

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【對點訓練211(2024?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習)設函數

f(x)=x2-2x-^+a(其中e為自然對數的底數)，若函數/(x)至少存在一個零點，則實

數。的取值范圍是()

A.(0,1H—]B.(0,eH-]C.[eH—,+co)D.(—co,1H—]

eeee

【解題總結】

分類討論數學思想方法

題型七：唯一零點求值問題

[例7](2024?全國?高三專題練習)已知函數/(彳)=,+2|+/+2+12T有唯一零點,

則實數。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【對點訓練22】(2024?全國?高三專題練習)已知函數〃力=a(sinx+cosx)

有唯一零點，貝()

71-4兀

A.—B.——c.也D.1

ee

【對點訓練23](2024?全國?高三專題練習)已知函數g(x),"(x)分別是定義在R上的

偶函數和奇函數，且g(x)+/z(x)=eX+sinx—x,若函數/口卜那.聞—赤卜—?。2。)—？^

有唯一零點，則實數九的值為

A.-1或9B.1或C.-1或2D.—2或1

22

【對點訓練24】（2024?全國?高三專題練習）已知函數”》）=217一卜（21+22一）一1

有唯一零點，則負實數。=

A.—2B.—C.—1D.—或—1

22

【解題總結】

利用函數零點的情況求參數的值或取值范圍的方法：

（1）利用零點存在性定理構建不等式求解.

（2）分離參數后轉化為函數的值域（最值）問題求解.

（3）轉化為兩個熟悉的函數圖像的上、下關系問題，從而構建不等式求解.

題型八：分段函數的零點問題

[Yr<0

【例8】（2024?天津南開?高三南開中學校考期末）已知函數〃力=C，若函

[log2x,x>（）

數ga）=〃%）+M有兩個零點，則機的取值范圍是（）

A.[-1,0）B.[-l,+oo）C.（-。,0）D.（-oo,l]

【對點訓練25]（2024?全國?高三專題練習）已知機〉0,函數

（%—2）ln（x+1）,-1<x<m,

/?=<兀）,恰有3個零點，則機的取值范圍是（）

cos3x+—\,m<x<7i,

[I4j

A?[運運1中喋B.[運五|中,力C.（。，御2,jD.（。，道|逐彳]

e九％>0

【對點訓練26】（2024?陜西西安?高三統考期末）已知函數『（x）=:~八，若函數

-3x,x<0

g（x）=/（-%）-/（%）,則函數g（x）的零點個數為（）

A.1B.3C.4D.5

【對點訓練27]（2024?全國?高三專題練習）已知函數〃力=

2sin2TI\x-a+—,x<a

<LI2〃,若函數/（%）在[0,+8）內恰有5個零點，則〃的取值范圍是

X2-（2〃+l）X+〃2+2,X><2

【解題總結】

己知函數零點個數（方程根的個數）求參數值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系

中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

題型九：零點嵌套問題

【例9】（2024?全國?高三專題練習）已知函數/（無）=（尤/）2+（°-1）（迎，）+1”有三個不

同的零點不，々，不淇中不＜々＜七，則（1-占洲）（172/2）（1_鼻*）2的值為（）

A.1B.（6?—I）2C.—1D.1—a

【對點訓練28】（2024?全國?高三專題練習）已知函數/（x）=（ax+lnx）（x-lnx）-尤2,

有三個不同的零點，（其中玉＜%＜當），則的值為

A.a—1B.1—ciC.-1D.1

【對點訓練291（2024?遼寧?校聯考二模）已知函數

〃%）=9（lnx）2+（a-3）xlnx+3（3-a）無之有三個不同的零點J々，x3,且

玉<1<%<冗3，貝”3—的值為（）

A.81B.-81C.-9D.9

【對點訓練301（2024*重慶南岸-高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）設定義在R

上的函數，（%）滿足/（x）=9尤2+（〃-3）xex+3（3-a）e2x有三個不同的零點七,%，%，且

D.-9

【解題總結】

解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.

題型十：等高線問題

—x—2xxW0

【例10】（2024?全國?高三專題練習）設函數,二一

|lnx|,x>0

①若方程〃x）=a有四個不同的實根毛，巧，尤3，Z，則可?尤2，彳3，匕的取值范圍是（0,1）

②若方程有四個不同的實根毛，巧，W，Z，則可+々+退+匕的取值范圍是

（0,+oo）

③若方程/（X）=依有四個不同的實根，則〃的取值范圍是13

④方程/（x）-1+￡|/（尤）+1=0的不同實根的個數只能是1,2,3,6

四個結論中，正確的結論個數為（）

A.1B.2C.3D.4

+Y<（~）

【對點訓練31】（2024?全國?高三專題練習）已知函數〃x）=:/一八，若方程

|log2x|,x>0

/（力=。有四個不同的解%,乙,%，匕，且無1<%<工3<%，則三G+xJ+j：的取值范圍是

九3，玉?

（）

A.（-1,1]B.[-1,1]C.[-1,1）D.（-1,1）

【對點訓練32】（2024?四川瀘州?高一四川省瀘縣第四中學?？茧A段練習）已知函數

[log?尤,|0〈尤V3

=h210c，若方程/（尤）=7%有四個不同的實根毛，巧，馬，匕，滿足

—x-----%+8,x>3

133

占<尤2<W<無4，則6"I43）的取值范圍是（）

玉馬

A.(0,3)B.(0,4]C.(3,4]D.(1,3)

茗,1

【對點訓練331（2024?全國?高三專題練習）己知函數五無）=<I,若互不

—X+1,x>1

I2

相等的實數也，X2,X3滿足/（%/）=f（X2）=f（X3）,則的取值范圍

是（）

os

A.)B.(1,4)C.(a,4)D.(4,6)

42

【解題總結】

數形結合數學思想方法

題型十一：二分法

【例11](2024