廣東省東莞市五校2024-2025學年高一上學期第二次聯考

數學試卷

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.-2024是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因為—2024=-6x360°+136°，可知一2024的終邊與136°的終邊相同，

而136°為第二象限角，所以-2024是第二象限角.

故選：B.

2.“。>6"是“2>從2,,的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】當時,若c=0,^ac2=bc2=0,即不是"42>兒2”充分條件；

當次？>/7c2時，a>b,即“。>6"是"a。？>加2”必要條件,

綜上所述，是“比2>歷2”的必要不充分條件.

故選：B.

3.已知a=0.7°7,b=lg0.7,C=L7°7,則b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】因為函數y=x07在xe（0,+8）時單調遞增，

所以0<0.7°7<1.7帖，即0<a<c,

因為函數y=lgx是正實數集上的增函數，

所以Igl>Ig0.7,即》<0,因止匕』<0<a<c.

故選：c.

3

4.已知/是函數〃x)=——Inx的一個零點，則()

X-

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】因為函數丁=—,y=—lnx均在(0,+oo)上單調遞減，

x

、3

所以函數/(%)二——lux在(0,+8)上單調遞減，

x

33

又/⑵=耳—ln2〉0,/(3)=j-ln3<0,

故零點所在區間為(2,3),所以與?(2,3).

故選：C.

5.己知sinacosa=一?e(0,7i),則sina-costz=()

A.立B.一&C.BD.—近

2222

【答案】A

【解析】因為ae(O,兀)，所以sina>0,

又sinacosa=一‘，所以cosavO,所以sine—cosoO,

8

又(sina-cosa)2=sin2a-2smacosa+cos2a=1-2x(-^)=^,

所以sina-cos。=^~.

2

故選：A.

6.已知命題"：“玉$R,雙2+雙—3之。，，為假命題，則實數o的取值范圍是()

A.{。|a<—12或a20}B.{臼〃<一12或0}

C.{a|-12<〃<0}D.{。|一12<〃40}

【答案】D

【解析】因為命題P：“3xwR,蘇+雙—3\o，，為假命題,

所以命題一JP："X/GR，ax2+辦—3<0”為真命題，

當〃=0時，顯然一3<0成立，

當時，要想a/+以一3<。對于\/￡氏恒成立，

a<0

只需｛2=>-12<〃<。，

△="+12〃<0

綜上所述：實數〃的取值范圍是｛臼-12<。40｝.

故選：D.

7.已知函數/（尤）=111（7+2公——）在區間［_1可上單調遞減，則a的取值范圍為（）

A.aW—1B.a2—1

C.-3<a<-lD.-3<a<-1

【答案】C

【解析】二次函數y=7+2ax——的對稱軸為％=。，且開口向下，

因為函數y=Inx是正實數集上的增函數,

又函數〃尤）=ln（7+2ax—V）在區間［—1,1］上單調遞減，

則y=7+2℃—必在區間［-1,1］上單調遞減，且y>0恒成立,

a<-l

只需滿足<=>—3<tz<—1

7+2a-l-l2>0

故選：C.

8.某市政府為了增加農民收入，決定對該市特色農副產品的科研創新和廣開銷售渠道加大

投入，計劃逐年加大研發和宣傳資金投入.若該政府2024年全年投入資金120萬元，在此基

礎上，每年投入的資金比上一年增長20%,則該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年

的四倍）的年份是（）（參考數據：1g2ao.30,1g3ao.48）

A.2029年B.2030年C.2031年D.2032年

【答案】D

【解析】設第〃（〃eN*）年該政府全年投入的資金翻兩番，依題意得:

120(1+20%)"-1=4x120^(n-l)lgl.2=lg4

21g221g221g221g2

=^>n-1=--=-----=-----------n+1?8.5

lgl.2Ig6-ln5Ig2+lg3-(l-lg2)21g2+lg3-l

因此該政府全年投入的資金翻兩番(即為2024年的四倍)的年份是2032年.

故選：D.

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)

9.下列說法，正確的是()

A.cos4(z-sin4a=1-2sin2a

B.若角a與角夕的終邊在同一條直線上，則夕―?W2E(左eZ)

C.若角a的終邊經過點p(—1,3),則----------=—

D.若扇形的弧長為2,圓心角為30。，則該扇形的面積為乜

兀

【答案】ACD

【解析】對于A,cos46Z-sin46r=^cos2cr-sin2cr^cos2cr+sin2cif)

=cos2cr-sin2cir=1-2sin2cir，故A正確;

對于B,因為角。與角夕的終邊在同一條直線上，所以角。與角夕的終邊可能重合,

此時a—月=2E(0Z),故B錯誤;

對于C,因為角a的終邊經過點p(—1,3),所以tana=—=—3且cosawO,

-1

cosacosa+cosa111、

所以1---------二------------：------=-------7=Q1M-；，故C正確；

sma+cosa(sma+cosq)+cosatana+1-3+12

TT

對于D,設扇形的半徑為一，又扇形的弧長為2,圓心角為30。二：,

6

所以2xr=2,解得r=一,所以該扇形的面積為義2義一=一,故D正確.

67127171

故選：ACD.

10.下列函數中，既是偶函數又存在零點的是()

A.丁=%(2*+2-*)B.y=log2%2

3

c.y=lg(l-x)+lg(l+x)D.y=X

x-1

【答案】BC

【解析】對于A,由于丁=/('=%(2￡+2-)導致/(l)=gw—g=/(—1),

故,=龍(2'+27)不是偶函數，故A錯誤；

對于B,由J〉。，解得xwO,所以y=g(x)=1。82必的定義域為(―oo,0)(0,+oo),

關于原點對稱.

22

Xg(-x)=log2(-x)=log2x=g(x),所以y=log2%2是偶函數.

而g⑴=10g21=0,所以，=10g2%2是偶函數又存在零點，故B正確；

1-x>0

對于C,由〈，解得一1<%<1,

1+%>0

所以函數y=/i(x)=lg(l—x)+lg(l+x)的定義域為(-I,I),關于原點對稱，

Xh(-x)=1g(1+x)+1g(1-x)=h(x),所以y=lg(l-x)+lg(l+x)是偶函數.

而lg(l-O)+lg(l+O)=O,所以y=lg(l—x)+lg(l+x)存在零點X=0.

所以y=lg(l—x)+lg(l+x)是偶函數又存在零點，故C正確；

對于D,由％—I/O,解得xwl,所以y=的定義域為(—，l)u(l，y).

所以定義域不關于原點對稱，所以y=不是偶函數，故D錯誤.

x1

故選：BC.

11.已知a>0,b>0,下列說法正確的是()

A.若2a+b=4,則1+尸的最小值為5

B.若2。+方=4,則logz^+log2b的最大值為1

C.若2。+/?=4,則4"+2"的最小值為8

219

D.若2a+b=4,則一+——的最小值為一

ab+15

【答案】BCD

3Q13

【解析】A：當。=—,。=1時，顯然滿足2。+/?=4,而。2+/=一+i=_<5,

244

所以本選項不正確；

2ab1(2a+b\

B：a>Q,b>0,log2a+log2Z?=log2ab=log,<log2----=1,

當且僅當2a=6時取等號，即當a=1川=2時取等號，故本選項正確；

C：4a+2b=22a+2b>2y/22a-2b=^>4fl+2*>2y/22a+b=8，

當且僅當2a=b時取等號，即當a=11=2時取等號，故本選項正確;

D：由2。+/?=4,得2a+Z?+l=5,且a>0,b>0,

2141

貝I一+---1----

aZ?+l2ab+1

]_2a4(6+1)9

5+

5b+12aKN居尸5

當且僅當2L=4（6+I）,即當。=2/=2時取等號，故本選項正確.

Z?+l2a33

故選：BCD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.己知函數/'（%）=（療f—為暴函數，且在（0,+“）上單調遞增，則實數機的值

是.

【答案】3

【解析】由題意可知〃/—“2—5=1，解之得加=—2或m=3,

當m=—2時，f（x）=x\此時函數/（X）在（0,+8）上單調遞減，不符題意;

當771=3時，/（x）=x3,此時函數/（可在（0,+8）上單調遞增，滿足題意.

所以實數機的值是3.

13.己知函數/("=加+法+4(a,6為常數)，且〃ln3)=l,則/.

【答案】7

【解析】因為〃ln3)=l,

所以有a(ln3y+bln3+4=lna(ln3)3+Z?ln3=—3,

于是有小n*/(—In3)=a(—In3)3+b(一In3)+4=4一[a(In3)3+Rn3]=4一(一3)=7.

八/、1(5-〃)x+5,x<2

14.己知函數/(%)='J.(其中a>0,且awl).

[a,x>2

(1)若/[/(0)]=點，則實數a的值是；

(2)若〃力的值域為R,則實數。的取值范圍為.

【答案】|(1,3]

【解析】(1)由解析式可得：/(0)=5,

所以/[/(0)]=/(5)=。5=5,所以“=

(2)當0<a<l時，y=a',x22的值域為(0,/],

y=(5—a)x+5,x<2,函數在(-00,2)單調遞增，值域為：(—8,15-2。)，

顯然不符合函數/(x)的值域為R；

當1<。<5時，y=2的值域為[〃,+8),

y=(5—a)x+5,x<2,函數在(-00,2)單調遞增，值域為：(-co,15-2a),

若函數的值域為R，則需滿足/W15-2a，解得：—5WaW3,

故實數a的取值范圍為l<a?3；

當a=5時，顯然不符合題意；

當a>5時，丁=優,工22的值域為

y=(5-a)x+5,x<2,函數在(-co,2)單調遞減，值域為：(15-2a,-Ko),

顯然不符合函數/(x)值域為R；

綜上實數。的取值范圍為(L3].

四、解答題：(本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

2

15.(1)計算坨25+§坨8+3”31哂2.

已知了+』=求2的值?

(2)3,'2一"-2

%-%

9723

解：(1)lg25+-lg8+31+310&2=ls52+~lg23+31x331O&2=21g5+-x31g2+3x3log32

=21g5+21g2+3x23=2(lg5+lg2)+24=2+24=26.

(2)因為X+XT=3，

_,,x3—x~3(x—x-1)(x2+x?x~l+x~2)x2+x?x-1+x~2

所以—5——ZT=--------------------------------=-------------zi------

X~-X2(x-Xl)(x+x1)x+x1

_(X+X-1)2-X—T_32-1_8

x+x-133

16.己知集合A={尤Id<3尤+4},5={x[a<x<a+2}.

(1)當a=l時，求A低8)；

(2)若A3=0,求實數a的取值范圍.

解：(1)由X2<3X+4,得(％-4)(%+1)<。，解得一1cx<4,所以A={N-l<x<4},

當a=l時，B=|x|a<x<a+2^=|x|l<x<3},所以=或x>3},

所以741n(a5)={彳|一1<兀<1或3<]<4}.

(2)由(1)可得A={x|—l<x<4},因為。<。+2,所以6/0,

因為AB=0,所以a+2W—1或。24,解得aW—3或。之4,

所以實數a的取值范圍{a|aW—3或4}.

17.已知二次函數〃尤)滿足〃1)=—1,且/(x+1)-〃x)=2x—1,g(x)為R上的奇

函數，且當％>0時，g(x)=/(x).

⑴求函數g(x)在R上的解析式，在給定的坐標系中畫出g(x)的圖象，并根據圖象寫出

函數g(x)的單調增區間；

(2)討論關于x的方程2g(x)+n?—l=0(mGR)的根的個數.

解：⑴設二次函數〃工)=加+Zzx+c(aW0),則/⑴=a+b+c=-l,

因為+=[a(x+l)2+人(尤+1)+1]—(txv?+&%+1)=2ax+a+b,

^2ax+a+b=2x-l,

2a=2[a=1

所以《,,,解得<c，則c=0,

a+b=-l[b=-2

所以/(x)=d—2x；

當％〉0時，g(x)=/(x)=x2-2x,

當x<0時，一x>0,貝!Ig(-x)=(-x『—2(-x)=無？+2無，

g(x)為R上的奇函數，故g(—x)=-g(x),g⑼=0,

故g(x)=_%2_2x,

x~-2x,%>0

綜上，g(x)=<0,x=0,

-%2一2x,x<0

畫出函數圖象如下:

函數g(%)的單調增區間為(―8,T],[1,+").

⑵由圖可知，g(l)=-l,g(-l)=l,

方程2g(x)+"?—l=O,即g(x)=y^,

1—m1—rn

當——>1,即加<—1時，或當——-<-1,即田>3時，方程有一個根；

22

1-rn

當——■=+1,即爪=—1或m=3時，方程有兩個根；

2

]—TYI

當一1<----<1,即-1<〃2<3時，方程有三個根.

2

18.東莞廣播電視臺旗下的電商平臺一“家鄉好物商城”依托廣播、電視與互聯網平臺優勢，

主要銷售東莞制造的優質產品及東莞對口支援、幫扶地區的農特產品，打通新疆、廣西、云

南、貴州等地區農特產品的產銷對接渠道.近一個月來，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云

南野蘋果，，等農特產品在東莞熱銷.通過對過去的一個月(以30天計)的“廣西小砂糖橘”的銷

售情況的調查發現：每千克的銷售價格P(x)(單位：元/千克)關于第x天

(1WXW30,尤eN*)的函數關系近似滿足P(x)=10+A(左>0,且為常數)，日銷售量

。(無)(單位：千克)關于第X天的部分數據如下表所示：

X914182229

Q(x)5459635952

已知第9的日銷售收入為552元.

(1)求左的值；

（2）給出以下四種函數模型:

①Q（x）=ar+6；?Q{x）=a\x-ni\+b③。（x）=a，+b；?C（x）=Z?logax.

請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型（簡要說明理由）來描述日

銷售量。（X）關于第X天的變化關系，并求出該函數的解析式；

（3）設該工藝品的日銷售收入為函數y=/（x）（單位:元）；求函數/（x）的最小值.

解：（1）因為第9的日銷售收入為552元，

所以有P（9）-Q（9）=552O54X|10+：）=552=Z:=2.

（2）由函數y=ox+b、>=優+6、y=blog”的解析式可知：這三個函數的單調性要

么在定義域內遞增，要么遞減，要么是常值函數，不會出現在定義域內，即有單調遞減又有

遞增的情況，

而函數y=。卜一"+》在a<0時，在（TO,加）時是單調遞增，在（w,tvq）上單調遞減，

由列表可知：Q（x）的單調性是先增后減，因此Q（x）=a|x—加|+》合適，

把(14,59),(18,63),(22,59)代入,

a14-m|+Z?=59m=18

得<a18-機|+6=63n任=63nQ(x)=-|x-18|+63,

a22-m\+b=59a=-1

顯然（9,54）,（29,52）也滿足函數的解析式.

(3)由題意可知：/(x)=P(x)2(x)=flO+-j(-|x-18|+63),

當l<x<18,xeN*時,

/(x)=h0+|V-(18-x)+63]=9090

452+10%+—>452+2410x?——=512,

xX

90

當且僅當10%=——時取等號，即當x=3時，取等號，此時/（xLnUSlZ；

JC

j^lO+-^[-(x-18)+63]=808-10%+—,

當18cx<30,xeN*時，/(%)=

顯然此時函數/(X)單調遞減，此時〃x)1nm=7(30)=513.4,

綜上所述：函數/(x)的最小值512元.

<7,ev—2+<7

19.己知函數/(%)=為奇函數，其中e^2.718為自然對數的底數.

7+i

(1)求實數。的值，并用定義證明函數/(%)的單調性；

(2)解不等式/(2，M)+/(3—4，)>0；

(3)已知函數h(x)與/(%)的圖象關于點(0,-2)對稱，設函數

2總、加€：,32,使得/z(xi)=g(%2)成

g(x)=log2(4x)-log42+機，若對“?R，

立，求實數機的取值范圍.

解：⑴因為的定義域為R且函數為奇函數,

所以/（0）=0n