第15講單調(diào)性問題

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題

1、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果（（x）＞0,則

＞=/（尤）為增函數(shù)；如果/'（尤）＜0,則y=/（x）為減函數(shù).

2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若/（x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有（（幻20恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足（（無）＞0,才能得出了（無）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/（x）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有尸（x）40恒成立（但不恒等于0）；

反之，要滿足（（x）＜0,才能得出〃尤）在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)

的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部

分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；

（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置

關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；

（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正

負(fù)）；

（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；

（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零

點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)

新函數(shù)再求導(dǎo).

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函

數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要

注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部

分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分);

(3)恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小

關(guān)系)；

(5)導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

【解題方法總結(jié)】

1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

(1)確定函數(shù)/(尤)的定義域；

(2)求((無)，令((x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；

(3)把函數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)(即/(尤)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和/''(*)=0的各實(shí)根按由

小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)/(元)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；

(4)確定尸(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)尸(x)的符號(hào)判斷函數(shù)/(無)在每個(gè)相應(yīng)小

區(qū)間內(nèi)的增減性.

注：①使「(?=0的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)((x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為

零，在其余點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí)，/(元)在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例

如，在(-co,+co)上，/(x)=x3,當(dāng)x=0時(shí)，f'(x)-0：當(dāng)x/0時(shí)，f'{x}>0,而顯然

/(X)=F在(-co,+co)上是單調(diào)遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)上單調(diào)遞增，則一(x)NO(尸(x)不恒為0),反之不成

立.因?yàn)槭?x)/0,即/'(尤)>0或/'(尤)=0,當(dāng)［(x)>0時(shí),函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,3上

單調(diào)遞增.當(dāng)尸(x)=0時(shí)，/(x)在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

①㈤上單調(diào)遞減，則廣(無)40(廣⑺不恒為0),反之不成立.這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：

((尤)>0n于(x)單調(diào)遞增；/(元)單調(diào)遞增=f\x)>0；

f\x)<0=>/(尤)單調(diào)遞減；/(x)單調(diào)遞減n/'(x)V0.

必考題型全歸納

題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像

【例1】(2024.全國?高三專題練習(xí))設(shè)尸⑺是函數(shù)八可的導(dǎo)函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖

所示，則y=/(x)的圖象最有可能的是()

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11(多選題)(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(無)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)

為r(x),如圖是函數(shù)y=4'(x)的圖像，則下列說法正確的是

A.函數(shù)/(x)的增區(qū)間是(-2,0),(2,+8)

B.函數(shù)/⑶的增區(qū)間是(-%-2),(2,+8)

C.x=-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)

D.x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2024?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)y=#'("的圖象如圖所示(其

中廣(X)是函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中可能是y=/(x)圖象的是()

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024?陜西西安?校聯(lián)考一模）已知定義在［-3,4］上的函數(shù)/（x）的大致圖像

如圖所示，/（X）是〃尤）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式礦（x）＞0的解集為（）

B.(-3,-2)

D.(3,4)

【解題方法總結(jié)】

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)/（x）單調(diào)遞增o導(dǎo)函數(shù)

r（x）＞0（導(dǎo)函數(shù)等于0,只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足尸（x）＞0）；原函數(shù)單調(diào)遞減o

導(dǎo)函數(shù)/'(x)WO(導(dǎo)函數(shù)等于0,只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足/(毛)<0).

題型二：求單調(diào)區(qū)間

龍2+2

【例2】(2024?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)>=上士+in尤的單調(diào)

x

遞增區(qū)間為()

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+8)D.(1,+co)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2024?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=xlnx()

A.嚴(yán)格增函數(shù)

B.在(0,：)上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)

C.嚴(yán)格減函數(shù)

D.在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2024?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/'(0=111(4/一1)的單調(diào)遞增區(qū)間()

A.3

B.D.(0,+co)

b

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(2024?高三課時(shí)練習(xí))函數(shù)/("=依+'(a、匕為正數(shù))的嚴(yán)格減區(qū)間是

().

B.

【解題方法總結(jié)】

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：

(1)求/(%)的定義域

(2)求出「(無).

(3)令尸(x)=0,求出其全部根,把全部的根在x軸上標(biāo)出，穿針引線.

（4）在定義域內(nèi)，令八4）>0,解出元的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令

r（x）<o,解出冗的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)

間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“u”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.

題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

?1

【例3】（2024?寧夏銀川?銀川一中校考三模）若函數(shù)/（x）=、-Inx在區(qū)間（九根+§）上不

單調(diào)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

22

A.0<m<—B.—<m<\

33

2

C.—<m<1D.m>1

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024?陜西西安?統(tǒng)考三模）若函數(shù)〃力=尤2-6+111工在區(qū)間（1,6）上單調(diào)遞

增，則。的取值范圍是（）

A.[3,+oo）B.（-a>,3]C.[3,e2+l]D.[3,e2-l]

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（力=108。（依-巧（。>（）且。工1）在區(qū)

間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.[3,+向B.（1,3]C.[。,￡|D.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/O）=sin無+acosx在區(qū)間件?上是減

函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

A.a>y/2-lB.a>lC.a>l-亞D.a>-l

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10]（2024?全國?高三專題練習(xí)）三次函數(shù)/（尤）=/加-尤在（-co,+00）上是減函

數(shù)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<0B.m<\C.m<0D.m￡1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11]（2024?青海西寧.高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=V+lnx.若對(duì)任意

毛，為e（O,2],且x產(chǎn)々，都有則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

馬一玉

2727

A.—co,---B.(-oo,2]C.一0,5D.(-雙8]

4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12]（2024.全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=lnx+62_2在區(qū)間內(nèi)存

在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

1

A.[-2,+oo)B.—,+00C.D.(-2,+8)

8

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13]（2024.全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=%2+x_]nx-2在其定義域的一

個(gè)子區(qū)間（2人-1,2左+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

33￡3

A.B.3C.3D.

2947r2?4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx+（x-A）2（Z?GR）在區(qū)

間g,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)匕的取值范圍是

39

A.—oo—B.—00,—C.(-oo,3)D.^—00,^2^

24

【例4】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=g%3+_|f+x+i在（一a,。），（3,?。?/p>

上單調(diào)遞增，在。,2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

_W_5

A.-T，-2.

10_5

C.-詈D.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

/（無）=:加+3（祖-1）尤2-療+1（加＞0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,4）,則加=（）

A.3B.-C.2D.工

32

【解題方法總結(jié)】

（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于

零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線

最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等.

（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法

求解參變量范圍.

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小

于零有解.

題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論

【例5】（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)”到=1+>，+1）@>0）.試判斷函數(shù)“可

在（0,+8）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024?廣東深圳?高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知

/（.x）=lnx+e+a

若討論的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024?貴州?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)/（x）=xlnx-e'+l.

⑴求曲線y=在點(diǎn)處的切線方程；

⑵討論在(0,+司上的單調(diào)性.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18](2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=eA-ox(aeR),=ev+cos-1-x.

⑴若“力對(duì),求a的取值范圍；

⑵求函數(shù)g(x)在(0,+e)上的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19](2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(eX—1)—Inx.

判斷了(無)的單調(diào)性，并說明理由；

【解題方法總結(jié)】

確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉

求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開.

題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論

情形一：函數(shù)為一次函數(shù)

【例6】(2024?山東聊城?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=o+l)x-〃zlnx-m.

討論了(丈)的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20](2024?湖北黃岡.黃岡中學(xué)校考二模)已知函數(shù)

/(j;)=lnx-2fl2x2+3ar-l(a>0).

討論函數(shù)“力的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=hw+(l-a)x+lSwR).

討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22](2024?福建泉州?泉州五中校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=(x-a)lnx.

討論「(力的單調(diào)性；

情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23](2024?云南師大附中高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-ox.

討論的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24](2024?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=后，-：/.

(1)當(dāng)左=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=l處的切線方程;

（2）設(shè)g（x）=m,討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25］（2024?陜西安康?高三陜西省安康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

/（X）=e'-ax-l^aeR）.

討論的單調(diào)性；

情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型

方向1、可因式分解

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26］（2024?山東濟(jì)寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知函數(shù)

/(x)=aInx+x2-(a+2)x(a>0).

討論函數(shù)的單調(diào)性;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024?湖北咸寧??？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

其中a,6eR.

討論函數(shù)的單調(diào)性;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28］（2024?北京海淀?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)

（1）若曲線y=在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求。；

⑵求“X）的單調(diào)區(qū)間.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024.廣西玉林.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（彳）=|丁-36+2/10%,

。w0.

討論“尤）的單調(diào)區(qū)間；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30］（2024?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知〃x）=lnx+過普

a'xx

討論“X）的單調(diào)性；

方向2、不可因式分解型

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3。（2024?河南駐馬店?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃x）=ln（l+x）-g依二

g（無）=依+」-；■一二w0）.

x+1e

討論“X）的單調(diào)性;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32］（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=lnx+一廠一2"+"（qeR）.

2x

討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33］（2024?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)=,aeR.

討論的單調(diào)性;

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34］（2024.江蘇.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'(x)=+3ax+21nx(aeR).

討論函數(shù)的單調(diào)性;

【解題方法總結(jié)】

1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對(duì)新函數(shù)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減.（注意定義域

的間斷情況）.

2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一

階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的