重難點03：常考函數的綜合問題

一、知識點梳理

1.常規函數單調性

①：定義法使用前提：一般函數類型

解題步驟：

第一步：取值定大?。涸O任意再,％26。，且%<%2；

第二步：作差：/(%)-/(%)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等);

X>X,八X,>XII

第三步:定符號,得出結論o

J（X1）>/fe）fg

注意：同向遞增，異向遞減

②導數法

使用前提：較復雜的函數類型

解題步驟：

第一步：求函數/(%)的定義域和導函數的解析式/'(X);

第二步：在定義域范圍內解不等式k=f'(x)>0或左=f'(x)<0；

第三步：得出函數/(X)的增減區間.斜率n優>0,上坡路，左<0,下坡路)

③：復合函數分析法使用前提：簡單的復合函數類型

解題步驟：

第一步：先求函數的定義域；

第二步：分解復合函數，分別判斷內外層函數的單調性；

第三步：根據同增異減，確定原函數的增減區間.

剖析：若函數y=y(a)在U內單調，M=g(x)在X內單調，且集合{"/〃=g(x),xeX}c。.

⑴若y=f(a)是增函數，M=g(x)是增(減)函數，則y=/[g(x)]是增(減)函數

⑵若y=/(")是減函數，a=g(x)是增(減)函數，則y=/[g(x)]是減(增)函數

口訣：同則增，異則減(同增異減).

④：圖象法使用前提：圖像比較容易畫出的函數類型(利用圖象專題破解)

解題步驟：

第一步：通過題目條件畫出函數圖像；

第二步：從圖像中讀出函數的單調區間.

⑤：抽象函數的單調性(正規解法)

使用前提：題中沒有給出具體函數的解析式，只給出函數的性質，需要利用所給的性質證明函數的單調性.

解題步驟：

第一步：確定函數的奇偶性，取值定大?。涸O任意再,々^。，且玉

第二步：結合函數單調性的定義即可確定函數的單調性.

⑥：抽象函數具體化

使用前提：題中沒有給出具體函數的解析式，但是可以根據所給的函數特征確定函數模型，屬于抽象函數

的內容延伸和實例化.

解題步驟：

第一步：由函數的解析式確定函數所屬的模型；

常見函數模型包括：

I：若可認為函數為募函數/(x)=x“(a的范圍或數值需要其他條件確定)；

II:若小9)=/(陰)+/(力，可認為函數為對數函數/(x)=log“X的范圍或數值需要其他條件確定);

m：若/(7K+n)=/(m)/(n),可認為函數為指數函數/(%)=優(。的范圍或數值需要其他條件確定)；

IV：若/?+〃)=+y(n),可認為函數為正比例函數/"(x)=4x或/"(%)=W(l)

V：若/(〃[+")=,可認為函數為正切函數/(%)=tanx；

VI：若+=,可認為是余弦函數/(x)=cosx.

vn：若y(m+")=/(m)+/(")+機，可認為函數為一次函數/'(x)=kx+匕或/(%)=對"(1)一加

第二步：結合函數模型和函數的單調性的定義確定函數的單調性.

⑦：結論法(函數性質法)

使用前提：將所給的函數進行“庖丁解?！焙竺恳徊糠侄际且粋€很明顯可以判斷單調性的函數.

解題步驟：

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第一步：確定所給函數是由哪些可以判斷單調性的簡單函數組合而成的.

第二步：結合函數的性質即可確定函數的單調性.

常見的結論(函數性質)包括：

⑴/(%)與/(x)+C單調性相同.(C為常數)

(2)當左＞0時，/(X)與好(x)具有相同的單調性；當左＜0時，/(X)與好(x)具有相反的單調性(3)當

/(X)恒不等于零時，/(%)與-^―其有相反的單調性.

/(x)

(4)當/"(%)、g(x)在。上都是增(減)函數時，則y(x)+g(x)在。上是增(減)函數.

⑸當了(X)、g(x)在。上都是增(減)函數，且兩者都恒大于0時，y(x)g(x)在。上是增(減)函數；當/'(X)、

g(x)在。上都是增(減)函數，且兩者都恒小于。時，y(x)g(x)在。上是減(增)函數.

(6)設y=為嚴格增(減)函數，則函數必有反函數，且反函數在其定義域。上也是嚴格增(減)函數.

(7)奇(或偶)函數的單調性：

由奇偶函數定義易知：奇函數在對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在對稱的區間上有相反的單調性.

(8)周期函數的單調性：

若/"(X)是周期為T的函數，且/'(x)在(。⑹單調遞增或單調遞減，則/＞(X)在(。+仃,5+左7j(keZ)上單

調遞增或單調遞減.

⑧：零點法

使用前提：利用函數單調性的定義作差變形之后需要確定函數單調區間的端點.

解題步驟：

第一步：取值定大?。涸O任意再,々€。，且玉＜%2；

第二步：作差：/(石)-/(%)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等)；

第三步：利用零點法確定函數單調區間的端點.

第四步：定符號，得出結論.

2.常見函數奇偶性：

①：基本方法判定函數的奇偶性

使用前提：函數表達式比較簡單，定義域也容易求解.

解題步驟：

第一步：確定函數的定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱；

第二步：若是，則確定了(X)與/(-X)的關系；若不是，則既不是奇函數也不是偶函數；

第三步：得出結論.

②：利用函數的奇偶性求函數的解析式

使用前提：已知函數在給定的某個區間上的解析式，求其在對稱區間(或對稱區間的子區間)上的解析式.

解題步驟：

第一步：首先設出所求區間的自變量X；

第二步：運用已知條件將其轉化為已知區間滿足的X的取值范圍；

第三步：利用已知解析式確定所求區間相應的函數的表達式.

③：分段函數的奇偶性

使用前提：所給函數的解析式為分段函數，需要判定函數的奇偶性

秒殺：口訣：奇函數定奇變偶、偶函數定偶變奇，奇雙負，偶單負.

定義在(-8,+w)上任意的函數/(%)都可以唯一表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數M6之和，當/(%)以

分段函數形式出現奇偶性時，則函數一定滿足：

I：奇函數/>(X)=-/(一X)=g(x)—/z(x)

ii：偶函數y(x)=y(—x)=-g(x)+Mx)

若/(X)不容易拆分出奇函數和偶函數之和時，則直接采用

I：奇函數y(x)=-/(-x)II：偶函數y(x)=y(—x)

解題步驟：

解題模板1:利用傳統的方法分類討論確定函數的奇偶性

第一步：確定函數的定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱；

第二步：若是，則確定"X)與的關系；若不是，則既不是奇函數也不是偶函數；

第三步：得出結論.

解題模板2：

第一步：確定函數的定義域

第二步：寫出/(-%)形式的分段函數

第三步：確定函數的奇偶性

4/33

④：用求商法判斷函數的奇偶性

使用前提：7(-X)與/(X)的關系不容易確定的函數奇偶性的判定.

解題步驟：

第一步：確定函數的定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱；

第二步：若是，則利用比值關系以曰=1或以曰=-1來判斷；若不是，則既不是奇函數也不是偶函

小)小)

數；

第三步：得出結論.

⑤：根據函數奇偶性的規律判定

使用前提：函數解析式比較復雜，由若干基本函數經過運算之后的函數判定奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定所給函數的結構特征，應用奇函數的性質進行判斷；

第二步：結合基本函數的奇偶性和函數奇偶性的相關結論確定所給函數的奇偶性.

常見的結論包括：

(1)幾個奇函數的代數和是奇函數；幾個偶函數的代數和是偶函數；奇函數與偶函數的代數和是非奇非偶函

數.

(2)奇函數的乘積或商是偶函數，偶函數的乘積或商是偶函數，奇函數與偶函數的乘積或商是奇函數.

常見基本函數的奇偶性：

(1)一次函數y=kx+b(>HO),當〃=0時，是奇函數，當bwO時，是非奇非偶函數.

(2)二次函數了=。/+6%+《。/0),當Z?=0時，是偶函數；當時，是非奇非偶函數.

k

(3)反比例函數y=—(左wO,xwO)是奇函數.

X

(4)指數函數>=優(。>0且awl)是非奇非偶函數

(5)對數函數y=logax(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函數.

(6)三角函數y=sinx(xeR)是奇函數，y=cosx(xeR)是偶函數，y=左ez］是奇函

數.

(7)常值函數/(x)=。，當awO時，是偶函數，當a=0時，既是奇函數又是偶函數.

特殊函數的奇偶性:

奇函數：兩指兩對

'優+「(x八

⑴/(x)=m加工(e),/(%)=加CL—I=m——^—(meR)

、優―"a+i.ax+V7

/a2x-I

⑵函數/(%)=±1ax-a~x=±T=±

x+miI12mx-mif2m

G)f(x)=loga,/(x)=loga2

x-mx+m

⑷函數/(x)=log.(+1+mx\，函數/(x)=+1-mx

⑸函數小)="-=篇

考點：形如①已知心奇函數，則常晨累消此"。

②皿(+奇函數P則K溪藍默Q

偶函數：

xmx

⑴函數/(X)=土(優+a-)⑵函數/(x)=loga(a+1)-.

⑶函數/忖類型的一切函數.

⑥：判定抽象函數的奇偶性

使用前提：所給的函數沒有解析式，需要利用所給的條件判定函數的奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定函數的定義域，猜想函數模型，從而確定函數的奇偶性方向；

I：若可認為函數為塞函數/(%)=/(。的范圍或數值需要其他條件確定)；

II：若，(加)=/?)+y?,可認為函數為對數函數/(x)=k)g“x(a的范圍或數值需要其他條件確定);

ni：若/?+〃)=/(加/■(〃)，可認為函數為指數函數/(%)=優(。的范圍或數值需要其他條件確定)；

IV：若/"(m+”)=/"(nz)+F(n),可認為函數為正比例函數/"(x)=kx或/(X)=J/(1)

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V：若y(m+ii)=,可認為函數為正切函數/(X)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),可認為是余弦函數/(x)=cos%.

VD：若/?+”)=,可認為函數為一次函數/(x)=Ax+人或/

第二步：利用所猜想的函數模型，使用賦值法結合所給的條件得出“X)與/(-%)的關系；

第三步：得出結論.

3.函數單調性與奇偶性綜合求不等式范圍問題：

結論1：奇函數單調性不改變，若函數F(x)為定義在R上的奇函數時

①若彳20時，y(x)為單調遞增，則》<o時，y(x)為也為單調遞增，即y?)+y?>o=m+〃>o.

②若x?0時，/(X)為單調遞減，則x<0時，/"(x)為也為單調遞減，即/"(m)+y(/z)>0=>7〃+72<0.

結論2：奇函數單調性不改變，若定義在R上函數/(X)關于點口力)對稱時

①若無之a時，F(x)為單調遞增，則x<a時，/"(X)為也為單調遞增，即f(m)+f(n)>2b^m+n>2a.

②若x'a時，f(x)為單調遞減，則x<a時，/(X)為也為單調遞減，即/(m)+f(n)>2b^m+n<2a.

結論3：偶函數單調性改變，若函數/(X)為定義在R上的偶函數時

①若時，/'(x)為單調遞增，則x<0時，/(X)為單調遞減，

即/(加)>/(?)=>帆>時,/(%)+/(-%)>2/(m)n同>加?

②若x20時，/'(x)為單調遞減，則％<0時，/'(x)為單調遞增，

即/(加)>/Mn|同<網，/(x)+f(~x)>2f(m)=>\^<m.

結論4：偶函數單調性改變，若定義在R上函數，(x)關于直線％=。對稱時

①若無之a時，/'(%)為單調遞增，則x<a時，/'(x)為單調遞減，

即/(m)>/(")=>>"-4,f\a+x)+f(a—x)>2f(m)|x—a|>m.

②若無之a時，f(x)為單調遞減，則x<a時，/'(x)為單調遞增，

即/(〃?)>/(〃)n|m-c^<|zi-6z|,/(a+x)+/(a-x)>2/(m)=歸一,<m.

、題型精刷精練

【題型訓練-刷模擬】

1.已知函數“X)在區間的圖象如下圖所示，則〃尤)的解析式可能為()

xcos2x…sin2%

D.-------

■2*+2一九2X+2-X

【答案】c

【分析】結合函數圖像，根據函數的奇偶性及特殊點的函數值可判斷結果.

八九3

【詳解】當。時，x3-x<0,所以y=-------<0>由圖可知A錯誤；

/2X+2~X

由偶函數定義1一(可、=上匕,得丫=上二為偶函數，由題給圖象可知函數是奇函數，故B錯誤;

XX

2-,+2-(-x)2+2-'2'+2T

當x=：時，y=sin2x=______2=0,由圖可知D錯誤;

2，2%+2一%71兀

由奇函數定義可知函數y=0為奇函數，當…號時尸整|>。，

71

—cos

當X=］時,xcos2x2<0,選項C均符合圖像特征，故C正確;

XX7171

2+2-2萬+2-2

故選：C.

2.設函數〃x)=2KT+log3(x-l)2,不等式〃依)</(x+3)在xe(l,2］上恒成立，則實數。的取值范圍是

【答案】D

【分析】構造新函數g(x)=/(x+i),研究新函數y=g(x)的性質，根據性質從而得出關于。的不等式，再

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借助分離變量法求解不等恒成立問題.

【詳解】解:設g(x)=/(x+l),即g(x—l)=/(x),

因為/(x)=2|x-l|+log3(xT)2,

所以J(X)=2卜-l|+21og3|x-l］,所以g(x)=2|x|+210g31H，xwO,

由g(-x)=21-x|+21og31-x|=(x),所以函數y=g(x)為偶函數，

當x>0時，g(x)=2x+21og3X為單調遞增函數，

當x<0時，y=g(x)為單調遞減函數，

因為/(詞</(%+3)在xe(l,2］上恒成立，所以g(ax-^)<g(x+2),

|av-l|<|x+2|

根據函數g(x)的奇偶性與單調性得，-辦-1/0,

x+2w0

13

又因為了￡(1,2］,所以一x—2W依一1Wx+2,即一1—<QW14—,

XX

即(一1一，］+,又因為函數y=在無41,2］上單調遞增，

所以當x=2時，=-1,又因為函數y=l+。在xe(l,2］上單調遞減，

\"/max/%

所以當x=2時，［1+3］=|,所以

I^Jmax222

又xe(l,2］時，ax-1^0,所以.￡所以實數0的取值范圍是

故選：D.

3.已知函數下列命題正確的是()

①〃x)是奇函數；

②方程/■(耳=爐+2%有且僅有1個實數根；

③在R上是增函數；

④如果對任意xe(0,+oo),都有/(力>丘，那么左的最大值為2.

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】B

【分析】對于①，根據奇函數的定義判斷，對于②，令g(x)=〃x)-可得g(o)=o,再結合零點

存在性定理分析判斷，對于③，對函數求導后利用導數判斷，對于④，問題轉化為er-履>0恒成立，構

造函數人(尤)=/-b-履，求導后分析判斷.

【詳解】對于①，因為/(%)=/-e-工的定義域為R,

旦〃T)=eT-eX=-(ereT)=-/(x),所以〃x)是奇函數，所以①正確，

對于②，令g(x)=f^-x2-2x=el-e-x-x2-2x,

因為g(0)=0，所以方程所以〃x)=f+2x有一個根為0,

33

因為g(2)=eLe-2_8<0,g(3)=e-e--15>0,

所以方程〃力=/+2工在(2,3)至少有一個根，所以②錯誤，

對于③，由/(力=。-葭,得于(耳=江+b>0,

所以在R上是增函數，所以③正確，

對于④，若對任意x?0,4w),都有/(%)>丘,即e'-e-*-辰>0恒成立，

xxfxx

令h(x)=e-e~-kx,貝!Jh(x)=e+e~-kf

ev+e~x>27ev-e-A=2,當且僅當6'=片"，即尤=。時取等號，

因為尤>0,所以取不到等號，所以^+^*>2,

若kW2,則"(尤)>0恒成立，所以力(x)在xe(O,y)上遞增，

所以h(x)>/7(0)=0,即/一e-，一爪>0恒成立，

若左>2,則存在%H。，")使/%)=0,

所以當O<x<Xo時，h'(x)<0,當x>Xo時，h'(x)>0,

所以力(x)在。%)上遞減，在(為,+8)上遞增，

所以h(x)在(0,%)上，有h(x)<A(0)=0不合題意,

綜上，k<2,所以％的最大值為2,所以④正確，

故選:B

4.已知函數f(x)對任意xeR都有/(x+2)=-/(X),>/(-x)=-/(x),當*《一1』時，〃尤)=d廁下

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列結論正確的是()

A.函數>=〃尤)的圖象關于點化。)優eZ)對稱

B.函數y=〃x)的圖象關于直線x=2M^cZ)對稱

C.當xe[2,3]時，〃尤)=(%-2丫

D.函數y=|/(尤)|的最小正周期為2

【答案】D

【分析】根據“x+2)=-f(x)得至!j/(x+2)"(x-2),所以的周期為4,根據〃r)=—〃x)得到

〃尤)關于x=—l對稱，畫出的圖象，從而數形結合得到AB錯誤;再根據=2)求出xe[2,3]

時函數解析式；D選項，根據y=〃x)的最小正周期，得到y=|/(x)|的最小正周期.

【詳解】因為〃x+2)=—〃x),所以f(x)=-/(x-2),故〃x+2)=/(x—2),

所以的周期為4,

X/H)=-/(%),所以〃T)=/(X-2),故關于x=T對稱，

又x?Tl]時，/(x)=x3,故畫出的圖象如下：

A選項，函數y=/(x)的圖象關于點(1,0)不中心對稱，故A錯誤；

B選項，函數y=/(x)的圖象不關于直線x=2對稱，B錯誤；

C選項，當xe[2,3]時，x-2e[0,l],則〃0=-f(%-2)=，C錯誤;

D選項，由圖象可知y=/(了)的最小正周期為4,

又|/。+2)卜卜/(刈="(刈,故y=，(x)|的最小正周期為2,D正確.

故選：D

5.下列函數中，與函數f(x)=2'-(的奇偶性、單調性均相同的是().

A.y=e'B.y=tanxC.y=x2D.y=d

【答案】D

【分析】判斷函數/(x)的奇偶性和單調性，再判斷選項AC的奇偶性，排除AC,判斷選項B的單調性,

排除B,判斷選項D的奇偶性和單調性確定結論.

【詳解】函數/(x)=2、-5的定義域為R,定義域關于原點對稱，

由〃-尤)=2-，-9=：-2工=-〃力，所以函數〃尤)為奇函數，

因為函數y=2工為R上的增函數，函數y為R上的減函數，

所以函數“X)為R上的增函數，

對于A,設g(x)=e，，函數g(x)=e，的定義域為R,定義域關于原點對稱，

因為g(l)=e,=

因為g(l)H-g(T)，所以函數y=6'不是奇函數，A錯誤；

對于B,設〃(x)=tanx,貝5|八(。)=/2(兀)=。，

故函數y=tanx不是其定義域上的增函數，B錯誤；

對于C,設研x)=f,函數0/的定義域為R,定義域關于原點對稱，

因為0(-x)=(-x『=Y=0(x),所以函數o(x)=f為偶函數，C錯誤；

對于D,設尸(尤)=丁，則/(力=丁的定義域為R,定義域關于原點對稱，

又尸(-尤)=(-尤丫=7?=-/(無)，所以函數尸(x)=V為奇函數，

又函數F(無)=丁為R上的增函數，D正確；

故選：D.

6.函數/(x)=cos(x+a)+sin(x+6),貝！|()

A.若a+6=0,則為奇函數B.若。+6=],則/(尤)為偶函數

C.若b-a=±,則/(x)為偶函數D.若a-b=Tt,則/⑺為奇函數

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【答案】B

【分析】根據選項中。，人的關系，代入/J)的解析式，對AD用特值說明/?(“不是奇函數，對BC用奇偶

性的定義驗證即可.

【詳解】的定義域為R,

對A：若a+6=0,/(j;)=cos(x+a)+sin(^-o),若/(尤)為奇函數，貝U/(O)=O,而/>(0)=cosa-sina=0

不恒成立，故/(x)不是奇函數;

7T

對B：若〃+/?=—,/(%)=cos(x+〃)+sinx+--a=cos(x+〃)+cos(x-a),

2

/(-x)=cos(-x+a)+cos(-x-a)=cos(x-+cos(A：+tz)=f(x),故為偶函數，B正確;

對C：若b—a=p/?=cosx+〃)+sin1%m+〃=2cos(X+Q),/(—x)=2cos(-x+a)H/a),故f(x)

不是偶函數，故C錯誤;

對D：a-b=n,/(x)=cos(x+b+7i)+sin(x+b)=-cos(x+b)+sin(x+b),

若/(x)為奇函數，則/(0)=。，而〃0)=—cos6+sinb=0不恒成立，故/(x)不是奇函數;

故選：B

7.已知函數y(x)=x,g(x)=2"+2T,則大致圖象如圖的函數可能是()

A.〃x)+g(x)B./(x)-g(x)C./(x)g(x)D..

【答案】D

【分析】由函數的奇偶性及選項逐項排除即可得到答案.

【詳解】〃尤)，g(x)的定義域均為R,且〃T)=f=—"x),g(r)=2T+2，=g(x),

所以為奇函數，g(x)為偶函數.

由圖易知其為奇函數，而〃元)+g(x)與-g(x)為非奇非偶函數，故排除AB.

當Xf+8時，〃x)g(x)f+co,排除C.

故選:D.

8.已知函數/（x）=：-4，/'（X）是/'（x）的導函數，則下列結論正確的是（）

22X+1

A./（-x）-/（x）=O

B.廣（無）＜0

C.若。＜%＜%，則石/（%）＞%/（玉）

D.若0＜網＜尤2，則/（玉）+/（尤2）＞/（西+/）

【答案】D

【分析】根據函數的奇偶性概念判斷A,根據導函數值域判斷B,利用特例法排除選項C,利用指數運算及

指數函數的單調性結合不等式的性質即可判斷D.

1I2*-1

【詳解】對于A,易知X€R,==

2-%-11-?x

所以/（—1「而所以/（一%）=—f（x），錯誤；

對于B,因為/（》）=《-七，所以（。）=彳事

由ln2＞0知廣（x）＞0,錯誤;

1_1了（）；1_3

對于C,2=

2+1-622+1-10

雖然0<1<2,但是lx〃2)<2x〃l),

故對。＜玉＜工2，石/（9）＞%/（石）不恒成立，錯誤；

119X_1

對于D,函數/（%）=義_一——'「，

22"+122+2

,再_],尤2_]?再+巧_1

則〃石）+“冗2）=-------------+--------------，〃再+九2）=-----------------，

V17V272。+1）2（2電+1）'八1272（2e+1）

因為龍2＞%＞。，所以2巧＞2畫＞1，所以2畫（2巧一1）＞2為一1＞0,

所以2為+巧+1＞2為+2巧，所以2-2＞電+2＞2＞馬+2玉+2巧+1，

21

即2（2國+◎+1）＞（2西+1）（2巧+1）,所以---------------------->-------------,

(2X1+1)(2X2+1)2X1+%2+1

2(2X,+X2-1)、2X1+X2-1

所以(2Xt+1)(2^+1)>2Xl+X2+1

又(2可_1)(29+1)+(2^_1)(2不+1)=2(2再+應-1),

14/33

所1(2*-1)(2*+1)+(2,2-1)(2為+1)2?&-1

斤X(2*+1)(2*+1)>2>*+1'

/以(2再_])(2?+1)+(2陽一4)(2*+1)2f-1

'2(2'+1)(2*+1)>2(2-*+1)，

2國_]2%2_i&尤i+超_i

即所以山)+/(々)>小+%)，正確?故選：D

J+3,則不等式/（1次）>3的解集為（

9.已知函數〃x)=log2）

1

B.—co,——(10,+00)

4V。10

Q心。）

C.(1,10)D.

【答案】D

【分析】判斷/'（X）的奇偶性與單調性，根據單調性轉化不等式.再解不等式即可.

【詳解】由」得XH0,即函數/（X）的定義域為（3,0）（0,田）.

+,占+3收

因為"-x)=log2

所以“X）為（0,0）（。,e）上的偶函數,

當x>0時，f（x）=log2—1-1j+^—+3,

因為函數y=J+1在（0,+8）上單調遞減，所以y=i?g2&+1）在（°，+8）上單調遞減,

又>=出+3都是在（0,+8）上單調遞減，

根據單調性的性質，可知函數/（X）在（0,+8）上單調遞減，

又因為函數/（X）為偶函數，所以函數/（X）在（-8,0）上單調遞增,

又"1）=3,所以/（臉）>3"⑴,可得|則<1|=1,

所以且IgxwO,解得，或l<x<10,

所以不等式〃班）>3的解集為4』］（1,10）.

故選：D

10.已知函數/(X)同時滿足以下兩個條件：①對任意實數X,都有/(元)+/(-x)=0；②對任意實數不無2,

當番+%*0時，都有‘丁)+/(%)<0,則函數f(x)的解析式可能為()

xt+x2

A./(x)=2xB./(x)=-2xC./(x)=TD./(x)=-2"

【答案】B

【分析】確定函數為奇函數且單調遞減，再依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】對任意實數無，都有f(x)+f(-x)=0,故函數為奇函數；

對任意實數內，%，當玉+%片0時，都有"6"一)<0,即+即〃芯)->」2)<0,

玉+馬石一%2%一%2

(%工務)，故函數單調遞減.

對選項A：/(x)=2x單調遞增，不滿足；

對選項B：/(x)=-2x單調遞減，且函數為奇函數，滿足；

對選項C：/(x)=2,單調遞增，不滿足；

對選項D：/(x)=-2*不是奇函數，不滿足.

故選：B

11.已知函數/(力=/+工，則“尤1+%=。"是"/(%)+/(%)=。”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由/(x)的奇偶性、單調性結合充分條件、必要條件的概念即可得解.

【詳解】因為/(X)=d+X定義域為R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-f(x),

所以/(x)為奇函數，且/(尤)為R上的增函數.

當%+%=。時，％=-%，所以/(%)+/(9)=/(占)+/(—玉)=。，

即“再+%=o"是，"&)+“々)=o”的充分條件，

當“可)+/(%)=。時，/(玉)=—/(/)=/(—9),由/(X)的單調性知，

X]=~X2，艮0芭+%=0，

16/33

所以“網+%=o”是“"M+Awho”成立的必要條件.

綜上，“再+3=0”是“/&)+/(%)=0”的充要條件.

故選：C

12.如圖為函數y=〃x)在［-6,6］上的圖像，則〃x)的解析式只可能是().

A./(x)=ln(Jx，+l+x卜0sxB./(x)=In［yjx2+1+xjsinx

C./(x)=In^y/x2+1-cosxD.=Ln(Jx，+1-^sinx

【答案】A

【分析】判斷函數的奇偶性，結合函數在給定區間上的符號，利用排除法求解即可.

【詳解】對于BJO)的定義域為R,且/(f)=ln(J(-x)2+1-x)又n(-x)

=-ln(-\/x2+1-x)sinx=ln(\Jx2+1+x)sinx=/(x)>故/(彳)為偶函數；

對于D./(x)的定義域為R,且/(-x)=ln("(-x)2+1+x)sin(-x)

=-ln(\/x2+1+x)sinx=ln(\/x2+1-x)sinx=/(x)，故/(彳)為偶函數；

由圖象，可知y=〃x)為奇函數，故排除B、D；

對于C.當0<x苦時，由+1)2=爐+1<(x+l)2=/+2x+l,

可知0<&+1一*<1，則耿&+1-幻<0,

而cosx>0,此時〃x)<0,故排除D；

故選：A.

13.現實生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線

形態，這類曲線在數學上常被稱為懸鏈線.在合適的坐標系中，這類曲線可用函數

/(x)="e：［"w0,e=2.71828)來表示.下列結論正確的是()

A.若">0,則函數“X)為奇函數B.若必>0,則函數〃x)有最小值

C.若而<0,則函數“X)為增函數D.若ab<0,則函數“X)存在零點

【答案】D

【分析】根據函數奇偶性、單調性、最值以及零點的判斷和求解方法，對每個選項進行逐一分析，即可判

斷和選擇.

【詳解】對A：取。=6=1,滿足ab>0,此時/(x)=e'，

其定義域為R，關于原點對稱，且/(x)=/(r)，此時"》)為偶函數，故A錯誤；

(夕]

對B：f(x)^aex+bex,令e*=tj>0,故y=af+y若存在最小值，則/(x)有最小值，

7b

因為必>0,故2>0,根據對勾函數的單調性可知，j,、n有最小值，無最大值，

ay=tH—，r>u

t

'2、

故當。<0時，y=af+旦/>0有最大值沒有最小值，故B錯誤；

t

\7

對C：當。(0,少0時，滿足/<0,又y=aeX是單調減函數，>=加一'是單調減函數，

故/(x)=ae'+歷r是單調減函數，故C錯誤；

對D：令/(x)=0,即加'+*一'=0，貝壯2，=一士，因為。》<0,故一±>0,

aa

解得x=：ln[-2],故當仍<0,jnjq即為函數零點，故D正確.

故選：D.

14.設函數/(x)=/“(l+]x|)-二二，則使得/(幻>/⑴成立的龍的取值范圍是()

1+X

A.B.(-8,-1)51,+8)

C.(-1,1)D.(-1,0)5。，1)

【答案】B

【分析】根據題意，分析可得了⑺為偶函數且在[0,+8)上為增函數，據此可得/(幻>/(1)=〃國)>八1)

n|尤|>1,解可得無的取值范圍，即可得答案.

【詳解】解：根據題意，函數“0=歷。+⑶)-二二，其定義域為R,

1+X

18/33

有/(-%)=ln(l+兇)-J=/(x),即函數/(%)為偶函數，

111+X

當X..0時，/(x)=ln(l+x)——二，函數>=ln(l+x)和函數y=——二都是［。，+功上為增函數，則/(x)在

1+無z1+x

［0,+8)上為增函數，

,解可得尤>1或x<-l,

即X的取值范圍為(-8,-1)D(1,+8)；

故選：B.

15.已知定義域為R的偶函數/(x)在［0,+8)上是增函數，且/(；)=。，貝r'不等式/(/”數)>0的

解集”是“｛尤|0<尤<；｝”的()

A.充分不必要條件B.充分且必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結合奇偶性，先解對數不等式，再根據包含關系判斷充分性與必要性.

【詳解】解：因為定義域為R的偶函數/(天)在［0,+功上是增函數，且〃$=0,

/(log4%)>0,即/(log4尤)>/(1),ip/(|log4x|)>/(1),BP|log4x|>|,

BPlog4x>^,或logaXV-；,

解之得x>2或0<x<；,

.?.｛x|x>2或0<x<；｝是｛x|0<尤<；｝的必要不充分條件，

故選：C.

JQ_x2

16.已知函數/(x)=則函數的奇偶性為()

|oJ-x|-o

A.既是奇函數也是偶函數B.既不是奇函數也不是偶函數

C.是奇函數不是偶函數D.是偶函數不是奇函數

【答案】C

【分析】求出函數的定義域，化簡函數的解析式，再利用奇偶性的定義求解即可.

【詳解】由9一/20=>-3WxW3n6-x>0,

所以

6—x—6—x

可得函數定義域為-3MxM3且XWO,關于原點對稱,

又因為“Th”/一變了一小)，

所以函數是奇函數不是偶函數,

故選：C.

17.偶函數/(X)定義域為(-。0)1(0,與，其導函數是尸⑴.當0<x<g時，有尸(x)cosx+/(x)si?<0,

則關于X的不等式/(x)>垃/(E)cosx的解集為()

4

C.(-。0)—(0與D.(-1,0)(f,g)

44442

【答案】C

【分析】構造函數g(X)=省，再根據尸(x)cosx+/(x)sinX<。得出g(尤)的單調性,結合偶函數/(X)可得

g(x)的奇偶性,再結合奇偶性與單調性求解/?>應/嚀)cosx即可.

【詳解】構造函數g(x)=犯，則g白)=

COSXcosX

故當0<x<]時，有g'(x)<0,g(x)為減函數.

又/(x)為偶函數故g⑺=犯也為偶函數，所以g⑺在-g<尤<0時為增函數.

f(—)

又/(%)>⑸(￡)cosx,(-：0)?(0,5，即加>-A,

422cosx?os三

4

即g(x)>g[?]故國<?,結合定義域解得-?<x<0或0<x<?.

故選：C

18.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且在區間(T?,0]上單調遞減，/(l)--l.iSg(x)=log2(x+3),則

滿足于(X)>g(x)的X的取值范圍是

A.(-8,TB.[-1,+co)C.(-3,-1]D.(-3,1]

【答案】C

【分析】根據題意，由函數奇偶性的性質可得/(x)在R上為減函數以及/(-1)=1,結合對數函數的性

20/33

質可得g(無)=log2(x+3)的定義域為(-3,+8),在其定義域上，g(尤)為增函數，設/(尤)=/(元)

-g(x),易得/(x)在(-3,+8)上為減函數，又由F(-1)=/(-1)-g(-l)=1-1=0,進而

可得P(x)NOn-3<xW-1,據此分析可得答案.

【詳解】根據題意，函數/(x)是定義在R上的奇函數，且在區間(-8,0］上單調遞減，

則/(無)在［0,+8)上也是減函數，

則/(尤)在R上為減函數，

又由/(I)=-1,貝丫(-1)=-/(I)=1，

又由g(尤)=log2(無+3),有x+3>0,即尤〉-3,函數的定義域為(-3,+8),在其定義域上，g(x)

為增函數，

設F(%)=/(x)-g(x),其定義域為(-3,+8),

分析易得F(x)在(-3,+8)上為減函數，又由F(-1)=/(-1)-g(-1)=1-1=0,

F(無)20今-3〈尤W-1,

則了(無)(尤)今尸(x)20=>-3VxW-1,即不等式的解集為(-3,-1］；

故選C.

19.已知定義在R上的奇函數/(X)在［0,+8)上單調遞減，且。+6>0,b+c>0,a+c>0,則

〃a)+/(b)+/(c)的值()

A.恒為正B.恒為負C.恒為0D.無法確定

【答案】B

【分析】由題意利用函數的單調性和奇偶性的性質，求得f(a)+f(b)+f(c)<0,可得結論.

【詳解】定義在R上的奇函數f(x)在［0,+oo)上單調遞減，

故函數f(x)在(-oo,0］上也單調遞減，故f(x)在R上單調遞減.

根據a+b>0,b+c>0,a+c>0,

可得a>-b,b>-c,c>-a,/.f(a)<f(-b),f(b)<f(-c),f(c)<f(-a),

f(a)+f(b)+f(c)<f(-b)+f(-c)+f(-a)=-f(a)-f(b)-f(c),

Af(a)+f(b)+f(c)<0,

故選B.

i9

2

20.已知函數/(為=§彳3-4工+2/-7，其中e是自然對數的底，^/(G-l)+/(2a)<0,則實數。的取值

范圍是