專題04整式加減(壓軸題專項講練)

■i典例精析

【典例1】一個多項式的次數為項數為小我們稱這個多項式為初次多項式或者加次”

項式，例如：5X3/

-2x2y+3xy為五次三項式，2K-2/+3xy+2x為二次四項式.

(1)-3xy+2x2y2-4X3J3+3為次項式.

(2)若關于x、y的多項式4=。爐-3xy+2x,B—bxy-^+2y,己知2A-3B中不含二次項，

求a+b的值.

(3)已知關于x的二次多項式，a(x3-r+3尤)+b(2Y+X)+X3-5在x=2時，值是-17,

求當x=-2時，該多項式的值.

【思路點撥】

(1)利用題干中的規定即可確定多項式的次數及項數；

(2)計算2A-3B,合并同類項后，令二次項系數等于0即可求得結論；

(3)利用多項式為關于x的二次多項式，可得。+1=0；將x=2時，多項式的值是-17代

入可求得6的值，將求得的a,6的值代入多項式，整理后將尤=-2代入即可求得結論.

【解答過程】

解：(1)：-3盯+2fV-4X3J3+3的次數為6,項數為4,

-3孫+2x^2-4XY+3是六次四項式.

故答案為：六；四；

(2)"."A—ax1-3xy+2x,B-bxy-4jr+2y,

24-38=2(ax2-3盯+2x)-3(bxy-4x2+2y)

—2OX1-6xy+4x-3bxy+12x1-6y

=(2a+12)x^+(-6-3b)xy+4x-6y,

V2A-3B中不含二次項，

...2a+12=0,-6-3b—0.

解得：a=-6,b=-2.

/.a+b=-8.

(3),:a(x3-，+3x)+b(2f+x)+x3-5=(〃+l)x3+(-a+2b)f+(3〃+。)x-5,

又?：a(J?-+b(2x2+x)+X3-5是關于x的二次多項式，

〃+l=0.

??〃=-1,

，原多項式為(2/?+1)/+(。-3)x-5.

??,當x=2時，多項式的值是-17,

???(28+1)x4+(b-3)x2-5=-17.

:.b=-1.

???原多項式為-％2-4x-5,

當x=-2時，---4%-5=-4+8-5=-1.

?,?當X=-2時，該多項式的值為-1.

【典例2】一個多位數整數，，代表這個整數分出來的左邊數，人代表這個整數分出來的右

邊數.其中。，b

兩部分數位相同，若?正好為剩下的中間數，則這個多位數就叫平衡數，

例如：357滿足乎=5,233241滿足生手=32.

(1)判斷：468平衡數；314567平衡數(填“是”或“不是”)；

(2)證明任意一個三位平衡數一定能被3整除；

(3)若一個三位平衡數后兩位數減去百位數字之差為9的倍數，且這個平衡數為偶數，求

這個三位數.

【思路點撥】

(1)根據平衡數的定義即可判斷；

(2)設出這個三位平衡數，化簡即可驗證；

(3)設出這個三位平衡數，根據后兩位數減去百位數字之差為9的倍數列出代數式并化簡,

再根據等是整數，y是偶數即可得出答案.

【解答過程】

解：（1）:等=6,

???468是平衡數;

..31+67

=4毋45,

2

A314567不是平衡數;

故答案為：是；不是;

（2）證明：設這個三位平衡數為：100.+10?等+6,

???1。。什10?等+6

=lOOtz+5(〃+/?)+b

=100〃+5〃+5b+Z?

=105〃+6Z?

=3（35。+2辦），

100a+10?等+b一定能被3整除，

即任意一個三位平衡數一定能被3整除；

（3）設這個三位平衡數為lOOx+lO（管）+?

/.10（X；，）+y-x=9左，

.??6y+4x=9女,

；.6y+4x滿足被9整除，

又???等是整數，

；.x+y是2的倍數，

???三位數是偶數，

??.y是偶數,

V0<x<9,0<y<9,由于y為偶數,

則y可以取0,2,4,6,8,

y=0時，x無滿足條件值；

y=2時，％=6滿足；

y=4時，x無滿足條件值；

y=6時，x無滿足條件值；

y=8時，％=6滿足，

綜上所述，三位數為642,678.

■I學霸必刷

1.A=2f+3履-2期-1,"Y+21,且3A+62的值與x的取值無關,求亳+六+*+

—+—+

4x55x6

亳+…的值?

2.(2023秋?海珠區校級期中)己知4=3/+)/-2孫，B^xy-/+2x2,求：

⑴2A-3B；

(2)若|2x-3|=l,/=16,\x-y\=y-x,求2A-38的值.

(3)若x=4,y=-8時，代數式ax3+|^+5=18,那么x=-128,y=-1時，求代數式

3ax-2W+10的值.

3.（2021春?安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是數學中通過設題中某個未知量為特

殊值，從而通過

簡單的運算，得出最終答案的一種方法.例如：

已矢口：a4X4+a3Xi+a2X1+aiX+ao=6x,貝!!：

（1）取1=0時，直接可以得到Qo=O；

（2）取X=1時，可以得到。4+。3+。2+。1+。0=6；

（3）取X=-1時，可以得到〃4-的+〃2-。1+〃0=-6.

（4）把（2）,（3）的結論相加，就可以得到2〃4+242+2〃0=0,結合（1）的=0的結論，

從而得出〃4+。2=0.

請類比上例，解決下面的問題：

已知。6（X-1），+〃5（X-1）§+〃4（X-1）4+a3（X-1）注政（X-1）之+⑥（X-1）+〃（）=4%,

求（1）。0的值；

（2）〃6+〃5+〃4+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

（3）〃6+。4+。2的值.

4.（2023秋?城廂區校級期中）若〃，b互為相反數，b,c互為倒數，且根的立方等于它本

身.

（I）若〃=2,求c"的值；

（II）若相加，試討論：當x為有理數時，|了+機|+仇-訓是否存在最小值？若存在，求出這

個最小值；若不存在，請說明理由；

（III）若。＞1,且機VO,S=\2a-3b\-2\b-m\-求6（2a-s）+（s-2〃）的值.

5.（2023秋?韓城市期中）一個三位正整數M,其各位數字均不為零且互不相等.若將M

的十位數字與百

位數字交換位置，得到一個新的三位數，我們稱這個三位數為M的“友誼數”，如：168的“友

誼數”為“618”；

若從M的百位數字、十位數字、個位數字中任選兩個組成一個新的兩位數，并將得到的所

有兩位數求和，

我們稱這個和為M的“團結數”，如：123的“團結數”為12+13+21+23+31+32=132.

（1）若M的其百位數字為a,十位數字為b、個位數字為c,試說明M與其“友誼數”的差

能被15整除；

（2）若一個三位正整數N,其百位數字為2,十位數字為八個位數字為b,且各位數字互

不相等（存0,厚0）,求N的“團結數”.

6.（2021春?銅梁區校級期末）如果3個數位相同的自然數相，n,左滿足：/〃+〃=左，且左

各數位上的數字全部相同，則稱數相和數"是一對"黃金搭檔數”.例如：因為25,63,88

都是兩位數，且25+63=88,則25和63是一對“黃金搭檔數”.再如：因為152,514,666

都是三位數，且152+514=666,則152和514是一對“黃金搭檔數”.

（1）分別判斷87和12,62和49是否是一對“黃金搭檔數”，并說明理由.

（2）已知兩位數s和兩位數/的十位數字相同，若s和f是一對“黃金搭檔數”，并且s與/

的和能被7整除，求出滿足題意的s.

7.（2023秋?沙坪壩區校級期中）一個三位正整數，將它的個位數字與百位數字交換位置,

所得的新數恰好與原數相同，我們把這樣的三位正整數稱為“對稱數”，如555,323,191都

是“對稱數”.

（1）請你寫出2個“對稱數”；

（2）任意一個“對稱數”減去其各位數字之和，所得的結果都是9的倍數，請用含字母的代

數式說明其中的道理；

（3）若將一個“對稱數”減去其各位數字之和，所得的結果是11的倍數，直接寫出滿足條件

的“對稱數”.

8.（2021春?重慶期末）定義：對于一個四位自然數％若其百位數字等于其個位數字與十

位數字之和，其千位數字等于其十位數字與百位數字之和，則稱這個四位自然數〃為“加油

數”，并將該“加油數”的各個數位數字之和記為歹（〃）.例如：5413是“加油數”，因為5413

的個位數字是3,十位數字是1,百位數字是4,千位數字是5,且3+1=4,1+4=5,所以

5413是“加油數”，則尸（5413）=5+4+1+3=13；9734不是“加油數”，因為9734的個位數

字是4,十位數字是3,百位數字是7,千位數字是9,而4+3=7,但3+7=10彳9,所以9734

不是“加油數

（1）判斷8624是否為“加油數”，并說明理由；

（2）若x,y均為“加油數”，其中尤的個位數字為1,y的十位數字為2,且B（尤）+F（y）

=30,求所有滿足條件的“加油數”x.

9.（2023秋?北需區校級期末）閱讀理解：我們把形如筋荻（其中且a,b為整

數）的五位正整數稱為“對稱凸數”，形如而而（其中1±＜芯9且c,d為整數）的五位正

整數稱為“對稱凹數“，例如：13931,29992是“對稱凸數“，25052,59095是“對稱凹數”.

（1）最小的“對稱凸數”為,最大的“對稱凹數”為;

（2）證明：任意一個“對稱凸數”減去它的各數位數字之和的差都能被9整除；

（3）五位正整數M與N都是“對稱凸數”，若滿足的同時，N-M的結果為一個“對

稱凹數”，且該新“對稱凹數”能被5整除，請求出“對稱凸數”M與N.

10.(2023秋?姜堰區期末)如圖，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數字.它是由

前12位數字和校驗碼構成，其結構分別代表“國家代碼、廠商代碼、產品代碼、和校驗碼”.

其中，校驗碼是用來校驗商品條形碼中前12位數字代碼的正確性.它的編制是按照特定的

算法得來的.其算法為：

步驟1：計算前12位數字中偶數位數字的和a,即.=9+1+3+5+7+9=34；

步驟2：計算前12位數字中奇數位數字的和b,即6=6+0+2+4+6+8=26；

步驟3：計算3。與b的和c,即c=3x34+26=128；

步驟4：取大于或等于c且為10的整數倍的最小數d,即1=130；

步驟5：計算1與c的差就是校驗碼X,即X=130-128=2.

請解答下列問題：

(1)《數學故事》的條形碼為978753454647K則校驗碼V的值為

(2)如圖1,某條形碼中的一位數字被墨水污染了，請求出這個數字；

(3)如圖2,條形碼中被污染的兩個數字的和是5,這兩個數字從左到右分別是

11.（2023秋?武侯區校級月考）（1）一個三位數能不能被3整除，只要看這個數的各位

數字的和能不能被3整除，這是為什么？

（2）聯系拓廣：

①一個四位數能不能被9整除，只要看這個數的各位數字之和能不能被9整除，這是為什

么？

②一個三位數能不能被7整除，只要將該三位數去掉個位數字，再從余下的數中，減去個

位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除，這是為什么？

12.（2021春?沙坪壩區校級月考）國家人社部透露，目前我國平均退休年齡不到55歲.相

對于世界主要經濟體65歲以上的退休年齡，總體偏低.人社部近期表示，我國正在加緊研

究延遲退休具體改革方案，預計將在“十四五”期間推行.

定義：一個四位數，如果它的千位數字與個位數字的和等于百位數字與十位數字的和，且能

被65整除，則稱該數為“退休數”.

（1）請判斷:4635和3120是否為“退休數”?

（2）請求出所有的“退休數”.

13.（2023秋?渝中區校級期末）如果一個四位自然數，其千位數字是十位數字的二倍與百

位數字之差，個位數字是十位數字的二倍與百位數字之和，我們稱這個數為“共生數”.例如

5137,其中5=3x2T,7=3x2+1,所以5137是“共生數

（1）寫出最小的“共生數”為,最大的“共生數”為.

（2）若一個“共生數”的前三位數表示的數減去后兩位數表示的數之差除以13余數為8,求

出所有符合條件的“共生數”.

專題04整式加減(壓軸題專項講練)

■i典例精析

【典例D一個多項式的次數為加，項數為力我們稱這個多項式為機次多項式或者加次〃

項式，例如：5X3/

-2fy+3孫為五次三項式，-2y2+3xy+2x為二次四項式.

(1)-3xy+2^y2-4x3y3+3為次項式.

(2)若關于無、y的多項式4=以2-3xy+2x,B=bxy-4f+2y,已知2A-3B中不含二次項，

求a+b的值.

(3)已知關于x的二次多項式，a(x3-FHx)+b(2P+X)+X3-5在x=2時，值是-17,

求當x=-2時，該多項式的值.

【思路點撥】

(1)利用題干中的規定即可確定多項式的次數及項數；

(2)計算2A-3B,合并同類項后，令二次項系數等于0即可求得結論；

(3)利用多項式為關于x的二次多項式，可得a+l=0；將x=2時，多項式的值是-17代

入可求得b的值，將求得的a,b的值代入多項式，整理后將尤=-2代入即可求得結論.

【解答過程】

解：(1)：-3盯+2x^2-4X3/+3的次數為6,項數為4,

-3孫+2x5/-4^3+3是六次四項式.

故答案為：六；四；

(2)'."A—ax2-3xy+2x,B=bxy-4/+2丫，

?*.2A-38=2(ax2-3孫+2x)-3(bxy-4x2+2y)

—2a^-6xy+4x-3bxy+12xi-6y

=(2a+12)f+(-6-3b)xy+4x-6y,

V2A-3B中不含二次項，

：.2a+U=0,-6-3b=0.

解得：a=-6,b=-2.

/.a+b=-8.

(3),:a(x3-，+3x)+b(2f+x)+x3-5=(〃+l)x3+(-a+2b)f+(3〃+。)x-5,

又?：a(J?-+b(2x2+x)+X3-5是關于x的二次多項式，

〃+l=0.

??〃=-1,

，原多項式為(2/?+1)/+(。-3)x-5.

??,當x=2時，多項式的值是-17,

???(28+1)x4+(b-3)x2-5=-17.

:.b=-1.

???原多項式為-％2-4x-5,

當x=-2時，---4%-5=-4+8-5=-1.

?,?當X=-2時，該多項式的值為-1.

【典例2】一個多位數整數，，代表這個整數分出來的左邊數，人代表這個整數分出來的右

邊數.其中。，b

兩部分數位相同，若?正好為剩下的中間數，則這個多位數就叫平衡數，

例如：357滿足乎=5,233241滿足生手=32.

(1)判斷：468平衡數；314567平衡數(填“是”或“不是”)；

(2)證明任意一個三位平衡數一定能被3整除；

(3)若一個三位平衡數后兩位數減去百位數字之差為9的倍數，且這個平衡數為偶數，求

這個三位數.

【思路點撥】

(1)根據平衡數的定義即可判斷；

(2)設出這個三位平衡數，化簡即可驗證；

(3)設出這個三位平衡數，根據后兩位數減去百位數字之差為9的倍數列出代數式并化簡,

再根據等是整數，y是偶數即可得出答案.

【解答過程】

解：（1）:等=6,

???468是平衡數;

..31+67

=4毋45,

2

A314567不是平衡數;

故答案為：是；不是;

（2）證明：設這個三位平衡數為：100.+10?等+6,

???1。。什10?等+6

=lOOtz+5(〃+/?)+b

=100〃+5〃+5b+Z?

=105〃+6Z?

=3（35。+2辦），

100a+10?等+b一定能被3整除，

即任意一個三位平衡數一定能被3整除；

（3）設這個三位平衡數為lOOx+lO（管）+?

/.10（X；，）+y-x=9左，

.??6y+4x=9女,

；.6y+4x滿足被9整除，

又???等是整數，

；.x+y是2的倍數，

???三位數是偶數，

??.y是偶數,

V0<x<9,0<y<9,由于y為偶數,

則y可以取0,2,4,6,8,

y=0時，x無滿足條件值；

y=2時，％=6滿足；

y=4時，x無滿足條件值；

y=6時，x無滿足條件值；

y=8時，％=6滿足，

綜上所述，三位數為642,678.

■I學霸必刷

1.A=2x2+3Ax-200x-1,B—~x2+fcv-1,且3A+65的值與x的取值無關,求-1---------1-------F

1x22x33X4

的值

-4^X―5十+-52X_6十+_62X_7十_|_—?-(上-1-)-川」氏

【思路點撥】

先根據3A+65的值與x的取值無關求出k的值，然后將原式化簡，再將k代入原式即可求

出答案.

【解答過程】

解：*.*3A+65=3(2f+3fcl-200x-1)+6(-/+日-1)

=6X2+9AX-600x-3-6f+6fcv-6

=15kx-600x-9

=(15%-600)x-9,

由題意可知:15無-600=0,

???Z=40,

???原式=(1-i)+(i-i)+……+(戶-：)

223k-1k

=1--

k

=1-—

40

_39

40,

2.(2023秋?海珠區校級期中)已知4=3寸+尸-2盯，B=xy-/+2x2,求：

⑴2A-3B；

(2)若|2x-3|=l,9=16,\x-y\=y-x,求2A-38的值.

(3)若x=4,y=-8時，代數式4必+殳y+5=18,那么x=-128,y=-1時，求代數式

3ax-24勿3+io的值.

【思路點撥】

(1)將4=3/+/-2盯，B=xy-y2+2x2,代入2A-32,再利用去括號、合并同類項化簡即

可；

(2)求出x、y的值代入(1)化簡后代數式計算即可；

(3)將x=4,y=-8代入代數式依18可得64a-4b=13,再把x=-128,y=

-1代入3ox-24/?y3+10即可得出答案.

【解答過程】

解：(1)'.'A—i^+y2-2xy,B—xy-)>2+2^,

.,.2A-38=2(3/+y2-2xy)-3(xy-y2+2^)

=6x1+2y2-4xy-3孫+39-6f

=5y2-7xy；

(2)V|2x-3|=1,/=16,

?'?Xi—19%2=2,y=±4,

又V\x-y\=y-x,即x<y,

y=4或x=2,y=4,

當x=l,y=4時，24-33=5產-7孫=80-28=52,

當x=2,y=4時，2A-35=5y2-7孫=80-56=24,

???2A-3B的值為52或24.

(3)將x=4,y=-8代入代數式加+1丁+5=18可得,

64〃-40+5=18,

即，64。-40=13,

把％=-128,y=-1代入3ax-24Z?/+10可得，

-3xl28a+24A+10=-6（64。-4。）+10=-6x13+10=-68.

3.（2021春?安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是數學中通過設題中某個未知量為特

殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法.例如：

已矢口：=6x,貝（J：

（1）取％=0時，直接可以得到〃o=O；

（2）取1=1時，可以得到〃4+。3+。2+〃1+。0=6；

（3）取X=-1時，可以得到〃4-〃3+〃2-〃1+〃0=-6.

（4）把（2）,（3）的結論相加，就可以得到2〃4+2Q2+2QO=O,結合（1）的=0的結論，

從而得出〃4+。2=0.

請類比上例，解決下面的問題：

已知〃6（%-1）6+?5（X-1）§+“4（X-1）4+的（X-1）（X-1）2+?1（X-1）+"0=4x,

求（1）〃0的值；

（2）46+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

（3）%+。4+。2的值.

【思路點撥】

（1）觀察等式可發現只要令工=1即可求出〃

（2）觀察等式可發現只要令X=2即可求出〃6+。5+。4+俏+〃2+。1+。0的值.

（3）令％=0即可求出等式①，令x=2即可求出等式②，兩個式子相加即可求出來.

【解答過程】

解：（1）當x=l時，ao=4xl=4；

（2）當X—2時，可得〃6+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0=4乂2=8；

(3)當％=0時，可得〃6-〃5+〃4-俏+〃2-〃l+a()=O①,

由(2)得得〃6+〃5+〃4+〃3+〃2+〃1+40=4x2=8②;

①+②得：2〃6+244+2〃2+2〃O=8,

：.2(。6+〃4+。2)—8-2x4=0,

〃6+〃4+。2=0.

4.(2023秋?城廂區校級期中)若a,?；橄喾磾?，b,?；榈箶?，且根的立方等于它本

身.

(I)若〃=2,求〃的值；

(II)若*0,試討論：當X為有理數時，|x+〃2|+|x-詞是否存在最小值？若存在，求出這

個最小值；若不存在，請說明理由；

(III)若〃>1,且機VO,S=\2a-3b\-2\b-m\-l^+|b求6(2〃-s)+(s-2〃)的值.

【思路點撥】

(I)由題意可知：〃+。=0,bc—\,加=0或1或-1,當〃=2時，求出相應的值，代入

ca即可；

(II)根據根=1和根=-1兩種情況，分別由1的取值范圍去掉絕對值符號，再由化簡后

的式子即可得到3+加|-|冗-刑有最小值為-2；

(III)由根=-1,b<-1,將S進行化簡即可.

【解答過程】

解：由題意可知：〃+。=0,bc—1,根=0或1或-1,

(I)???〃=2,

：.b=-2,

???C=---1-9

2

：.ca=1)2=工；

(II)加#0,

或m=-1,

當m=1時,

\x+m\-\x-m\=\x+l\-\x-1\,

當xV-1時，|x+l|-\x-1\=-(x+1)+(x-1)=-2,

當-10於1時，|x+l|-\x-1|=(x+1)-(1-x)=2x,

當%>1時，|x+l|T%-1|=(x+1)-(x-1)=2,

\x+m\-\x~詞的最小值是-2；

當m=-1時，

\x+m\-\x-m\=\x-1|-|x+l|=-(|x+l|-\x-1|)，

\x+m\-\x~詞的最小值是-2；

綜上所述，|x+刑-枕-刑的最小值是-2；

(III)Vm<0,

Am--1,

：.b<-1,

：.S=\2a-3b\-2\b-m\-|Z7+||

=2a-3b-2(m-/?)+(/?+-)

2

=2a-3b-2m+2b+b+-

2

i

=2。-2機4—，

2

?；m=-1,

：.S=2a+~,

2

：.6(2〃7)+(S-2〃)

=12a~6S+S-2a

=10。-5S

=}Qa-10o-5x-

2

__25

—2?

5.（2023秋?韓城市期中）一個三位正整數M,其各位數字均不為零且互不相等.若將M

的十位數字與百位數字交換位置，得到一個新的三位數,我們稱這個三位數為M的“友誼數”，

如：168的“友誼數”為“618”；若從M的百位數字、十位數字、個位數字中任選兩個組成一

個新的兩位數，并將得到的所有兩位數求和，我們稱這個和為"的“團結數”，如：123的“團

結數”為12+13+21+23+31+32=132.

（1）若M的其百位數字為a,十位數字為b、個位數字為c,試說明M與其“友誼數”的差

能被15整除;

（2）若一個三位正整數N,其百位數字為2,十位數字為八個位數字為b,且各位數字互

不相等（存0,不相，求N的“團結數”.

【思路點撥】

（1）根據題意可以表示出M的友誼數，然后作差再除以15即可解答本題；

（2）根據題意可以表示出N的團結數，然后合并同類項即可解答本題.

【解答過程】

解：（1）由題意可得M為100a+10b+c,則它的友誼數為1006+10。+。，

（100a+1Ob+c）-（100b+1Oa+c）

=lOOa+lOO+c-100/?-10a-c

—90a-90b,

,：（90〃-90。）75=6。-6。，

與其“友誼數”的差能被15整除；

（2）N的團結數是10x2+a+10a+2+10x2+/7+10x/?+2+1Oa+b+1Qb+a=22a+22b+44.

6.（2021春?銅梁區校級期末）如果3個數位相同的自然數相，n,k滿足：m+w=k,且左

各數位上的數字全部相同，則稱數相和數〃是一對“黃金搭檔數”.例如：因為25,63,88

都是兩位數，且25+63=88,則25和63是一對“黃金搭檔數”.再如：因為152,514,666

都是三位數，且152+514=666,則152和514是一對“黃金搭檔數”.

⑴分別判斷87和12,62和49是否是一對“黃金搭檔數”，并說明理由.

（2）已知兩位數S和兩位數r的十位數字相同，若S和f是一對“黃金搭檔數”，并且S與r

的和能被7整除，求出滿足題意的S.

【思路點撥】

（1）根據“黃金搭檔數”的定義判斷即可.

（2）根據“黃金搭檔數”的定義得出代數式，再進行分類討論即可.

【解答過程】

解：（1）787+12=99,87,12,99都是兩位數，

.,.87和12是一對“黃金搭檔數”，

V62+49=1U,111是三位數,

.1.62和49不是一對“黃金搭檔數”；

（2）和f的是兩位數，s和/是一對“黃金搭檔數”，

和t的和也是兩位數且各位數上的數字全部相同，

與f的和能被7整除，

和f的和為77,

和f的十位數字相同，77=38+39,

為38或39.

7.（2023秋?沙坪壩區校級期中）一個三位正整數，將它的個位數字與百位數字交換位置,

所得的新數恰好與原數相同，我們把這樣的三位正整數稱為“對稱數”，如555,323,191都

是“對稱數”.

（1）請你寫出2個“對稱數”；

（2）任意一個“對稱數”減去其各位數字之和，所得的結果都是9的倍數，請用含字母的代

數式說明其中的道理；

（3）若將一個“對稱數”減去其各位數字之和，所得的結果是11的倍數，直接寫出滿足條件

的“對稱數”.

【思路點撥】

（1）根據題意，可以寫出2個“對稱數”，本題答案不唯一；

（2）根據題意用含字母的代數式說明其中的道理；

（3）根據題意和（2）中的結果，可以寫出滿足條件的“對稱數”.

【解答過程】

解：(1)由題意可得，

“對稱數”為616,626；

(2)設一個對稱數為100a+10b+a,

由題意可得，(100。+10匕+。)-Ca+b+a)=101a+10Z?-2a-b=99a+9b,

'：99a+9b能被9整除，

...任意一個“對稱數”減去其各位數字之和，所得的結果都是9的倍數；

(3)由(2)得，

一個“對稱數”減去其各位數字之和是99a+96=9(lla+b),

...將一個“對稱數,，減去其各位數字之和，所得的結果是11的倍數，且b為整數，

：.b=Q,13zW9且a為整數，

滿足條件的“對稱數”是101、202、303、404、505、606、707、808、909.

8.(2021春?重慶期末)定義：對于一個四位自然數小若其百位數字等于其個位數字與十

位數字之和，其千位數字等于其十位數字與百位數字之和，則稱這個四位自然數〃為“加油

數”，并將該“加油數”的各個數位數字之和記為/.例如:5413是“加油數”，因為5413

的個位數字是3,十位數字是1,百位數字是4,千位數字是5,且3+1=4,1+4=5,所以

5413是“加油數”，則尸(5413)=5+4+1+3=13；9734不是“加油數”，因為9734的個位數

字是4,十位數字是3,百位數字是7,千位數字是9,而4+3=7,但3+7=10彳9,所以9734

不是“加油數”.

(1)判斷8624是否為“加油數”，并說明理由；

(2)若x,y均為“加油數”，其中尤的個位數字為1,y的十位數字為2,且B(尤)+F(y)

=30,求所有滿足條件的“加油數”x.

【思路點撥】

(1)根據加油數的定義即可判斷；

(2)設x的十位數為a,y的個位數為6,則x的百位數為a+1,千位數為2a+l,y的百位

數為b+2,千位數為4+6,根據/(無)+F(j)=30列出等式即可解答.

【解答過程】

解：(1)8624是“加油數”，理由如下：

：8=6+2,6=2+4,

A8624是“加油數”；

(2)設尤的十位數為a,y的個位數為6,

.?.尤的百位數為a+1,千位數為2a+l,y的百位數為b+2,千位數為4+b,

F(x)=2a+l+a+l+a+l=4。+3,F(y)=4+6+6+2+6+2=36+8,

：.F(x)+F(y)=4a+3+3b+8=30,

4a+3b—19,

?：0<a<9,0<b<9,且a,6為整數,

.'.a=l,。=5或a=4,b=l,

；?有滿足條件的“加油數”x為3211或9541.

9.(2023秋?北倍區校級期末)閱讀理解：我們把形如筋痂(其中且a,b為整

數)的五位正整數稱為“對稱凸數”，形如而瓦(其中1±<把9且c,d為整數)的五位正

整數稱為“對稱凹數“，例如：13931,29992是“對稱凸數“，25052,59095是“對稱凹數”.

(1)最小的“對稱凸數”為,最大的“對稱凹數”為;

(2)證明：任意一個“對稱凸數”減去它的各數位數字之和的差都能被9整除；

(3)五位正整數M與N都是“對稱凸數”，若滿足的同時，N-M的結果為一個“對

稱凹數”，且該新“對稱凹數”能被5整除，請求出“對稱凸數”M與N.

【思路點撥】

(1)根據定義寫出最小的“對稱凸數”和最大的“對稱凹數”；

(2)設“對稱凸數”為筋痂，再表示“對稱凸數”與它的各數位數字之和的差，合并同類項并

提公因式，可得結論；

(3)設M為ab9ba,N為cd9dc,由得a<A<c<d,則N-M為

(c—a)(d—b)0(d—b)(c—a),根據N-M的結果為一個“對稱凹數”，且該新“對稱凹數”

能被5整除，可得結論.

【解答過程】

解：(1)由題意得:

最小的“對稱凸數”為12921,最大的“對稱凹數”為89098；

故答案為：12921,89098：

(2)設“對稱凸數”為麗麗，貝I]“對稱凸數”為10000a+1000/7+900+1Ob+a,它的各數位數字

之和a+b+9+b+a,

10000fl+1000Z?+900+10Z>+o-(cz+b+9+b+a)

=9999。+10086+891

=9(lllla+112Z>+99),

，任意一個“對稱凸數”減去它的各數位數字之和的差都能被9整除；

(3)設M為ab9ba,N為cd9dc,由M<N得a<b<c<d,貝!]N-M為

(c—a)(d—b)0(d—b)(c—a),

VN-M的結果為一個“對稱凹數”，且該新“對稱凹數”能被5整除，

-“=5或c-。=0(舍去)

當a=l,c=6時,如12921和68986,68986-12921=56065,56065為一個“對稱凹數”，

且能被5整除，

同理12921,N=69996；M=13931,N=69996；23931,N=79997.

12921,N=68986；12921,N=69996；〃=13931,N=69996；m=23931,N=

79997.

10.(2023秋?姜堰區期末)如圖，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數字.它是由

前12位數字和校驗碼構成，其結構分別代表“國家代碼、廠商代碼、產品代碼、和校驗碼”.

其中，校驗碼是用來校驗商品條形碼中前12位數字代碼的正確性.它的編制是按照特定的

算法得來的.其算法為：

步驟1：計算前12位數字中偶數位數字的和a,即4=9+1+3+5+7+9=34；

步驟2：計算前12位數字中奇數位數字的和b,即6=6+0+2+4+6+8=26；

步驟3：計算3。與6的和c,即c=3x34+26=128；

步驟4：取大于或等于c且為10的整數倍的最小數d,即d=130；

步驟5：計算〃與c的差就是校驗碼X,即X=130-128=2.

請解答下列問題：

（1）《數學故事》的條形碼為978753454647K則校驗碼V的值為；

（2）如圖1,某條形碼中的一位數字被墨水污染了，請求出這個數字；

（3）如圖2,條形碼中被污染的兩個數字的和是5,這兩個數字從左到右分別是

【思路點撥】

（1）有以上算法分別求出a,b,c,d的值，由步驟5得出￥=1；

（2）根據特定的算法依次求出a,b,c,d,再根據d為10的整數倍即可求解;

（3）根據校驗碼為9結合兩個數字的和是5即可求解.

【解答過程】

解：（1）有題意可知，

々=7+7+3+5+6=35,

b—9+8+5+4+4+4—34,

c=3a+b=139,

d=140,

Y=d-c=140-139=1.

故答案為：1,

（2）設污點的數為如

a=9+1+2+1+1+2=16,

Z?=6+0+0+8+m,

C=3〃+0=62+M,

d=9+62+m=71+m,

,:d為10的整數倍,

：?d=80,

即71+加=80,

：.m的值為9；

則這個數字為9.

（3）可設這兩個數字從左到右分別是p,q,依題意有，

a—9+9+2+q+3+5—28+g,

b—6+1+p+1+2+4—14+p,

c=3〃+0=98+（3q+p）,

??.d為10的整數倍，

?"=120,

...3q+p=13

又,：p+q=5

解得p=Lq=4

故答案為：1,4.

11.（2023秋?武侯區校級月考）（1）一個三位數能不能被3整除，只要看這個數的各位

數字的和能不能被3整除，這是為什么？

（2）聯系拓廣：

①一個四位數能不能被9整除，只要看這個數的各位數字之和能不能被9整除，這是為什

么？

②一個三位數能不能被7整除，只要將該三位數去掉個位數字，再從余下的數中，減去個

位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除，這是為什么？

【思路點撥】

（1）用代數式表示出三位數，利用已知條件重新表示這個三位數后使其有3的因數即可;

(2)①利用(1)中的方法：用代數式表示出四位數，利用已知條件重新表示這個四位數后

使其有9的因數即可；

②利用同樣的方法即可解答.

【解答過程】

解：(1)如果一個三位數各位數字之和能被3整除，那么這個三位數能被3整除.理由：

設這個三位數為100a+106+c,

如果a+b+c=3k,

那么100o+1Ob+c=99a+9b+a+b+c=99a+9b+3k=3(33?+3i>+A;).

：.100a+10b+c能被3整除；

結論得證.

(2)①如果一個四位數各位數字之和能被9整除，那么這個四位數能被9整除.理由：

設這個四位數為100(k+100b+10c+d,

如果a+b+c+d=9k,

那么，10000+100Z?+1Oc+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=999a+99b+9c+9k=9(\\\a+\\b+c+k),

1000(7+100b+10c+d能被9整除.

結論得證.

②一個三位數去掉個位數字，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則

原數能被7整除.理由：

設這個三位數為100a+106+c,

則去掉個位數字后的數為10a+b,再減去個位數的2倍的差為10a+b-2c.

如果Wa+b-2c=7鼠即10a+b=-!k+2c,

那么100?+10/?+c

=90a+9b+c+10a+b

=90a+9b+c+7A:+2c

=9Qci+9b+lk+3c

10a+1b+r7k+3c+20a+2b

=70a+7b+7Z+3c+2(7A+2c)

—10a+lb+21k+lc

=7(10a+b+c+3A).

lOOa+lOb+c能被7整除.

結論得證.

12.(2021春?沙坪壩區校級月考)國家人社部透露，目前我國平均退休年齡不到55歲.相

對于世界主要經濟體65歲以上的退休年齡，總體偏低.人社部近期表示，我國正在加緊研

究延遲退休具體改革方案，預計將在“十四五”期間推行.

定義：一個四位數，如果它的千位數字與個位數字的和等于百位數字與十位數字的和，且能

被65整除，則稱該數為“退休數”.

(1)請判斷:4635和3120是否為“退休數”？

(2)請求出所有的“退休數”.

【思路點撥】

(1)根據“退休數”定義判斷.

(2)通過方程找出所有“退休數”.

【解答過程】

解：(1)74635^65=71........20,3120+65=48,3+0=1+2.

.1.4635不是“退休數“，3120是“退休數”.

(2):“退休數”可以被65=5x13整除，

「退休數”的個位只能是0或5；

設這個四位數的千位數字與個位數字分別為a和b,百位數字與十位數字分別為“和n,

則有a+b=m+n,且b=0或5；

①當6=0時，這個四位數是：

1000。+100m+10n+0

1000(m+n)+100m+10n

=5(220m+202n)

=5x[195(m+幾)+25m+7n]

=65xl5x(m+n)+5x(25m+7n),

V65xl5x(m+n)可被65整除,5x(25m+7n)可被5整除,

：.25m+ln,能被13整除即可，

設25m+7n=13左，(左為自然數，0<m+n<9)

當％=3時，m=l9n=2,4=3,此時“退休數”為3120；

當％=6時，m=2,幾=4,〃=6,此時“退休數'’為6240；

當％=9時，m=3fn=6,a=9,此時“退休數”為9360；

②當。=5時，這四位數是：

1000〃+100m+10幾+5

=1000(m+n-5)+100m+10n+5

=5(220m+202n-999)

=5x[195(m+n-5)+25m+7n-24]

=65xl5x(m+n-5)+5x(25m+7n-24),

V65xl5x(m+n-5)可被65整除，5x(25m+7n-24)可被5整除，

.\25m+7n-24能被13整除，

設25根+7〃-24=13/,。為自然數，6<m+n<14),

當/=3時，根=0,〃=9,〃=4,此時“退休數”為4095；

當/=8時，根=4,幾=4,4=3,此時“退休數”為3445；

當/=11時，m=5,n=6,〃=6,此時“退休數''為6565；

綜上，所有的