第七章平行線的證明

內容導航

??解題知識必備8

知識點..............................................................2

??壓軸題型講練”

類型一、真假命題的判定..........................................................4

類型二、邏輯與推理............................................................9

類型三、平行線的性質與判定的綜合應用..........................................14

類型四、平面直角坐標系背景下的平行線性質與判定................................39

類型五、動態(tài)背景下平行線性質與判定............................................58

類型六、平行線性質與判定的實際應用............................................76

類型七、折疊背景下的平行線問題.................................................87

類型八、與平行線有關的三角形內角和問題.......................................94

類型九、折疊背景下的三角形內角和問題..........................................115

類型十、與角平分線有關的平行線問題............................................136

“解題知識必備2

知識點1.推理證明的必要性

通過實驗、觀察、歸納得到的數(shù)學結論不一定都是正確的，要判斷一個數(shù)學結論是否正確，僅僅依靠實驗、

觀察、歸納是不夠的，還必須進行有根有據的證明

知識點2.檢驗數(shù)學結論的常用方法

常用方法：(1)試驗驗證(2)舉出反例(3)推理論證

知識點3.定義的概念

定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義.

知識點4.命題的概念

命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

(1)每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是己知事項，結論是由已知事項推出的事項.

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認的真命題叫做公理.

(4)經過證明的真命題稱為定理.

知識點5.命題的結構

1.命題的結構：一般地，每個命題都由條件和結論兩部分組成.條件是已知的事項，結論是由己知事項推

斷出的事項。

知識點6.真命題、假命題、反例

1.命題分為真命題和假命題，正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題。

2.反例

要說明一個命題是假命題，常?？梢耘e出一個例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例

子稱為反例.

知識點7.公理、證明、定理

名稱概念作用

公理公認的真命題

作為判斷其他命題真假的依據

定理經過證明的真命題

證明演繹推理的過程判斷命題真假

知識點7.平行線的判定

基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行

知識點8.平行線的性質

性質1：兩直線平行，同位角相等；

性質2：兩直線平行，內錯角相等；

性質3：兩直線平行，同旁內角互補.

定理：平行于同一條直線的兩條直線相等

知識點8.證明的一般步驟

(1)根據題意，畫出圖形。

(2)根據題設、結論，結合圖形，寫出己知、求證。

(3)經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

知識點1.三角形內角和定理(重點)

知識點9.三角形的內角和定理

三角形的內角和等于180°.

知識點10.三角形的內角和定理的推論

推論：(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

X壓軸題型講練2

類型一、真假命題的判定

1.定義:平面直角坐標系中不重合兩點A（占,％）,3（程%），把1%-為1稱為A,8的“垂直距”，記為^

把回-三I稱為A,B的“水平距”,記為3,例如，A（l,2）,3（-2,6）,此時加=|1-（-2）|=3,%=|2-6|=4.現(xiàn)

有兩個命題：①+②對于三角形ABC,若XAC+/C=x.，%C+%C=%B，則NACB不可能

是銳角；以上命題中（）

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

2.在多項式a-b+c-d-e中，任選兩個字母，在兩側加括號，稱為第一輪“加括號操作例如，選擇6,

d進行“加括號操作"，得到a-S+c-d）-e=a-b-c+d-e.在第一輪“加括號操作”后的式子中進行同樣的

操作，稱為第二輪“加括號操作”，按此方法，進行第"（〃2D輪“加括號操作”.以下說法：

①存在某種第一輪“加括號操作”的結果與原多項式相等；

②總存在第k（k>1）輪"加括號操作”，使得結果與原多項式的和為0；

③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結果.其中正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（為%），規(guī)定運算：

（1）A十8=（芯+和%+%）；

（2）AQB=xlx2+yly2.

（3）當占=%且%=%時，A=B.

有下列四個命題：

①若有4（1,2）,8（2,-1）,則A十8=（3,1）,A?B=O；

②若有A十2=8十C,則4=（?；

③若有4。8=8。（?，則4=（7；

④（A十B）十C=A十（B十C）對任意點A、B、C均成立.

其中正確的命題為（只填序號）

4.定義：對于任意實數(shù)機，“，如果滿足根+〃=力如，那么稱機，〃互為“好友數(shù)”，點（加,"）為“好友點”.

⑴若（5,〃）為“好友點"，貝；

（2）判斷下列命題的真假，真命題在括號內打7"，假命題在括號內打“x”.

4

①W與4是互為“好友數(shù)”；（）

②若點（加川為“好友點"，則點（“〃）也一定為“好友點”；（）

③若機與“互為相反數(shù)，則（%〃）一定不是“好友點”；（）

④存在與1互為“好友數(shù)”的實數(shù)；（）

（3）已知A（x,y）是平面直角坐標系內的一個點，且它的橫、縱坐標是關于x,y的二元一次方程組

3x+；=/+3i的解，請判斷點A（x，y）是否能成為“好友點”？若能，請求出。的值和點A的坐標;若不能,

請說明理由.

類型二、邏輯與推理

5.某屆世界杯的小組賽積分規(guī)則為：四支球隊進行單循環(huán)比賽（每兩支球隊比賽一場），勝一場得3分，

平一場得1分，負一場得0分.已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊參加比賽，下列對這個小組的積分

情況描述不正確的是（）

A.丙隊不可能獲得8個積分

B.四支球隊的積分不可能是四個連續(xù)的奇數(shù)

C.四支球隊的積分不可能是四個連續(xù)的偶數(shù)

D.若四支球隊的積分是四個連續(xù)的整數(shù)，則有兩支球隊沒有取得一場勝利

6.有人數(shù)不相等的A,8兩隊同學，A隊男生的人數(shù)與8隊女生的人數(shù)相等，若對兩隊同學進行調換，規(guī)

則是調換的人數(shù)必須相等，則下列說法正確的是（）

A.可以調整至A隊全是男生而8隊全是女生

B.可以調整至A隊男生的人數(shù)比8隊女生的人數(shù)多1個

C.可以調整至A隊男生的人數(shù)比B隊女生的人數(shù)多1倍

D.無論怎么調整，A隊男生人數(shù)與8隊中女生人數(shù)始終相等

7.為了傳承中華文化，激發(fā)學生的愛國情懷，提高學生的文學素養(yǎng)，某學校初二（8）班舉辦了“樂知杯古

詩詞”大賽.現(xiàn)有小璟、小樺、小花三位同學進入了最后冠軍的角逐.決賽共分為六輪，規(guī)定：每輪分別決

出第1,2,3名（不并列），對應名次的得分都分別為a,b,c（a>b>c且a,b,c均為正整數(shù)）；選手最后得

分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍.下表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況,

第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分

小璟aa26

小樺abC11

小花bb11

根據題中所給信息，下列說法正確的是（）

A.小璟可能有一輪比賽獲得第二名B.小樺有三輪比賽獲得第三名

C.小花可能有一輪比賽獲得第一名D.每輪比賽第一名得分a為5

8.容器中有A,B,C3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆

粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子.現(xiàn)有

A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結論：

①最后一顆粒子可能是A粒子

②最后一顆粒子一定是C粒子

③最后一顆粒子一定不是B粒子

④以上都不正確

其中正確結論的序號是（）.（寫出所有正確結論的序號）

A.①B.②③C.③D.①③

9.甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍色和紅色.在問到他們各自車的顏色時，甲說：“乙的車不是

白色乙說：“丙的車是紅色的丙說：“丁的車不是藍色的丁說：”甲、乙、丙三人中有一個人的車

是紅色的，而且只有這個人說的是實話.”如果丁說的是實話，那么以下說法正確的是：（）

A.甲的車是白色的，乙的車是銀色的B.乙的車是藍色的，丙的車是紅色的

C.丙的車是白色的，丁的車是藍色的D.丁的車是銀色的，甲的車是紅色的

10.容器中有“。、P、。"三種顆粒，若相同種類的顆粒發(fā)生碰撞，則會變成1個“P顆粒；若不同種類的顆

粒發(fā)生碰撞，則會變成另一種顆粒，例如：一個顆粒和一個“尸”顆粒進行碰撞，則會變成一個“?！鳖w粒.現(xiàn)

有“O”顆粒11個，“P”顆粒10個，顆粒12個，經過兩兩碰撞后，最后一個顆粒一定不是顆粒.

類型三、平行線的性質與判定的綜合應用

11.如圖，AB//CD.

圖3

ZE,NC三個角之間的數(shù)量關系，并說明理由;

⑵已知NA=24。.

①如圖2,若NR=100。，求NC+NE的度數(shù);

②如圖3,若，AEF和-DCF的平分線交于點G,請直接寫出/EGC與/尸的數(shù)量關系.

12.已知：P、。分別是線段AD、BC上的點，點E在線段。尸的延長線上，連接8E,且4+N￡BQ=EPD.

(圖3)

如圖1,過E作EN||A，

ZNEP=ZEPD(①)

?/NBEP+NEBQ=ZEPD(己知)

ZBEP+ZEBQ=NEP

'：ZBEP+NEB=NEP

：.ZEBQ=ZNEB(②)

/.NE//BC(③)

又：NE//AD

/.AD//BC(@)

(2)解決問題：

①如圖2,連接3尸，若AB_LA￡?,且BE恰好平分ZABP,NQPB+NQPA=180°,試判斷/￡阱與NQPD

之間的數(shù)量關系，并加以證明；

4

②如圖3,在(2)的條件下，在射線BC上找一點尸，連接PF,使ZBPF=2ZE,NBPQ-ZFPQ=—ZBPD.補

全圖形后，則NPFC的度數(shù)為(直接寫出結果).

13.已知，過/ECF內一點A作AD〃EC交CF于點D,作交CE于點B.

圖1圖3

(1)如圖1,求證:ZABE=ZADF；

(2)如圖2,射線射線ZW分別平分和NAD尸，求證：BM//DN■,

(3)如圖3,在(2)的條件下，點G,Q在線段DF上，連接AG,AQ,AC,AQ與DN交于點H,反向

延長AQ交于點尸，如果？G4c1GCA,AQ平分NCMD,ZQAC=50°,求NMP4+NPQ尸的度數(shù).

圖2

14.已知，AB〃CD,點。為A3上方一點，E、尸為CO上兩點，連接OE、OF,分別交A3于M、N兩

點，OELOF.

(1)如圖1,求證：NOFD—/OMN=90°；

(2)如圖2,點G為跖上一點，連接MG,作垂足為H,ZNMH=ZNFG,求證：0M〃NH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接GN并延長GN到點尸，連接￡P,若ZNGF:ZMGF=3:5,

NOEP;/OEG=2:5,求一尸的度數(shù).

15.如圖，點。是三角形A3C的邊8C上的一動點，。石〃AC交邊A3于點E.

圖3

(1)如圖1,點尸在邊AC上，連接。尸.若NFDE=/4求證：DF//AB.

(2)在(1)的條件下，如圖2,G、H分別是B4和FD延長線上的點，若NG4R與/CD/Z的平分線所在直

線的交點尸在直線A3左側，請?zhí)骄縉APD與-4C3的數(shù)量關系，給出結論并說明理由；

(3)如圖3,過點8作3KD于點K,點/在直線BK上，射線KT在NMKC的內部，滿足

NMKC=34KC.射線ON在/印C的內部，滿足NCDN=2NEDN.且射線KT與直線ON交于點T.請

直接寫出—K7D的度數(shù).

⑵如圖2,ZB斯與二跖D的角平分線交于點P,與CD交于點G,且GHLEG.求證：PF//GH.

(3)如圖3,在(2)的條件下.連接PH,K是GH上一點使NPHK=NHPK,作PQ平分NEPK,問/〃尸。

的大小是否發(fā)生變化，若不變，請求出其值；若變化，說明理由.

Z1=ZEFD,

,：ZEFD+Z2=180°,

Zl+Z2=180°,

VZ1=58O,

/2=122°.

17.如圖1,在VA3C中，點。是邊AB上一點，過點。作OE〃8C,連接BE,若ZACB=NE.

(1)求證：BE//CA；

⑵若NACB=50°,點G是邊A3上的一點，過點G作G打〃BE,點”在A3左側，連接

①如圖2,當。時，與/ACB的角平分線交于點求/CW的度數(shù)；

②若ZEDH=2ZDHG,請直接寫出ZDHG=

18.已知：N1=N2,EG平分ZAEC.

(1)如圖①，ZM4E=44°,ZFEG=16°,NNCE=76。.試判斷所與CO的位置關系，并說明理由.

(2)如圖②，ZM4E=138°,/尸成7=28。,當至〃。。時，求NNCE的度數(shù)；

(3)如圖②，請你直接寫出/M4E、NFEG、/NCE之間滿足什么關系時，AB//CD.

19.如圖1,MN//PQ,直線AD與MMPQ分別交于點A、D,點8在直線PQ上，過點8作BGLAD,

垂足為點G.

(1)求證：ZMAG+ZPBG=90°；

(2)如圖2,若點C在線段0G上(不與￡＞、G重合)，連接3C,NM4D和NPBC的平分線交于點打，若

ZCBG=20°,求出一A/十的度數(shù)；

⑶若直線AD的位置如圖3所示，點C在線段AD上(不與4D、G重合)，連接BC,NM4D和NP3c的

平分線交于點若？CBGa,則加8=_(用含a的代數(shù)式表示)

20.經過平行線中的拐點作平行線是解決與平行線有關問題的常用思路.

圖2圖3圖4

⑴如圖1,AB\\CD,ZBEP=25°,ZPFC=150°,則/￡?尸=:

⑵如圖2,AB〃C￡>,點P在直線力B上方(NAEP>NCEP),探究NAEP、NCFP、NEP尸之間的數(shù)量關系,

并證明:

(3)如圖3,AB//CD,點P在直線AB上方，的角平分線加0所在的直線和“EP的角平分線FN所

在的直線交于點G(點G在直線CD的下方)，請寫出和—EGF之間的數(shù)量關系，并證明：

(4)如圖4,AS〃CD,點尸在直線A5上方，EG、ES、FM、口分別是NAEP、NBEP、NCFP、的三

口NAEGZPES/MFP/DFT2

等分線,目一=直線ES與直線FN交于點M,直線EG與直線PT交于

ZAEPZPEBNCFPZDFP3

點N(點N在直線C。的下方).請直接寫出NEMF、NENF與1尸之間的數(shù)量關系.(請自行畫圖分析)

類型四、平面直角坐標系背景下的平行線性質與判定

21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4(a,0),B(-c,c),C(O,c),且滿足(l)?+Ja+6=0,點尸從

點A出發(fā)，沿X軸的正方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動，點Q從點。出發(fā)，沿y軸的正方向以每秒

1個單位長度的速度勻速運動.

備用圖

(1)點A的坐標為;點8的坐標為:AO和BC的位置關系是

⑵當點P,。分別在線段AQOC上時，連接若$三角形皿=25三角形”c，求點尸的坐標.

(3)在點P,。的運動過程中，當NCBQ=40。時，請直接寫出/O尸。和NPQB的數(shù)量關系.

22.如圖，直線〃尸Q,一副直角三角板(/AOB=/COD=90。，ZOAB=45°,ZOCD=60°)如圖1

所示放置.

(1)ZA<9C=_°；

(2)將三角板。CD繞點C逆時針旋轉優(yōu)(0<°<180)得4。。。，探究當。為多少度時，△O'CD的一條邊與

8。平行，請畫出簡單的示意圖，并直接寫出答案；

(3)如圖2,將三角板OCD繞點C逆時針旋轉°。(0<.<180)得△O'CD',若△O'CD的邊C。'所在的直線交

直線A0于點E,探究-AEC與NEC。的數(shù)量關系，直接寫出答案.

23.在平面直角坐標系中，點A。”,。)、8(0,"),且機、九滿足|加+/+”+>/和一"+3=0

(1)直接寫出A、5兩點坐標；

7

(2)如圖1,直線軸，垂足為點Q。,。).點尸為/上一點，且點尸在第四象限，若APLB的面積為:，求點

■P的坐標；

(3)如圖2,點。為y軸負半軸上一點，過點。作CD//A8,E為線段4B上任意一點，以。為頂點作/E0歹，

使NEOE=90。，OF交CD于E點G為線段4B與線段CD之間一點，連接GE,GF,且NAEG=；NAEO.當點

E在線段上運動時，EG始終垂直于GP,試寫出NCFG與NGPO之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

24.如圖，以直角三角形AOC的直角頂點。為原點，以OC、所在直線為x軸和>軸建立平面直角坐標

系，點A(0,a),。(40)滿足?！?2。+|。-2|=0.

(1)C點的坐標為；A點的坐標為.

(2)如圖1,已知坐標軸上有兩動點尸、。同時出發(fā)，尸點從C點出發(fā)沿x軸負方向以1.5個單位長度每秒的速

度勻速移動，。點從。點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿'軸正方向移動，點。到達A點時整個運動隨之

結束.AC的中點。的坐標是。,2),設運動時間為々＞0).問：是否存在這樣的f,使S.8P=S,8°?若存

在，請求出r的值；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,過。作OG〃AC,作NAOF=NAOG交AC于點F,點E是線段Q4上一動點，連CE交OP于

點、H,當點E在線段Q4上運動的過程中，型二父笠的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的值;

ZOEC

若變化，請說明理由.

25.如圖1,在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為4凡0),8(6,0),且。，6滿足^/^萬+卜+2|=0,

現(xiàn)同時將點A,B分別先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，分別得到A,B的對應點C,

D,連接AC,3D,CD.此時S四邊形ABCD=I。.

(D〃=,b=.

(2)在光軸上有一動點尸，使四邊形Me。，求點。的坐標;

（3）點。分別是四邊形ABDC的邊AC上的一個動點，如圖2,連接QBQD,當點。在線段AC上移動（不

與A、C重合）的兇與髯些值是否發(fā)生改變？若改變，請說明理由；若不變，請說明理由并求出其

乙DqH

值.

26.如圖，在平面直角坐標系中，A（a,O）,B（b,O）,且滿足（4+2）?+揚=5=0,過點B作直線mLx軸,

點尸是直線加上一點（點尸不與點B重合），連接AP,過點B作3c〃"交y軸于C點，AD,C。分別

備用圖

（1）填空：?=,b=.（直接寫出答案）

（2）若點E是無軸上的一點且AB=3,則點E的坐標為.（申援寫出答案）

（3）若點P的縱坐標為-4,

①線段"的中點的坐標為.（直域寫出答案）

②在直線m上是否存在點Q,使得△AP。的面積等于16?若存在，求出。點坐標；若不存在，請說明理由.

（4）在點P的運動過程中，且與軍竺的值是不變的，則這個值是.（直接寫出答案）

27.如圖，以直角三角形AOC的直角頂點。為原點，以所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，點

A（0,a）、C（Z>,0）滿足Ja-2浦+|6-2|=0.

圖1圖2圖3

（1）點C的坐標為；點A的坐標為；

(2)已知坐標軸上有兩動點P、。同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)向左以1個單位長度每秒的速度勻速移動，。點

從。點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度向上移動，AC的中點。的坐標是2).

①設運動時間為?>0)秒，問：當年時，SAODQ=2sqDP；

②在滿足①的前提下，當點P位于CO的延長線上，此時在第二象限內是否存在點使得

S，”M=3S,O?2,若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)點尸是線段AC上一點，滿足ZFOC=ZFCO,點G是第二象限中一點，連接OG,使得NAOG=NAOF,

點E是線段Q4上一動點，連接CE交OF于點H,當點E在線段Q4上運動的過程中，是否有這樣的實數(shù)左

使彳導NOHC+ZACE=k/OEC總、成立,若存在請求出k的值，若不存在請說明理由.

類型五、動態(tài)背景下平行線性質與判定

28.已知：直線A3與直線C。平行，點N、點E在直線C。上，點風點M在直線A3上，ZDNH=2ZAME,

直線E"交直線N”于點P.

(1)如圖1,求證：ZMPH=ZAME.

(2)如圖2,以點N為旋轉中心順時針旋轉直線交直線于點G,以點M為旋轉中心順時針旋轉直線ME

交直線CD于點/，NEMF=NHNG+40。,當NG〃血/時，求ZAAffiT的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，如圖3,直線ME交直線NG于點R,直線N"交直線同性于點S,的平分線所

在直線與版的平分線所在直線交于點K,若NHNG=50。,當點N在線段所上移動時，求/踞的度

數(shù).

29.在平面直角坐標系中，。(0，a),M(b,a),滿足Ja+3+忸-4|=0,VABC中NACB=90。，VABC的

邊與x軸分別交于。、G兩點，與直線。0分別交于￡、尸兩點.

(2)將直角三角形ABC如圖1位置擺放，求證：ZKOC+ZCED=90°；

(3)將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點，ZNEF+NCEF=180°,請寫N/VEF與/AOG之

間的等量關系，并說明理由.

30.已知，如圖1,射線PE分別與直線AB,CZ)相交于E,F兩點，NPFD的平分線與直線A3相交于點

M,射線P加交C。于點N,^ZPFM=a,NEMF=/3,且。60-20+廬-30|=0.

圖1圖2圖3

⑴求a,￡；

⑵如圖2,若點G,X分別在射線和線段M/上，旦ZMGH=NPNF,試找出/R0N與NG”「之間存在

的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3)若將圖中的射線尸M繞著端點尸逆時針方向旋轉(如圖3),分別與AB,C。相交于點和點乂時，作

田的角平分線加衛(wèi)與射線WW相交于點。，問在旋轉的過程中4等的值是否改變？若不變，請求

出其值；若變化，請說明理由.

31.如圖1,AB//CD,G為AB、CD之間任意一點.

(1)若GE平分GF平分4EFC.求證：ZGEF+ZGFE=90°；

22

(2)如圖2,若NAEP=《NAEF,ZCFP^-ZEFC,且EP的延長線交Z4EP的角平分線于點M,EP的延長

線交NCFP的角平分線于點N,猜想/M+NN的運算結果并且證明你的結論；

(3)如圖3,若點H是射線￡B之間一動點，F(xiàn)G平分NEFH,MF平分NEFC,過點G作G。，F(xiàn)M于點Q,

請猜想ZEHF與//G。的關系，并證明你的結論.

圖2

32.已知，如圖1,射線PE分別與直線AB,C。相交于E,尸兩點，/PED的平分線與直線相交于點

M,射線交8于點N,設/PH0=a。，NEMF=(3°,且兩』+|尸-40卜0.

(1)?=B=直線A3與CD的位置關系是

(2)如圖2,若點G,H分別在射線M4和線段及不上，豆ZMGH=NPNF,試找出/FMN與NGHF之間存

(3)若將圖中的射線尸M繞著端點P逆時針方向旋轉(如圖3),分別與A3,CD相交于點和點做時，

作/尸河田的角平分線M?與射線相交于點。，問在旋轉的過程中上費的值是否改變？若不變，請

求出其值；若變化，請說明理由.

33.如圖1,直線AB〃CD,直線跖與48,CD分別交于點G,H,ZEHD=a.將一個直角三角板加

按如圖1所示放置，使點M/分別在直線AB,CO上，且在點G,H的右側，已知/RWN=60。.

(1)若NAW=100。，則"WD的度數(shù)為」

(2)^ZANM=ZEHM+APMN,對尸河〃跖說明理由;

⑶如圖2,已知/MNG的平分線NO交直線C。于點O.

①當NO〃EF,尸M〃跖時，求a的值；

②現(xiàn)將三角板PW保持加〃/，并沿直線CD向左平移，在平移的過程中，直接寫出/MON的度數(shù)(用

含a的代數(shù)式表示).

34.如圖甲所示，已知點E在直線4B上，點RG在直線C。上，且/EFG=/FEG,跖平分/AEG.

(D判斷直線AB與直線C。是否平行，并說明理由.

(2)如圖2所示,8是AB上點E右側一動點，NEG8的平分線GQ交FE的延長線于點。，設/?！?，/EHG印

①若NH￡G=40。，ZQGH=20°,求/。的度數(shù).

②判斷：點”在運動過程中，a和￡的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?若不變，求出a和￡的數(shù)量關系；若變化,

請說明理由.

35.如圖，已知AO〃5C,ZA=ZC

圖1圖2圖3

⑴如圖1,試說明：AB//CD；

(2)如圖2,連接若點E,P在線段A3上，且滿足D3平分NFDC,DE平分ZADF,ZA=ZC=110°,

求/ED3的度數(shù)；

(3)下列①-③的問題，對應分值分別為4分、5分、6分，請根據你的認知水平，選擇其中一個問題作答，

解答對多個問題，按分值最高的一個問題記分.

①如圖2,在(2)的條件下，若NA=NC=x。，求NEZ汨的度數(shù)；(用含尤的代數(shù)式表示).

②如圖3,在⑵的條件下,將線段BC沿著射線AB的方向向右平移，當DF平分ZEDB時，若NA=NC=X。,

求1AED的度數(shù)；(用含尤的代數(shù)式表示)

③如圖3,在(2)的條件下,將線段BC沿著射線的方向向右平移，當ZAED=ZCBD時，若NA=NC=X。,

求的度數(shù).（用含尤的代數(shù)式表示）.

類型六、平行線性質與判定的實際應用

36.光線照射到鏡面會產生反射現(xiàn)象，由光學知識，當光線經過鏡面反射時，入射光線與鏡面的夾角、反

射光線與鏡面的夾角對應相等（如圖1,4=N2）,小明同學用了兩塊鏡子AB和8c形成一個鏡子組合體

（如圖2）,鏡子與8C之間的角度為他發(fā)現(xiàn)改變的大小，入射光線和反射光線位置關

系會發(fā)生改變.

A,D

入射光線反射光線

FCCN

（1）小明發(fā)現(xiàn)當/ABC=90。，入射光線DE與反射光線尸G的是平行的，請說明理由；

（2）小明繼續(xù)改變，/ABC的大小，當NABC=100。，求此時入射光線。E與反射光線尸G形成的夾角，NEHF

大?。?/p>

（3）小明拿來了一塊新的鏡子CM和前面兩塊鏡子A3和組成一個新的鏡子組合體（如圖4）,其中

ZABC=135。，入射光線DE從鏡面AB開始反射，經過3次反射后，反射光線為NG,小穎發(fā)現(xiàn)當入射光

線和鏡面的夾角NAED和鏡子BC和CM形成的角，/3CN滿足一定數(shù)量關系時，入射光線和反射光線始

終平行（即E>E〃NG）,^ZAED=x,ZBCM=y,請你直接寫出此時x和y之間滿足的關系式.

AjD

E，7H

G

QED〃NG,

FH//NG//ED,

ZDEF+ZEFH=180°,ZHFN+ZFNG=180°,

ZDEF+/EFN+ZFNG=360°,

180?！?%+90。+2%+2y—2%—90°=360°,

37.（1）光線從空氣中射入水中會產生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現(xiàn)象，如圖1,

光線。從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線6,根據光學知識有/1=/2,-3=/4,請判

斷光線。與光線6是否平行，并說明理由.

(2)光線照射到鏡面會產生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，

如圖2有一口井，已知入射光線。與水平線OC的夾角為40。，現(xiàn)放置平面鏡可使反射光線6正好垂

直照射到井底，則用N與水平線的夾角ZMOC的度數(shù)=_。.

(3)如圖3,直線上有兩點A、C,分別引兩條射線48、CD.ZBAF=110°,ZDCF=80°,射線A8

繞A點以2度/秒順時針轉動，同時射線CO繞C點以3度/秒的速度逆時針轉動，設時間為f,在射線A3轉

動一周的時間內，是否存在某時刻，使得與平行?若存在，求出所有滿足條件的時間"

圖1圖2圖3

38.某市為了亮化某景點,在兩條筆直的景觀道MV、。尸上，分別放置了4B兩盞激光燈，如圖所示.A

燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立刻回轉，8燈發(fā)出的光束自成逆時針旋轉至8。便立刻回轉，兩

燈不間斷照射，A燈每秒轉動4。，2燈每秒轉動1。，若這兩條筆直的景觀道是平行的.

_____d_______N

備用圖

(1用燈先轉動15秒,A燈才開始轉動，當A燈轉動5秒時，兩燈的光束4"和到達如圖①所示的位置，

W和是否互相平行？請說明理由；

(2)在(1)的情況下，當8燈的光束第一次到達B。之前，兩燈的光束是否還能互相平行？如果還能互相平

行，那么此時A燈旋轉的時間為多少秒？

39.(1)光線從空氣中射入水中會產生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現(xiàn)象，如圖1,

光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線6,根據光學知識有N1=N2,Z3=Z4,請判斷

光線a與光線6是否平行，并說明理由.

(2)光線照射到鏡面會產生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，

如圖2有一口井，已知入射光線。與水平線0C的夾角為42。，問如何放置平面鏡MN,可使反射光線6正

好垂直照射到井底？(即求與水平線的夾角)

(3)如圖3,直線所上有兩點4、C,分別引兩條射線A3、CD.ZBAF=110°,ZDCF=6Q°,射線A3、

C。分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為f,在射線CD轉動一周的時間

內，是否存在某時刻，使得C。與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間九

類型七、折疊背景下的平行線問題

40.如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊E是邊CD上任意一點，ABCE沿BE折疊,點C落在點尸

的位置.

圖①圖②圖③

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：ZC=60°,/FED=45。,則.

(2)拓展探究：如圖②，點P落在四邊形ABCD的內部，探究/FED,ZABF,—C之間的數(shù)量關系，并證

明；

(3)遷移應用：如圖③，點尸落在邊CO的上方，則(2)中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，

請寫出它們的數(shù)量關系并證明.

41.如圖1,現(xiàn)有一張紙條ABCD,AD//BC,將紙條沿族折疊，點C落在C'處，點。落在)處，D'E

交BC于點、G.

圖1圖2圖3

⑴①若ZDEF=55°,則NBGD=；

②若ZDEF=x°,則ZBGD1=；

(2)如圖2,在圖1的基礎上將紙條沿肱V繼續(xù)折疊，點A落在A處，點2落在3,處，已知/OEF=60。,

EF//MA1,求證：MN〃D'E；

⑶如圖3,在圖1的基礎上將紙條沿3C繼續(xù)折疊，點C'落在C"處，點8落在。"處，凡￡<所，設/4￡。=矛,

求NC7E的度數(shù).(用含x的式子表示)

42.(1)學習了平行線以后，香橙同學想出了過一點畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的,

過程如(圖1).

圖1

圖2圖3

①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b,使直線》經過點P,且6〃a,要求保留折紙痕跡，畫出所

用到的直線，指明結果.無需寫畫法:

②在(1)中的步驟(b)中，折紙實際上是在尋找過點尸的直線a的_線.

(2)已知，如圖3,AB//CD,8E平分NABC,CP平分/BCD.求證：BE//CF(寫出每步的依據).

43.已知直線N分別為直線A3,CD上的兩點且4CVE>=70。，尸為直線。上的一個動點.類

似于平面鏡成像，點N關于鏡面MP所成的鏡像為點Q,此時

NNMP=NQMP,ZNPM=NQPM/MNP=NMQP.

（1）當點尸在N右側時：

①若鏡像。點剛好落在直線A3上（如圖1）,判斷直線MN與直線尸。的位置關系，并說明理由;

②若鏡像。點落在直線與CD之間（如圖2）,直接寫出與/。尸。之間的數(shù)量關系；

（2）若鏡像PQ_LC。，求/BM。的度數(shù).

類型八、與平行線有關的三角形內角和問題

44.將長方形紙帶先沿族折疊成圖1,再沿尸。折疊成圖2,此時恰好經過點尸，若

ZAFE=ZFQP=ZA"MF=a,則a的度數(shù)為度.

45.如圖1,將一條兩邊互相平行的長方形紙帶沿所折疊，設ZAED，=x度.

圖1圖2

（1）若x=110。，則/砂8=度.

（2）將圖1紙帶繼續(xù)沿3尸折疊成圖2,則NEFC=度.（用含x的代數(shù)式表示）

46.如圖，AM//BN,BC平分NABN交A0于點C,。在射線CM上，DE平分ZBDM交BN于點、E.

圖1圖2

(1)如圖1,若ZDBC=15。,且OE〃鉗，求—A的度數(shù)；

⑵如圖2,H在線段ZJE上，使得BD平分NCBH.

①當"3N<60。時，比較/4CB與的大小關系，并說明理由；

②過。作￡>F_LBN于點尸，若3ZBDE+ZABC=Z70。,且BE=7,DE=6,DF=5,求9的長.

47.在數(shù)學探究活動課中，老師要求同學們把一塊直角三角板(圖中的VABC,ZB=30°)擺放在畫有兩

條平行直線產。、"N的紙面上進行操作探究.

(2)小明移動三角板按如圖2擺放，當。。平分2DE時，發(fā)現(xiàn)/MEC和NCDE存在特殊的數(shù)量關系，請寫

出這個數(shù)量關系并說明理由；

(3)小明繼續(xù)移動三角板，使頂點A落在直線尸。上，如圖3,分別畫出/QAC和NCBb的平分線相交于點E,

多次移動三角板位置(保持頂點A在直線PQ上)，經度量并計算發(fā)現(xiàn)2NAE3+N3WV都等于270。，請問這

個等式是否一定成立？如果成立，請你說明理由；如果不成立，請你畫出一個符合條件且2NAEB+/班N又

不等于270。的圖形.

48.如圖，AB//CD,E是直線AB上一點，尸是直線CO上一點.

問題提出

(1)如圖1,G是直線上一點，尸是線段所上一點，連接GP,若？EGP60?,/EFD=50。，貝I/GPF=

問題探究

⑵如圖2,ZEQF=120°,PE平分NBEQ,P歹平分NDEQ,請計算NE尸產的度數(shù).

問題解決

(3)如圖3,FG平濟2CFP,延長PE到點且EV平分NAEG,若？EGFa-IP,請你探究NG￡A

與NGFC之間的關系，并說明理由(用含a的式子表示).

圖1圖2圖3

49.已知：AB//CD,E、G是4B上的點，F(xiàn)、”是CD上的點，Z1=Z2.

(1)如圖1,求證：EF//GH；

(2)如圖2,點M在GH的延長線上，作ZBEF、"司欣的角平分線交于點N,EN交GH于點、P,設NN=(z.

①若a=45。，試判斷直線G”上是否存在一點K使得RK<R0,并說明理由；

②如圖3,作NAG"的角平分線交CD于點Q,若3NEEN=2/HFM,請直接回答/GQD與NN的數(shù)量關系:

50.綜合探究：如圖1,已知兩條直線AB,CD被直線EF所截，分別交于點E,點F,EM平分/AEF交CD

(2)點G是射線V。上一動點(不與點尸重合)，EH平分/FEG交CD于點H,過點X作