第01講勾股定理

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學習目標

--------―

1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；

會借助勾股定理確定數(shù)軸上表示無理數(shù)的點，理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應關系;

3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關的計算和證明。

［豳基礎知識

---------------------II1IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點1勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為

a,b,斜邊長為c,那么片+匕2=。2.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量

關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以

建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c2—b2,b1=c2—a2,c'=(^a+b^—lab.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為石的線段

知識點2勾股定理證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.

圖⑴中與力麼⑻0=3+6?=(?+4、?而，所以&2+/=。2.

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形.

圖(2)中

染力爪6=02=(6—4)2+4x；a占，所以=。2+62

方法三:

(3)

_(a+6Xa+6)=2x」a3+」c2,所以M+/=c2.

222

l|Q考點剖析

_lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll---------------------

考點一：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長

1.（2022八下?灌陽期末）在直角三角形中，若勾為6,股為8,則弦為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解答】解：在直角三角形中，若勾為6,股為8,

則弦為J62+82=10.

故答案為：D.

【變式1-1]（2022八下，福州期中）在RtAABC中,NC=90°.若a=6,b=8,則c的值是

（）

A.10B.2V34C.2⑺D.4.8

【答案】A

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,a=6,b=8,

由勾股定理得：C=JQ2+匕2=色62+82=10.

故答案為：A.

【變式1-2]（2022八下.興仁月考）在一個直角三角形中，斜邊的長為10,其中一條直角

邊的長為6,則另一條直角邊的長為（）

A.2V34B.12C.9D.8

【答案】D

【解答】解：在直角三角形中，

..?斜邊的長為10,其中一條直角邊的長為6,

.?.另一條直角邊的長為：-62=8?

故答案為：D.

【變式1-3]（2022秋?雁塔區(qū)校級期中）若直角三角形的三邊長為5,12,m,則療的值

為（）

A.13B.119C.169D.119或169

【答案】D

【解答】解：當初為直角邊時，加2=122-52=119；

當冽為斜邊時，m2=52+122=169.

故選：D.

考點二：求直接三角形周長，面積、斜邊上的高等問題

2.（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，已知正方形A的面積為3,正方形B的面積

為4,則正方形C的面積為（）

A.7B.5C.25D.1

【答案】A

【解答】解：?正方形A的面積為3,正方形8的面積為4,

，正方形C的面積=3+4=7.

故選：A.

【變式2-1]（2022秋?渾南區(qū)月考）如圖，在AABC中，ZACB=9Q°,以它的三邊為邊

分別向外作正方形，面積分別為Si,S3,已知Si=5,8=12,則S3的值為（）

A.13B.17C.7D.169

【答案】B

【解答】解：在△ABC中，NACB=90°,

則AC1+BC1=AB1,

Si+Si—

VSi=5,52=12,

.*.53=5+12=17.

故選：B.

【變式2-2］（2022秋?興慶區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，ZABC=90°,AC=8,BC=4,

A.18B.48C.65D.72

【答案】B

【解答】解：在Rt^ABC中，由勾股定理得，

AB2=AC2-BC2=82-42=48,

正方形ABDE的面積為48,

故選：B.

【變式2-3］如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的

正方形的邊長為16CMI,則正方形A,B,C,。的面積之和為cm2.

【答案】256

【解答】解：如右圖所示,

根據(jù)勾股定理可知，

S正方形2+S正方形3=s正方形1,

S正方形c+S正方形D=S正方形3,

S正方形A+S正方形B=S正方形2,

2

?'?S正方形c+S正方形。+5正方步A+S正方形B=S正方彩2+S正方形3=S正方形i=162=256（cm）.

故答案為：256.

考點三：等面積法求直接斜邊上的高問題

3.（2020秋?南關區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=8,AB=10,

CD±AB于D,則CD的長是（）

【答案】C

【解答】解：VZACB=90°,AC=8,AB=10,

,',BC=VAB2-AC2=6,

△ABC的面積n-lxABXCDnlxACXBC,即A.X10XCO=1X8X6,

2222

解得，CD=空,

5

故選：c.

【變式3-1］（2022秋?杭州期中）直角三角形兩直角邊長度為5,12,則斜邊上的高（

A.6B.8C.13D.股

13

【答案】D

【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：斜邊長2=52+122,

則斜邊長=13,

直角三角形面積S=上X5X12=LX13X斜邊的高，

22

解得：斜邊的高=股；

13

故選：D.

【變式3-2】如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD_LA8于點。，AC=20,BC^15.

求：（1）CD的長；

（2）AD的長.

【解答】解：(1)在RtZVIBC中，由勾股定理得,

AB=VAC2+BC2=V202+152=25'

\'CD.LAB,

?C11

,'△ABC^AB'CD^AC-BC)

.CD=AOBC=20xX=12.

AB=25

(2)在RtZ^BOC中，由勾股定理得，

BD=VBC2-CD2=V152-122=9,

AD=25-9=16.

考點四：作無理數(shù)的線段

例4.（2022八上?興平期中）如圖，△4BC是直角三角形，點C在數(shù)軸上對應的數(shù)

為一2，目4c=3,AB=1，若以點C為圓心，CB為半徑畫弧交數(shù)軸于點M,則

A.0.4B.V10-2C.V10-3

D.V5-1

【答案】C

【解答】解：:△ABC是直角三角形，AB=1,AC=3,OA=1

-BC=CM=Vl2+32=V10-

VAC=1-(-2)=3,

:.A,M之間的距離為-3.

故答案為：C

【變式4-1］（2022八上?歷城期中）如圖，點A表示的數(shù)為*則％=（)

A.V2-1B.-1C.1-V2D.一點

【答案】D

【解答】解：根據(jù)題意得，如圖所示,

BCD是等腰直角三角形，且BC=BD=1，

-CD=y/BC2+BD2=“+#=&，

又；弧血是以C。長為半徑的圓的一部分,

-,-CA=CD=亞，

:是在數(shù)軸上原點的坐標，

，點4表示的數(shù)是一及，即％=_&，

故答案為：D.

【變式4-2］（2022八上?薛城期中）如圖，在2x2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1,

點A,B,C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D,則CD的長為

C.V5-2

D.2-V3

【答案】D

【解答】解：如圖所示:

VAD=AB=2,

-,-DE=V22-l2=6，

：.CD=2-V§；

故答案為：D.

【變式4-3］（2022八上?埔橋期中）如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a,CD=1,則

a的值為（）

A.—右B.-1—V5C.1—V5D.-

1+遍

【答案】B

【解答】解：VBD=&+#=V5-

??BA=

.'.a=-1—V5>

故答案為：B.

考點五：勾股定理的證明

例5.勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關系:

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古

老的國家之一，我國古代稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因

而將這條定理稱為勾股定理.請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理.

【解答】證明：方法一：由（1）圖可知：S正方形ABCZ）=（〃+。）2=〃2+/+2〃。,

=

又,「S正方形A8co=~^xabX4+c^2ab+c'

4z2+/?2+2tz/?=Zab+c2,

22z

a+b=cf

方法二：由（2）圖可知：S正方形458=（2，

又門—=白abX4+（b-a）2=2"+/+〃-2ab=a^,

/+。2=/,

方法三：由(3)圖可知：S梯形ABCD—/(a+b)X(a+b)=

y(a2+b2+2ab)=/a26b2+"，

又,：s梯形ABC。=■^-abX2+-^c^=ab+~^c^'

-12,1,2,L,,12

,,-a+yb+ab=abqc'

.".a1+b2=c1.

【變式5-1](2022八上.歷城期中)如圖，趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的

一個小正方形EFGH拼成的大正方形4BCD，若4E=5,4B=13,則中間小正方形EFGH的

【解答】解：根據(jù)題意得，在Rtz^/BF中，AE=5,4B=13,且4E=BF=CG=DH=5,

'-AF=y/AB2-BF2=V132-52=12,

又=FG=GH=GE=AF-AE，

=12-5=7，即小正方形EFGH的邊長是7,

...小正方形EFGH的面積為7X7=49>

故答案是：49.

【變式5-2]（2021秋?東坡區(qū)期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不

同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明.將兩個全等的直

角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、。在同一條直線上.利用此圖的面積表示式證明

勾股定理.

【解答】證明：：兩個全等的直角三角形如圖擺放,

：.ZEBA=ZCED,

'：ZEBA+ZBEA=90°,

：.ZBEA+ZCED=90°,

:./BEC=90°,

.「△BCE是直角三角形，

用兩種方法求梯形的面積：

S??ABCD=2XJ^ab-^—c2,

22

S梯形=（〃+。）-

2

/.2X_lzz/?+Ac2=A（〃+。）2,

222

化簡得?2+/?2=（?.

域真題演練'

------------------lllllllllllilllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.（2022?荊門）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未曾受損.已知

該金字塔的下底面是一個邊長為120。的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字

塔原來高度為（）

【答案】B

【解答】解：如圖,

:底部是邊長為120必的正方形，

.?.8C=_1><120=60A7,

2

"：ACVBC,ZABC=60°,

：.ZBAC=30°,

：.AB=2BC=120/n,

?AC=yj1202-60=6oVs?-

故選：B

2.（2022?黑龍江）在RtZ\A5C中，ZC=90°,AD平分NCAB,AC=6,BC=8,CD=

【解答】解：如圖，過點。作DE,A8于石,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

-'-AB=VAC2+BC2=Vs2+82=13

平分/CAB,

：.CD=DE,

S^ABC=1AC-CD+^AB'DE=^AC'BC,

222

即JLX6?CO+」X10?CZ)=-1X6X8,

222

解得8=3.

故答案為：3.

3.（2021?婁底）如圖，△A8C中，AB=AC=2,P是3C上任意一點，PE_LAB于點E,PF

_LAC于點F若SAABC=1，^\PE+PF=.

【解答】解：如圖所不，連接AP,則SAABC=SAAC?+SAABP，

：/^_1_48于點￡,PF_LAC于點尸，

.".S^ACP=—ACXPF,S^ABP^—ABXPE,

22

又：SAABC=1，AB=AC=2,

.*.1=AACXPF+^ABXPE,

22

即1=JiX2XPb+_lx2XPE,

22

：.PE+PF^l,

故答案為：1.

B

4.（2022?永州）我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾

股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形

拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,貝

【答案】3

【解答】解：：大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

：.AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=},

根據(jù)題意，設AF=DE=CH=BG=x,

則AE=x-1,

在RtZVLED中，AE2+EDZ=AD2,

(x-1)2+x2=52,

解得：xi=4,尬=-3(舍去)，

'.x-1=3,

故答案為：3.

5.（2022?青島）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、

例如：如圖①，在△ABC和△ABC中，AD,分別是BC和2C邊上的高線，且

則△ABC和△A3C是等高三角形.

【性質(zhì)探究】

如圖①,用SAABC，SAA'B,C分別表不△ABC和△△'B'C'的面積，

貝1JSAABC=」BC?AD,S^B'C=-B'C-A'D',

22

'：AD=A'D'

SAABC：SAA'^C—BC：B'C.

【性質(zhì)應用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊2C上的一點.若BD=3,Z)C=4,則SAABD：SAADC=;

(2)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點.若BE：AB=1：2,CD：BC

—1：3,S^ABC—1>則SABEC=，S^CDE—;

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是8c和AB邊上的點.若BE：AB=\-.m,CD-.BC

=1：n,SAABC=。，貝!JSACDE=?

(圖①)(圖②)(圖③)

【解答】解：(1),:BD=3,DC=4,

**?SAABD"SAADC=BD：DC—3：4,

故答案為：3：4；

(2)?；BE：AB=1：2,

**?S^BEC*SAABC=BE：AB—1：2,

???S△.=L

S/\BEC~-^

2

VCD：BC=1：3,

**?SACDE：SABEC=CD：BC=1：3,

S^CDE——5ABEC——;

3326

故答案為：1,x.

26

(3)9：BE：AB=1：m,

**?S/\BEC*SAABC=BE：AB=1：m,

,*,S叢ABC=a,

??SABEC1~~S2ABe?

mm

VCD：BC=1：n,

S^CDE：SABEC=CD：BC—1：nf

:.SACDE=工SZXBEC=

nnminn

故答案為：

inn

l］營過關檢測［l

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1.（2022八上.大田期中）直角三角形的一條直角邊長是8cm,另一條直角邊比斜邊短

2cm,則斜邊長為（）

A.12cmB.15cmC.17cmD.20cm

【答案】C

【解答】解：設直角三角形斜邊為xcm，則另一條直角邊為(x-2)cm,

根據(jù)勾股定理，得：82+(X-2)2=

解得：x=17>

.?.斜邊長為17c771，

故答案為：C

2.(2023八上.渠縣期末)如圖，在數(shù)軸上，點A,B表示的數(shù)分別為-2,2,CB1AE

于點B,且孔=2連接"，在AC上截取CD=BC,以點A為圓心，的長為半徑畫弧,

AR

交線段于點E,則點E表示的實數(shù)是()

A.2遙一2B.275-4C.475-4

D.2-4V5

【答案】B

【解答】解：?.?點A,B表示的數(shù)分別為-2,2,

,43=2-（-2）=4，

J.于點B,且BC=2.

-AC=y/AB2+BC2=J42+22=2逐，

"-"CD=BC=2,

>"-AD=AC-CD=2V5-2-

-'-AE=AD=2>/5-2>

二點E表示的實數(shù)是-2+2遙-2=2遙-4，

故答案為：B.

3.（2022八上.杏花嶺期中）如圖，作一個正方形，使其邊長為單位長度，以表示數(shù)1

的點為圓心，正方形對角線的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A,則點A表示的數(shù)是（）

D.1-近

【答案】D

【解答】解：由題意得：正方形對角線的長為J12+12=&,

則點A表示的數(shù)為1_&，

故答案為：D.

4.（2021八上.侯馬期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形，其中最大的正方形的邊長是9cm，則圖中所有正方形的面積的和是（）

C.162cm2

D.243cm2

【答案】D

【解答】解：如圖所示，根據(jù)勾股定理可知,

S正方形2+S正方形3=S正方形'=92=81

S正方形A+S正方=S正方形2,

S正方形C+S正方=S正方形3,

貝US//方胞+s正方形D+,正方形A+S/E方施=s正方形1，

則

S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方箱+S正方^D+S正方形A+S正方^E=3s正方形I=3X92=3X81

243（cm2）.

故答案為：D.

5.（2022八上?泗縣期中）若直角三角形的兩條邊長為a,b,且滿足而=1+|b-V3|=0，

則該直角三角形的斜邊長為.

【答案】2或⑺

【解答】解：'.'y/a-2>0）|b-V3|>0-

??當、a—2+\b—V3|=0時，a-2=0且b—y/3=0,

?'?a=2，b=y/3>

當a，力是兩直角邊長時，則該直角三角形的斜邊長=Ja2+1=卜+（百）2=0；

由于a>b當a是斜邊長時，則該直角三角形的斜邊長為2；

故答案為：2或H

6.（2022八上.大田期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古

代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方

形，如圖，如果大正方形的面積是49,小正方形的面積為4,直角三角形的較長直角邊

長為a，較短直角邊長為力，下列四個說法：

@a2+h2=49,@a—h=4,@2ab+4=49,④a+b=9,其中正確的

是

【答案】①③

【解答】解：由題意可得小正方形的邊長=2,大正方形的邊長=7,故可得a-b=2,

即②錯誤；

02+接等于大正方形斜邊的平方=大正方形的面積=49,即①正確；

小正方形的面積十四個直角三角形的面積等于大正方形的面積，即可得2ab+4=49，

即③正確；

根據(jù)③可得2ab=45>故可得(a+b)2=a2+b2+45=94，從而可得a+b=V94>

即④錯誤.

綜上可得①③正確，

故答案為：①③

7.(2022八上?源城期中)在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC

邊上的高是cm■

【答案】8

【解答】解：如圖所示，過點A作4Q1BC于點D,

7AB=AC=10cm，BC=12cm，

1,

ABD==6cm，

22

AAD=y/AB—BD=8cm

故答案為：8.

8.（2022八上.代縣期末）如圖，△ABC是張大爺?shù)囊粔K小菜地，已知CD是△中

AB邊上的高，AC=5,CD=4,BC=3AD＞求BD的長.（結(jié)果保留根號）

【答案】解：：CD是aABC中AB邊上的高,

△ACD和^BCD都是直角三角形.

在RtZkACD中4c=5,CD=4,

,'AD=V52-42=3'

'.'BC=3AD，

-,-BC=9,

在RtABCD中,

BD=V92-42=V65.

9.（2022春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有

很多方法.某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形

ACDE邊CD上一點，連接A3,得到直角三角形AC3,三邊分別為a,b,c

將△AC3裁剪拼接至△AER位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積

不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

【解答】證明:如圖，連接

"：AC=b,

：.正方形ACDE的面積為b2,

CD=DE~AC—b,BC=a,EF=BC—a,

'.BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

"：ZCAE=90°,

AZBAC+ZBAE=90°,

ZBAC=ZEAF,

：.ZEAF+ZBAE=9Q°,

...△BAE為等腰直角三角形，

四邊形ABD/7的面積為：AC2+A(Z?-a)(a+b)=Ac2+-Cb2-a2),

2222

,/正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，

/.Z?2：=AC2+-1(〃-/),

22

.?.。2=_102+“2_

222

—cP+^-b2=-c2,

222

10.(2022八上.太原期中)閱讀與應用：

下面是小敏學習實數(shù)之后