專題02有理數的運算（考點清單，10個考點清單+10種題型解讀）

【清單01】有理數加法運算

【清單02】有理數減法運算

【清單03】有理數加減混合運算

【清單04】有理數乘法運算

【清單】有理數除法運算

心考點清單05

【清單06】有理數乘除混合運算

【清單07】有理數乘方運算

【清單08】有理數混合運算

【清單09】科學i己數法

【清單10】近似數

有理數運算

【考點題型一】有理數的加法（共3題）

【考點題型二】有理數的減法（共4題）

【考鋰型三】有理數的乘除（共6題）

【考點題型四］有理數的乘方史8尊

【考點題型五】科箕型當有效數字（蕓5嗎

如魅清單

【考點題型六】有理數運算的實際應用（共4題）

【考點題型七】有理數的新定義運算（共7題）

I【考點題型八】與絕對值有關的動點、最值綜合問題（共4題）

【考點題型九】九軸上的動點綜合問題（共4題）

［考點題型十］數軸上的中點、分點綜合問題（共3題）

考點儕單

同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕把T大于的數表示成的形式

科學記數法10ax10"

對陷于力嗷的期寸鮑和.\中a大于或等于1亙小于10,n是正整數）

絕對值不畸的異號蹴相加，和取絕對

值較大的力嗷的符號，且和的絕對值等于加法視近似數與準確數

加教的絕對值中較大者與較〃然的差互為

相反數的兩個數相加得0

先乘方，再乘除，最后加減

Tii與o相加，仍得這個數

同級運算，從左到右進行

混合運算

如果有括號，先做括號內的運算，按小括

減一^,等于加上這個數的相反數減法法PW

號、中括號、大括號依次進行

兩數相乘，同號得正，異號得負，且積的

a+b=b+a

期寸值等于乘數的細寸值蹄乘法法則乃轆/--------

*\ab=ba

任何數與0相乘，都得0

運算律律(a+b)+c=a+(b+c)

X(ab)c=a(bc)

除以Y不等于QM數，等于乘這個數的倒數"除法涮

分配律a(b^c)=ab+ac

求n個相同棘蹄的吉，叫作乘方，乘方的

結果叫作幕附算觸行儂數睢算

【清單01】有理數加法運算

1.加法法則：

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

*1*11的瘠號■空絲u大的加ttw符號

r-=T-|r-=；_1

■3”2)>^5

為能時值**J*較大怵絡碼M減去較小拘他用值

③一個數同o相加，仍得這個數.

有理數加法運算的步驟

4t(芝葩,

g?4(?

■定豪相相關味UImfit相關法司

同號、鼻號還大臂制的符號計算紿對值的

<-tMRAo相或.

2.有理數加法的運算律

運算律文字敘述用字母表示

加法交換律兩個數相加，交換加數的位置，和不變a+b=b+a

扇注4±八違三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后

加法結合律g人崢川1加H十(a+b)+c=a+(b+c)

兩個數相加，和不變

3.加法運算律的運用技巧

⑴互為相反數的兩個數先相加----“相反數結合法”；

⑵符號相同的數先相加——“同號結合法”；

⑶整數與整數、小數與小數、分母相同(或分母成倍數關系易化成同分母)的數先相加——“同形結合法”；

(4)幾個相加得整數的數先相加——“湊整法”；

(5)帶分數相加時，可先拆成整數與分數的和，再分別相加----"拆項結合法”.

【清單02】有理數減法運算

1.減法法則：

減去一個數，等于加這個數的相反數.即a-b=a+(-切.

減號變加號

2.兩數相減差的符號

⑴較大的數一較小的數=正數，即若貝la—6>0.

(2)較小的數一較大的數=負數，即若。<6,貝！ja—6<0.

(3)相等的兩個數的差為0,即若a=6,貝3。一b=0.

特別解讀

減法轉化為加法過程中，應注意“兩變一不變”.“兩變”是指運算符號“一”號變成“+”號，減數變成

它的相反數；“一不變”是指被減數和減數的位置不變.

【清單03】有理數加減混合運算

1.有理數加減混合運算的方法

(1)運用減法法則，將有理數加減混合運算中的減法轉化為加法，轉化為加法后的式子是幾個正數或負數的

和的形式.

(2)運用加法交換律，加法結合律進行計算，使運算簡便.

如：(+7)-(+10)+(-3)-(-8)

=(+7)+(-10)+(-3)+8

=(7+8)+[(—10)+(—3)]=15+(—13)=2.

2.省略和式中的括號和加號

將有理數的加減混合運算統一成加法運算時，在和式里可以把加號及加數的括號省略不寫，以簡化書寫形

式.如(―20)+(—3)+(+2)+(—5)可以寫成一20—3+2—5.

這個式子有兩種讀法：

(1)按加法的結果來讀：負20、負3、正2、負5的和；

⑵按運算來讀：負20減3加2減5.

【清單04】有理數乘法運算

1.有理數的乘法法則

(1)兩數相乘，同號得正，異號得負，且積的絕對值等于乘數的絕對值的積.

⑵任何數與0相乘，都得0.

2.有理數乘法的符號法則

。與b乘積的符號。與b的符號

正同號，即”>0,加>0或avo,bvo

負同號，即。>0,>>0或〃vO,b<0

0至少一個為0,即4=0或方=0

3.倒數

定義乘積是1的兩個數互為倒數.

倒數與相反數之間的關系

不同點

相同點

定義表示性質判定

若a,b互為若a*b=l,

倒乘積是1的兩個數的倒數是上

倒數，則

數互為倒數a

a-b=l則〃，力互為倒數

若。+8=0,都成對出現

相只有符號不同的兩若a,b互為

反個數叫作互為相反a的相反數是一a相反數，則a

則用方互為相反

數數+b=0

數

4.乘法運算律

運算律文字表示用字母表示

乘法交換律兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變ab=ba

三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不

乘法結合律(ab)c=a(bc)

變

一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，

分配律a(b+c)=ab+ac

再把積相加

【清單05】有理數除法運算

1.除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.即a+b=a?L（b=0）.

b

2.有理數除法法則二兩數相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數的絕對值除以除數的絕對

值的商.0除以任何一個不等于0的數，都得0.

方法點撥：除法法則的選用原則

「定特號

L絕對值踴t

3.分數的化簡

（1）實質

分數的化簡，即利用有理數除法法則，用分數的分子除以分母的運算過程.

（2）分數的符號法則

分數的分子、分母及分數本身的符號，改變其中任意兩個，分數的值不變.

【清單06】有理數乘除混合運算

有理數的加減乘除混合運算順序

在運算時要注意按照“先乘除，后加減”的順序進行，如果有括號，應先算括號里面的.在同級運算中，要

按從左到右的順序來計算，并合理運用運算律，簡化運算.

【清單07】有理數乘方運算

1.乘方運算的意義

概念示例

a?a?????

求"個相同乘數的積的運算，叫作乘

乘方、R不0

方

讀作“a的“次方”

乘方的結果叫作塞（京4t的個數）

在率

中，。叫作底數，”叫作指數

底數和指數

2.an,-an和（一））"的聯系與區別

a〃-an（一“）”

區底數為“，表示〃表示〃個“相乘底數為一”，表示〃

別

個〃相乘的積的積的相反數個一"相乘的積

聯當〃為奇數時，一“"=（一"）"，它們分別與互為相反數；

系

當〃為偶數時，?"=（-?）"?它們分別與一口互為相反數

知識拓展：（1）負數的奇次塞是負數，負數的偶次尿是正數；（2）乘方運算中，當底數有“一”號時，底數要加

括號；（3）當底數互為相反數時，它們的奇次幕也互為相反數，偶次事相等.

3.乘方的運算法則

（1）負數的奇次暴是負數，負數的偶次累是正數；

（2）正數的任何次嘉都是正數；

（3）0的任何正整數次事都是0.

【清單08】有理數混合運算

有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；

③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

【清單09】科學記數法

1.定義：把一個大于10的數表示成axlO"的形式（其中lW|a|<10,〃是正整數），此種記法叫做科學記

數法.例如：200000=2xl05.

2.科學記數法表示數的步驟

?的…*g的小敷點向左移，使其基數位數se&ttMs——=--------1

只有TLBP13OMS.7?W4S7xW

t?

方法I；根露原數的?N

如:4I

—力演「?羸斂的陵數位數城

NI-2MQQD,-IMMI。

m小數點囪左善動的位數

方法2：根據小景點

首動的位數未確定

3.還原科學記數法表示的數

4JO2Ki(r?―

一|■不夠的位微

方?，14蝴蟆數力"1、不喻緋加,

,用琳足力“xK■-3I4MW\)?麗i

方出：的x10■中觥小數點/L_

向右移岫喊MUM右―

4.方法點撥：比較用科學記數法表示的兩個數大小的方法

【清單10］近似數

1.準確數：與實際完全符合的數，稱為準確數.

2.近似數：許多實際情況中，較難取得準確數，把接近準確數但不等于準確數的數稱為近似數.

3.近似數的精確度：近似數的精確度是指近似數與準確數的接近程度.一般地，一個近似數四舍五入到哪

一位，就說這個近似數精確到哪一位.

近似數的精確度的表述方法：

⑴用數位表示，如精確到千位，精確到千分位等；

⑵用小數表示，如精確到0.1,精確到0.0I等；

（3）對帶有單位的數用單位表示，如精確到1kg,精確到1m等.

4.取近似數的方法：通常用四舍五入法；特殊情況下使用去尾法、進一法.

強型陸單

【考點題型一】有理數的加法（共3題）

191

1.(2023秋?瀘縣校級期末)計算：4.5+[(-2.5)+9-+(-15-)]+2-.

2.（2。23秋.合江縣校級期末）計算：㈠f+（+9+（-。.5）+（+日）.

3.（2021秋?涼山州期末）數學張老師在多媒體上列出了如下的材料:

計算：一53+(一9|)+17：+(-3；).

5231

解：原式=[(-5)+(--)]+[(-9)+(--)]+(17+—)+[(-3+(--)]

6342

5213

=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(--)+(-—)+(--)+—]

6324

=o+(_i:)

=-11.

4

上述這種方法叫做拆項法.

741

請仿照上面的方式計算：(-2021-)+(-2022-)+4044+(--).

777

【考點題型二】有理數的減法（共4題）

1.（2023秋?濟南期末）計算：23+（-14）-35-（-10）.

1119

2.(2023秋?太湖縣期末)3—+(-―)-(—)+2-.

2233

3.（2023秋?敘永縣校級期末）計算：（-0.5）-（-3」）+3.75-

4.（2023秋?商南縣校級期末）小蟲從某點。出發在一條直線上來回爬行，假設向右爬行的路程記為正，向

左爬行的路程記為負，爬行的路程依次為（單位：cm）:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.

（1）小蟲離開出發點O最遠是一厘米.

（2）小蟲是否回到了原點O?

（3）在爬行過程中，如果每爬行low獎勵一粒芝麻，則小蟲共可得到多少粒芝麻?

【考點題型三】有理數的乘除（共6題）

1.（2023秋?泳口區期末）已知|a|=5,|6|=8,5.a+b>0,求質的值.

2.（2023秋?昌邑區校級期末）

123218

3.（2023秋?中原區期末）學了有理數的運算后，老師給同學們出了一題.

計算：19—x（-9）,下面是兩位同學的解法：

18

?士官3359八32311“I

小方：原式=----x9=---------=-179—；

18182

17171

小楊：原式=（19+—）x（—9）=—19x9——x9=—179—.

18182

（1）兩位同學的解法中，誰的解法較好？

（2）請你寫出另一種更好的解法.

4.（2023秋?綏陽縣期末）數學老師布置了一道思考題“計算”：

1236

小華的解法：(-—)4-(---)=--

123612312641020

大白的解法：原式的倒數為第一步,

=(1_f")x(一12)

第二步,

3o

=Y+10.....................第三步,

=6第四步.

所以

分析兩位同學的解法，請你回答下列問題:

（1）兩位同學的解法中，—同學的解答正確；

（2）大白解法中，第二步到第三步的運算依據是

（3）用一種你喜歡的方法計算:（q）+g_g+》.

5.（2023秋?射陽縣期末）已知：|a|=3,g|=5.

（1）若a>b,求ab的值；

（2）若aZ?<0,求a的值.

6.（2023秋?淮北期末）閱讀理解:

計算（l+-+-+-）x（-+-+-+-）-（l+l+-+-+l）x（-+-+-）B^,若把d+W3與（』+』+」）分另Ij

234234523452342345234

各看作一個整體，再利用分配律進行運算，可以大大簡化難度.過程如下：

解:設（；+｝；）為A,為3,

貝I原式=2(1+4)-4(1+3)=3+48-A-AB=B-A=g.請用上面方法計算：

?(1+—+-+-+-+-)(—+-+—+-+-+-)-(1+-+-+—+-+-+—)(—+-+-+-+-)

2345623456723456723456

?(l+-+-...+-)(-+-...+^—)-(1+-+-...+^—.

23n23n+123n+123n

【考點題型四】有理數的乘方（共8題）

1.（2023秋?曲靖期末）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型.在營養和

生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2"來表示.即：2'=2,

2Z=4,23=8,24=16,2$=32,…，請你推算Z??4的個位數字是（）

A.6B.4C.2D.8

2.（2023秋?德城區期末）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,7^=343,74=2401,T=16807,

根據其中的規律可得7°+丁+72++7283的結果的個位數字是.

3.（2023秋?龍湖區期末）已知a,6都是有理數，若（a+2）2+|6-l|=0,則（4+6嚴23=.

4.（2023秋?合肥期末）計算：-12024<（-5）2X（-|>10.8-11.

5.(2023秋?隆回縣期末)計算:

(2)-14-(1-0.5)X|X[3-(-3)2].

(1)4X(-1)2024-13+(——)-M3|；

6.(2023秋?涼州區校級期末)已知。，6滿足|。+3]+(6-2>=0,求(a+b)2823的值.

7.(2023秋?射陽縣期末)閱讀理解：根據乘方的意義，可得：22X23=(2X2)X(2X2X2)=25.請你試一試,

完成以下題目:

(1)a3-a"=(a-a-a)-(a-a-a-a)=

(2)歸納、概括：am-a"=；

(3)如果/=4,%"=25,運用以上的結論，計算：產”=.

8.(2023秋?東城區期末)小明設計了一個如圖所示的數值轉換程序.

(1)當輸入a=-5,6=-3時，求輸出M的值為多少？

(2)若a=-3,M的值大于4,直接寫出一個符合條件的6的值.

【考點題型五】科學記數法與有效數字（共5題）

1.（2023秋?長壽區期末）用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）

A.0.1（精確到0.1）B.0.05（精確到百分位）

C.0.05（精確到千分位）D.0.0502（精確到0.0001）

2.（2023秋?蓬江區期末）用四舍五入法把數25.862精確到十分位，所得的近似數是（）

A.25.8B.25.9C.25.86D.25.87

3.（2023秋?惠城區期末）5G是第五代移動通信技術，5G網絡理論下載速度可以達到每秒1300000循以

上.用科學記數法表示1300000是（）

A.13xl05B.1.3xlO5C.1.3xlO6D.1.3xl07

4.（2023秋?羅湖區期末）2023年2月10號，神舟十五號航天員乘組圓滿完成了他們的首次出艙任務，飛

船的速度約為每小時28000千米，28000用科學記數法表示應為（）

A.2.8xlO4B.2.8xlO5C.2.8xlO6D.28xl03

5.（2023秋?龍華區期末）紅樹林、海草床和濱海鹽沼組成三大濱?！八{碳”生態系統.相關數據顯示，按

全球平均值估算，我國三大濱海“藍碳”生態系統的年碳匯量最高可達約3080000噸二氧化碳.將308000

。用科學記數法表示應為（）

A.3.08xl04B.3.08xlO6C.308xlO4D.0.308xlO7

【考點題型六】有理數運算的實際應用（共4題）

1.（2023秋?萬州區期末）張阿姨水果店以每箱200元的價格從水果批發市場購進20箱櫻桃，若以每箱凈

重10千克為標準，超過的千克數記為正數，不足的千克數記為負數，稱重的記錄如下表：

與標準質量的差值（單位：千克）-0.5-0.250+0.2540.8+0.5

箱數143453

（1）這20箱櫻桃的總質量是多少千克?

（2）張阿姨水果店購進這批櫻桃需要付運費100元，計劃把這些櫻桃全部以零售的形式賣掉，按照全部銷

售完后獲得的利潤為成本的30%作為銷售目標，并制定零售價為30元/千克，在實際銷售時，第一天水果

店以該零售價售出了總質量的60%,第二天因害怕剩余的櫻桃腐爛，把剩余的櫻桃按原零售價的七折售

完.（提示：成本=總進價+運費）計算該水果店在實際銷售這批櫻桃的過程中共盈利多少元？是否達成原

定銷售目標？

2.（2023秋?安溪縣期末）某水果店以每箱180元的價格從水果批發市場購進20箱草莓，若以每箱凈重10

千克為標準，超過的千克數記為正數，不足的千克數記為負數，稱重的記錄如下表：

與標準重量的差值（單位：千克）-0.5-0.2500.250.30.5

箱數233552

（1）求這20箱草莓的總重量;

（2）若水果店打算以每千克25元銷售這批草莓，則全部售出可獲利多少元?

3.（2023秋?蓮都區期末）如圖1是1個紙杯和6個疊放在一起的紙杯的示意圖，量得1個紙杯的高為10cm,

6個疊放在一起的紙杯的高為14c〃z.

圖2

（2）若一批這樣的紙杯按照圖2的方式疊放，測得總高度為90cm,求紙杯個數.

4.（2023秋?襄城縣期末）小華有5張寫著不同數的卡片如圖，請你按要求抽出卡片，完成下列各題:

（1）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數乘積最大，最大值是

（2）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數相除的商最小，最小值是

（3）從中抽出4張卡片，用學過的運算方法使結果為30,寫出運算式子（至少寫出兩種）.

日與血回至

【考點題型七】有理數的新定義運算（共7題）

1.(2023秋?鄭縣期末)規定一種新運算“※”，兩數。，6通過“※”運算得(“+2)x2-6,即?！?/p>

6=(a+2)x2—6,例如：5=(3+2)x2-5=10-5=5,根據上面規定解答下題：

(1)求7※(-3)的值；

(2)7※(-3)與(-3)派7的值相等嗎？

2.(2023秋?江州區期末)［新定義運算］:如果/=N(a>0,awl,N>0),則6叫做以。為底N的對數,

記作log〃N=6,例如：因為53=125,所以1。氏125=3；因為建二⑵,所以lo&J21=2.

(1)填空：log33=，log05-^-=;

lo

(2)如果logs|相-41=2,求機的值；

(3)log327+log4x=log232,求2(x-l)的值.

3.(2023秋?成都期末)【初探】

從1~9這九個數字中任選兩個不同數字，分別記為a,b,由這兩個數字可以組成兩個兩位數，再用這兩個

兩位數相加的和除以11,所得的商記為尸(a/).如：a=l,6=2,可以組成12,21,它們的和為33,因

為33+11=3,所以尸(1,2)=3.

(1)尸(2,7)=；

(2)尸(a,6)一定是整數嗎？請說明理由；

【拓廣】

從1~9這九個數字中任選三個不同數字，記為m，”，。,由這三個數字組成六個不同的兩位數，再用這

六個兩位數相加的和除以22,所得的商記為G(〃z,”，p).

(3)若G(m，n,p)=3p,且九=相+2,求〃—"Z的值.

4.(2023秋?蓮池區校級期末)【思考】

定義一種新運算“※”，觀察下面的算式，你能發現什么規律嗎？

3X5=8,(_3悖5=-8,3派0=3,

(-3)^(-5)=8.3※(-5)=—8.(一3)派0=3.

【歸納】

（1）兩數進行“X”運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加.任何數同0進行“X”運算,

都得—.

【運用】

（2）計算：（-12?。?※6；

（3）化簡：（-7）※尤.

（提示：對于運算“※”，如有括號，先做括號內的運算.）

5.（2023秋?輝縣市期末）觀察下列兩個等式：2°=2x\l,5-2=5一+1給出定義如下：我們稱使等

3333

式6=必+1成立的一對有理數“a,6”為“共生有理數對"，記為（a,6）,如：數對（2$）,（5,$都是

“共生有理數對”.

（1）通過計算判斷數對（1,2）是不是“共生有理數對”；

（2）若（利,〃）是“共生有理數對"，則（-〃,-加）—“共生有理數對"（填“是”或“不是”）；

（3）如果（〃?,"）是“共生有理數對”，且%=4,求（-5/的值.

6.（2023秋?梁山縣期末）有理數。和6分別對應數軸上的點A和點3,定義=為數。、。的中

點數，定義0（。*）=|切為點A、3之間的距離，其中|“-6|表示數。、b的差的絕對值.例如：數-1和

3的中點數是M(_l,3)=二7=1,數軸上表示數-1和3的點之間的距離是5-1,3)=|-1-3|=4.請閱讀以

上材料，完成下列問題：

(1)M(2,4)=,。(2,4)=；

(2)已知M(-6,x)+D(6,8)=5,求D(x,9)的值；

Y-1

(3)當0(-2,7)+0(4,x)=13時，求M(二3一,6)的值.

7.(2023秋?大荔縣期末)“幸福是奮斗出來的”，在數軸上，若尸到A的距離剛好是3,則尸點叫做A的

“幸福點”；若尸到A、5的距離之和為6,則尸叫做A和3的“幸福中心”.

(1)若點A表示的數為-2,則A的幸福點尸所表示的數應該是；

(2)如圖，M>N為數軸上兩點，點/所表示的數為4,點N所表示的數為-2,若點/就是M■和N的

幸福中心，則歹所表示的所有數中，整數之和是多少？

NM

I_____I________IJI1I_______I_______IJI_______I?

—5—4—3—2—10123456”

【考點題型八】與絕對值有關的動點、最值綜合問題(共4題)

1.(2023秋?太和縣期末)已知：。是最大的負整數，且。、b>c滿足(c-6y+|Q+Z?|=0,

（1）直接寫出a=，b=,c=.

（2）a,b,c所對應的點分別為A,B,C,若點A以每秒機（0（機＜3）個單位長度的速度運動，點3和

點C分別以每秒3個單位長度和6個單位長度的速度向右運動，假設f秒鐘過后，若點3與點C之間的距離

表示為BC,點A與點3之間的距離表示為AB.

①當點A向右運動，且加時，請問：33C-4AB的值是否隨著時間f的變化而變化.

4

②當3BC-2AB的值不隨著時間f的變化而變化，求機的值.

2.（2023秋?贛州期末）【閱讀】數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，

揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎.例如，|3-1|表示3與1差的絕對值，也可理解

為3與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；13+11可以轉化為13-（-1）|,表示3與-1的差的絕對值，

也可理解為3與-1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離.

【探索】

-5-4-3-2-1012345

⑴13-（-1）|=—；

（2）利用數軸，解決下列問題：

①若|x+l|=3,則工=；

②若|x-3|+|x+2|=5,請直接寫出所有的整數：；

③是否存在有理數x,使得式子|x+l|-|x-3|有最大值？如果存在，寫出一個符合條件的x的值及式子的

最大值；如果不存在，說明理由.

3.（2023秋?成都期末）已知：6是最小的正整數，且。、6滿足（c-5）2+|a+6|=0,請回答問題

A3C

（1）請直接寫出a、b、c的值.

a=,b=，c=

（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C,點P為一動點，其對應的數為x,點P在0到2之間運動

時（即QBk2時），請化簡式子：|x+l|-|x-l|+2|x+5|（請寫出化簡過程）

（3）在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運

動，同時，點3和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動，假設f秒鐘過后，若點3

與點C之間的距離表示為3C,點A與點5之間的距離表示為請問：3C-的值是否隨著時間f的

變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.

4.（2023秋?鳳翔區期末）【數學概念】如圖，A、3為數軸上不重合的兩個點，P為數軸上任意一點，我

們比較線段必和尸3的長度，將較短線段的長度定義為點尸到線段4?的“靠近距離”.特別地，若線段必

和PB的長度相等，則將線段以或PB的長度定義為點P到線段AB的“靠近距離”.

【概念理解】如圖①，點A表示的數是T,點3表示的數是2.

（1）若點尸表示的數是-2,則點P到線段的“靠近距離”為—；

（2）若點尸表示的數是機，點P到線段4?的“靠近距離”為3,則機的值為—（寫出所有結果）；

【概念應用】

（3）如圖②，在數軸上，點尸表示的數是-6,點A表示的數是-3,點3表示的數是2.點尸以每秒2個

單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點3以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右運動.設運動的時間為/

秒，當點尸到線段AB的“靠近距離”為2時，求f的值.

???,A????/?????》

-7-6-5-4-3-2-101234567

圖②

-7-6-5-4-3-2-101234567

圖①

iiii??F??????

-7-6-5-4-3-2-101234567

【考點題型九】數軸上的動點綜合問題（共4題）

1.（2023秋?廣州期末）在數軸上，點A在原點O的左側，點3在原點O的右側，點A距離原點12個單位

長度，點3距離原點2個單位長度.

（1）A點表示的數為—，3點表示的數為一，兩點之間的距離為一；

（2）若點尸為數軸上一點，且3P=2,求AP的值；

（3）若點尸、Q、M同時向數軸負方向運動，點P從點A出發，點。從原點出發，點M從點3出發，且

點P的運動速度是每秒6個單位長度，點。的運動速度是每秒8個單位長度，點M的運動速度是每秒2個

單位長度.運動過程中，當其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時三個點表示的數各是多少？

2.（2023秋?泰興市期末）已知點A、B、C、D在數軸上，點A和點C表示的數分別為-8、2,點3在點

A的右側，點。在點C的右側，且AB=4,CD=2.

（1）直接寫出點3和點。表示的數分別為：—、—；

（2）若線段的沿著數軸向右以2個單位長度/秒的速度運動，同時線段8沿著數軸向左以1個單位長度

/秒的速度運動，設運動的時間為f（秒），/＞（）.

①若3和。重合，則f的值為—，若A和C重合，則f的值為—；

②若線段四和線段CD重疊部分為1個單位長度，求運動時間f的值；

③當時，下面兩個式子：@BC+AD；②3C-AD中有一個式子的值是定值，你認為是定值的式

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子是—（填寫序號），并求這個定值.