北京市東直門中學2023-2024學年度第二學期開學檢測

局二數學

2024.2

考試時間：120分鐘總分：150分

班級姓名學號

第一部分（選擇題，共40分）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一

項）

1,已知全集°={-1°423},集合人滿足令"={。/，3},則A=（）

A,{0,2}B.{-1,2}C.{-1,0,2}D.{0}

【答案】B

【解析】

【分析】根據補集概念進行求解.

【詳解】因為。={—1,0,1,2,3},又電4={0,1,3},所以A={-1,2}.

故選：B.

2.復數2i=a+3i,z2=-4+bi,其中。，6為實數，若z+z2為實數，z-z2為純虛數，貝

（）

A.-7B.-6C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】由復數運算和分類可解.

【詳解】由題意4+z2=a—4+（3+Z?）i,z1—z2=a+4+（3—Z?）i,

因為Z]+Z?為實數，Z]-Z2為純虛數,

3+b=0rb=-3

所以a+43得

?=T

所以a+/?=—7.

故選：A.

3.已知二項式（2x-l）”的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，則”為（

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知，二項式的展開式共7項，即可求出”的值.

【詳解】因為二項式（2%-1）"的展開式中僅有第4項的二項式系數最大，

則二項式（2x—l）”的展開式共7項，即〃+1=7,解得”=6.

故選：A.

4.設。為.ABC所在平面內一點，AC=4,BC±AC,CD=^AC,則0A.A5=（）

A.20B.-20C.12D.-12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出D4=-°AC,AB=AC+CB^利用平面向量數量積的運算性質可求得

4

DAAB的值.

【詳解】CD=^AC,，加=—BCLAC,則ACBC=0，

44

5（\5255,

因此，DAAB=--AC（AC+CB\=--AC--AC-CB=--x42=-20.

4'>444

故選：B.

47r

5.若a=1.1.力=logozO.B,c=tan^-,貝1J（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根據對數函數，指數函數的單調性判斷與0,1的大小關系，利用三角函數在各象限的符號依次判

斷即得.

【詳解】4=1.1°」>1.1°=1，

由y=log02x是減函數得log021<log020.3<log020.2,即0<)<1,

「、，兀4兀?，，4兀八

因為一<—<71，所以c=tan—<0，

255

所以c<b<a.

故選:B.

6.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-44Gol中，點P在截面上（含邊界），則線段AP的最小值

等于（）

A.-B.C.72D.顯

333

【答案】B

【解析】

【分析】利用等體積法求得正確答案.

【詳解】設A到平面的距離為〃，

^=^=^5=272,5^^=1x272x272xsin|=2^/3,

Ai-ABD=匕?8，?生2義2卜2=32品丸，

解得丸=冬8,所以線段釬的最小值等于友L

33

故選：B

7.已知，15C的內角A,B,C的對邊分別為。，b,C,若a,b,C成等比數列，且。=則

2

cosA=(

,_3R5A/2?￡n572

4828

【答案】B

【解析】

【分析】由題目條件可得y=一。2,再利用余弦定理代入求解即可.

2

1,1,

【詳解】因為。b,c成等比數列，得尸="，且。=—c,得廿=—。2,由余弦定理,

22

17212

b1+C1-a12。+。一4。5四

COSA=-----------------------=------------7=---=----

2bcc68■

2x—c-c

2

故選：B

8.直線%+丁+人=。與圓。：（尤+1）2+（丁—1『=5有公共點的一個充分不必要條件是（）

A.回-廂，啊B.Z?e［-A^0,+oo］

C.be^-\/10,A/10^D.Z?e^-A/10,+coj

【答案】C

【解析】

【分析】先根據直線與圓有公共點求出6的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】C:（x+l『+（y—1『=5的圓心。（—1,1）,半徑r=6.

I—1+1+Z?|\b\

圓心到直線1+y+Z?=O的距離d=

#+12V2

因為直線%+丁+6=0與圓有°：（%+1）2+（丁—1）2=5公共點，

所以dWr,即*《括，解得—記.

于是，區間［一廂,的任何一個真子集是直線x+y+6=0與圓C:（x+l『+（k1『=5有公共點的

一個充分不必要條件.

則四個選項只有C選項是區間［-瓦，布］的真子集，所以C正確.

故選：C.

22

9.已知雙曲線C:，-1=1（。>08>0）的右焦點為尸，過產且與一條漸近線平行的直線與。的右支及另

ab

一條漸近線分別交于瓦。兩點，若FB=BD，則C的漸近線方程為（

A.y=±2xB.y=+y/3xC.y=±xD.y=±42x

【答案】c

【解析】

b

y=-（x-c）z、

【分析】設直線+（x—c）,5（%,%），■%,%），由a,得到D,再根據

b122aJ

y=——x

、a

（bc\22

條件得出同不，一丁，代入方程=-1=1,即可求出結果

22

【44a）ab

bb

【詳解】易知C的漸近線方程為丁=±±工，不妨設直線BD：y二=-（x-c）,6（冷%）,￡>（%2，%），

a

b

>=一（％一。）

聯立方程得/7,，解得馬=c上，％=—D竺C，所以。

（2?2a）

—X22a

、a

/_C=5_X]

—?-cbe得到《J,

又FB=BD，而FB=（X「GK），皿=丁斗，一五一弘）,be

yi=-^--%

[2a

解得玉=1c，x=_午，故代入：__斗=1「

22

44ak44aJab

9c2c2c2[，解得2=1，

得3-2=1，得到二=2,又02=1+32,得到2=1+

16a16aaaa

故所求C的漸近線方程為y=±*，

:

7K

故選：C.

10.在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得新數列按照同樣的方法進行構造,

可以不斷形成新的數列.現對數列1,2進行構造，第1次得到數列1,3,2；第2次得到數列1,4,3,5,

2；…依次構造，記第w（neN*）次得到的數列的所有項之和為北，則刀=（）

A.1095B.3282C.6294D.9843

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定條件，得到第〃次構造后數列的和與第〃+1次構造后數列的和的關系，再求出數列

{1}的通項即可.

【詳解】設第〃次構造后得的數列為1,和々，???，/，2,則＜=3+%+々++々，

則第〃+1次構造后得到的數列為14+西,石,石+々,馬，?+2,2,

于是＜+1=6+3（為+-+與）=6+3（〈一3）=3。一3,7]=6,

33339

顯然&「5=3（1-”TO7；--=6--=-,

3Q39空+i4a

因此數列區―卞是以萬為首項，3為公比的等比數列，則（―1=：X3"T,即＜=二^二，

38+3

所以7；=--------=3282.

72

故選：B

【點睛】關鍵點睛：涉及數列新定義問題，關鍵是正確理解給出的定義，由給定的數列結合新定義探求數

列的相關性質，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

2r-1

11.不等式——＜0的解集是.

%+4

【答案】[一4,g]

【解析】

【分析】利用分式不等式的解法列不等式組求解即可.

2y_1

【詳解】‘一＜0等價于（2x—l）（x+4）＜0,

x+4

解得：—4＜%＜工，

2

所以不等式生。＜0的解集為|-4,^

x+4I2；

故答案為：

12.設尸為拋物線C：必=16＞的焦點，直線/：y=-l,點A為C上任意一點，過點A作AP，/于

p,則||4可一M曰=.

【答案】3.

【解析】

【分析】設點A坐標為(%，%)，利用拋物線的焦半徑公式可得|AE|=%+4，由點到直線的距離公式可

得IAP|=%+1,代入卜丹—仙耳即可得解.

【詳解】由必=16＞可得焦點坐標為/(0,4),準線方程為y=-4,設點A坐標為(毛,%),由拋物線的

定義可得|AE|=%+^=%+4，

因為過點A作AP，/于尸，可得|AP|=y0—(―1)=%+1,

所以MH—|A川=|%+1—(%+4)|=3.

故答案為：3.

13.將函數/(x)=cos0x-圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的|,,縱坐標不變，再將所得圖象向

左平移“個單位長度，得到函數g(x)的圖象，若g(—x)—g(x)=0,則寫出。的一個可能值為.

JT

【答案】—(答案不唯一)

16

【解析】

【分析】利用給定變換求出函數g(x)的解析式，再結合函數的奇偶性列式計算求出a的值，取其一即得.

【詳解】將/(x)=cos[3x-圖象上所有點橫坐標縮短為原來的；，，縱坐標不變，得到函數

/(x)=cos[4x—：)勺圖象，

JT

再將所得圖象向左平移a個單位長度，得到函數g(x)=cos(4x+4a—-)的圖象，

4

由8(-力一8(%)=。得函數且(￡)為偶函數，

則4a—二=碗(左eZ),解得”=如+±(左eZ),令人=0,可得。的一個值為2.

41/416V716

jr

故答案為：—(答案不唯一).

16

2工^>0

14.已知函數/■(%)=〈；—’則行)的單調遞增區間為_________；滿足|/(%)|<4、1()4的整數解

[一%,x<0,

的個數為.(參考數據：1g2?0.30)

【答案】①.(―8,+8)②.215

【解析】

【分析】第一個空，作出了(%)的圖象，由圖可知“X)的單調遞增區間；第二個空，分xNO和尤<0兩種

情況解不等式.

【詳解】作出/(力的圖象，由圖可知，/(%)的單調遞增區間為

當無之0時，/(X)|=|21=2X<4XK)4,解得％<log2(4xl04),即》<2+藍/15.3,

所以0Wx<15.3,

當x<0時，|/(刈=卜/卜尤2<4xl04,解得—200<x<0,

故滿足I/(x)|<4xl04的整數解的個數為215.

故答案為：(一",+e)；215.

15.如圖，3x3的正方形紙片，剪去對角的兩個1x1的小正方形，然后沿虛線折起，分別粘合A2與

ED與EF,CB與CD,GF與GH,得到一幾何體Q,記Q上的棱AC與EG的夾角為a,則下列說法正確

的是.

①幾何體2中，CGXAE；

②幾何體。是六面體；

2

③幾何體a的體積為§；

c4

④COS?=

【答案】①③④.

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理可得CGL平面MVE,進而判定①正確；證得48,平面CBG,同理

平面C8G,從而判定該幾何體為四面體，故②錯誤；看成以CBG為底面的兩個棱錐的和，計算體積可判定

③正確；利用中位線找到異面直線所成的角，利用余弦定理計算，可判定④正確.

【詳解】如圖所示，取AG,CG,CE,EG的中點、M,N,O,P連接AN,EN,MN,ON,OB,MPQPQM.

由已知可得CE=CA=EG=AG=舊,

：.AN.LCG,NE±CG,

又,：ANCNE=N,

；.CG_L平面ANE,

J.CGLAE,故①正確；

?：AB±BC,AB±BG,CBG,同理2E_L平面CBG,

.,.面NC8與面C8E共面，面NG8與面G8E共面，AB馬BE共線,

該幾何體為四面體，故②錯誤；

,:BC=BG=l,CG=yli，

...△CBG為直角三角形，ZCBG=90°,

S——x1x1——

rCRBrG22

又平面CBG,AE=2AB=2BE=4,

112

該幾何體的體積為V=—義一x4=—,故③正確；

323

MP=2,OP=-CG=—,

22

^：MP//AE,0P〃CG,CGL4E,

：.MP±OP,

工MO=y/MP2+PO2=叵,

2

ON=NM=LAC

2

5518

一-i------------

ON?+NM?-OM?4

cos/ONM=444

2ONxNMc5

2x—5

4

又〈AC〃MN,EG〃NO,.?./。加為異面直線/。,石6所成的角或其補角,

4

/.cosa=—.故④正確.

5

故答案為：①③④.

【點睛】本題綜合考查線面垂直，幾何體的體積，異面直線所成的角，屬中高檔題，關鍵是要結合原式圖

形找到對應的幾何體的各棱的長度，綜合線面垂直的判定定理進行證明相關的垂直關系.

三、解答題（本大題共6小題，共85分）

16.在①+c?-4=2j§acsinB；②sin2_B+sin2C-sin2A=J§sinBsinC這兩個條件中任選一"補

充在下面的問題中并作答.

在，ABC中，內角AB,C所對的邊分別是",仇c,.

(1)求角A；

(2)若a=8,b+c=10,求_45。的面積.

7T

【答案】(1)A=—

6

(2)9(2-73)

【解析】

【分析】(1)選擇①：利用正弦定理邊角互化，結合余弦定理可求得tanA的值，結合角A的取值范圍可

求得角A的值；

選擇②：由正弦定理、余弦定理可求得cosA的值，結合角A的取值范圍可求得角A的值；

(2)利用余弦定理可求得8c的值，結合三角形面積公式可得出.A5C的面積.

【小問1詳解】

選擇①：因為/+°?一/=2氐csinB，

由余弦定理可得2bccosA=26acsinB，

所以結合正弦定理可得sinBcosA=^sinAsinB.

因為Be(O,兀)，則sinB>0,

所以cosA=V3sinA，即tanA=，

3

因為Ae(O,7i),所以A=F；

6

選擇②：因為siYB+sin??！猻in2A=^sinBsinC，

由正弦定理得/+,2—/=，

由余弦定理得cosA=廠=昱.

2bc2

因為Ae(o,7i),所以A=B；

6

【小問2詳解】

7T

由(1)知4=一，又已知Q=8,Z?+C=10,

由余弦定理得，/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2—(2+g)bc,

7”736

be,所以be=——,

||jr

所以_ABC的面積為一bcsinA=—besin—

226

17.為了調查居民對垃圾分類的了解程度，某社區居委會從A小區與8小區各隨機抽取300名社區居民

（分為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名，假設兩個小區中每組人數相等）參與問卷測試，分為

比較了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并將問卷得分不低于60分的人數繪制頻

數分布表如下

分組A小區頻數8小區頻數

18-40歲人群6030

41-70歲人群8090

其他人群3050

假設用頻率估計概率，所有居民的問卷測試結果互不影響.

（1）從A小區隨機抽取一名居民參與問卷測試，估計其對垃圾分類比較了解概率；

（2）從A、8小區41-70歲人群中各隨機抽取一名居民，記其對垃圾分類比較了解的居民人數為隨機變量

X,求X的分布列和數學期望.

17

【答案】（1）—

30

17

（2）分布列見解析，E（X）=—

'710

【解析】

【分析】（1）根據古典概型的概率公式計算計算即可；

（2）首先求出A、3小區比較了解的概率，則X的可取取值為0,1,2,求出所對應的概率，即可得到

分布列與數學期望；

【小問1詳解】

17017

設從A小區隨機抽取一名居民參與問卷測試其對垃圾分類比較了解為事件C,則P（C）=——=—

'730030

【小問2詳解】

8Q

依題意可知A小區比較了解的概率為歷，B小區比較了解的概率為市,

則X的可取取值為o，1,2,

所以「（x=。）京哈$，P（X=1）福哈+木吟?

PC?）**吟

則X的分布列為

X012

11318

P

505025

1141Q

所以七（乂）=0*—+1義―+2><—=一

v750502510

18.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為平行四邊形，AB=2,AD=272,ZABD=,矩形

5DEF所在平面與底面ABCD垂直，M為CE的中點.

（1）求證：平面平面AE戶;

（2）若平面與平面6C尸夾角的余弦值為一，求CE與平面孫/所成角的正弦值.

5

【答案】（1）證明見解析

4

（2）-

5

【解析】

【分析】（1）根據平面與平面平行的判定定理證明；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.

【小問1詳解】

如圖，連接AC交3。于點G,連接MG.

因為底面ABCD為平行四邊形，

所以G為AC的中點.

因為M為CE的中點，所以

又因為MG<2平面AEF,EA<=平面AEF,

所以MG平面AM.

因為8DE尸為矩形，所以03所,80（2平面4￡”￡尸匚平面4￡產，

所以BD平面AER.

因為MGcBD=G,MGu平面BDM,5Z）u平面BDM,

所以平面BDM平面AEF.

【小問2詳解】

因為AB=2,AD=2A/I,/ABD=90,所以5。=2,AB，.

因為平面BDEF，平面ABCD,平面BDEFc平面ABCD=BD,DELBD,

所以QE1平面ABCD.

分別以DB,DC,DE為蒼％z軸建立空間直角坐標系，

設DE=2心0),則5(2,0,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),￡(0,0,2/),

所以OM=(0/J),03=(2,0,0),3C=(—2,2,0),BE=(0,0,27),

m,DM—0,

設平面的法向量為機=(%,%,zj,貝卜0,

y.+tz.=0,、

_，令Zi=-1,則機

n-BC=0,

設平面BCF的法向量為〃=(/,%/2)，貝1b

n-BF=0,

—+2%=0/、

22

._n，令馬=1,則”=(1,1,0),

所以|cos戊，用=

所以加=(O,2,-L),C￡=(O,—2,4)

設CE與平面BQ拉所成的角為氏

.I「.I|2x(-2)+(-l)x4|4

nilsint)=1cosCE,m1=7.22+(-l=)2~.7.(-2)2+42=—5-

4

所以CE與平面所成的角的正弦值為g.

19.己知函數/(x)=\+a：e\

(1)當a=0時，求曲線y=/(同在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)當。=1時，求函數/(%)的單調遞增區間；

(3)若函數/(力在區間(0,1)上只有一個極值點，求。取值范圍.

【答案】(1)>=e

(3)(0,+oo)

【解析】

【分析】(1)當a=0時，求出/(1)、/'(1)的值，利用導數的幾何意義可求得所求切線的方程；

(2)當。=1時，求出/'(%),利用函數的單調性與導數的關系可求得函數/(%)的單調遞增區間；

⑶令g(x)=G：2+x-1,分析可知，函數g(x)在(0,1)上有且只有一個異號零點，對實數。的取值進

行分類討論，結合題意可得出關于實數。的不等式，綜合可得出實數。的取值范圍.

【小問1詳解】

解：當a=0時，/(%)=—,則/(x)=e'(：T),所以，/(i)=e,/'(1)=0,

故當a=0時，曲線y=/(力在點(1,/。))處的切線方程為y—e=0,即>=0.

【小問2詳解】

解：當a=l時，〃力=口+1卜=("+l)e,該函數的定義域為{小HO},

kXJJC

/⑴=a+2)%e：(x+l)e，=)+—

+Ab°'解得、<一1或X〉專

由/4%)>0,即尤2

因此，當。=1時，函數/(%)的單調遞增區間為

【小問3詳解】

解：因為/(x)=］：+a：e，,則/，(*)=［、+々_4］0￡=(取+：—.e

令8(%)=加+%-1,因為函數/(X)在(0,1)上有且只有一個極值點,

則函數g(x)在(0,1)上有一個異號零點，

當a=0時，對任意的xe(O,l),g(x)=%-l<0,不合乎題意;

當a>0時，函數8(%)=加+%-1(0,1)上單調遞增，

因為g(0)=—1<。，只需g(l)=a>0,合乎題意；

當a<0時，函數g(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線x=-工>0,

因為g(O)=—1<0,只需g(l)=a>0,不合乎題意，舍去.

綜上所述，實數々的取值范圍是(0,+").

V2

20.已知橢圓E：r+

a

(1)求橢圓石的方程；

(2)設斜率為g的直線/與E交于A,B兩點(異于點P),直線E4,尸3分別與y軸交于點M,N,求

IPM|

的值.

i^vT

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)1

【解析】

【分析】(1)根據6a=2b，把點代入，即可求出橢圓方程.

(2)設直線/的方程為y=萬x+根，代入橢圓方程，得/++m2—3=0>所以西+々—m,

王龍2=加2-3,計算直線P4的斜率與直線P3的斜率的和，即可根據對稱求解.

【小問1詳解】

_a22

由于后=26,設所求橢圓方程為含+方=1,

把點代入，得〃=3,片=4，

22

???橢圓方程為工+匕=1.

43

【小問2詳解】

設直線/的方程為y=；x+/n,

代入橢圓方程，整理得/+加;+加2—3=0，

設4（%,乂）,5（々,必），

222

x,+x2--m,xYx2=m-3,A=m-4（^m-3^）>0,所以一2<m<2,

_3

直線直線斜率為“_y'~2,

K

PA-1

X1-1

_3

直線PB直線斜率為“_y2~2,

KpB—1

%2T

_3_3

則”=/一/?必一2二（2y—3）（4—1）+（2為一3）（3—1）

PB

弘~^-1x2-l~2（X1-1）（X2-1）

(2%-3)(蒼-1)+(2%-3)(%-1)

=(玉+2m—3)(々—1)+(入2+2m-3)(石-1)

=2菁%2+Q加一4)(菁+x2)+6—4m

二2(m2—3)+(2m-4)(-m)+6-4m=0

所以，kPA+kPB=0,即直線外的斜率與直線形的斜率互為相反數,

3

故直線與直線關于y=5對稱，

因此|PM|=|PN|.

\PM\

故+h|PN|=1

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現幾何

特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數法，若題目的條件能體現一種明確的函數關系，則可

首先建立目標函數，再求這個函數的最值.

21.若無窮數列｛4｝滿足：EmeN*-對于V（%eN*）,都有號=4（其中q為常數），則稱

｛%,｝具有性質.

（1）若｛4｝具有性質“。（4,2,3）”，且為=1，%=2,ab+a9+an=20,求出；

（2）若無窮數列也｝是等差數列，無窮數列匕｝是公比為2的等比數列，d=0=4,bl+Cl=c2,

a?^bn+cn,判斷｛4｝是否具有性質“Q（2,l,3）”，并說明理由；

（3）設｛4｝既具有性質，又具有性質，其中i，jeN*,i<j,求證：

'jT、

j

｛q,｝具有性質“Qj-i,i+l,q2”.

7

【答案】（1）-

3

(2)｛qJ不具有性質“Q(2,l,3)”，理由見解析

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由｛4｝具有性質“。(4,2,3)”，可得當“22時，—=3,結合題意計算即可得；

an

(2)由題意計算出4通項公式后，檢驗4電是否恒等于3即可得；

(3)借助｛%｝既具有性質“。億1,1)”，又具有性質，則當"21時，有也=/，

an

—=q2,則有?義也義x2=/,><3=4,通過運算得到端=色,從而可驗

an4。2ajqa2ai

j-i

證對任意的“Ni+1時，是否有他匚二%