二次函數與幾何的動點及最值、存在性問題2025中考

數學專項復習含答案

二次函數與幾何的動點及最值、存在性問題

目錄

重難點題型突破

題型川平行”軸動線段最大值與最小值問題

題型02拋物線上的點到某一直線的距離問題

題型03已知點關于直線對稱點問題

題型04特殊角度存在性問題

題型05將軍飲馬模型解決存在性問題

題型06二次函數中面積存在性問題

題型07二次函數中等腰三角形存在性問題

題型08二次函數中直角三角形存在性問題

題型09二次函數中全等三角形存在性問題

題型10二次函數中相似三角形存在性問題

題型11二次函數中平行四邊形存在性問題

題型12二次函數中矩形存在性問題

題型13二次函數中菱形存在性問題

題型14二次函數中正方形存在性問題

重難點題型突破

二次函數常見存在性問題：

（1）等線段問題:將動點坐標用函數解析式以“一母式”的結構表示出來，再利用點到點或點到直線的距離公式列

出方程或方程組，然后解出參數的值，即可以將線段表示出來.

【說明】在平面直角坐標系中該點在某一函數圖像上，設該點的橫坐標為小,則可用含加字母的函數解析式來表

示該點的縱坐標，簡稱“設橫表縱”或“一母式”.

（2）平行"軸動線段最大值與最小值問題:將動點坐標用函數解析式以“一母式”的結構表示出來,再用縱坐標的

較大值減去較小值,再利用二次函數的性質求出動線段的最大值或最小值.

（3）求已知點關于直線對稱點問題：先求出直線解析式，再利用兩直線垂直的性質（兩直線垂直，斜率之積等于

—1）求出已知點所在直線的斜率及解析式，最后用中點坐標公式即可求出對稱點的坐標.

（4）“拋物線上是否存在一點，使其到某一直線的距離為最值”的問題:常常利用直線方程與二次函數解析式聯立

方程組，求出切點坐標，運用點到直線的距離公式進行求解._一

（5）二次函數與一次函數、特殊圖形、旋轉及特殊角度綜合：圖形或一次函數與c軸的角度特殊化,利用與角度有

關知識點求解函數圖像上的點，結合動點的活動范圍,求已知點與動點是否構成新的特殊圖形.

2.二次函數與三角形綜合

⑴將軍飲馬問題:本考點主要分為兩類：

①在定直線上是否存在點到兩定點的距離之和最小；

②三角形周長最小或最大的問題，主要運用的就是二次函數具有對稱性.

（2）不規則三角形面積最大或最小值問題:利用割補法將不規則三角形分割成兩個或以上的三角形或四邊形，在

利用“一母式”將動點坐標表示出來，作線段差，用線段差來表示三角形的底或高，用面積公式求出各部分面積,

各部分面積之和就是所求三角形的面積.將三角形的面積用二次函數的結構表示出來，再利用二次函數的性質

求出面積的最值及動點坐標.

（3）與等腰三角形、直角三角形的綜合問題:對于此類問題，我們可以利用兩圓一線或兩線一圓的基本模型來進

行計算.

問題分情況找點畫圖嗨

分別以點為圓分別表示出點P的坐

心，以AB長為半徑標,再表示出線段

以M

/畫圓,與已知直線的4P的長度，由①4E=HP；

為腰

等力.

---------------1交點即②⑧BP=心列

腰

已知點和直線為所求方程解出坐標

1,在1上求點P,使分別表示出點A,E,P的坐

角

△PAB為等腰三角作線段心的垂直平標，再表示出線段，B,HP,

形以他

形分線,與已知直線的AP的長度，由①AB=AP；

為底zSl,

交點尸3即為所求②③BP=AP列

解出坐標

問題分情況找點畫圖蜂

分別過點作

以心

直AB的垂線，與已知分別表示出點4,E,P的

為直角

角直線的交點即坐標,再表示出線段的，

邊p,/>------

已知點A,B和直線1,為所求的長度，由①心？

角在I上求點P,使以的中點Q為圓=BP+^P2j?BP2=i4B2

，上

形△P4B為直角三角形以AB心，Q4為半徑作四，+AP21⑧AP=AB+BP2

為斜邊與已知直線的交點列方程解出坐標

—^PTP7

尸2,H即為所求

注:其他常見解題思路有：

①作垂直,構造“三垂直”模型,利用相似列比例關系得方程求解；

②平移垂線法:若以AB為直角邊，且AB的一條垂線的解析式易求（通常為過原點。與AB垂直的直線），可將

這條直線分別平移至過點A或點B得到相應解析式，再聯立方程求解.

MS

（4）與全等三角形、相似三角形的綜合問題:在沒有指定對應點的情況下，理論上有六種情況需要討論，但在實際

情況中，通常不會超過四種，要注意邊角關系,積極分類討論來進行計算.

情況一探究三角形相似的存在性問題的一般思路：

解答三角形相似的存在性問題時，要具備分類討論思想及數形結合思想，要先找出三角形相似的分類標準，一般

涉及動態問題要以靜制動，動中求靜，具體如下：

①假設結論成立,分情況討論.探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應點（尤其是以文字形式

出現求證兩個三角形相似的題目）,或者涉及動點問題，因動點問題中點的位置的不確定,此時應考慮不同的對

應關系，分情況討論；

②確定分類標準.在分類時,先要找出分類的標準，看兩個相似三角形是否有對應相等的角，若有，找出對應相

等的角后，再根據其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的條件;若沒有，則分別按三種角對應來分類討

論；

③建立關系式，并計算.由相似三角形列出相應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來（其長度

多借助勾股定理運算）,整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值,再通過計算得出相應

的點的坐標.

情況二探究全等三角形的存在性問題的思路與探究相似三角形的存在性問題類似，但是除了要找角相等外，還

至少要找一組對應邊相等.

3.二次函數與四邊形的綜合問題

特殊四邊形的探究問題解題步驟如下：

①先假設結論成立；

②設出點坐標，求邊長；

③建立關系式，并計算.若四邊形的四個頂點位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質進行計算;若四邊形的四

個頂點位置不確定，需分情況討論：

a.探究平行四邊形:①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對邊

相等進行計算;②以己知邊為平行四邊形的對角線，畫出所有的符合條件的圖形后,利用平行四邊形對角線互相

平分的性質進行計算;③若平行四邊形的各頂點位置不確定，需分情況討論,常以已知的一邊作為一邊或對角線

分情況討論.

b.探究菱形:①已知三個定點去求未知點坐標;②已知兩個定點去求未知點坐標，一般會用到菱形的對角線互相

垂直平分、四邊相等的性質列關系式.

c.探究正方形:利用正方形對角線互相垂直平分且相等的性質進行計算，一般是分別計算出兩條對角線的長度,

令其相等，得到方程再求解.

d.探究矩形:利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關系式求解;或根據鄰邊垂直，利用勾股定理列關系式求解.

題型01平行y軸動線段最大值與最小值問題

「題目0（2023?廣東東莞?一模）如圖,拋物線y=x2+bx+c與2軸交于4B兩點，與沙軸交于點C,OA=OC

=3,頂點為。.

MS

（1）求此函數的關系式；

（2）在AC下方的拋物線上有一點N,過點N作直線〃/g軸，交AC與點朋■，當點N坐標為多少時，線段

的長度最大？最大是多少？

（3）在對稱軸上有一點K,在拋物線上有一點L,若使A,B,K,L為頂點形成平行四邊形，求出K,乙點的坐

標.

（4）在y軸上是否存在一點E,使AADE為直角三角形，若存在,直接寫出點E的坐標;若不存在，說明理由.

、題目區（2023河南南陽?統考一模）如圖，拋物線與0軸相交于點4B（點A在點B的左側），與9軸的交于點

0（0,-4）,點P是第三象限內拋物線上的一個動點,設點P的橫坐標為小，過點P作直線PD_L2軸于點。,

作直線AC交PD于點E.已知拋物線的頂點P坐標為（—3,—學）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點A、B的坐標和直線AC的解析式；

⑶求當線段CP=CE時m的值；

（4）連接60,過點P作直線〃/交夕軸于點F,試探究:在點P運動過程中是否存在m,使得CE=DF,若

存在直接寫出機的值;若不存在,請說明理由.

MS

1題目叵〕（2023?山東聊城?統考三模）拋物線y=-x2+bx+c與2軸交于點人（3,0）,與沙軸交于點。（0,3）,點P

為拋物線上的動點.

⑴求b,c的值；

（2）若P為直線力。上方拋物線上的動點，作軸交直線力。于點〃，求的最大值；

（3）點N為拋物線對稱軸上的動點,是否存在點N,使直線4。垂直平分線段PN?若存在，請直接寫出點N

的縱坐標;若不存在,請說明理由.

題型02拋物線上的點到某一宜線的距離問題

［題目工（2023.廣東梅州?統考二模）探究求新：已知拋物線G「y=上書2—2,將拋物線G平移可得到拋物

2

線G2:y=-^x.

（1）求拋物線G平移得到拋物線G2的平移路徑；

（2）設T（0J）,直線Z：沙=-力,是否存在這樣的力，使得拋物線G2上任意一點到T的距離等于到直線I的距離？

若存在，求出t的值;若不存在,試說明理由；

（3）設H（0,l）,Q（l,8）,“為拋物線G2上一動點，試求QM+的最小值.

參考公式:若點,N（，2,納）為平面上兩點,則有MN=/（7一電廠+出一統廠.

MS

1題目②（2023?湖北宜昌?統考一模）如圖，已知:點P是直線八夕=，一2上的一動點，其橫坐標為m（m是常

數），點加■是拋物線C：沙="+2771,—2m+2的頂點.

⑴求點河的坐標；（用含m的式子表示）

（2）當點P在直線I運動時，拋物線。始終經過一個定點N,求點N的坐標,并判斷點N是否是點河的最高位

置？

（3）當點P在直線I運動時,點河也隨之運動,此時直線I與拋物線。有兩個交點A,B（A,B可以重合），A,

B兩點到"軸的距離之和為d.

①求小的取值范圍；

②求d的最小值.

題目回（2023?云南楚雄?統考一模）拋物線y=1—2c—3交必軸于A,B兩點（4在B的左邊），。是第一象限

拋物線上一點,直線AC交y軸于點P.

（1）直接寫出兩點的坐標；

⑵如圖①，當OP=時,在拋物線上存在點。（異于點B）,使兩點到AC的距離相等,求出所有滿足

條件的點。的橫坐標；

（3）如圖②，直線BP交拋物線于另一點E,連接CE交v軸于點F,點。的橫坐標為小,求巖的值（用含小

的式子表示）.

MS

題型03已知點關于宜線對稱點問題

題目工（2023?遼寧阜新?統考中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，二次函數y^-x2+bx—c的圖象與立軸交

于點A（-3,0）和點B（l,0）,與9軸交于點C.

圖1圖2

⑴求這個二次函數的表達式.

（2）如圖1,二次函數圖象的對稱軸與直線人。夕=2+3交于點D,若點是直線AC上方拋物線上的一個動

點,求4MCD面積的最大值.

（3）如圖2,點P是直線AC上的一個動點，過點P的直線，與BC平行，則在直線I上是否存在點Q,使點B與

點P關于直線CQ對稱？若存在,請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

題目②（2023?四川甘孜?統考中考真題）已知拋物線y=2?+bx+c與c軸相交于人（一1,0）,B兩點，與沙軸相

交于點C（O,-3）.

⑴求b,c的值；

（2）P為第一象限拋物線上一點，4PBC的面積與△ABC的面積相等,求直線AP的解析式；

（3）在（2）的條件下，設E是直線6。上一點，點P關于AE的對稱點為點P,試探究,是否存在滿足條件的點

E,使得點P恰好落在直線BC±,如果存在,求出點P'的坐標;如果不存在，請說明理由.

MS

1題目①（2023?江蘇連云港?連云港市新海實驗中學校考二模）如圖，“愛心”圖案是由拋物線y=-/+神的一部

分及其關于直線y=-x的對稱圖形組成,點E、F是“愛心”圖案與其對稱軸的兩個交點，點A、B、C、D是該

圖案與坐標軸的交點，且點。的坐標為（V6.0）.

⑴求力的值及的長；

⑵求EF的長；

（3）若點P是該圖案上的一動點，點P、點Q關于直線y=-x對稱，連接PQ,求PQ的最大值及此時Q點的

坐標.

題型04特殊角度存在性問題

題目工（2023?山西忻州?統考模擬預測）如圖，拋物線y=奸+%—2與c軸交于48兩點，與y軸交于點

C.P是直線AC下方拋物線上一個動點，過點P作直線Z〃BC,交于點。，過點P作PE，/軸，垂足

為E,PE交AC于點,F.

（1）直接寫出A,。三點的坐標，并求出直線AC的函數表達式；

（2）當線段PF取最大值時,求4DPF的面積；

（3）試探究在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得ACAQ=45°?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存

在,請說明理由.

MS

1題目②(2023?山西運城?校聯考模擬預測)綜合與探究

如圖,拋物線V=a/+ba；+3與多軸交于48兩點，與v軸交于點。，直線，與拋物線交于A(-6,0),

。(—1,5)兩點，點P是直線AD上方拋物線上一點，設點P的橫坐標為m,過點P作PE，人。于點E.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)當PE的長最大時,求線段PE的最大值及此時點P的坐標；

(3)連接BC,OP,試探究:在點P運動的過程中，是否存在點P,使得AOPE=/B8,若存在,請直接寫出

力的值;若不存在,請說明理由.

題目①(2023?湖南郴州?統考中考真題)已知拋物線y=ax2+bx+4與2軸相交于點A(l,0),8(4,0)，與?/軸

相交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

⑵如圖1,點P是拋物線的對稱軸I上的一個動點，當AFAC的周長最小時，求修的值；

(3)如圖2,取線段OC的中點。，在拋物線上是否存在點Q,使tan/QDB=]?若存在，求出點Q的坐標;

若不存在,請說明理由.

MS

題型05將軍飲馬模型解決存在性問題

題目工（2023?廣東湛江?校考一模）拋物線y=ax2+bx+2與。軸交于點A（—3,0）,B（l,0）,與9軸交于點C.

（2）求拋物線的解析式

（3）在拋物線對稱軸上找一點河，使△7WBC的周長最小，并求出點河的坐標和△7WBC的周長

（4）若點P是加軸上的一個動點,過點P作PQ//BC交拋物線于點Q,在拋物線上是否存在點Q,使3、C、

P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點Q的坐標，若不存在請說明理由.

題目②（2023?河南周口?校聯考三模）如圖，拋物線y=-^+bx+c交2軸于點A,B&y軸于點。，連接

AC,點A的坐標為（—2,0），拋物線的對稱軸為直線田=1.

圖1備用圖

（1）求拋物線的表達式和頂點坐標；

（2）在直線，=1上找一點P,使PA+PC的和最小，并求出點P的坐標；

（3）將線段AC沿x軸向右平移a個單位長度，若線段AC與拋物線有唯一交點,請直接寫出a的取值范圍.

MS

趣目瓦（2023?黑龍江齊齊哈爾?校聯考一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx-3的圖象與力軸交于點4（1,0）和

點B（3,0）,與V軸交于點C,D是拋物線的頂點，對稱軸與c軸交于E.

（1）求拋物線的解析式；

⑵如圖1,在拋物線的對稱軸DE上求作一點使/\AMC的周長最小,并求出點M的坐標和周長的最小

值；

（3）如圖2,點P是c軸上的動點,過P點作，軸的垂線分別交拋物線和直線BC于F、G.設點P的橫坐標

為m.是否存在點P,使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值;若不存在,請說明理由.

題型06二次函數中面積存在性問題

「題目工（2023?黑龍江雞西?校考模擬預測）如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+8交c軸于4B

兩點，交沙軸于點。，連接AC、BC,4B=AC,tan/4BC=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點G,使直線BG將AABC的面積分成1:2的兩部分,若存在，求點G的橫坐標；

若不存在,請說明理由.

1題目②（2023?廣東汕頭?統考二模）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB,。為坐標原點，。人=1,

tanZBAO=3，將此三角形繞原點。逆時針旋轉90°,得至U△。。。,拋物線y=ax2+bx+c經過點A,B,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為方，

①是否存在一點P,使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由.

②設拋物線對稱軸I與2軸交于一點及連接PE,交CD于F,直接寫出當4CEF與4COD相似時，點P的

坐標；

題目包（2023?遼寧盤錦?校聯考二模）如圖,拋物線y=ax2+bx+3經過4（—1,0）、B（3,0）兩點，交《軸于C,

備用圖

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點Q,使△QPB與4EPB的面積相等,若存在，請求出點Q的坐標;若不存在，說明

理由.

（3）拋物線上存在一點G,使AGBA+=45°,請求出點G的坐標.

［題目④（2023?湖北荊州?統考中考真題）已知：y關于#的函數y=（a-2）/+（a+1）?+b.

（1）若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，且a=46,則a的值是；

（2）如圖，若函數的圖象為拋物線，與,軸有兩個公共點4（一2,0）,2（4,0）,并與動直線Z:c=nz（0<?nV4）交

于點P,連接PA,PB,PC,其中PA交?/軸于點。，交BC于點E.設&PBE的面積為&,/\CDE的面

積為$2.

①當點P為拋物線頂點時，求的面積；

②探究直線Z在運動過程中，S—S2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值;若不存在，說明理由.

題型07二次函數中等腰三角形存在性問題

題目工（2023?廣東湛江?統考三模）如圖，直線沙=2+3與2軸交于點4與沙軸交于點。，拋物線y=-x2-2x

+3與，軸交于A,B兩點，與y軸交于點。.

（1）如圖①，連接BC,在夕軸上存在一點D,使得ABCB是以BC為底的等腰三角形，求點。的坐標；

（2）如圖②，在拋物線上是否存在點E,使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點E的坐標;若

不存在，請說明理由；

（3）如圖③，連接BC,在直線AC上是否存在點F,使ABCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點F

的坐標;若不存在,請說明理由；

（4）如圖④，若拋物線的頂點為H,連接,在立軸上是否存在一點K,使△4所是等腰三角形？若存在，求

出點K的坐標;若不存在,請說明理由；

（5）如圖⑤，在拋物線的對稱軸上是否存在點G,使AACG是等腰三角形?若存在，求出點G的坐標；若不存

在,請說明理由.??

1題目②（2023?遼寧阜新?阜新實驗中學校考二模）如圖,拋物線y=/+陵+c（b、c是常數）的頂點為。，與，軸

交于A、B兩點，其中4（1,0）,8（—3,0）,點P從入點出發,在線段AB上以1單位長度/秒的速度向B點運

動，運動時間為t秒0VtV4,過P作PQ〃BC交AC于點Q.

（2）當t為何值時，△CPQ的面積最大？并求出△CPQ面積的最大值；

（3）點P出發的同一時亥1|,點”從B點出發，在線段BC上以空單位長度/秒的速度向。點運動，其中一個

點到達終點時,另一個點也停止運動,在運動過程中，是否存在某一時刻t,使△BMP為等腰三角形,若存在,

直接寫出P點坐標;若不存在,請說明理由.

［題目①（2023?海南海口海師附中校考三模）如圖,拋物線y=ax2+3x+c（aW0）與①軸交于點4（—2,0）和點

B，與"軸交于點。（0,8）,頂點為。，連接AC,CD,是第一象限內拋物線上的動點，連接PB,PC,設

點P的橫坐標為九

⑴求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，/業少。的面積最大？并求出最大面積；

（3）M為直線BC上一點,^MO+MA的最小值；

（4）過P點作PELc軸，交于E點.是否存在點P,使得△PEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點

P的坐標;若不存在,請說明理由.

（2023?廣東東莞?東莞市東莞中學松山湖學校校考二模）如圖，二次函數"=^-x2+bx--的圖象與必

軸交于點4（—3,0）和點B,以AB為邊在工軸上方作正方形ABCD,點、P是工軸上一動點,連接DP,過點P

作DP的垂線與y軸交于點E.

備用圖

（1）6=______；點。的坐標:______；

（2）線段AO上是否存在點P（點P不與A、。重合）,使得OE的長為弓？若存在，請求出點P,若不存在,請

說明理由.

（3）在c軸負半軸上是否存在這樣的點P,使"ED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時

△FED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請說明理由.

題型08二次函數中宜角三角形存在性問題

〔題目〔1〕（2023?遼寧營口?校聯考一模）已知直線，與工軸、沙軸分別相交于41,0）、6（0,3）兩點,拋物線y=ax2

-2ax+a+4：（a<0）經過點B,交力軸正半軸于點C.

（1）求直線I的函數解析式和拋物線的函數解析式；

（2）在第一象限內拋物線上取點河,連接⑷求△⑷WB面積的最大值及點河的坐標.

（3）拋物線上是否存在點P使△CBP為直角三角形,如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明

理由.??

1題目②（2023?江蘇連云港?校聯考三模）如圖，二次函數y=ax2+4x+c的圖象與多軸交于4B兩點與y軸交

于點C,B點坐標（-1,0）,。點坐標（0,5）.

備用圖

（1）求拋物線的函數關系式和點A坐標；

（2）在拋物線上是否存在點P,使得△ACT是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的

點P的坐標;若不存在，說明理由；

（3）過拋物線上的點Q作垂直于y軸的直線，交9軸于點E,交直線AC于點。，過點。作①軸的垂線，垂足

為F,連接EF,當線段EF的長度最短時，求出點Q的坐標.

題目①（2023?廣東珠海?統考一模）如圖,拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸為直線①=2,并且經過點4（-2,0）,

交，軸于另一點B,交沙軸于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線BC上方的拋物線上有一點P,求點P到直線BC距離的最大值及此時點P的坐標；

（3）在直線5。下方的拋物線上是否存在點Q,使得△QBC為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標;

若不存在,請說明理由.

1題目④(2023?湖北鄂州?統考二模)如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點4―1,0),B(3,0),C(0,—3),點P在第

四象限的拋物線上，AP交直線BC于點O.

備用圖

(1)求該拋物線的函數解析式；

(2)當點P的橫坐標為1時，求四邊形BOCP的面積；

(3)連接PC,AC,記△DPC的面積為&,記△D4C的面積為S2，求獸的最大值及此時點P的坐標；

(4)在(3)的條件下試探究:該拋物線上是否存在點Q,使△APQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的

橫坐標;若不存在,請說明理由.

題型09二次函數中全等三角形存在性問題

題目0(2023?甘肅隴南?統考一模)如圖,拋物線y=ax2-2x+c與c軸交于A(-l.O),B兩點，與y軸交于點

C(0,-3).

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)已知點F(m,n)在拋物線上，當一1＜小＜3時,直接寫出n的取值范圍；

(3)拋物線的對稱軸與多軸交于點M,點D坐標為(2,3),試問在該拋物線上是否存在點P,使△ABF與

△ABD全等?若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標;若不存在,請說明理由.

MS

題目區（2023?陜西咸陽?統考三模）如圖,拋物線y=卡―22+3與，軸交于46兩點，拋物線的頂點為C,

對稱軸為直線Z,，交立軸于點。.

⑴求點4B、C的坐標；

（2）點P是拋物線上的動點，過點。作。加，沙軸于點河，點N在v軸上，且點N在點M上方,是否存在這樣

的點P、N,使得以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等,若存在,請求出點P、N的坐標;若不存在,請

說明理由.

【題目①（2023?陜西西安?西安市第二十六中學校考模擬預測）如圖,拋物線與立軸交于點。和點B,頂點為

A（l,1）,直線夕=c—2經過點B,且與拋物線交于點C.

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）若N為立軸上的一個動點，過點N作軸與拋物線交于點/■，是否存在以上LN為頂點的

/XONM，使得△ONM和△ABC全等？若存在，請求出點N的坐標;若不存在，請說明理由.

題型10二次函數中相似三角形存在性問題

題目工（2023?廣東汕尾?統考二模）如圖，拋物線與7軸交于A、B兩點（B在A的左邊）,與沙軸交于點

。（0,3）,頂點為。（一1,4）.

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）如圖，若點P是第二象限內拋物線上的一動點，過點P作?，力軸于點交BC于點E,連接PC,是

否存在點P,使得4PCE與相似？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

題目句（2023廣東潮州?統考三模）如圖,拋物線y^-x2+bx+c與c軸分別交于點A（T,0）、B（3,0）,與9

軸交于點。，頂點為。，對稱軸交c軸于點Q.

（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；

（2）點P是拋物線的對稱軸上一點，以點P為圓心的圓經過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得■與△BQC相似？如果存在,求出點河的坐標;如果不

存在,請說明理由.

1題目①（2022.廣東佛山.統考模擬預測）如圖，已知拋物線沙=a/+ba:+6經過兩點A（T,0）,5（3,0）,。是拋

物線與沙軸的交點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點F（m,n）在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設△PBC的面積為S,求S關于m的函數表

達式（指出自變量小的取值范圍）和S的最大值；

（3）點”在拋物線上運動，點N在沙軸上運動，是否存在點M、點、N使得2CMN=90°，且△CMN與△OBC

相似，如果存在，請求出點河和點N的坐標.

題目回（2023?山西太原?山西實驗中學校考模擬預測）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數g=九±+4（小力0）的圖象交必軸于A,B兩點，交v軸于點。，點

A的坐標為（―3,0）,點B的坐標為（1,0），以OA,OC為邊作矩形OAZX7,且邊CD交二次函數的圖象于點

⑴求二次函數的表達式.

（2）現有一條垂直于2軸的直線c=a在4。兩點間（不包括A,O兩點）左右移動，分別交8軸于點E,交

8于點F,交AC于點P,交二次函數的圖象于點Q,請用含a的代數式表示QP的長.

（3）在（2）的條件下，連接QC,則在CD上方的二次函數的圖象上是否存在這樣的點Q,使得以Q,C,F為頂

點的三角形和△AEP相似？若存在，直接寫出a的值;若不存在，請說明理由.

題型11二次函數中平行四邊形存在性問題

題目不（2023?湖北武漢?校聯考模擬預測）如圖，拋物線F:y=ax2-2ax—8a（a>0）與。軸交于A,6兩點，與

9軸交于點。，直線c=3交①軸于點。.

⑴若08=0。,直接寫出拋物線的解析式；

⑵如圖1,已知點E在第四象限的拋物線上,在線段OD和直線c=3上是否存在F,G兩點，使得C,E,F,

G為頂點的四邊形是以CF為一邊的矩形？若存在，求點F的坐標;若不存在，說明理由；

（3）如圖2,將拋物線F平移,使其頂點落在軸上的點P（0,十）處,得到拋物線G,直線與拋物線G只有一

個公共點與2軸交于點N,定點。在夕軸正半軸上,且滿足ZMQN=90°,求此時點Q的坐標.

題目（2023?廣東東莞三模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB相交于4B

兩點，其中4（—3,—4）,B（0,—l）.

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點,連接PA,PB，求AF4B面積的最大值；

（3）若點河為拋物線對稱軸上的點,拋物線上是否存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四

邊形？如果存在，請求出點N的坐標;如果不存在,請說明理由.

2

題目包（2023?湖南岳陽?校聯考一模）如圖，拋物線y=j-x-2x—6與c軸相交于點4點B,與y軸相交于點

A\O

備用圖

（1）請直接寫出點A,B,。的坐標；

（2）若點P是拋物線6。段上的一點,當的面積最大時求出點P的坐標，并求出△尸面積的最大

值；

（3）點F是拋物線上的動點，作EF〃入。交，軸于點E,是否存在點使得以A、C、E、F為頂點的四邊形

是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標;若不存在，請說明理由.

題目④（2023?湖北恩施?統考一模）如圖,在平面直角坐標系中，拋物線?/="+法+c與直線交于點

A（0,-2）,5（2,0）.

⑴求直線AB的解析式；

（2）求該拋物線的解析式；

（3）點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作2軸的平行線交AB于點。，過點P作夕軸的平行線交

立軸于點D.

①在P點的運動過程中是否存在四邊形PCDB為平行四邊形，若不存在，請說明理由;若存在，請求點P的

坐標；

②求PC+PD的最大值及此時點P的坐標.

題型12二次函數中矩形存在性問題

題目工(2022?黑龍江齊齊哈爾?校考一模)如圖，拋物線y=—/+五+c與c軸交于4(—1,0)、3(3,0)兩點，D

為拋物線上的一點，連接AD與9軸交于點C,CD=4AC,E為拋物線在,軸上方的一動點，連接AE、CE.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。的坐標為；

(3)求△ACE的面積的最大值及此時點E的坐標；

(4)點P是拋物線上一點,在平面內是否存在點Q,使以A、D、P、Q為頂點的四邊形是以AO為邊的矩形？

若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

:題目區(2023?海南?統考中考真題)如圖1,拋物線y=^+bx+c交2軸于A,B(3,0)兩點，交沙軸于點

C(0,-3).點P是拋物線上一動點.

(1)求該拋物線的函數表達式；

⑵當點P的坐標為(1,—4)時，求四邊形BACP的面積；

(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q,使得以B,C,P,Q為頂點的四邊形是矩

形？若存在，請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由；

(4)如圖2,點。是拋物線的頂點,過點D作直線〃沙軸，交立軸于點H,當點P在第二象限時，作直線

PA,PB分別與直線DH交于點G和點/，求證:點。是線段/G的中點.

MS

1題目叵〕（2023?山西晉中?校聯考模擬預測）綜合與探究

如圖，拋物線y=-x2+bx+c的頂點為。（1,4）與c軸交于A和B兩點，交y軸于點C.

（1）求拋物線的函數表達式及點A、B、。的坐標；

（2）如圖1,點P是直線3。上方的拋物線上的動點,當△BCP面積最大時，求點P的橫坐標；

（3）如圖2,若點/■是坐標軸上一點，點N為平面內一點，是否存在這樣的點，使以3、為頂點的四邊

形是以為對角線的矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在,請說明理由.

題型13二次函數中羲形存在性問題

:癲目Q（2023?西藏?統考中考真題）在平面直角坐標系中,拋物線y=-^+bx+c與2軸交于A（-3,0）,

B（l,0）兩點，與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖甲，在沙軸上找一點。，使4ACD為等腰三角形,請直接寫出點。的坐標；

（3）如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點,是否存在P、Q兩點使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是菱形?

若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在,請說明理由.

MS

、題目區（2022.陜西.校考模擬預測）如圖，一次函數夕=鼻+V3的圖象與坐標軸交于點4二次函數y=

（1）求二次函數解析式；

（2）點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C、P是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q,使得以B、C、

P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出Q點坐標:若不存在,請說明理由.

［題目區（2023?山西忻州?校聯考模擬預測）綜合與探究

如圖，二次函數沙=一/+阮+。的圖像與多軸交于43兩點,與沙軸交于點。,點人的坐標為（一4,0）,且

OA=OC,E是線段上的一個動點，過點E作直線EF垂直于x軸交直線力。和拋物線分別于點D、F.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點E的橫坐標為當m為何值時，線段DF有最大值,并寫出最大值為多少；

（3）若點P是直線AC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q,使以點P、Q、8、C為頂點的四邊形是菱

形？若存在，請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

MS

題型14二次函數中正方形存在性問題

題目Q（2023?遼寧阜新?阜新實驗中學校考一模）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-3與。軸交

于4T，0），5（3,0）兩點，與？/軸交于點。，點P為拋物線上的動點.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）點D為直線v=①上的動點，當點P在第四象限時，求四邊形PBDC面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）已知點E為2軸上一動點，點Q為平面內任意一點,是否存在以點P,C,E,Q為頂點的四邊形是以PC

為對角線的正方形，若存在,請直接寫出點Q的坐標，若不存在,請說明理由.

題目②（2023?湖南岳陽?統考中考真題）已知拋物線Qi%=——+歷;+c與多軸交于4（—3,0）,B兩點，交y軸于

點。（0,3）.

（2）如圖1,在沙軸上有一點。（0,-1）,點E在拋物線Q上,點F為坐標平面內一點，是否存在點使得四

邊形DAEF為正方形？若存在,請求出點及F的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2,將拋物線Q向右平移2個單位,得到拋物線Q?，拋物線Q2的頂點為K，與￡軸正半軸交于點H,

拋物線Q上是否存在點P,使得/CPK=/CHK?若存在，請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

MS

：題目回(2023?山西晉中?山西省平遙中學校校考模擬預測)如圖，二次函數夕=—/+2c+3的圖象與多軸交于

兩點(點A在點B左側)，與沙軸交于點C.連接BC.點P是拋物線第一象限內的一個動點，設點P的

橫坐標為小，過點P作直線軸于點O.交BC于點E.過點P作BC的平行線，交"軸于點

(1)求A,B,C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；

(2)在點P的運動過程中，求使四邊形C