考點清單6.2相似三角形的熱考幾何模型

（12種題型解讀+8種方法解讀）

半角模型利用"A型''或"X型〃模型求線段的長

對角互補模型"A"字相似模型

三平行模型“8〃字相似模型

相似三角形的熱考幾何模型

角平分線分線段成比例模型一線三等角相似模型

飛魚模型三角形內接矩形模型

手拉手模型射影定理

強型陸單

解題方法：當“A型”或“X型”在幾何圖形中出現時，我們可以利用平行線分線段成比例定理及推論建立有關線L

段的比例式，把線段的長代人比例式，通過解方程求出線段的長

1.（24-25九年級上?安徽六安?期中）如圖，在AaBC中，點。為AC上一點，且黑=g過點。作DEIIBC交

AB于點E,連接CE,過點。作DF||CE交4B于點尸.若4B=15,求EF的長.

2.（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）如圖，直線川Bllb，分別交直線小，n于點4B,C,D,E,F,若

AB=6,BC=10,DF=24,求DE的長.

3.(24-25九年級上?海南?階段練習)閱讀材料，并解決問題.

角平分線分線段成比例定理：如圖①，在△ABC中，AD平分NB4C,則簧=黑，下面是這個定理的部分證

明過程.

證明：如圖②，過點C作CEIID4交的延長線于點E.

E

CDBBDEC

③④

(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)填空：如圖③，已知Rt△力BC中，AB=3,BC=4,/.ABC=90°,4。平分乙B4C,則8。的長是一；

(3)如圖④，在△ABC中，E是BC的中點，力。是NBAC的平分線，EFIRD交4C于點F,AB=7,AC=15,

求4尸長.

【考點題型二】“A"字相似模型

類型-基礎-變形一

A字模型」反A字模型-注邊反A字模型-剪刀反A字模型?

條件-DE〃BC-Z1=Z2PZ1=Z2P

.4

圖示-/

A

BD

BCA

BAC4BCp

結論-AADEsAABCdAADEsAABC.AACDSAABCUAADEc^AABCu

,4C，=AD?AB99

4.(23-24九年級上.北京昌平.期中)如圖，在ATIBC中，NC=90。，點。在AC上，DE12B于點E.

A

(1)求證：AADE-AABC；

(2)XC=4,48=5且4。=3,求力E的長.

5.(24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習)如圖，。是ANBC的邊4B上一點，連接CD,若乙4CD=AB,

(1)求證：△ACDsAABC

(2)若4。=2,BD=4,求AC的長.

6.(23-24八年級下?江蘇無錫?期末)［基礎學習］

(1)如圖1,在AABC中，D,E,F分別為力B,AC,BC上的點，DE||BC,4F交DE于點G,求證：嶺=

BF

CF

圖1

［嘗試應用］

(2)如圖2,已知D、E為△4BC的邊BC上的兩點，且滿足3BD=3DE=CE,一條平行于4C的直線分別

交48、4。和4E于點P、Q和M,求”的值.

A

圖2

［拓展提高］

（3）如圖3,矩形4BCD中力B=3a,4D=2a（a為常數），點E是矩形力B邊上的一個動點，延長至點

F,使4F=22E,連接DE,CF,DE與CF相交于點G,連接BG,求BG的最小值（用a的代數式表示）.

7.（24-25九年級上?四川內江?期中）（1）如圖1,在AABC中，E是4B上一點，過點￡作BC的平行線交

AC于點F.點。是BC上任意一點.連結力。交EF于點G,求證：笑=哭；

（2）如圖2,在⑴的條件下，連結BF,DF,若得=點且FE、FB恰好將Z4FD三等分.求黃的值;

（3）如圖3,在等邊AaBC中，DC-.DB=1:4,連結4D,點G在4。上，若NBGC=120。，求出的值.

【考點題型三】“8"字相似模型

類型e基礎Q變形4

正8字模型-反8字模型」剪刀反8字模型-

條件」AB〃CDQZA=2D或乙2B=zlC或d

B=Z.CQZBAO=ZODC^

圖示ABXB

A

DC

結論VAAOBsAcOgAAOBSADOC/ABDESACAE>

AAOBSADOB

8.（2021.山東聊城?一模）如圖，在平行四邊形4BCD中，點E是4。上一點，AE=2ED,連接BE交4C于

點G,延長BE交CD的延長線于點R則失的值為（）

9.（23-24九年級下?江蘇南京?自主招生）如圖，過點P作兩條直線分別與圓交于A,B和C,。兩點，分

別求證：PA-PB=PCPD.

10.（24-25九年級上?福建泉州?階段練習）如圖，BD,4C相交于點P,連接AB,BC,CD,DA,ADAP=

乙CBP.

DC

(1)求證：4ADPFBCP,并判斷AADP與ABCP是不是位似圖形？(不必說明理由)

(2)若AB=8,CD=4,DP=3,求力P的長.

IL(遼寧省錦州市第四中學教育集團2024—2025學年上學期九年級期中考試數學試卷)如圖，在梯形

4BCD中，AD||BC,AC與BD相交于點。，點E在線段OB上，4E的延長線與BC相交于點F,OD2=OB-

OE.

(1)求證：四邊形4FCD是平行四邊形；

(2)如果AE-AF=AD-BE,求證：AE-DC=AD-BE.

【考點題型四】一線三等角相似模型

12.(24-25九年級上?山西?期中)如圖，已知矩形紙片ABC。，AD=2CD-10,點E在CD上，把紙片沿

4E折疊，點。的對應點。'恰好落在BC上，則DE的長度為()

A.3B.20-10V3C.10-5V3D.2.5

13.（24-25九年級上?江蘇無錫?期中）如圖，點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上，且2E1EF.

⑴求證：AABEECF；

(2)若BE=3,EC=7,求CF的長.

14.（22-23九年級上?廣東深圳?期中）【基礎鞏固】（1）如圖1,在A4BC中,乙4cB=90°,4?=BC,。是

4B邊上一點，F是BC邊上一點，ACDF=45°.求證：AC-BF=AD-BD-,

【嘗試應用】（2）如圖2,在四邊形4BFC中，點。是4B邊的中點，乙4=AB=/CDF=45。，若AC=9,

BF=8,求線段CF的長.

【拓展提高】（3）在AABC中，48=4&28=45。，以4為直角頂點作等腰直角三角形ADE（其中

AD-.DE=1:V2）,點。在BC上，點E在2C上.若CE=2底求CD的長.

15.（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，在平面直角坐標系久Oy中，點2,點8在x軸上（點4在點

B的左側），且點4、B的橫坐標是方程/+2%-3=0的解，點C（0,3叫為y軸正半軸上一動點，連接2C,

（1）求點M的坐標；（用含皿的代數式表示）

⑵點N是點M關于x軸的對稱點，連接AN,CN,是否存在這樣的小值，使ACAN與△力。C相似？若存在,

請求出租的值；若不存在，請說明理由.

【考點題型五】三角形內接矩形模型

【提示】大招結論切勿死記硬背，解題時首先根據已知條件得到AAGFSAABC,從而得到G空F=蕓，再將相關數

BCAN

值代入求解.*

16.（2023九年級上?全國?專題練習）如圖，在AABC中，BC=12,高4。=6,正方形EFGH一邊在8C

上，點E,F分別在4B,4C上，AD交EF于點、N,求4N的長.

17.（24-25九年級上?遼寧營口?期中）如圖所示，有一塊三角形余料ABC,它的邊長=120,高2。=

80.要把它加工為矩形零件.

（1）如果使矩形的長為寬的兩倍，且長邊在BC上，其余兩個頂點分別在48、AC上，則加工成矩形零件的長

和寬分別是多少？

（2）如果要使加工的矩形零件面積最大，求矩形零件面積達到最大時的兩邊長.

18.（21-22九年級上?全國?課后作業）一塊直角三角形木板的面積為1.5m2,一條直角邊4B為1.5m,怎樣

才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說

明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留）.

19.(24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習)如圖，銳角A4BC中，BC=12,BC邊上的高AD=8,矩形

EFG”的邊GH在BC上，其余兩點E、F分另U在AB、AC上，且EF交AD于點K.

(1)求篙的值;

(2)設4K=x,矩形EFGH的面積為S.

①求S與比的函數關系式;

②請直接寫出S的最大值為

【考點題型六】射影定理

21.(24-25九年級上?四川眉山?期中)如圖，在AABC中，乙4cB=90。，CD14B于。,

B

(1)求證：CD2=AD?BD；

(2)若AC=4,AB=5,求CD的長.

22.(2024?江蘇徐州?中考真題)在AABC中，點。在邊4B上，若CD?=AD-DB,則稱點。是點C的“關聯

點

⑴如圖(1),在AABC中，若乙4c8=90。，CD于點D.試說明：點。是點C的“關聯點”.

(2)如圖(2),已知點D在線段4B上，用無刻度的直尺和圓規作一個△ABC,使其同時滿足下列條件：①點

。為點C的“關聯點”；②N2CB是鈍角(保留作圖痕跡，不寫作法).

(3)若A/IBC為銳角三角形，且點。為點C的“關聯點”.設=DB=n,用含m、n的代數式表示4c的

取值范圍(直接寫出結果).

23.(2024?山東濟南?中考真題)某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了

深入研究.

(一)拓展探究

如圖1,在A4BC中，/-ACB=90°,CD1AB,垂足為D.

(1)興趣小組的同學得出AC?=4。理由如下:

???乙ACB=90°?.?+=90°

??,Z.A=乙4ABCACD

???CD1AB

.??-=@______

AC

??.^ADC=90°

??.AC2=AD-AB

.??乙4+AACD=90°

???Z-B=?______

請完成填空：①;②;

(2)如圖2,尸為線段CD上一點，連接4F并延長至點E,連接CE,當"CE="FC時，請判斷A4EB的

形狀，并說明理由.

(二)學以致用

(3)如圖3,△力8c是直角三角形，乙ACB=90°,AC=2,BC=2正,平面內一點D,滿足連接

CD并延長至點E,且NCEB=NCBD,當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE的長.

【考點題型七】手拉手模型

模型詳解(一般三角形手拉手模型)：，

ID4c

條件：在AABC和ADE中，ZBAC=ZDAE,--=

,4DAE

解題策略：連接BD,CE,根據已知條件可證明AAB2AACE4

結論：AABDC^AACE,AADECOAABC1

24.(山西省臨汾市202—2025學年九年級上學期11月期中考試數學試題)綜合與探究

問題情境

小麗在學習全等三角形的知識時，發現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構

成.在相對位置變化時，始終存在一對全等三角形.它們類似大手拉著小手，這種模型稱為“手拉手模

型”.小麗進行了如下操作：

圖1圖2備用圖

(1)問題發現

如圖1,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,^AOB=/.COD=40°,連接AC,BD交于點M.小

麗發現這就是手拉手模型，易證AAOC三△B。。，進而可以得知：

①黑的值為;

DU

②乙4MB的度數為.

⑵類比探究

如圖2,在ACMB和△OCD中，若乙4OB=NC。。=90。，—=—=V3,連接4C交BD的延長線于點

DOBO

4。與BM交于點尸.小麗發現不等腰的三角形也可得到手拉手模型.請你求出此時裝的值及N4MB的度

數，并說明理由；

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將△OCD繞點。在平面內任意旋轉，AC,BD所在直線交于點若。。=1,OB=

V7,請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

25.(23-24八年級下.江蘇蘇州?階段練習)(1)【問題發現】如圖①，正方形ABC。，DEFG,將正方形

DEFG繞點。旋轉，直線AE、CG交于點P,請直接寫出線段力E與CG之間的數量關系是，位置關系

是;

(2)【拓展探究】如圖2,矩形ABC。，DEFG,AD=2DE,AB=2DG,AD=DG,將矩形DEFG繞￡)旋

轉；直線4E,CG交于點P,(1)中線段之間的關系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線

段之間的關系；

(3)【解決問題】若2D=2DE=4,AB=2DG=8,矩形DEFG繞。旋轉過程中當點P與點G重合時，

26.(23-24九年級上?遼寧沈陽?階段練習)1.問題發現

圖(1),在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,AAOB=/.COD=35°,連接AC,BD交于點

①咚的值為;②乙4MB的度數為.

(2)類比探究

圖(2),在小。43和4OCD中，NAOB=乙COD=90°,AOAB=乙OCD=30°,連接力C,交BD的延長線于

點請計算片的值及乙4MB的度數；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，若。。=2,AB=8,將仆。。。繞點。在平面內旋轉一周.

①當直線DC經過點B且點C在線段80上時，求4C的長；

②請直接寫出運動過程中〃點到直線。B距離的最大值.

27.(2022?山東煙臺?中考真題)

(1)【問題呈現】如圖1,△A8C和△AOE都是等邊三角形，連接BQ,CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE^90°.連接B。，CE.請

直接寫出的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和△ADE都是直角三角形，ZABC^ZADE^90°,且黑=解=1連接

BCDE4

BD,CE.

①求的值；

CE

②延長CE交于點尸，交AB于點G.求sin/BFC的值.

【考點題型八】飛魚模型

28.(24-25九年級上?四川樂山?期中)如圖，AABC中，4。是BC邊上的中線，尸是4。上一點，有4尸:尸。=

2:3,連接CF,并延長交力B于E,貝|2E:EB等于()

￡

A.2:3B.1:4C.1:3D.1:2

29.（23-24九年級上?江蘇南京?階段練習）已知：如圖，AABC中，AE=CE,BC=CD,求證：ED=

3EF.

30.（24-25九年級上?福建泉州?期中）如圖，BD是AABC的中線，點E是8D的中點，延長4E交BC于點

F,若8c=6,則BF的長為.

31.（24-25九年級上?安徽滁州?期中）如圖，4。是△力BC的中線，點F是力。上一點，且DF=24F,連接

CF并延長交48于點E.

（1）若4E=1,求4B的長;

（2）求答的值.

Cr

32.（24-25九年級上?安徽亳州?階段練習）如圖，AD是AABC的中線，點M在4。上，連接并延長交4C

于點N.

【填空】

(1)若AM=DM,貝IjAN=_CN；

(2)若AM=2DM,貝iMN=_CN；

(3)若AM=3DM,則AN=_CN；

【論證】請選擇上述情況中的一種，畫出符合條件的圖形，并證明你的結論；

【猜想】若4M=九?！?，貝必N=_CN（用含〃的代數式表示，不用說明理由）.

【考點題型九】角平分線分線段成比例模型

33.（2024?吉林長春.三模）如圖①，4。是A4BC的角平分線.數學興趣小組發現結論：黑=裝.經過討

論得到如下3種證明思路：

思路1：過點。向NB4C兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結論；

思路2：過點C作的平行線，與4D的延長線相交，利用三角形相似證出結論；

思路3：過點C作的平行線，與B4的延長線相交，利用平行線分線段成比例證出結論.

圖①圖②

（1）請參考以上3種證明思路，選擇其中一種證出結論；

（2）在圖①中，4。是AABC的角平分線.若4B=6,AC=4,BC=7,貝加。的長度為；

（3）如圖②，在ATIBC中，Z.BAC=60°,ATlBC的角平分線B。、CE相交于點F,若黃=點則詈的值為

34.（23-24九年級上.江蘇淮安?階段練習）聰明好學的晨晨看到一課外書上有個重要補充：

角平分線定理：三角形一個內角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例，于是他就

和其他同學研究一番，寫出了已知、求證如下：“已知：如圖①，△ABC中，AD平分NB4C交BC于點

求證：.=組

CDAC

可是他們依然找不到證明的方法，經過老師的提示：過點8作BEII4C交AD延長線于點E,于是得到4

BDECDA,從而打開思路.

【問題初探】（1）請你按老師的提示或你認為其他可行的方法幫晨晨完成證明；

A

【現學現用】利用角平分線定理解決如下問題：

(2)已知，△ABC中，4D是角平分線，AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,貝UBD的長為_cm；

(3)如圖②，AABC中，AB=3cm,AC=5cm,點。是8c邊上一點，將△ABD沿著4。翻折，使得點B

與4C邊上的點E重合，若ACDE是直角三角形，求BC的長度.

圖②

【問題解決】

(4)如圖③，已知反比例函數丫=2，點A是該圖象第一象限上的動點，連接4。并延長交另一支于點

B,以4B為斜邊作等腰直角△ABC,頂點C在第四象限，4C與無軸交于點尸，連接BP,點A在運動過程

中，是否存在/力PB=NA8P+4NP8C的情況？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

35.(23-24九年級上?山西大同?期末)閱讀以下材料，并完成相應的任務：

角平分線分線段成比例定理的認識

定理：三角形內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例，即：如圖①，在A4BC

中，AD平分NB4C,貝=M

綜合與實踐課上，“奮斗”小組利用不同的方法驗證出該定理的正確性.

方法一：證明：如圖②，過點D作。E||C4交線段4B于點E

(1)填空：方法1中的依據1指的是,依據2指的是

(2)“方法二”給出了這個定理的部分證明過程，請按照材料中的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(3)如圖④，已知在RtAABC中，AB=3,BC=4,Z.ABC=90°,4。平分乙B4C,請你直接寫出線段4。的

長.

36.(23-24八年級下.江蘇淮安?階段練習)【結論提出工三角形的角平分線分對邊所成的兩條線段段比等

于夾這個角的兩條邊的比.

【思路說明】⑴已知：如圖1,zkABC中，4D平分NBAC交BC于。.試說明：居=震.

理由：過點C作CEII4D,交54延長線于點E,易得患=，

由CEIMD,AD平分NB4C,可得4E=,代入上式得生=

【直接應用】

(2)如圖2,RtAABC中，ZC=90°,4D平分NBAC交BC于。，若BD=15,CD=9,在不添加輔助線

的情況下直接寫出AB=_.

(3)如圖3,若四邊形4BCD為矩形，AB=10,AD=8,將△4DE沿力E翻折得至!]△4FE,延長EF、AF

分別交4B,BC于〃、H兩點，當=時.

①求的長；

②直接寫出翳=_.

【拓展延伸】

(4)如圖4,若平行四邊形2BCD中4B=6,BC=5,4ABe=60°,當點E為力B邊的三等分點時，將小

BCE沿CE翻折得到ACFE,直線EF與BC所在直線交于點P、與AD所在直線交于點0,請直接寫出4Q的

長一.

【考點題型十】三平行模型

條件=AB//EF〃Cg

37.(23-24九年級上.山東聊城.階段練習)如圖：ADWEGWBC,EG分別交力B、DB、AC于點E、F、G,已

知力。=6,BC=9,AE=9,4B=12,則FG=

38.（21-22九年級上?安徽安慶?期中）圖，ABWGHWCD,點”在BC上，AC與8。交于點G,AB=2,CD

=3,求G8的長.

39.（24-25九年級上?廣西百色?期中）如圖，平行四邊形4BCD的對角線AC、BD交于點。，CE平分ABCD交

AB于點E,交BD于點F,S.^ABC=60°,AB=2BC,連接?！晗麓?J結論：?EO1AC；@S^A0D=

4SAOCF；③4C:BD=舊:7；④FB2=OF-DF.其中正確的結論有（）

--------------

A.①②③B.①③④C.②③④D.④

40.（2024?江蘇鹽城?模擬預測）請閱讀下列材料，完成相應的任務：

有這樣一個題目：設有兩只電阻，分別為名和&，問并聯后的電阻值氏是多少？

我們可以利用公式3=《+《，求得R的值，也可以設計一種圖形直接得出結果

如圖①，在直線/上任取兩點A、B,分別過點A、8作直線/的垂線1，BD=R2,且點C、。位于直線/

的同側，連接2。、BC,交于點E,則線段EF的長度就是并聯后的電阻值R.

證明：?:EF1I,CA1I,

:.乙EFB=/.CAB=90°,

又,：乙EBF=ACBA,

：.AEBF八CBA（依據1）,

隱盜(依據2).

同理可得：￡=￡

.BF_^AF_EFEF

**ABAB-AC丁B。'

,dEFEF

??1=------t1-------，

ACBD

J_=J_.J_

EFAC丁BD

11,1

n即n：a=瓦+瓦.

任務:

(1)上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指:

依據1：;

依據2：；

(2)如圖②，兩個電阻并聯在同一電路中，已知％=3千歐，氏2=6千歐，請在圖③中(1個單位長度代表

1千歐)畫出表示該電路圖中總阻值R的線段長；

(3)受以上作圖法的啟發，小明提出了已知％和R,求的一種作圖方法，如圖④，作AaBC,NC=

90°MC=BC=Rlt過點B作BC的垂線，并在垂線上截取BD=R,使點。與點A在直線BC的同一側，作

射線2D,交C8的延長線于點￡,則BE即為你認為他的方法是否正確，若正確，請加以證明，請說明

理由.

41.(23-24九年級上?浙江杭州.階段練習)某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側都有路燈，發現

自己在兩路燈下的影長與自身的站定位置具有一定關系，小明從有關部門查得左側甲路燈Q4B)的高度為

4.8米，右側乙路燈(CD)的高度為6.4米，兩路燈之間的距離(BD)為12米，已知小明的身高(EF)為1.6

米，小明在兩路燈之間行走(如圖所示)，并測量相關數據.

⑴當小明站在人行橫道的中央時(即點F是BD的中點)，則小明在兩路燈下的影長之和PQ=米;

(2)當小明移動到某一點時，ACQP=45°,求影長FP的長度；

(3)當小明移動到某一點時，兩路燈產生的影長相等(FP=FQ),此時小明距離甲路燈多遠？

【考點題型十一】對角互補模型

42.(21-22九年級上?黑龍江雞西?期末)如圖，在RfANBC中，乙4BC=90。，AB=6,BC=8,在

MPN中，乙MPN=90°,點P在力C上，PM交力B于點E,PN交BC于點尸，當PE=2PF時，4P的長為

()

43.(2024?江蘇揚州?二模)如圖,已知△力BC中，NACB=90。,乙4=45。,48=6&,點。在邊4B上，

AD=2V2.數學老師讓同組的幾位同學用一塊含30。的三角板。EF,開展如下的數學探究活動：將△0第

繞著點。按順時針方向旋轉，旋轉過程中ADEF邊DE、DF始終分別與A4BC的邊AC、BC相交于點〃、

N.

(1)【特殊化感知】在三角板。EF的旋轉過程中，若。E14C,DF1BC,貝UAM+|BN=_

(2)【一般化研究】在三角板DEF的旋轉過程中，AM+：BN的值是否為定值，若是，求出這個定值；若不

是，說明理由；

(3)【拓展延伸】

①如圖1,在三角板DEF的旋轉過程中，求4ATBN的最大值；

②如圖2,連接MN,取MN的中點P,在旋轉過程中，求點N在從點C運動到點B的過程中，點尸運動的

路徑為

44.（2024?湖北隨州?模擬預測）點尸在四邊形力BCD的對角線4C上，直角三角板PEF的直角邊PE,PF分別

交力B,BC邊于點M,N.

圖1

【特例探究】（1）如圖1,若。是邊長為2的正方形A8CD對角線AC,8。的交點，當點P在點。處時，無

論三角板PEF繞點。怎樣轉動，我們發現，三角板與正方形重疊部分的面積總等于

【類比探究】（2）如圖2,在（1）的條件下，改變點P的位置（尸在對角線AC上），若胎=匕則有

PM=kPN.

下面是該結論的證明過程：

證明：過點尸作PGL4B于點G,作PH1BC于點孫

請按以上證明思路完成剩余的證明過程；

【遷移探究】（3）如圖3,在（2）的條件下，將“正方形力BCD”改為“矩形力BCD"，且4B=3,BC=4,

其他條件不變.若卜=|，且PE過點8