專題02走進幾何世界（考點清單，4個考點清單+17種題型解讀）

考曼帳單

【清單01豐富的圖形世界】

1、組成幾何圖形最基本的元素是點線面.

2、線線相交得到點，面面相交得到線，點動成線，線動成面，面動成體.

3、簡單幾何體的分類：

圓柱

有曲面圓錐

按有無曲面分球體

棱柱

無曲面

幾何體的分類

圓柱

4、n棱柱：2個底面是可以重合的多邊形，n個側面是長方形，（n+2）個面，n條側棱，2n個頂點，3n條棱.

5、n棱錐：1個底面是多邊形，n個側面是三角形，（n+1）個面，n條側棱，1個頂點，2n條棱.

特例：三棱錐，四個面都可以看作底面，可看成4個頂點.

6、圓柱：2個底面，都是圓，1個側面；圓錐：1個底面，1個側面.

點、線、面、體

現實生活中的圖形都是由點、線、面構成的，面有平面，曲面；線有直線，曲線；面與面相交構成線,

線與線相交構成點，點動成線、線動成面、面動成體，常見的一些面動成體的實例如下：

【清單02圖形的運動】

翻折（軸對稱），旋轉，平移是圖形變換的三種基本方式，這三種變換只改變原圖形的位置，不改變原圖形的

形狀和大小.

【清單03圖形的展開與折疊】

圓柱的側面展開圖是長方形，圓錐的側面展開圖是扇形，正方體的表面展開圖有11種，展開時6個面有5

條棱相連，故剪開了7條棱.

相對面關系的快速判斷方法：

(1)、如果幾個面是連成一串的，那么隔一個面便是相對面的關系.

(2)、如果幾個面沒有連成一串，那么成“Z”字型的兩頭即為相對面的關系.

常見立體圖形的平面展開圖

立體圖形是由面包圍而成，沿著它的一些棱適當剪開就可以展開成平面圖形，一些常見立體圖形的平

面展開圖如下：

(1)關于正方體的展開圖，

一個正方體展開成平面圖形，究竟有幾種可能的圖形呢？

下面我們運用分類的數學思想，運用簡單的“枚舉法”，將正方體展開成平面圖形的可能情況一一列舉出

來：

①四個正方形連成一行的有六種情況，如圖所示①⑥；

③兩個正方形連成一行有一種情況，如圖所示(11)

綜上所述，正方體一共有11種展開圖.

(2)關于長方體的展開圖，類似于正方體的展開圖，如下圖所示:

口

:

廿

(3)關于棱柱的展開圖.

①三棱柱的展開圖：

(4)關于圓柱的平面展開圖.

(6)關于棱錐的平面展開圖

三梭柱五棱柱

⑺球不能展開成平面圖形.

【清單04三視圖】

1、從不同的方向看同一物體時，從正面看到的圖叫主視圖，從左面看到的圖叫左視圖，從上面看到的圖叫

俯視圖，即物體的三視圖.

2、畫三視圖時，應注意：主俯長相等，主左高相等，俯左寬相等.

幾何體的三視圖

一個物體在三個投影面(正面、側面、水平面)內同時進行投影，得到不同的圖形，便有三視圖：

(1)主視圖：是在正面內得到的由前向后觀察物體得到的視圖；

(2)左視圖：是在側面內得到的由左向右觀察物體得到的視圖；

(3)俯視圖：是在水平面內得到的由上向下觀察物體得到的視圖.

常見的幾何體從不同方向看它所得到的平面圖形如下表:

A3?

從正面看□△□AOrR-i

從左面看□△□Ao0

從匕面看□OO?ocm

實際上，要正確畫出一個幾何體的從不同方向看它得到的平面圖形，必須注意以下三點：

(1)正確的視圖方向：從不同的方向看一個幾何體，視線要與幾何體保持水平，而垂直于幾何體的面，

這樣才能保證看圖的準確性和真實性，此時看到的面就是這一方向看到的幾何體的平面圖形.

(2)合理的想象方法：在保證正確的視圖方向的情況下，可以看成是幾何體被壓縮成紙片后的圖形或者

是視線投射下的陰影.

(3)觀察者所處的位置不同，其視圖的結果也不一樣.

型陸單

【考點題型一常見的幾何體】

【例1】如圖所示幾何體中，圓錐是()

【答案】D

【分析】本題考查了幾何體，根據圓錐的特點判斷即可求解，熟悉常見的幾何體是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖所示幾何體中，A是圓柱，B是球體，C是三棱柱，D是圓錐，

故選：D.

【變式1-1】下列說法：①柱體的兩個底面一樣大；②圓柱、圓錐的底面都是圓；③棱柱的底面一定是四邊

形；④棱柱的側面展開圖是一個長方形；⑤若棱柱的底面為5邊形，則該棱柱為五棱柱.其中正確的個數

是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題考查了認識立體圖形，注意棱柱由上下兩個底面以及側面組成；上下兩個底面可以是全等的

多邊形，側面是四邊形是解題的關鍵.根據柱體，錐體的定義及組成，即可求解.

【詳解】解：①柱體包括圓柱、棱柱，柱體的兩個底面一樣大，故該說法正確；

②圓柱、圓錐的底面都是圓，故該說法正確；

③棱柱的底面可以是任意多邊形，故原說法錯誤；

④棱柱的側面展開圖可能是一個長方形，也可能是平行四邊形，故原說法錯誤；

⑤棱柱的底面為5邊形，則該棱柱為五棱柱，故該說法正確，

綜上所述，正確的為：①②⑤，共有3個.

故選:B

【變式1-2】下面六個幾何體中，屬于棱柱的有個.

【答案】3

【分析】本題考查了認識立體圖形，根據棱柱的定義即可得解，熟練掌握棱柱的定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：從左到右依次是三棱柱、球、圓錐、正方體、圓柱、六棱柱，

故屬于棱柱的有三棱柱、正方體、六棱柱，共3個，

故答案為：3.

【變式1-3】圖中的棱錐由個三角形和個四邊形圍成.

【分析】本題考查了棱錐的定義.熟練掌握棱錐的定義是解題的關鍵.

根據棱錐的定義作答即可.

【詳解】解：由題意知，圖中的棱錐是由4個三角形，1個四邊形圍成,

故答案為：4,1.

【變式1-4](1)如圖是一些基本立體圖形，在括號里寫出它們的名稱.

()()()()

(2)將這些幾何體分類，并寫出分類的理由.

【答案】(D球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱；(2)見解析

【分析】本題考查的是幾何體的分類；

(1)根據各個幾何體的特征即可得到結果；

(2)可按面分，也可按柱體分，方法不一.

【詳解】解：(1)(從左至右)球、圓柱、圓錐、長方體、三棱柱；

(2)按面分：曲面：球、圓柱、圓錐；平面：長方體、三棱柱.

【考點題型二組合幾何體的構成】

【例2】如圖中的長方體是由三個部分拼接而成，每一部分都是由四個同樣大小的小正方體組成，其中第三

部分所對應的幾何體應是().

第三部分

第二部

________/

/

___V

第一部分

【答案】C

【分析】本題考查了認識立體圖形，找到長方體中第三部分所對應的幾何體的形狀是解題的關鍵.觀察長

方體，可知第三部分所對應的幾何體在長方體中，上面有二個正方體，下面有二個正方體，再在各個選項

中根據圖形作出判斷.

【詳解】解：由長方體和第三部分所對應的幾何體可知，

第三部分所對應的幾何體上面有二個正方體，下面有二個正方體，并且與選項C相符.

故選：C.

【變式2-1］若一個長方體是由三個部分拼接而成的，每一部分都是由四個同樣大小的小正方體組成，現在

兩部分已拼接完畢，如圖所示，下列選項中能與它們拼成長方體的幾何體可能是（）

用

人幫B用C.用"fffl

【答案】A

【分析】觀察圖形，看要拼成長方體還差幾個小正方體，再在選項根據圖形作出判斷.

【詳解】由長方體和已知的幾何體可知，要拼成長方體還差至少4個小正方體，一層有三個正方體（不是

一條線），另一層有一個正方體，與選項A相符.

故選：A.

【點睛】本題考查了認識立體圖形，找到要拼成長方體缺少的幾何體的形狀是解題的關鍵.

【變式2-2］如圖，能看到的正方體有一塊，看不到的正方體有一塊.

【答案】1614

【分析】本題考查的是立體圖形，解決本題的關鍵是利用總的正方體個數減去看到的正方體個數，得到看

不到的正方體的個數.看到的正方體個數直接數出來就可以了，看不到的正方體個數用總的正方體個數減

去看到的正方體個數即可.

【詳解】解：看到的正方體有1+3+5+7=16（塊），

總的正方體個數有F+2?+3?+4。=30（塊）,

看不到的正方體有30-16=14（塊）.

故答案為：16,14.

【變式2-3】下圖由9個棱長為1厘米的正方體搭成的，將這個立方圖形表面涂上紅色.其中只有三個面涂

上紅色的正方體有（）個，只有四面涂上紅色的正方體有（）個.

【答案】53

【分析】本題考查了涂色問題的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

根據正方形的排列特點，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案.

【詳解】解：觀察圖形可得：三個面涂上紅色的正方體有5個，四面涂上紅色的正方體有3個,

故答案為：5,3.

【變式2-4］如圖，指出圖中物體分別是由哪些幾何體組成的.

【答案】見解析

【分析】本題考查了組合幾何體的構成.熟練掌握常見的幾何體是解題的關鍵.

根據常見的幾何體的特征作答即可.

【詳解】解：由題意知，①是由一個正方體、一個圓柱體、一個圓錐體組成的組合體;

②是由一個圓柱體、一個長方體、一個三棱柱組成的組合體；

③是由一個五棱柱、一個球體組成的組合體.

【考點題型三立體圖形的分類】

【例3】如圖所示的幾何體，下列說法正確的是（）

A.幾何體是三棱錐B.幾何體的側面是三角形

C.幾何體的底面是三角形D.幾何體有6條側棱

【答案】C

【分析】本題主要考查了常見幾何體的特點，側面是長方形，底面是三角形，則該幾何體是三棱柱，故該

幾何體有3條側棱，據此可得答案.

【詳解】解：由題意得，該幾何體是三棱柱，側面都是長方形，底面是三角形，且共有3條側棱，

???四個選項中只有C選項說法正確，符合題意，

故選：C.

【答案】C

【分析】本題主要考查了幾何體的分類，柱體分為圓柱和棱柱，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形,

并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，由此可選出答案.

【詳解】解：①⑤是四棱柱，②是圓柱，③是三棱柱，④是圓錐，⑥是球,

屬于柱體的有①②③⑤，共4個,

故選：C.

【變式3-2】將下圖中的立體圖形分類.

(§)

【答案】①②⑤⑦⑧④⑥/⑥④③

【分析】本題主要考查立體圖形的分類，解題的關鍵掌握立體圖形的特征.據此可得答案.

【詳解】解：柱體：①②⑤⑦⑧；錐體：④⑥；球體：③.

故答案為：①②⑤⑦⑧；④⑥；③.

【分析】根據幾何體的分類即可求得答案.

【詳解】①為圓柱體，不屬于棱柱；

②為圓錐體，不屬于棱柱；

③為長方體，屬于棱柱；

④為正方體，屬于棱柱；

⑤為長方體，屬于棱柱；

⑥為六棱柱，屬于棱柱；

⑦為球體，不屬于棱柱.

故答案為：③④⑤⑥.

【點睛】本題主要考查幾何體的分類，牢記幾何體的分類是解題的關鍵.

【變式3-4］將下列幾何體按名稱分類：

0@0?A

①正方體②圓柱③長方體④球⑤圓錐

柱體有;

錐體有;

球體有.(請填寫序號)

【答案】(1)(2)(3),(5),(4)

【分析】本題主要了立體圖形的分類，理解立體圖形的分類是解答關鍵.根據柱體、錐體、球體進行分類

求解.

【詳解】解：根據圖形可知

柱體分為圓柱和棱柱，所以柱體有(1)(2)(3)；

錐體包括棱錐與圓錐，所以錐體有(5)

球體屬于單獨的一類，球有(4).

故答案為：(1)(2)(3),(5),(4).

【考點題型四幾何體中的點、棱、面】

【例4】如圖，從一個棱長為4cm的正方體的一頂點處挖去一個棱長為1cm的正方體，則第二個幾何體有

C.8D.9

【答案】D

【分析】本題考查截一個幾何體，根據挖去一個棱長為1cm的正方體，增加了三個邊長為1cm的正方形面,

進行求解即可.

【詳解】解：因為從一個棱長為4cm的正方體的一頂點處挖去一個棱長為1cm的正方體，增加了三個邊長為

1cm的正方形面,

所以第二個幾何體有9個面.

故選：D.

【變式4-1】一個畫家有14個棱長為1dm的正方體，他在地面上把它們擺成如圖所示的幾何體，然后他把露

出的表面都涂上顏色，那么被涂上顏色的總面積為()

21dm2C.33dm2D.34dm2

【答案】C

【分析】本題考查幾何體的表面積，涂上顏色的總面積為：從上面看到的面積+四個側面看到的面積.

【詳解】解：根據分析其表面積=4x(l+2+3)+9=33,即涂上顏色的面有33個.

每個小正方形的面積為1X1=dm2,

33x1=33dm2.

故先C.

【變式4-2】一個棱柱共有16個頂點，所有的側棱長的和是120cm,則這個棱柱有一個面，每條側棱長為

cm.

【答案】1015

【分析】根據棱柱共有16個頂點，得到底面是八邊形，根據八棱柱的性質解答即可.

本題考查了棱柱的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

【詳解】解：???棱柱共有16個頂點，

該棱柱是八棱柱，

這個棱柱有10個面，

,/所有的側棱長的和是120cm,

,每條側棱長為120+8=15（cm）.

故答案為：10:15.

【變式4-3】觀察如圖所示的棱柱：

（1）這個棱柱的底面是一；

（2）這個棱柱有一個側面，側面的形狀是_；

（3）側面的個數與底面的邊數_；（填“相等”或“不相等”）

（4）這個棱柱有一個頂點，—條側棱，一共有一條棱；

（5）若這個棱柱的底面邊長都是5cm,側棱長是3cm,則該棱柱所有側面的面積之和為_cn/.

【答案】三角形3長方形相等63945

【分析】此題主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此題的關鍵.

（1）根據棱柱這個幾何體的特征即可求解；

（2）根據棱柱這個幾何體的特征即可求解；

（3）根據棱柱這個幾何體的特征即可求解；

（4）根據棱柱這個幾何體的特征即可求解；

（5）根據棱柱的三個側面相等，結合長方形的面積公式即可計算.

【詳解】解：（1）這個棱柱的底面是三角形；

（2）這個棱柱有3個側面，側面的形狀是長方形；

（3）側面的個數與底面的邊數相等；

（4）這個棱柱有6個頂點，3條側棱，一共有9條棱;

（5）5x3x3=45（^cm2j,

則該棱柱所有側面的面積之和為45cm2.

故答案為：（1）三角形；（2）3,長方形；（3）相等；（4）6；3,9；（5）45.

【變式4-4］綜合與實踐

新年晚會是我們最歡樂的時候,會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形.下面是

常見的一些多面體:

四面體六方體八面體十二面體

操作探究:

（1）通過數上面圖形中每個多面體的頂點數（丫）、面數（尸）和棱數（E）,填寫下表中空缺的部分:

多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）

四面體44

六面體86

八面體812

十二面體1230

通過填表發現：頂點數（V）、面數（尸）和棱數（E）之間的數量關系用式子表示為，這就是偉大的數學

家歐拉（乙Euler,1707-1783）證明的這一個關系式.我們把它稱為歐拉公式;

探究應用:

（2）已知一個棱柱只有七個面，則這個棱柱是棱柱;

（3）已知一個多面體有16個頂點，并且過每個頂點都有3條棱，求這個多面體的面數.

【答案】（1）填表見解析，V+F-E=2-（2）五；（3）10

【分析】本題考查了多面體與棱柱的認識，點線面體的相關概念，掌握圖形中各量之間的關系是解題的關

鍵.

（1）通過觀察，發現棱數=頂點數+面數-2；

（2）根據棱柱的定義進行解答即可；

（3）由（1）得出的規律進行解答即可.

【詳解】解：⑴填表如下：

多面體頂點數（M）面數（F）棱數（砌

四面體446

六面體8612

八面體6812

十二面體201230

頂點數（V）、面數（尸）和棱數（E）之間的數量關系是V+產-E=2,

故答案為：V+F-E=2；

（2）?一個棱柱只有七個面，必有2個底面，

.,?有7-2=5個側面，

???這個棱柱是五棱柱，

故答案為：五；

（3）由題意得：棱的總條數為等=24（條），

由V+尸一E=2可得16+P—24=2,

解得：F=10,

故該多面體的面數為10.

【考點題型五從不同方向看幾何體】

［例5］如圖是由幾個相同的小立方塊搭成的幾何體從三個方向看到的形狀圖，則組成這個幾何體的小立方

塊的個數是（）

【答案】B

【分析】本題考查由不同方向看到的圖形判斷幾何體，利用從上面看到的圖形寫出小正方體的個數可得結

論.

【詳解】解：這個幾何體的小正方體的個數如下圖所示：

，組成這個幾何體的小立方塊的個數是=1+1+2+2=6（個），

故選：B.

【變式5-1】下面四個幾何體中，同一幾何體從上往下看和從左往右看，看到的圖形形狀相同的幾何體共有

②球③圓錐④圓井

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了從不同方向看幾何體，根據正方體從上往下看和從左往右看都是正方形，球從上往下

看和從左往右看都是圓形，圓錐從上往下看是圓形加中心一個點，從左往右看是三角形，圓柱從上往下看

是圓形，從左往右看是長方形，即可得解.

【詳解】解：①正方體從上往下看和從左往右看都是正方形，故符合題意；

②球從上往下看和從左往右看都是圓形，故符合題意；

③圓錐從上往下看是圓形加中心一個點，從左往右看是三角形，故不符合題意；

④圓柱從上往下看是圓形，從左往右看是長方形，故不符合題意；

綜上所述，共有2個，

故選：B.

【變式5-2】倉庫里有一堆正方體形狀的紙箱，從三個不同方位看到的形狀如圖.這堆紙箱至少有一個.

【分析】本題主要考查從不同方向看幾何體，熟練掌握幾何體的特征是解題的關鍵；由從上面看可進行求

解.

【詳解】解:如圖,

所以這堆紙箱至少有9個；

故答案為9.

【變式5-3］如圖是由棱長相等的小立方體擺成的幾何體從正面看與從上面看到的形狀圖，根據圖形可以判

斷組成這個幾何體最多需要加個小正方體，最少需要"個小正方體，則，〃+〃=.

從正面看從上面看

【答案】26

【分析】本題考查了由從不同方向看到的形狀圖來判斷最多或最少得正方體的個數，由從上面看到的形狀

圖可以判斷底面小正方體的個數，由正面看到的形狀圖可以判斷第二層和第三層小正方體的個數，進而計

算作答即可.

【詳解】解：由從上面看到的形狀圖可知，組成這個幾何體的底面小正方體有7個，

由從正面看到的形狀圖可知，第二層最少有2個，最多有6個；第三層最少有1個，最多有3個，

組成這個幾何體最多要加=7+6+3=16個小立方塊，最少要〃=7+2+1=10個小立方塊，

\7〃+“=16+10=26

故答案為：26.

【變式5-4】如圖是幾小正方體組成的幾何體，從上面看到該幾何體的形狀圖，小正方形上的數字表示該位

置上小正方體的個數.請你在圖中畫出該幾何體從正面和左面看到的這個幾何體的形狀；

【分析】本題考查了從不同方向看幾何體，根據從正面看該圖形有3歹U,從左往右小正方形個數為2,2,3；

從左面看該圖形有3歹！J,從左往右小正方形個數為1,2,3,畫出圖形即可.

【詳解】解：從正面看該圖形有3歹U,從左往右小正方形個數為2,2,3；從左面看該圖形有3歹!],從左往

右小正方形個數為1,2,3,如圖所示：

從上面看從正面看從左面看

【考點題型六點、線、面、體四者之間的關系】

【例6】汽車的雨刷把玻璃上的雨雪刷干凈屬于以下哪項幾何知識的實際應用（）

A.點動成線B.線動成面

C.面動成體D.以上答案都正確

【答案】B

【分析】此題考查了點、線、面、體，正確理解點、線、面、體的概念是解題的關鍵.汽車的雨刷實際上

是一條線，擋風玻璃看作一個面，雨刷把玻璃上的雨水刷干凈，屬于線動成面.

【詳解】解：汽車的雨刷把玻璃上的雨雪刷干凈，應是線動成面.

故選：B.

【變式6-1】“鳴語既過漸細微，映空搖闞如絲飛”是唐代詩人杜甫作品《雨不絕》中的詩句，意為喧嘩的雨

已經過去，逐漸變得細微，映著天空搖漾如絲的細雨飄飛.詩中描寫雨滴下來形成雨絲，用數學語言解釋

這一現象為（）

A.點動成線B.線動成面C.面動成體D.面面相交成線

【答案】A

【分析】此題考查了點、線、面、體，根據點動成線分析即可，正確理解點、線、面、體之間的關系是解

題的關鍵.

【詳解】解：雨滴滴下來形成雨絲屬于點動成線，

故選：A.

【變式6-2】折扇的每一根扇骨可以看作是一條線，當我們打開折扇時，眾多扇骨同時運動，這些扇骨運動

所形成的區域就構成了一個扇面，從數學的角度來解釋，這種現象說明了.

【答案】線動成面

【分析】本題考查了線、面的關系，根據題意，結合線動成面的數學原理：某一條線在運動過程中留下的

運動軌跡會組成一個平面圖形，這個平面圖形就是一個面，即可得出答案.

【詳解】解：根據題意，這種現象可以用數學原理解釋為：線動成面.

故答案為：線動成面

【變式6-3](1)一張紙對折后，紙上會留下一道折痕，用數學知識可解釋為；

(2)夏夜，天上飛逝的流星形成一道亮光，用數學知識可解釋為；

(3)黑板擦在黑板上擦出一片干凈的區域，用數學知識可解釋為；

(4)長方形繞它的一邊在的直線旋轉，形成一個圓柱，用數學知識可解釋為.

【答案】面與面相交得到線點動成線線動成面面動成體

【分析】題目考查了點、線、面之間的動態關系，理解生活中的點、線、面關系是解題的關鍵.

【詳解】(1)一張紙對折后，紙上會留下一道折痕，用數學知識可解釋為面與面相交得到線；

故答案為：面與面相交得到線

(2)夏夜，天上飛逝的流星形成一道亮光，用數學知識可解釋為點動成線；

故答案為：點動成線

(3)黑板擦在黑板上擦出一片干凈的區域，用數學知識可解釋為線動成面；

故答案為：線動成面

(4)長方形繞它的一邊所在的直線旋轉，形成一個圓柱，用數學知識可解釋為面動成體.

故答案為：面動成體

【變式6-4】飛機表演“飛機拉線”時，我們用數學的知識可解釋為點動成線.用數學知識解釋下列現象：

(1)流星從空中劃過留下的痕跡可解釋為；

(2)自行車的輻條運動可解釋為；

(3)一只螞蟻行走的路線可解釋為；

(4)打開折扇得到扇面可解釋為；

(5)一個圓面沿著它的一條直徑旋轉一周成球可解釋為一.

【答案】(1)點動成線；

(2)線動成面；

(3)點動成線；

(4)線動成面；

(5)面動成體.

【分析】根據點線面體之間的關系為：點動成線，線動成面，面動成體的規律來解答即可.

【詳解】(1)解：流行是點，光線是線，流星劃出一條長線，所以流星從空中劃過留下的痕跡可解釋為點

動成線；

(2)解：自行車的輻條是線，在運動過程中形成面，所以自行車的輻條運動可解釋為線動成面；

(3)解：螞蟻可看做是點，行走的路線是線，所以一只螞蟻行走的路線可解釋為點動成線；

(4)解：折扇合起來時是一條線，打開折扇得到扇面可解釋為線動成面；

(5)解：一個圓是面，球是立體圖形，一個圓面沿著它的一條直徑旋轉一周成球可解釋為面動成體.

【點睛】此題主要考查了點、線、面、體，關鍵是掌握四者之間的關系.

【考點題型七平面圖形旋轉后所得的立體圖形】

【例7】學習了“點動成線，線動成面，面動成體”，下列說法不正確的是()

A.將長方形沿一邊旋轉一周一定會得到一個圓柱

B.將半圓形沿直徑旋轉一周一定會得到一個球體

C.將直角三角形沿一邊旋轉一周一定會得到一個圓錐

D.將正方形沿一邊旋轉一周一定會得到一個圓柱

【答案】C

【分析】本題主要考查了面與體的關系，正確理解面與體的關系是解題的關鍵.根據面動成體的原理以及

空間想象力可直接選出答案.

【詳解】解：A.將長方形沿一邊旋轉一周一定會得到一個圓柱，本選項正確，不符合題意；

B.將半圓形沿直徑旋轉一周一定會得到一個球體，本選項正確，不符合題意；

C.將直角三角形沿直角邊旋轉一周一定會得到一個圓錐，故本選項不正確，符合題意；

D.將正方形沿一邊旋轉一周一定會得到一個圓柱，本選項正確，不符合題意.

故選：c.

【變式7-1】下列平面圖形沿軸旋轉一周，可以得到如圖所示的幾何體的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了點、線、面、體，熟悉并判斷出旋轉后的立體圖形是解題的關鍵.根據面動成體判斷

出各選項中旋轉得到立體圖形即可得出答案.

【詳解】A、旋轉一周為圓錐，不符合題意；

B、旋轉一周為倒立的圓錐且底面凹進去一個圓錐，不符合題意；

C、旋轉一周能夠得到的幾何體與原題圖形位置反過來了，不符合題意；

D、旋轉一周能夠得到原題圖形，符合題意；

故選：D.

【變式7-2］如圖，正方形A2CD的邊長為5cm,以A8所在的直線為軸，將正方形旋轉一周，所得幾何體

的體積是cm，（用含兀的式子表示）

【答案】125K

【分析】本題考查了平面圖形旋轉后的立體圖形，求體積；正方形繞所在的直線為軸，將正方形旋轉一

周，所得幾何體是圓柱，底面半徑與高均為5cm,根據圓柱的體積公式計算即可.

【詳解】解：由題意知，旋轉后的幾何體是圓柱，底面半徑與高均為5cm,

則圓柱的體積為：7ix52x5=125^（cm2）；

故答案為：125兀.

【變式7-3】將如圖的直角三角形分別繞兩條直角邊所在的直線旋轉一周，得到不同的立體圖形，其中體積

最大的立體圖形的體積是_______立方厘米.（結果保留兀）

【答案】16%

【分析】本題考查了點、線、面、體，根據圓錐的體積公式：V=；仃，,把數據代入公式求出它們的體積，

然后進行比較即可.

【詳解】解：以4cm為軸時：

立體圖形的體積為gx%x32x4=12%（立方厘米），

以3cm為軸時：

立體圖形的體積為gx萬*4釀3=16萬（立方厘米），

,/<16萬，

，最大的立體圖形的體積是16兀立方厘米，

故答案為：16%.

【變式7-4］如圖，有一個長6cm,寬4cm的長方形紙板，現將長方形一條邊所在直線為軸旋轉360。，可按

兩種方案進行操作.

方案一：以較長的一條邊所在直線為軸旋轉.

方案二：以較短的一條邊所在直線為軸旋轉.

（1）上述操作能形成的幾何體是,說明的事實是.

（2）請通過計算說明哪種方案得到的幾何體的體積大.（結果保留兀）

【答案】（1）圓柱；面動成體；

（2）方案二得到的幾何體的體積大.

【分析】本題考查了面動成體，利用長方形旋轉得圓柱，熟記圓柱體積公式是解題關鍵.

（1）根據長方形旋轉是圓柱，可得答案；

(2)根據圓柱的體積公式計算，可得答案.

【詳解】(1)解：長方形旋轉可以得到圓柱，說明的事實是面動成體;

故答案為：圓柱；面動成體；

(2)解：方案一：itx42x6=96TI(cm3),

方案二：7tx62x4=1447t(cm3),

,/96TT<144TI,

方案二得到的幾何體的體積大；

【考點題型八平面圖形形狀的識別】

【例8】用各種不同的方法把圖形分割成三角形，至少可以分成5個三角形的多邊形是()

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

【答案】C

【分析】本題考查了認識平面圖形的知識，分別根據五邊形、六邊形、七邊形、八邊形最少能夠分成多少

個三角形，逐項分析即可得解.

【詳解】解：A、五邊形最少分成3個三角形，故不符合題意；

B、六邊形最少分成4個三角形，故不符合題意；

C、七邊形最少分成5個三角形，故符合題意；

D、八邊形最少分成6個三角形，故不符合題意；

故選：C.

【變式8-1】用一條直線把一個正方形分成完全一樣的兩部分，有()種分法.

A.2B.4C.無數D.以上答案都不對

【答案】C

【分析】過正方形的兩邊中點的直線，對角線所在的直線，過兩對角線的交點的任意一條直線，即過正方

形的中心點的任意一條直線都可以把一個正方形分成完全一樣的兩部分.此題考查了圖形的拆拼，正方形

是一個中心對稱圖形，過中心點的任意一條直線都可以把正方形分成完全一樣的兩部分.

【詳解】解：如圖所示，在圖形中下一行的直線有無數條，只要過中心點就可以.

過正方形的兩個對邊的中點的直線，對角線所在的直線，過兩對角線的交點的任意一條直線即過正方形的

中心點的任意一條直線都可以把一個正方形分成完全一樣的兩部分，故有無數種分法.

故選：C.

【變式8-2］給圖中的多邊形寫出一個合適的名稱：

【答案】五邊形三角形四邊形

【分析】本題考查了多邊形，由多邊形是根據其邊數來命名的即可得解.

【詳解】解：由圖可得：（1）五邊形；（2）三角形；（3）四邊形；

故答案為：五邊形，三角形，四邊形.

【變式8-3］如圖是小明同學在美術課上畫的小動物簡筆畫，請你仔細觀察，圖中圓有個，三角

形有個，四邊形有個.

【答案】1051

【分析】本題考查了多邊形，根據圓、三角形、四邊形的定義判斷即可，熟練掌握圓、三角形、四邊形的

定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：觀察圖形可得，圖中圓有10個，三角形有5個，四邊形有1個，

故答案為：10,5,1.

【變式8-4】生活中因為有了美麗的圖案，才顯得豐富多彩，如圖①②③，是來自生活中的三個圖案.請

在圖④⑤中畫出具有前面三個圖案共同特征的新圖案.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了平面圖形的認識.前面三個圖案共同特征是沿著一條直線對折后兩部分完全重

合.據此作出相同特征的圖形，即可作答.

【詳解】解：前面三個圖案共同特征是沿著一條直線對折后兩部分完全重合，

依題意，圖④⑤如圖所示：

共青團團旗圖案

圖4圖5

【考點題型九用七巧板拼圖形】

【例9】如圖，是一個同學用一副七巧板拼出的一個三角形，下列說法不正確的是（）

A.第⑥塊的面積是第①塊的4倍

B.圖中的等腰直角三角形一共有8個

c.第③塊的面積是整個面積的:

O

D.第②塊的面積與第⑤塊的面積相等

【答案】C

【分析】本題考查了三角形，解題的關鍵是了解七巧板,（七巧板是由五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、

一塊中形三角形和兩塊大形三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形組成）.設①和③的面積為。，計算其他

幾塊的面積即可解答.

【詳解】解：設①和③的面積為。，

則②的面積為2a,④的面積為2a,⑤的面積為2a,⑥和⑦的面積為4a,

???整個三角形的面積為16a,

第⑥塊的面積是第①塊的4倍，A選項不符合題意；

圖中的等腰直角三角形一共有8個，B選項不符合題意；

第③塊的面積是整個面積的C選項符合題意；

16

第②塊的面積與第⑤塊的面積相等，D選項不符合題意，

故選：C.

【變式9-1】如圖，小星在學了七巧板內容后，用邊長為1的正方形紙板制成一副如圖①所示的七巧板，如

圖②，圖③所示，圖中陰影部分面積之和為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查七巧板的知識點，根據七巧板的結構可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，最

小的等腰直角三角形的面積等于正方形面積的］，小正方形的面積=正方形面積的5.陰影的面積=總面

積一空白的面積，從而求出陰影部分面積.

【詳解】解：根據七巧板的結構可知，分成的最小等腰直角三角形面積=正方形面積的J,小正方形的面積

=正方形面積的。；

O

陰影部分的面積之和=.

16816816

故選：A.

【變式9-2】七巧板是一種拼圖玩具，體現了我國古代勞動人民的智慧.如圖，整個七巧板拼圖是個正方形，

若七巧板中標有“3”的平行四邊形的面積區=3,則標有“5”的正方形的面積Ss的值為.

【答案】3

【分析】本題考查了七巧板拼接圖形，根據S3+S4=Ss+S6，S4=s6)結合題意，即可求解.

【詳解】解：設標有4和6的三角形面積分別為外怎，

根據題意可得S3+S4=S5+S6,又S,=艮，

$5=邑=3，

故答案為：3.

【變式9-3]

如圖，把圖①中的七巧板，拼成圖②的長方形，如果圖①中陰影部分是邊長為1的正方形，則圖②中長方

形的周長為

圖②

【分析】本題主要考查七巧板的知識，熟練掌握七巧板各圖形邊長之間的關系是解題的關鍵；根據陰影部

分的邊長得出大長方形的長和寬即可.

【詳解】???陰影部分是邊長為1的正方形,

.??拼成的大長方形的長為4,寬為2

...長方形的周長為(4+2)X2=12

故答案為：12.

【變式9-4】七巧板是中國傳統的智力玩具，由七塊板組成，包括五個等腰直角三角形、一個正方形、一個

平行四邊形.若正方形ABCO的邊長為4,按圖1的方式畫線，然后沿實線分割，得到一副七巧板，如圖2

所示.

⑴求AG印的面積；

(2)選擇圖2中的若干塊(每塊只能用一次)，拼成面積為8的正方形，請畫出三種不同類型的拼法，并標好

(2)見解析

【分析】本題主要考查了七巧板的問題：

(1)根據題意得：正方形A5CD是由16個完全一樣的三角形組成的，從而得到邑版=[S正方形.⑺，即可

lo

求解；

(2)根據①與②的面積之和為8,①與③與⑤與⑦的面積之和為8,③與④與⑤與⑥與⑦的面積之和為8,

即可求解.

【詳解】(1)解：根據題意得:正方形A3CD是由16個完全一樣的三角形組成的,

,?S^HGI=nS正方形，

???正方形ABCD的邊長為4,

1

SHC1---X49=1;

△HGI16

(2)解：如圖，

【考點題型十幾何體展開圖的認識】

【例10］如圖所示為幾何體的平面展開圖，從左到右，其對應的幾何體名稱分別為（）

A.圓錐，正方體，三棱柱，圓柱B.圓柱，正方體，四棱柱，圓錐

C.圓錐，正方體，四棱柱，圓柱D.正方體，圓錐，圓柱，三棱柱

【答案】A

【分析】本題考查了常見幾何體的展開圖；熟記常見幾何體的平面展開圖的特征，是解決此類問題的關鍵.根

據常見的幾何體的展開圖進行判斷，即可得出結果.

【詳解】解：根據幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對應的幾何體名稱分別為：圓錐，正方體，三棱

柱，圓柱.

故選：A.

【變式10-1］圖所示的平面圖形經過折疊后能圍成棱柱的是（）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①③④

【答案】C

【分析】本題考查了棱柱的展開圖，掌握棱柱的特點及展開圖的特點是解題的關鍵.

【詳解】解：①②③能圍成棱柱，④圍成棱柱時，有兩個面重合，不能圍成棱柱，

故選：C.

【變式10-2】下列各硬紙片分別沿虛線折疊，得不到長方體紙盒的是—.（請填寫序號）

①②③④

【答案】③④

【分析】此題考查了展開圖折疊成長方體，通過結合立體圖形與平面圖形的相互轉化，去理解和掌握幾何

體的展開圖，要注意多從實物出發，然后再從給定的圖形中辨認它們能否折疊成給定的立體圖形.

由平面圖形的折疊及展開圖解題.

【詳解】解：①和②可以折疊成，③和④有重疊的面不可以折成，

故答案為：③④.

【變式10-3】一個直六棱柱，側棱長為10cm,底面各邊長均為2cm,則它的側面展開圖形面積是cm2

【答案】120

【分析】本題考查了幾何體的側面積，解題的關鍵是確定幾何體側面是什么圖形.根據題意可知該正六棱

柱的側面是6個長為10cm,寬為2cm的長方形，然后根據長方形的面積公式計算即可得到答案.

【詳解】解：6x2xl0=120cm2,

即側面展開圖形面積是120cm2.

故答案為：120.

【變式10-41（1）如圖（1）所示的長方體，長、寬、高分別為4,3,6.若將它的表面沿某幾條棱剪開,

展成一個平面圖形，則①?④中，可能是該長方體展開圖的有二（請填寫序號）

（2）圖（2）、圖（3）分別是（1）中長方體的兩種展開圖，求得圖（2）的外圍周長為52,請你求出圖（3）

的外圍周長.

圖（1）圖（2）圖（3）

【答案】（1）①，②；⑵58

【分析】本題考查了長方體展開圖，熟練掌握長方體展開圖的特征是解題的關鍵.

（1）根據長方體展開圖的特征，即可解答；

（2）觀察圖形可知，圖（3）有4條高，4個寬，6條長，即可解答.

【詳解】解：（1）由圖可知，可能是該長方體展開圖的有①②，

③只有5個面，不能圍成長方體，④有7個面，且折疊后有面重疊，不是長方體展開圖,

故答案為：①②；

（2）由圖可知：圖（3）的夕卜圍周長=6x4+4x4+3x6=58.

【考點題型十一由展開圖計算幾何體的表面積】

【例11】有一個正方體等分成8個小正方體，拿去其中的一個小正方體后，表面積和原來比（）

A.減少了B.增大了

C.沒有變化D.前3種可能性都有

【答案】C

【分析】本題考查的是幾何體的表面積，掌握正方體的特征是解題的關鍵.一個正方體等分成8個小正方

體，拿去其中一個小正方體后，減少3個面的同時又增加3個面.

【詳解】解：一個正方體等分成8個小正方體，拿去其中一個小正方體后，減少3個面的同時又增加3個

面，因此表面積不變.

故選：C.

【變式11-1］如圖是農村常搭建的橫截面為半圓形的全封閉塑料薄膜蔬菜大棚.如果不考慮塑料薄膜埋在

土里的部分，那么搭建一個這樣的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面積是()

A.647rm2B.7271m2C.687rm2D.807tm?

【答案】C

【分析】此題主要考查了圓柱的有關計算，本題中半圓形截面的弧長就是塑料薄膜的一邊，弄清了這點，

計算薄膜的面積就容易多了.由圖可知，需要的塑料膜的面積應該是以大棚長為長，以半圓形截面的弧長

為寬的矩形的面積，半圓形截面弧長為：2萬，再加上前后兩個半圓面積，進而得出塑料膜的面積.

【詳解】解：塑料膜的面積=2萬x32+》x22=68;r(cm2).

故選：C.

【變式11-2】一個直五棱柱的底面邊長都是4cm,側棱長3cm,則這個棱柱的所有側面面積之和為cm2,

所有棱長和為cm.

【答案】6055

【分析】本題考查棱柱側面積計算，熟練掌握幾何體表面積計算是解題關鍵.五棱柱有5個面為側面，然后

按照棱柱的側面積公式計算即可.

【詳解】解：???該棱柱是直五棱柱，

,這個棱柱的所有側面面積之和為：4x5x3=60cm2,

所有棱長和為4x5x2+5x3=55cm

故答案為：60,55.

【變式11-3］如圖，這是一個圓柱形筆筒，量的筆筒的高是11cm,底面圓的直徑是8cm,則這個筆筒的側

面積為cm2(結果保留兀).

【答案】88萬

【分析】本題考查了圓柱的側面積，熟練掌握圓柱的側面積為次洗，其中d為底面圓直徑，/Z為圓柱的高是

解題的關鍵.

根據筆筒的側面積為萬?841,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，筆筒的側面積為^--8-11=8872-cm2,

故答案為：88萬.

【變式11-4］如圖，是一個食品包裝盒的表面展開圖.

(1)請寫出這個包裝盒的幾何體的名稱：_；

(2)根據圖中給出的數據，計算這個幾何體的側面積.

【答案】(1)直三棱柱

(2)72.

【分析】本題考查了幾何體的展開圖，解決本題的關鍵是熟悉由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖.

(1)由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖，即可解答；

(2)側面積為6個長方形的面積之和，即可解答.

【詳解】(1)解：這個包裝盒為直三棱柱；

故答案為：直三棱柱；

(2)解：S側=6x(3+4+5)=72.

【考點題型十二由展開圖計算幾何體的體積】

【例12］如圖，把一個邊長為10cm的正方形紙片的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，然后把剩下的部

分折成一個無蓋的長方體盒子，當剪去的正方形的邊長從1cm變為2cm后，長方體紙盒的容積()cm3.

A.增加了28B.減少了28C.增加了8D.減少了8

【答案】C

【分析】本題考查了展開圖折疊成幾何體，長方體的體積，熟記長方體的體積公式是解題的關鍵.

分別求得剪去的正方形邊長從1cm變為2cm后，長方體的紙盒容積即可得到結論.

【詳解】解：當剪去的正方形邊長為1cm時，

長方體的紙盒容積為：（10-1x2）2xl=64（cm3）

當剪去的正方形邊長為2cm時，（10-2x2）2x2=72（cm3）

當剪去的正方形的邊長從1cm變為2cm后，長方體紙盒的容積增加了：72-64=8（cm3）.

即長方體紙盒的容積增加了8cm3.

故選：C.

【變式12-1］如圖所示的長方形（長為20,寬為12）硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊,

制作成底面為正方形的長方體箱子，則長方體箱子的體積為（）

A.40B.56C.110D.126

【答案】D

【分析】本題主要考查長方體體積的計算方法，熟練根據圖求出長、寬、高是解題關鍵.利用圖形求出長

方體的寬及長即可.

【詳解】解：???長方體的底面為正方形，由圖可知底面周長為12,

，長方體的底面邊長為：12+4=3,

，長方體的高為：20-3-3=14,

，長方體箱子的體積為，3x3x14=126,

故選：D.

【變式12-2］如圖為一無蓋長方體盒子的展開圖（重疊部分不計），可知該無蓋長方體的容積為

【答案】8

【分析】根據展開圖，得長方體的高是1,寬是3-1=2,長是6-2=4,根據體積公式解答即可.

本題考查了長方體的展開圖，體積公式，熟練掌握公式是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，得長方體的高是1,寬是3-1=2,長是6-2=4,

長方體的容積是1X2X4=8,

故答案為：8.

【變式12-3］如圖，是一個幾何體的表面展開圖，請用字母a,b,c表示該幾何體的體積為一.

b

<--------?

b

【答案】abc

【分析】本題考查立體圖形的平面展開圖還原為立體圖形，并求體積，根據平面展開圖可知立體圖形為長

方體，由長方體的體積公式代值求解即可得到答案，發揮空間想象能力，將平面展開圖還原為立體圖形是

解決問題的關鍵.

【詳解】解：由幾何體的表面展開圖可知，該立體圖形為長方體，

該長方體的底面長為c,寬為高為b,即用字母a,b,c表示該幾何體的體積為而c,

故答案為：abc.

【變式12-4］綜合實踐，某小組利用長為acm,寬為6cm長方形紙板制作長方體盒子或正方體盒子.（紙板

厚度及接縫處忽略不計）

動手操作一：如圖1,若。=6,先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為ccm的小正方形，再沿虛線折合起

來就可以做成一個無蓋的長方體紙盒.

動手操作二：如圖2,若a=20cgb=15cm,先在紙板的四角剪去兩個相同的小正方形和兩個相同的小長方

形，再沿虛線折合起來恰好可以制作成一個有蓋的正方體紙盒.

(2)當a=16cm,c=4cm時，求該無蓋長方體紙盒的體積；

(3)請在圖2中畫出你剪去的兩個小正方形和兩個小長方形(陰影表示)，標出正方形與長方形的長和寬，并

用虛線表示折痕；

(4)由圖2,你發現當。與6之間滿足怎樣的數量關系時，在紙板的四角剪去兩個相同的小正方形和兩個相同

的小長方形恰好可以制作成一個有蓋的正方體紙盒？請直接寫出答案.

【答案】⑴伍-2c)2cm2

(2)256cm3;

(3)見解析

(4)當46=3a在紙板的四角剪去兩個相同的小正方形和兩個相同的小長方形恰好可以制作成一個有蓋的正

方體紙盒.

【分析】本題考查了列代數式及求值，基本幾何圖形的性質與正方體的展開圖.

(1)根據圖形可知無蓋長方體紙盒的底邊長為(a-2c)cm,據此即可求解；

(2)根據長方體的體積公式求解即可；

(3)實際上是從大長