專題05概率初步(考點清單，9個考點清單+6種題型解讀)

【清單01】隨機事件

【清單02】可能性的大小

【清單03】瞬的意義

【清單04】廨公式

考點清單，【清單05］幾何概率

【清單06］灑J與樹狀為去

【清單07】^^^

【清單08】利野軍估計廨

［清單09］

【考點題型一】用列舉法計算概率

【考點題型二】抽象概率犍，解決實際問題

八【考點題型三】建立方程模型、求解廨問題

【考點題型HL利用概料蜥曲戈的處性

【考點題型五】廨與其他知識的綜合應(yīng)用

【考點題型六】廨中跨學(xué)科遺

考點儕單

必然事件:P=1

確定性事件,/

不可能事件:p=o

隨機事件。<p<1

概率定義

一般地，如果在一次試驗中，有“種可能發(fā)生的結(jié)果并且

概率公式它們發(fā)生的可能性都相等.事件A包含其中的，"種結(jié)果,

\那么事件4發(fā)生的概率P(4)=~_

列表法

畫樹狀圖法

幾何概率

用解估率

【清單01】隨機事件

(1)確定事件

事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事

件和不可能事件都是確定的.

(2)隨機事件

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.

（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1,即尸（必然事件）=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0,即P（不可能事件）=0；

③如果A為不確定事件（隨機事件），那么0<尸（A）<1.

【清單02】可能性的大小

隨機事件發(fā)生的可能性（概率）的計算方法：

（1）理論計算又分為如下兩種情況：

第一種：只涉及一步實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對一類概率模型進行

的計算；第二種：通過列表法、列舉法、樹狀圖來計算涉及兩步或兩步以上實驗的隨機事件發(fā)生的概率，如：

配紫色，對游戲是否公平的計算.

（2）實驗估算又分為如下兩種情況：

第一種：利用實驗的方法進行概率估算.要知道當(dāng)實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估

計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率.

第二種：利用模擬實驗的方法進行概率估算.如，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬實驗.

【清單03】概率的意義

（1）一般地，在大量重復(fù)實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率旦會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)"就

n

叫做事件A的概率，記為尸（A）=p.

（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn).

（3）概率取值范圍：OWpWl.

（4）必然發(fā)生的事件的概率尸（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率尸（A）=0.

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0.

（5）通過設(shè)計簡單的概率模型，在不確定的情境中做出合理的決策；概率與實際生活聯(lián)系密切，通過理解

什么是游戲?qū)﹄p方公平，用概率的語言說明游戲的公平性，并能按要求設(shè)計游戲的概率模型，以及結(jié)合具體

實際問題，體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系，可以解決一些實際問題.

【清單04】概率公式

一事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

（1）隨機事件A的概率尸（A）

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

【清單05］幾何概率

所謂幾何概型的概率問題，是指具有下列特征的一些隨機現(xiàn)象的概率問題：設(shè)在空間上有一區(qū)域G,又區(qū)域

g包含在區(qū)域G內(nèi)（如圖），而區(qū)域G與g都是可以度量的（可求面積），現(xiàn)隨機地向G內(nèi)投擲一點假

設(shè)點M必落在G中，且點M落在區(qū)域G的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的度量（長度、面積、體積等）

成正比，而與g的位置和形狀無關(guān).具有這種性質(zhì)的隨機試驗（擲點），稱為幾何概型.關(guān)于幾何概型的隨

機事件“向區(qū)域G中任意投擲一個點點M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率尸定義為：g的度量與G的

度量之比，即P=g的測度G的測度

簡單來說：求概率時，己知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率.計算方法是長度比，面積比，體積比等.

【清單06】列表法與樹狀圖法

（1）當(dāng)試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，

再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目m,

求出概率.

（3）列舉法（樹形圖法）求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個事件涉及三

個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.

（4）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝

丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果加

（5）當(dāng)有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

【清單07】游戲公平性

（1）判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

所求情況數(shù)

（2）概率=

總情況數(shù)

【清單08】利用頻率估計概率

（1）大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻

率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

（2）用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

（3）當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通

過統(tǒng)計頻率來估計概率.

【清單09】模擬試驗

（1）在一些有關(guān)抽取實物實驗中通常用摸取卡片代替了實際的物品或人抽取，這樣的實驗稱為模擬試驗.

（2）模擬試驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行實驗，或用計算機編號等進行實驗，目的在于省時、

省力，但能達到同樣的效果.

（3）模擬試驗只能用更簡便方法完成，驗證實驗?zāi)康模荒芨淖儗嶒災(zāi)康模@部分內(nèi)容根據(jù)《新課標(biāo)》

要求，只要設(shè)計出一個模擬試驗即可.

型精單

【考點題型一】列舉法計算概率

【例1】（2023秋?歷城區(qū)期末）學(xué)校運動會中，運動員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個項目中任意選擇一

個項目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項目的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2344

【分析】畫樹狀圖展示所有4種等可能的結(jié)果，找出兩人恰好都選擇鉛球項目的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式

計算.

【解答】解：畫樹狀圖為：

開始

小明鉛球跳高

小剛鉛球跳高斛跳高

共有4種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好都選擇鉛球項目的結(jié)果數(shù)為1種，

所以兩人恰好都選擇鉛球項目的概率=」.

4

故選：C.

【點評】本查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出“，再從中選出符合事件

A或3的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求出事件A或3的概率.

【變式1-1］（2023秋?商河縣期末）某校舉行以《大國重器》為主題的演講比賽，其中一個環(huán)節(jié)是即興演講，

該環(huán)節(jié)共有三個題目，由電腦隨機給每位參賽選手派發(fā)一個題目，選手根據(jù)題目對應(yīng)的內(nèi)容進行90秒演講，

小亮和小敏都參加了即興演講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個題目的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3642

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中電腦給小亮和小敏派發(fā)的是同一個題目的結(jié)果有3種，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：把三個題目分別記為A、B.C,

畫樹狀圖如下:

開始

共有9種等可能的結(jié)果，其中電腦給小亮和小敏派發(fā)的是同一個題目的結(jié)果有3種，

電腦給他們派發(fā)的是同一個題目的概率是士3=」1，

93

故選：A.

【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或

兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)

與總情況數(shù)之比.

【變式1-2］（2023秋?登封市校級期末）在一個不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個，它們除顏

色外其余都相同.某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，

不斷重復(fù)，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)50010001500200025003000

摸到白球的0.7480.7510.7540.7470.7500.749

頻率

（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時，摸到白球的頻率將會接近.（精確到0.01）

（2）試估算口袋中白球有一個.

（3）現(xiàn)有另一個不透明的口袋中裝有一紅一白兩個球，它們除顏色外其余都相同.一學(xué)生從兩個口袋中各

摸出一個球，請利用畫樹狀圖或列表的方法計算這兩個球顏色相同的概率.

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當(dāng)〃很大時，摸到白球的頻率接近0.75.

（2）根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.75,然后利用概率公式計算白球的個數(shù).

（3）先利用畫樹狀圖法展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個球顏色相同所占結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式求解.

【解答】解：（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時，摸到白球的頻率將會接近0.75；

故答案為：0.75

（2）由（1）得摸到白球的概率率為0.75,

所以可估計口袋中白球有4x0.75=3（個）；

故答案為：3

（3）將第一個口袋中3個白球分別記為白「白2，白3,畫樹狀圖如下:

開始

共有8種等可能的結(jié)果，其中兩個球顏色相同的情況有4種.

兩個球顏色相同的概率為----

82

【點評】本題考查了如何利用頻率估計概率，列表法或樹狀圖法求概率，在解題時要注意頻率和概率之間的

關(guān)系.

【變式1-31（2023秋?安州區(qū)期末）一個不透明的箱子里裝有1個白色小球和若干個紅色小球，每個小球除

顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量

重復(fù)實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右.

（1）請你估計箱子里紅色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【分析】（1）根據(jù)摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25,設(shè)紅色小球的

個數(shù)為x,根據(jù)概率公式進行計算即可；

（2）畫出樹狀圖，求出概率即可.

【解答】解：（1）摸到白色小球的頻率穩(wěn)定于0.25左右，

摸到白色小球的概率是0.25,

設(shè)紅色小球的個數(shù)為無，由題意，得：—=0.25,

1+x

解得：x=3,

經(jīng)檢驗x=3是原方程的解；

箱子里紅色小球的個數(shù)為3；

（2）畫出樹狀圖，如下：

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球恰好顏色不同的結(jié)果數(shù)為6,

??.兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率為9=3.

168

開始

【點評】本題考查利用頻率估計概率，利用概率求小球的數(shù)量，以及畫樹狀圖求概率.熟練掌握概率是頻率

的穩(wěn)定值，求出小球的數(shù)量，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-4］（2023秋?萊西市期末）在一個不透明的口袋里裝有紅、白兩種顏色的球共4個，它們除顏色外

其余都相同.某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷

重復(fù)，如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)1050150750150030005000

摸到白球的頻0.50.80.820.7470.7490.7500.750

率

（1）試估算口袋中白球有個.

（2）現(xiàn)有另一個不透明的口袋中裝有一紅一白兩個球，它們除顏色外其余都相同.一學(xué)生從兩個口袋中各

摸出一個球，請利用畫樹狀圖或列表的方法計算這兩個球顏色相同的概率.

【分析】（1）根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.75,然后利用概率公式計算白球的個數(shù).

（2）先利用畫樹狀圖法展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個球顏色相同所占結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式求解.

【解答】解：（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時，摸到白球的頻率將會接近0.75,所以摸到白球的概率為0.75,

所以可估計口袋中白球有4x0.75=3（個）；

故答案為：3；

（2）將第一個口袋中3個白球分別記為白?,白2，白3，畫樹狀圖如下:

開始

共有8種等可能的結(jié)果，其中兩個球顏色相同的情況有4種.

兩個球顏色相同的概率為

82

【點評】本題考查了利用頻率估計概率，列表法或樹狀圖法求概率，在解題時要注意頻率和概率之間的關(guān)

系.

【變式1-5］（2023秋?順德區(qū)期末）一個盒子中有紅球、白球共3個，這些球除顏色外都相同.

（1）隨機摸出一個球，記下顏色后再放回盒子中，不斷重復(fù)這一過程.在120次摸球中有80次摸到白球，

估計盒子中白球的數(shù)量；

（2）在（1）的結(jié)論下同時摸出兩個球，求摸到的球顏色相同的概率.

【分析】（1）設(shè)盒子中大約有白球x個，根據(jù)“白球數(shù)量+黑白球總數(shù)=白球所占比例”來列等量關(guān)系式,

其中“黑白球總數(shù)=黑球個數(shù)+白球個數(shù)”，”白球所占比例=隨機摸到的白球次數(shù)+總共摸球的次數(shù)”；

（2）列表或樹狀圖后利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：3x—=2,

120

故白球有2個；

（2）根據(jù)題意列樹狀圖得：

「共6種等可能的結(jié)果，顏色相同的有2種，

.??顏色相同的概率為47=▲1.

63

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率和利用頻率估計概率的知識.注意列表法或畫樹狀圖法

可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

【考點題型二】抽象概率模型解決實際問題

【例2】（2023秋?南山區(qū)期末）近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一

部分.小剛將二維碼打印在面積為20的正方形紙片上，如圖，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨

機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)實驗，發(fā)現(xiàn)點落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計此二維碼中黑色陰影

的面積為（）

A.8B.12C.0.4D.0.6

【分析】用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可.

【解答】解：經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

據(jù)此可以估計黑色部分的面積為20x0.6=12.

故選：B.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式.

【變式2-1］（2023秋?沙河口區(qū)期末）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計

算器進行模擬試驗來探究“6個人中有2個人同月過生日的概率”，他們將試驗中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：

試驗次數(shù)100300500100016002000

“有2個人同月過生日”的次8022939277912511562

數(shù)

“有2個人同月過生日”的頻0.80.7630.7840.7790.7820.781

率

通過試驗，該小組估計“6個人中有2個人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）

A.0.8B.0.784C.0.78D.0.76

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，該小組估計“6個人中有2個人同月過生日”的頻率都在0.78左

右，從而得出該小組估計“6個人中有2個人同月過生日”的概率.

【解答】解：通過圖表給出的數(shù)據(jù)得出，該小組估計“6個人中有2個人同月過生日”的概率大約是0.78.

故選：C.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且

擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就

是這個事件的概率.

【變式2-2］（2023秋?新昌縣期末）工廠質(zhì)檢員對甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進行抽檢，統(tǒng)計合格的件數(shù)，得到

如下表格：

抽取件數(shù)501002003005001000

(件)

合格頻數(shù)4994192285m950

合格頻率0.980.940.960.950.95n

(1)表格中m的值為,n的值為

(2)估計任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率.

(3)該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應(yīng)員工獎金中扣除給工廠2元的材料損失費，今

天甲員工被抽檢了460件產(chǎn)品，估計要在他獎金中扣除多少材料損失費？

【分析】(1)根據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)求解即可；

(2)用1減去合格品頻率的穩(wěn)定值即可；

(3)總數(shù)量乘以不合格品的概率，再乘以每件的損失費即可.

【解答】解：(1)加=5OOx0.95=475,"=950:1000=0.95,

故答案為:475、0.95；

(2)1-0.95=0.05.

答：任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率為0.05；

(3)460x0.05x2=46(元).

答：估計要在他獎金中扣除46元.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并

且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值

就是這個事件的概率.

【變式2-3](2023秋?湖州期末)某玩具公司承接了第19廟杭州亞運會吉祥物公仔的生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)對一批

公仔進行抽檢，其結(jié)果統(tǒng)計如下，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問題：

抽取的公仔數(shù)10100100020003000

n

優(yōu)等品的頻數(shù)99696219202880

m

優(yōu)等品的頻率0.90.96a0.96b

(1)a=；b=

(2)估計從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是—.(精確到0.01)

（3）若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？

【分析】（1）用頻數(shù)除以總數(shù)即可；

（2）由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.96左右擺動，利用頻率估計概率可判斷任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率

為0.96.

（3）用總數(shù)量乘以優(yōu)等品的概率即可.

【解答】解：⑴4=962+1000=0.962,

6=2880+3000=0.96,

故答案為：0.962,0.96；

（2）從這批公仔中，任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率的估計值是0.96.

（3）這批公仔中優(yōu)等品大約有10000x0.96=9600（只），

答：估計這批公仔中優(yōu)等品大約有9600只.

【點評】本題考查了頻數(shù)與頻率，利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左

右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固

定的近似值就是這個事件的概率.用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

【變式2-4].（2023秋?豐滿區(qū)期末）某校生物興趣小組在相同的試驗條件下，對某植物種子發(fā)芽率進行試

驗研究時，收集的以下試驗結(jié)果：

試驗的種子數(shù)5）50010001500200030004000

發(fā)芽的種子粒數(shù)（加）4719461425189828533812

發(fā)芽頻率（二）0.9420.946X0.949y0.953

m

（1）求表中x,y的值；

（2）任取一粒這種植物的種子，請你估計它能發(fā)芽的概率（精確到0.01）;

（3）若該學(xué)校勞動基地需要這種植物幼苗7600株，試估算該小組需要準(zhǔn)備多少粒種子進行發(fā)芽培育.

【分析】（1）用發(fā)芽種子數(shù)除以試驗的種子數(shù)即可得出x、y的值;

（2）根據(jù)頻率估計概率求解即可;

（3）用需要這種植物幼苗數(shù)量除以種子能發(fā)芽的概率可得答案.

【解答】解：（1）x=1425+1500=0.95,y=2853+3000=0.951,

故答案為：0.95,0.951；

（2）任取一粒這種植物的種子，估計它能發(fā)芽的概率是0.95,

故答案為:0.95；

（3）7600:0.95=8000，

答：估算至少需要準(zhǔn)備8000粒種子進行發(fā)芽培育.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并

且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值

就是這個事件的概率.

【考點題型三】建立方程模型求解概率問題

【例3】（2023秋?長安區(qū)期末）在一個不透明的口袋中有20個球，這些球除顏色外均相同，其中白球x個，

綠球2x個，其余為黑球.攪勻后，甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中攪

勻，乙從袋中任意摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)住⒁译p方都公平，則無的值應(yīng)為一.

【分析】若游戲?qū)住⒁译p方都公平，則口袋中綠球和黑球的個數(shù)相等，則黑球的個數(shù)為2x個，列式求出

尤即可.

【解答】解：「游戲?qū)住⒁译p方都公平，

口袋中綠球和黑球的個數(shù)相等，

二.黑球的個數(shù)為2x個，

,'.x+2x+2x—20,

解得x=4.

故答案為：4.

【點評】題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則

就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

【變式3-1］（2022秋?沈河區(qū)期末）一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，在袋中

放入3個除了顏色外其余均相同的白球，隨機的從袋子中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，

通過大量重復(fù)這樣的試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個數(shù)為（）

A.11B.14C.17D.20

【分析】根據(jù)口袋中有3個白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相等求出即可.

【解答】解：設(shè)紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意得：

3=0.15,

3^

解得：尤=17,

經(jīng)檢驗x=17是原方程的解，

則紅球的個數(shù)為17個.

故選：C.

【點評】此題主要考查了用樣本估計總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相

等是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022秋?邯鄲期末）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4個,

某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過

程，下表是試驗進行中的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

摸球的次數(shù)n101002005001000

摸到黑球的次32651126251

數(shù)m

摸到黑球的頻0.30.260.2550.2520.251

率四

n

（1）當(dāng)〃很大時，摸到黑球的頻率將會趨近—（精確到0.01）,該袋子中的黑球有一個；

（2）該學(xué)習(xí)小組成員從該袋中隨機摸出2個球，請你用列表或畫樹狀圖的方法求出隨機摸出的2個球的

顏色不同的概率.

【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可，根據(jù)概率公式可求得黑球的個數(shù)；

（2）根據(jù)畫樹狀圖，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【解答】解：（1）當(dāng)w很大時，摸到黑球的頻率將會趨近0.25,

估計摸到黑球的概率為0.25,設(shè)黑球有。個，則曳=o25，

4'

解得：a=l,

故答案為：0.25,1；

（2）樹狀圖如圖；

白白黑白白黑白白黑白白白

摸的第2個球231312123

共有12種等可能的情況，其中摸出的2個球的顏色不同的情況有6種，

???隨機摸出的2個球的顏色不同的概率為且

122

【點評】本題考查了用頻率估計概率、用樹狀圖求概率，會用樹狀圖列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023秋?崇義縣期末）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共30只，這些球除顏

色外其余完全相同.攪勻后，小明做摸球試驗，他從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，

不斷重復(fù)上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).

摸球的次10020030050080010003000

數(shù)〃

摸到白球521381783024815991803

的次數(shù)加

摸到白球0.520.690.5930.6040.600.5990.601

的頻率

（1）若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為—（精確到0.1）;

（2）盒子里白色的球有一只；

（3）若將機個完全一樣的白球放入這個盒子里并搖勻，隨機摸出1個球是白球的概率是0.8,求機的值.

【分析】（1）由表中〃的最大值所對應(yīng)的頻率即為所求；

（2）用總數(shù)乘以其頻率即可求得頻數(shù)；

（3）利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由表可知，若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為0.6,

故答案為：0.6；

（2）.?摸到白球的概率為0.6,共有30只球，

.?.則白球的個數(shù)為30*0.6=18（只），

故答案為：18；

（3）根據(jù)題意得：竺土竺=0.8,

30+m

解得：m=30.

答：機的值為30.

【點評】此題考查利用頻率估計概率.大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識點為：部分的具體數(shù)

目=總體數(shù)目x相應(yīng)頻率.

【變式3-4］（2023秋?上饒期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗結(jié)果如下表所示；

Cl）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計值是多少？

（2）從這批乒乓球中選擇5個黃球、13個黑球、22個紅球，它們除顏色外都相同，將它們放入一個不透明

的袋中.

①求從袋中摸出一個球是黃球的概率；

②現(xiàn)從袋中取出若干個黑球，并放入相同數(shù)量的黃球，攪拌均勻后使從袋中摸出一個是黃球的概率不小于

問至少取出了多少個黑球？

3

抽取的乒乓球數(shù)”200500100015002000

優(yōu)等品頻數(shù)7"18847194614261898

優(yōu)等品頻率〃優(yōu)0.9400.9420.9460.9510.949

【分析】（1）利用頻率估計概率求解即可；

（2）①利用概率公式求解即可；②設(shè)從袋中取出x個黑球，根據(jù)摸出一個是黃球的概率不小于工列方程求

3

解即可.

【解答】解：（1）這批乒乓球“優(yōu)等品”的概率的估計值是0.95；

（2）①從袋中摸出一個球是黃球的概率為一--=-；

5+13+228

②設(shè)從袋中取出x個黑球，

根據(jù)題意得：出.」，

403

解得X..8—,

3

答：至少取出了9個黑球.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并

且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值

就是這個事件的概率.

【考點題型四】利用概率判斷游戲的公平性

【例4】（2023秋?雨花區(qū)期末）甲、乙兩位同學(xué)玩轉(zhuǎn)盤游戲，游戲規(guī)則：將圓盤平均分成三份，分別涂上紅，

黃，綠三種顏色，兩位同學(xué)分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（若壓線，重新轉(zhuǎn)）.若兩次指針指到的顏色相同，則甲獲

勝；若兩次指針指到的顏色是黃綠組合則乙獲勝；其余情況則視為平局.

（1）請用畫樹狀圖的方法，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）試用概率說明游戲是否公平.

【分析】（1）畫出樹狀圖，進一步一一列舉得出所有情況即可;

（2）計算甲、乙獲勝的概率，進一步比較得出答案即可.

【解答】解：（1）如圖所示:

（紅，紅），（紅，黃），（紅，綠），（黃，紅），（黃，黃）,

（黃，綠），（綠，紅），（綠，黃），（綠，綠）共9種情況;

31

（2）P（甲獲勝）

93

9

P（乙獲勝）=-,

9

P（甲獲勝）＞P（乙獲勝）,

所以游戲不公平.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公

平，否則就不公平.利用概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比解決問題.

【變式4-1］（2023秋?惠城區(qū)校級期末）如圖，三個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個

扇形，并涂上圖中所示的顏色.小強和小亮用轉(zhuǎn)盤A和轉(zhuǎn)盤3做一個轉(zhuǎn)盤游戲：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中

一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍色即可配成紫色，則小強獲勝；若兩個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的顏色相同，則小亮獲勝；在

其他情況下，小強和小亮不分勝負.

（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示此游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

（2）小強認為此游戲不公平，請你幫他說明理由；

（3）請你在轉(zhuǎn)盤C的空白處，涂上適當(dāng)顏色，使得用轉(zhuǎn)盤C替換轉(zhuǎn)盤8后，游戲?qū)π姾托×潦枪降模ㄔ?/p>

空白處填寫表示顏色的文字即可，不要求說明理由，只需給出一種結(jié)果即可）.

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，即可得出答案；

（2）由（1）中的樹狀圖知，共有15種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中可配成紫色的結(jié)果有3種，兩個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出

的顏色相同的結(jié)果有4種，然后利用概率公式求解即可求得小強獲勝與小亮獲勝的概率，比較大小即可；

（3）使得小強獲勝與小亮獲勝的概率相等即可.

【解答】解：（1）畫樹狀圖得：

開始

轉(zhuǎn)席A紅黃藍

力?一

轉(zhuǎn)盤B紅黃藍白藍紅黃藍白藍紅黃藍白藍

則共有15種等可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）小強認為此游戲不公平，理由如下：

由（1）得：共有15種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中可配成紫色的結(jié)果有3種，兩個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的顏色相同的結(jié)果

有4種，

二小強獲勝的概率為3=上，小亮獲勝的概率為二，

15515

.?.此游戲不公平；

（3）如圖，（答案不唯一）.

【點評】本題考查了游戲公平性、樹狀圖法求概率，判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率

相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

【變式4-2］（2023秋?越城區(qū)期末）在學(xué)習(xí)概率的課堂上，老師提出問題：只有一張電影票，小麗和小芳想

通過抽取撲克牌的游戲來決定誰去看電影，請你設(shè)計一個對小麗和小芳都公平的方案.甲同學(xué)的方案：將紅

桃2、3、4、5四張牌背面向上，小麗先抽一張，小芳從剩下的三張牌中抽一張，若兩張牌上的數(shù)字之和是

奇數(shù)，則小麗看電影，否則小芳看電影.

(1)甲同學(xué)的方案公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明；

(2)乙同學(xué)將甲的方案修改為只用紅桃2、3、5、7四張牌，抽取方式及規(guī)則不變，乙的方案公平嗎？并說

明理由.

【分析】(1)依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件

的概率，比較即可.

(2)依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率,

比較即可.

【解答】解：(1)甲同學(xué)的方案不公平.理由如下：

列表法，

小麗2345

小芳

2(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,2)(3,4)(3,5)

4(4,2)(4,3)(4,5)

5(5,2)(5,3)(5,4)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中抽出的牌面上的數(shù)字之和為奇數(shù)的有8種，故小麗獲勝的概率為:

-=則小芳獲勝的概率為：

1233

故此游戲兩人獲勝的概率不相同，即他們的游戲規(guī)則不公平；

(2)公平.理由如下:

列表如下：

小麗2357

小芳

2(2,3)(2,5)(2,7)

3(3,2)(3,5)(3,7)

5(5,2)(5,3)(5,7)

7(7,2)(7,3)(7,5)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中抽出的牌面上的數(shù)字之和為奇數(shù)的有：6種，故小麗獲勝的概率為:

則小芳獲勝的概率為工，

1222

故此游戲兩人獲勝的概率相同，即他們的游戲規(guī)則公平.

【點評】此題主要考查了游戲公平性，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表

法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合于兩步或兩步以上的完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情

況數(shù)與總情況數(shù)之比.

【變式4-3］（2023秋?萬年縣期末）萬年縣舉行校園安全知識競賽，要求每個學(xué)校只派一名學(xué)生參賽.某學(xué)

校舉行了校內(nèi)選拔賽，其中袁夢和孟想兩位同學(xué)獲得最高分（分數(shù)相同），袁夢和孟想想通過游戲來決定誰

參加縣里比賽.游戲規(guī)則：在一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4,

另有一個可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤，被分成面積相等的三個扇形區(qū)域，分別標(biāo)有數(shù)字5、6、7（如圖）：一人從

口袋中摸出一個球，另一個人轉(zhuǎn)動圓盤，如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于8,那么袁夢去;

否則孟想去.

（1）用樹狀圖或列表法求出袁夢參加比賽的概率.

（2）你認為該游戲公平嗎？若不公平，請修改游戲規(guī)則，使游戲公平.

【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可計算出概率；

（2）根據(jù)概率比較概率是否相等，即可判斷游戲是否公平.

【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：

開始

一一--------------

567

八/V八

123412341234

共有12種等可能的結(jié)果，滿足條件的有3種情況，

124

（2）不公平，

P（和小于8）=；,

P（和大于或等于8）=士，

故游戲不公平;

可改為：若指針?biāo)笖?shù)字之和為偶數(shù)，則袁夢獲勝；若指針?biāo)笖?shù)字之和為奇數(shù)，則孟想獲勝;

P(和為偶數(shù))=p(和為奇數(shù))

2

【點評】本題主要考查了游戲公平性的判斷，樹狀圖或列表法求概率；熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-4](2023秋?翠屏區(qū)期末)將正面分別寫著數(shù)字0、1、2的三張卡片(注：這三張卡片的形狀、大

小、質(zhì)地、顏色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，這三張卡片看上去無任何差別)洗勻后，背

面朝上放在桌面上，甲從中隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為，〃，然后放回洗勻，背面朝上放在桌面

上，再由乙從中隨機抽取一張卡片，記該卡片上的數(shù)字為〃，組成一數(shù)對(利,〃).

(1)請用樹狀圖或列表的方法求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：按上述要求，兩人各抽一次卡片，卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)則甲贏，數(shù)

字之和為偶數(shù)則乙贏.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

【分析】(1)利用枚舉法解決問題即可.

(2)求出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率，數(shù)字之和為偶數(shù)的概率即可判斷.

【解答】解：(1)列表如下：

012

0(0,0)(0,1)(0,2)

1(1,0)(1,1)(1,2)

2(2,0)(2,1)(2,2)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)共9種.

(2)數(shù)字之和為奇數(shù)的概率=±,數(shù)字之和為偶數(shù)的概率=?,

99

45

——W—

99

這個游戲不公平.

【點評】本題考查游戲公平性，概率等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【變式4-5](2023秋?大同期末)如圖所示的甲、乙兩張圖片形狀完全相同，把這兩張圖片全部從中間剪斷，

再把4張形狀相同的小圖片混合在一起攪勻.小康和小英做游戲，小康先從這4張圖片中隨機地摸取一張

(不放回)，小英接著再隨機地摸取一張.

(1)小康抽到甲圖片上半部分圖片的概率是一；

(2)請用列表法或畫樹狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的情況；

(3)游戲規(guī)定：所抽取的兩張圖片中，能拼成一張完整的圖片，那么小康獲勝；否則小英獲勝，你認為這

個游戲公平嗎？并說明理由.

【分析】(1)利用概率的計算公式計算即可;

(2)設(shè)四張小圖片分別用A,a,B,6表示，畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)即可；

(3)分別求出小康和小英獲勝的概率，比較即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)小康抽取一張共有4種結(jié)果，是等可能性的，抽到甲圖片上半部分圖片有1種結(jié)果，

，小康抽到甲圖片上半部分圖片的概率是工；

4

(2)設(shè)四張小圖片分別用A,a,B,。表示，畫樹狀圖得：

江始

第一次

第二次ciBbABbAabAaB

(3)「共有12種等可能的結(jié)果，其中摸取的兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的有4種，

一.小康獲勝的概率為巴=L

123

摸取的兩張小圖片不能合成一張完整圖片的有8種，

.??小英獲勝的概率為號=2；

123

12

_w一,

33

，游戲不公平.

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是掌握概率的求法：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)

之比.

【考點題型五】概率與其他知識的綜合應(yīng)用

【例5】(2023秋?江夏區(qū)校級期末)如圖，陰影部分是分別以正方形ABCD的頂點和中心為圓心，以正方形

邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.在正方形ABCD上做隨機投針試驗，針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的

概率是-.

一2一

A.------------

BC

【分析】令正方形的邊長為24,針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率是陰影部分的面積與正方形面積的比.

【解答】解：如圖，令正方形的邊長為2”，

則陰影部分的面積為2*工*萬.°2+2（?2~-x^--a2）=-7ra2+2a2--/ra2=2a2，

4422

所以針頭落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率是土=▲.

4a~2

故答案為：-

2

【點評】本題考查幾何概率的計算，涉及圓的面積在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計算出陰影部分的面積.

【變式5-1］（2023秋?武侯區(qū)校級期末）4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0、1、-2、3,將卡片的背面朝上，

洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來；再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片

上的數(shù)字記錄下來.

（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負數(shù)的概率為;

（2）小敏設(shè)計了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結(jié)果為非負數(shù)時,

甲獲勝；否則，乙獲勝.小敏設(shè)計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請用樹狀圖或列表等方法說明理由）

【分析】（1）利用概率公式求解即可；

（2）利用列表法列舉出所有可能結(jié)果，再利用概率公式得出甲、乙獲勝的概率，即可得出答案.

【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上數(shù)字是非負數(shù)的概率為』，

4

故答案為：—；

4

（2）小敏設(shè)計的游戲規(guī)則公平，理由如下:

列表如下：

01-23

01-23

1-1