PAGE§2角的概念的推廣學問點一角的概念[填一填]1．角可以看成平面內一條射線圍著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．[答一答]1．一條射線繞端點旋轉，旋轉的圈數越多，則這個角越大，這樣說對嗎？提示：不對．假如一條射線繞端點按順時針方向旋轉，則它形成負角，旋轉的圈數越多，則這個角越小，故這個說法不正確．學問點二角的分類[填一填]2．(1)按旋轉方向可將角分類(2)按角終邊的位置分類[答一答]2．在坐標系中，將y軸的正半軸繞坐標原點順時針旋轉到x軸的正半軸形成的角為90°，這種說法是否正確？提示：不正確．在坐標系中，將y軸的正半軸繞坐標原點旋轉到x軸的正半軸時，是按順時針方向旋轉，故它形成的角為－90°.學問點三終邊相同的角的表示[填一填]3．一般地，全部與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數倍的和．[答一答]3．銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角這四種角有什么差別？提示：受初中所學角的范圍的影響，看到這四種角往往就說它們相同．其緣由是雖然已經將角擴充到了隨意角，但是解決問題時，考慮的角還僅僅是銳角、直角、鈍角，即初中所學的角的范圍，沒有按隨意角來看待．其突破方法是把握各種角的取值范圍．這四種角的范圍用集合表示如下：銳角的集合是{α|0°<α<90°},0°～90°的角的集合是{α|0°≤α<90°}，小于90°的角的集合是{α|α<90°}，第一象限角的集合是{α|k×360°<α<k×360°＋90°，k∈Z}，所以銳角肯定是第一象限角，而第一象限角不都是銳角，小于90°的角包括銳角、零角、負角．1．對角的概念的兩點說明(1)描述角時，往往用角的其次種定義，即用運動觀點來定義角，由始邊旋轉一個角度到達終邊，其中始邊和終邊要區分，不能混淆．(2)在描述角度(角的大小)時肯定要抓住三點：①要明確旋轉方向；②要明確旋轉的大小；③要明確射線未作任何旋轉時的位置．2．隨意角概念的四個關注點類型一角的概念的推廣【例1】下列各種說法正確的是()A．終邊相同的角肯定相等B．第一象限角就是銳角C．銳角是第一象限角D．小于90°的角都是銳角【思路探究】銳角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，當k＝0時，第一象限角的范圍就與銳角的范圍一樣．【解析】對于選項A，－60°與300°是終邊相同的角，它們并不相等，故說法錯誤；對于選項B,390°是第一象限角，但它不是銳角，故說法錯誤；對于選項D，－30°是小于90°的角，但它不是銳角，故說法錯誤．【答案】C規律方法(1)熟記一些角的概念，如第一象限角α可表示為{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．(2)熟識一些角與角的基本關系，如銳角是第一象限角，反之不成立；鈍角是其次象限角，反之也不成立．經過5小時25分鐘，時鐘的分針和時針各轉過多少度？解：時針走一周用12小時，即12小時轉－360°，那么時針每小時應轉－30°，而5小時25分鐘為5eq\f(5,12)小時，由此可求出時針轉的度數；而分針每小時轉－360°，因而分針轉的度數也可求．所以，時針轉過的角度為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×30°＝－162.5°；分針轉過的角度為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1950°.類型二終邊相同的角及象限角【例2】在0°到360°的范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并分別推斷它們是哪個象限的角．(1)1005°；(2)2583°34′；(3)－1342°15′；(4)－470°.【解】(1)因為1005°＝2×360°＋285°，所以285°就是與1005°終邊相同的角，它是第四象限角，所以1005°是第四象限角．(2)因為2583°34′＝7×360°＋63°34′，所以63°34′就是與2583°34′終邊相同的角，它是第一象限角，所以2583°34′是第一象限角．(3)因為－1342°15′＝－4×360°＋97°45′，所以97°45′就是與－1342°15′終邊相同的角，它是其次象限角，所以－1342°15′是其次象限角．(4)因為－470°＝－2×360°＋250°，所以250°就是與－470°終邊相同的角，它是第三象限角，所以－470°是第三象限角．規律方法先將這些角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，再依據角α來確定它們所屬的象限．寫出與25°角終邊相同的角的集合，并求出該集合中滿意不等式－1080°≤β<－360°的角β.解：法1：賦值法與25°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，則有β＝－3×360°＋25°＝－1055°，符合條件；令k＝－2，則有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合條件；令k＝－1，則有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合條件；故符合條件的角有－1055°，－695°.法2：解不等式法與25°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．解不等式－1080°≤k·360°＋25°<－360°，得－3eq\f(5,72)≤k<－1eq\f(5,72).又∵k∈Z，∴k＝－3或k＝－2.當k＝－3時，β＝－1055°；當k＝－2時，β＝－695°，故符合條件的角有－1055°，－695°.類型三區域角的表示【例3】如圖所示，寫出終邊落在陰影區域Ⅰ，Ⅱ(不包括邊界)的角的集合．【思路探究】由題知，角的終邊在兩個對頂陰影區域內(不包括邊界)．可以先依據圖形寫出終邊在每個區域內的角的集合，再對寫出的兩個集合求并集，并化簡．也可以用k·180°＋α(k∈Z)的形式干脆寫出．【解】法1：在0°～360°范圍內，終邊落在陰影區域Ⅰ，Ⅱ(不包括邊界)的角α應分別滿意45°<α<135°，225°<α<315°.所以終邊落在陰影區域Ⅰ，Ⅱ中的角的集合分別為A＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}，B＝{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}．故滿意題意的角的集合為A∪B＝{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|k·360°＋225°<α<k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋45°<α<2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋45°<α<(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．法2：終邊落在第一、三象限內的邊界線上的一個角為45°，則終邊落在該邊界線上的角可寫為45°＋k·180°，k∈Z；終邊落在其次、四象限內的邊界線上的一個角為135°，則終邊落在該邊界線上的角可寫為135°＋k·180°，k∈Z，故所求角的集合為{α|k·180°＋45°<α<k·180°＋135°，k∈Z}．規律方法區域角的表示是在有限制條件的角的基礎上進行的，解題的關鍵是找出終邊落在區域邊界上的角．解題時，需留意以下三點：(1)區域邊界線是實線還是虛線；(2)角的旋轉方向；(3)一般地，角α的終邊在兩個對頂陰影區域內(不包括邊界)時，角可以表示為“k·180°＋θ1<α<k·180°＋θ2，k∈Z”(θ1<θ2)的形式．(1)若角α＝45°，β＝150°的終邊分別在射線OA，OB上，求終邊落在如圖(1)中陰影范圍內(包括邊界)的角的集合；(2)已知角α的終邊在如圖(2)的陰影部分(不包括邊界)內，求角α的集合．解析：(1)在0°～360°之間落入陰影部分的角是45°≤θ≤150°，則終邊落在圖中陰影范圍內(包含邊界)的角的集合是{θ|k·360°＋45°≤θ≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2)終邊落在l1上的角的集合為{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}，終邊落在l2上的角的集合為{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，則所求角的集合為{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋120°，k∈Z}．類型四由已知角的范圍、象限，探討未知角的范圍、象限【例4】若角α是其次象限角，試確定角2α,eq\f(α,3)分別是第幾象限角.【思路探究】【解】∵α是其次象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．(1)180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第三象限角或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角．(2)法1：k·120°＋30°<eq\f(α,3)<k·120°＋60°(k∈Z)，當k＝3n(n∈Z)時，n·360°＋30°<eq\f(α,3)<n·360°＋60°(n∈Z)，此時，eq\f(α,3)是第一象限角；當k＝3n＋1(n∈Z)時，n·360°＋150°<eq\f(α,3)<n·360°＋180°(n∈Z)，此時，eq\f(α,3)是其次象限角；當k＝3n＋2(n∈Z)時，n·360°＋270°<eq\f(α,3)<n·360°＋300°(n∈Z)，此時，eq\f(α,3)是第四象限角．綜上所述，eq\f(α,3)是第一象限角或其次象限角或第四象限角．法2：將平面直角坐標系中的每一個象限進行三等分，從x軸非負半軸起，按逆時針方向把各等分區域依次循環標上號碼1,2,3,4，如圖所示．∵α是其次象限角，∴圖中標有數字2的區域即eq\f(α,3)的終邊所在的區域，故eq\f(α,3)是第一象限角或其次象限角或第四象限角．規律方法倍角是第幾象限角的判定思路已知角α終邊所在的象限，確定nα終邊所在的象限，可依據角α的范圍求出nα的范圍，再轉化為終邊相同的角即可．留意不要漏掉nα的終邊在坐標軸上的狀況．已知角θ終邊所在的象限，確定eq\f(θ,n)(n∈N＋)終邊所在象限的常用方法有以下兩種：方法1分類探討法．利用已知條件寫出角θ的范圍(用k表示)，由此確定eq\f(θ,n)的范圍，然后對k進行分類探討，從而確定eq\f(θ,n)的終邊所在的象限．方法2等分象限法．要確定eq\f(θ,n)終邊所在的象限，可以作出n等分各個象限的從原點動身的射線，它們與坐標軸把周角等分成4n個區域，從x軸的非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區域依次循環標上號碼1,2,3,4，則標號是幾的區域，就是θ為第幾象限角時eq\f(θ,n)的終邊所在的區域，這樣角eq\f(θ,n)的終邊所在的象限就可以直觀地看出．說明：當n≥4時，角eq\f(θ,n)的終邊所在的區域分布在四個象限，探討的價值不大，一般只探討n＝2，n＝3的情形．已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)所在的象限是(D)A．第一或其次象限 B．其次或第三象限C．第一或第三象限 D．其次或第四象限解析：由k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得eq\f(k,2)·360°＋90°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋135°，k∈Z.當k為偶數時，eq\f(α,2)為其次象限角；當k為奇數時，eq\f(α,2)為第四象限角．——易錯警示——對角的概念理解不正確致誤【例5】下面說法正確的個數為()(1)其次象限角大于第一象限角．(2)三角形的內角是第一象限角或其次象限角．(3)鈍角是其次象限角．(4)小于90°的角是銳角．A．1 B．2C．3 D．4【錯解】選B或C【正解】其次象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)錯；三角形的內角可能為直角①，直角既不是第一象限角，也不是其次象限角，故(2)錯；(3)中鈍角是其次象限角是對的；小于90°的角②如－60°，不是銳角，故(4)錯．所以正確的只有1個．【錯解分析】在①處三角形的內角誤認為只有銳角和鈍角，忽視了直角，從而誤認為(2)正確；在②處依據初中的習慣，認為小于90°的角為銳角誤認為(4)正確．【答案】A【防范措施】明確角的分類的實質依據角的旋轉方向分為正角、負角和零角類似于實數正負之分；依據角的終邊位置分為象限角和終邊在坐標軸上的角，如在本例①處易忽視終邊落在坐標軸上的角的狀況．在坐標系中，下列說法中錯誤的是(C)A．銳角是第一象限角B．順時針方向旋轉生成的角是負角C．始邊與終邊重合的角是零角D．相等的角終邊相同解析：360°角的終邊也與始邊重合．即始邊與終邊重合的角的集合應為{α|α＝360°k，k∈Z}．故選C．一、選擇題1．下列說法正確的是(D)A．終邊相同的角都相等B．鈍角比第三象限角小C．第一象限角都是銳角D．銳角都是第一象限角解析：任何一個角α的終邊旋轉360°的整數倍后，還與它的終邊相同，但它們相差360°的整數倍．象限角只反映角的終邊的位置，而不反映角的大小，某象限角有多數多個，其中有正角，也有負角，所以第三象限角不肯定比鈍角大．第一象限角不肯定是銳角，但銳角肯定是第一象限角．2．下列各組角中，終邊相同的是(C)A．495°和－495°B．1