第三章函數第09講函數與平面直角坐標系TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01函數的相關概念辨析??題型02求自變量的取值范圍??題型03求自變量的值或函數值??題型04函數圖象的識別??題型05從函數圖象上獲取信息??題型06根據實際問題列函數解析式??題型07動點問題的函數圖象??題型08根據坐標系內點的坐標特征求解??題型09坐標與圖形變化??題型10點坐標規律的探索??題型11求坐標系中的圖形面積??題型12與圖形面積有關的存在性問題??題型13坐標方法的簡單應用??題型14新考法：跨學科問題??題型15新考法：新情景問題??題型01函數的相關概念辨析1．（2024·貴州·一模）2024年1月17日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭在我國海南文昌航天發射場點火發射．在升天過程中，燃料的體積隨火箭飛行高度的增加而減少．則在上述語段中，自變量是（

）A．貨運飛船的質量B．火箭飛行的高度 C．燃料的體積 D．火箭的質量2．（2023觀山湖區模擬）如圖，下列圖象能表示y是x的函數關系的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·北京·模擬預測）圖①中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度有ym與旋轉時間xmin之間的關系如圖②所示．下列說法正確的是（

A．變量y不是x的函數，摩天輪的直徑是65米B．變量y不是x的函數，摩天輪的直徑是70米C．變量y是x的函數，摩天輪的直徑是65米D．變量y是x的函數，摩天輪的直徑是70米4．（2023·北京豐臺·一模）下列關于兩個變量關系的四種表述中，正確的是（

）①圓的周長C是半徑r的函數；②表達式y=x中，y是x③下表中，n是m的函數；m?3?2?1123n?2?3?6632④下圖中，曲線表示y是x的函數A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④??題型02求自變量的取值范圍5．（2024·貴州黔東南·一模）若函數y=5x?5有意義，則自變量x的取值范圍是（A．x≠5 B．x≥5 C．x≤5 D．x>56．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四個函數中，自變量x的取值范圍是全體實數的是（

）A．y=x2 B．y=x?1 C．y=7．（2024·四川瀘州·三模）函數y=14?x+x+308．（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）函數y=2x?1+x+2中，自變量??題型03求自變量的值或函數值9．（2024·浙江·模擬預測）設函數y=x2,x≥1x,x10．（2024·江西南昌·模擬預測）已知華氏溫度(℉)和攝氏溫度(℃)的換算關系為：攝氏溫度=59×（華氏溫度?32)，在1個標準大氣壓下冰的熔點為0℃，則在1個標準大氣壓下冰的熔點為11．（2024·江蘇泰州·二模）在測量某種液體密度的實驗中，根據測得的該種液體和燒杯的總質量m（g）與該種液體的體積V（cm3），繪制了如圖所示的函數圖像（圖中為一線段），則72g該種液體的體積為cm3．12．（2024·廣西百色·二模）你知道什么是“低碳生活”嗎？“低碳生活”是指人們生活中盡量減少所耗能量，從而降低（特別是二氧化碳）的排放量的一種生活方式．排碳計算公式：家居用電的二氧化碳排放量kg=耗電量開私家車的二氧化碳排放量kg=耗油量家用天然氣二氧化碳排放量kg=天然氣使用量家用自來水二氧化碳排放量kg=自來水使用量(1)設家居用電的二氧化碳排放量為ykg，耗電量為x(2)在上述關系式中，耗電量每增加1kW?h，二氧化碳排放量增加______；當耗電量從1(3)小明家本月家居用電大約110kW?h，天然氣20m3??題型04函數圖象的識別13．（2024·四川成都·模擬預測）把一個長方體鐵塊放在如圖所示的圓柱形容器內，現按一定的速度向容器內均勻注水，1min后將容器內注滿．那么容器內水面的高度h(單位：cm)與注水時間t(單位：s)之間的函數關系圖象大致是（

A．B．C．D．14．（2024·廣東江門·模擬預測）“漏壺”是一種古代計時器，在它內部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出．壺內壁有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間．用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度．下列哪個圖象適合表示y與x的對應關系？（不考慮水量變化對壓力的影響）（

）

A．

B．

C．

D．

15．（2024·浙江金華·模擬預測）某校與部隊聯合開展紅色之旅研學活動，上午7：00，部隊官兵乘坐軍車從營地出發，同時學校師生乘坐大巴從學校出發，沿公路（如圖）到愛國主義教育基地進行研學．上午8：00，軍車追上大巴并繼續前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時到達基地，設軍車與大巴離倉庫的路程為s，所用時間為tA． B． C． D．16．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在兩個大小相同的玻璃瓶中分別裝有質量相同且初始溫度均為16℃的豆漿和牛奶，同時浸入100℃的熱水中加熱相同的時間，已知牛奶比豆漿的溫度升高得慢，則上述實驗的一段時間內，牛奶和豆漿的溫度T（℃）隨加熱時間tA．

B．

C．

D．

??題型05從函數圖象上獲取信息17．（2024·貴州遵義·模擬預測）生命在于運動，健康在于鍛煉．如圖是愛好運動的小聰某天登山過程中所走的路程s（單位：m）與時間t（單位：min）的函數關系圖象．則下列結論正確的是（

）A．后800m的速度為32m/C．后800m速度在逐漸增加 D．整個登山過程的平均速度為18．（2024·貴州·模擬預測）2024年3月5日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議在北京開幕，政府工作報告中一個新關鍵詞“人工智能+”引發熱議，隨著人工智能的發展，智能機器人送餐成為時尚．如圖①是某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發，準備給客人送餐，聰聰比慧慧先出發，且速度保持不變，慧慧出發一段時間后將速度提高到原來的2倍．設聰聰行走的時間為x(s)，聰聰和慧慧行走的路程分別為y1(cm)、y2(cm)，A．客人距離廚房門口450cm； B．慧慧比聰聰晚出發15C．聰聰的速度為10cm/s； 19．（2024·河北·模擬預測）某班級同學從學校出發去白鹿原研學旅行，一部分坐大客車先出發，余下的幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，5min后小轎車趕了上來，大客車隨即開動，以出發時速度的107繼續行駛，小轎車保持原速度不變，最終兩車相繼到達了景點入口，兩車距學校的路程S(單位：km)和行駛時間t((1)求大客車在途中等候時距學校的路程有多遠？(2)在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有多遠？20．（2024·湖南長沙·模擬預測）圖1為小明和妹妹小紅每天的出行路線，某天兄妹倆從學校出發，到書吧看書后回家，哥哥小明步行先出發，途中速度保持不變：妹妹騎車從學校出發，到書吧前的速度為200米/分，兩人離學校的路程s（米）與哥哥離開學校的時間t（分）的函數圖像在圖2中分別表示．(1)求小明步行的速度．(2)已知妹妹小紅比哥哥小明遲2分鐘到書吧．①求圖中a的值；②若妹妹僅在書吧停留了11分鐘后就準備回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上時兄妹倆離家還有多遠．??題型06根據實際問題列函數解析式21．（2024·山西·模擬預測）某樹苗的初始高度為50cm，如圖，這是該樹苗的高度與生長的月數的有關數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此關系，則該樹苗的高度y（cm）與生長月數x之間的函數關系式為（

A．y=50+5(x?1) B．y=50+5x C．y=50+10(x?1) D．y=50+10x22．（2024·湖北武漢·模擬預測）預防高血壓不容忽視，“千帕kPa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血壓的單位，請你根據表格提供的信息判斷，下列各組換算正確的是（

）千帕kPa…101214…毫米汞柱mmHg…7590105…A．8kPa=70mmHgC．20kPa=145mmHg23．（2024·上海虹口·三模）設正多邊形的邊數為n，中心角度數為β，則β關于n的函數解析式及其定義域為24．（2024·黑龍江大慶·一模）一個等腰三角形的周長是10，腰長是x，底邊長是y，則y關于x的函數解析式為．??題型07動點問題的函數圖象25．（2024·甘肅·模擬預測）如圖1，在菱形ABCD中，∠D=60°，點E在邊CD上，連接AE，動點P從點A出發，在菱形的邊上沿AB→BC勻速運動，運動到點C時停止．在此過程中，△PAE的面積y隨著運動時間x的函數圖象如圖2所示，則DE的長為（

）A．2 B．23 C．4 D．26．（2024·湖北·模擬預測）如圖，等邊△ABC的邊長為3cm，動點P從點A出發，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向運動，當點P回到點A時運動停止．設運動時間為x（秒），y=PC2，則y關于A．B．C．D．27．（2024·湖南長沙·模擬預測）RobotMaster機甲大師挑戰賽鼓勵學生自主研發制作多種機器人參與團隊競技，其某場對抗賽的軌道可簡化成下圖，其中ADC和ABC均為半圓，點M，A，C，N依次在同一直線上，且AM=CN．現有比賽雙方的機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動進行射擊比賽，其路線分別為M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移動時間為x，兩個機器人之間距離為y．則y與x關系的圖象大致是（

）A．B．C．D．28．（2023·河南·三模）正方形ABCD與正方形BEFG按照如圖所示的位置擺放，其中點E在AB上，點G、B、C在同一直線上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直線BC向右平移得到正方形B'E'F'G'，當點G與點C重合時停止運動，設平移的距離為x，正方形B'E'F'A．B．C．D．29．（2024·河北唐山·模擬預測）如圖①所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P，Q同時從點B出發，點P沿折線BE?ED?DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s，設P，Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數關系圖象如圖②（曲線（1）cos∠ABE=（2）當t=時，△ABE∽??題型08根據坐標系內點的坐標特征求解30．（2024·貴州遵義·三模）已知點P為平面直角坐標系第一象限內的一個點，坐標為2+2a,3a?2，且點P到兩個坐標軸的距離相等，則a的值為．31．（2024·福建福州·模擬預測）點M在第四象限，它到x軸的距離是1，到y軸的距離是4，則點M的坐標為．32．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）坐標系中，點P(m?3,4?2m)在第三象限，則m的取值范圍是.33．（2024·山東日照·一模）若實數m，n是一元二次方程x2?2x?5=0的兩個根，且m<n，則點m,n在第34．（2024·四川達州·模擬預測）在平面直角坐標系中，以方程組y=x+2y=?x+1的解為坐標的點Px,y位于第35．（2024·廣東廣州·二模）已知P=(1)化簡P；(2)若a?b=2，且點a，b??題型09坐標與圖形變化36．（2024·遼寧·模擬預測）將點P?5,6先向右平移3個單位長度，再向下平移7個單位長度得到點Q，則點Q所在的象限是（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限37．（2024·山西陽泉·模擬預測）如圖，剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，若以這個蝴蝶圖案的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系，圖中點E，F關于y軸對稱，其中點E的坐標為3n?4，m+1，點F的坐標為n2，2m，若點E到x軸的距離小于它到yA．?2，?3 B．2，?3 C．?138．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知菱形OABC的頂點O0,0,B2,2，若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第20秒時，菱形的對角線交點DA．1,?1 B．?1,?1 C．2,0 D．39．（2024·江蘇常州·一模）如圖，點A坐標為?4,3，點B坐標為0,4，將線段AB繞點O按順時針方向旋轉得到對應線段CD，若點C恰好落在x軸上，則點D到x軸的距離為（

）A．85 B．165 C．81740．（2024·安徽合肥·三模）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．(1)將△ABC向右平移5個單位長度得到△A1B1C1，請在圖中畫出(2)在圖中畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉90°得到的△A2B2C(3)無刻度尺作圖，在AB上取一點P使得AP:BP=2:3（保留作圖痕跡）．??題型10點坐標規律的探索41．（2024·廣東韶關·模擬預測）如圖，一個機器人從點O出發，向正西方向走2m到達點A1；再向正北方向走4m到達點A2；再向正東方向走6m到達點A3；再向正南方向走8m到達點A4；再向正西方向走1042．（2024·湖北恩施·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A?1.5,0，B0,2，將△ABO順著x軸的正半軸無滑動的滾動，第一次滾動到①的位置，點B的對應點記作B1；第二次滾動到②的位置，點B1的對應點記作B2；第三次滾動到③的位置，點B2的對應點記作B343．（2024·寧夏銀川·二模）如圖，△A1A2A3,△A4A5A6,△A

44．（2024·山東東營·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一邊長為1的正方形OABC，點B在x軸的正半軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OB1為邊作第三個正方形OB1B2C45．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，點O為正六邊形的中心，P、Q分別從點A(1,0)同時出發，沿正六邊形按圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則第1次相遇地點的坐標為，則第2024次相遇地點的坐標為．

??題型11求坐標系中的圖形面積46．（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，在△ABC中，AC=6.5，AB=10.5，BC=10，求A．25 B．37.5 C．50 D．31.547．（2023·湖北武漢·中考真題）皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積S=N+12L?1，其中N,L分別表示這個多邊形內部與邊界上的格點個數．在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數的點為格點．已知A0,30，B20,10A．266 B．270 C．271 D．28548．（2023潮南區模擬）已知A(a,0)和點B(0,5)兩點，則直線AB與坐標軸圍成的三角形的面積等于10，則a的值是（

）A．?4 B．4 C．±4 D．±549．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在網格中建立平面直角坐標系，△ABC的三個頂點均在格點上．(1)畫出與△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1，點A、(2)求（1）中得到的△A??題型12與圖形面積有關的存在性問題50．（2023·江蘇無錫·模擬預測）已知一平面直角坐標系內有點A?4,3，點B1,3，點C?2,5，若在該坐標系內存在一點D，使CD∥y軸，且S51．（2023石景山區一模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知A0,a，Bb,0，其中a，b滿足a?2+b?12=0，點(1)分別求出點A、B、C的坐標．(2)如果在第二象限內有一點Pm,1，是否存在點P，使得△ABP的面積等于△ABC的面積？若存在，請求出點P(3)在平面直角坐標系是否存在點E，使△ABE與△ABC全等，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．52．（2021·湖北襄陽·模擬預測）在直角坐標系中，已知點A、B的坐標是a,0b,0，a，b滿足方程組2a+b=?53a?2b=?11，C為y軸正半軸上一點，且(1)求A、B、C三點的坐標；(2)是否存在點Pt,t，使S△PAB=(3)若點C沿x軸負半軸方向以每秒1個單位長度平移至點D，當運動時間t為多少秒時，四邊形ABCD的面積S為15個平方單位？求出此時點D的坐標．(4)連接AD、CD，若P為CB上一動點（不與C、B重合）連接DP、AP，探究點P在運動過程中，∠CDP、∠BAP、∠DPA之間的數量關系并證明．53．（2022天心區一模）如圖，在平面直角坐標系中，點Aa，0，Ba，b，點C在y軸上，且BC∥x軸，a?3+b?4=0(1)直接寫出點A，B的坐標；(2)點P在運動過程中，連接PO，若PO把四邊形ABCO的面積分成1:2的兩部分，求點P的坐標(3)點P在運動過程中，是否存在點P到x軸的距離為12t個單位長度的情況，求出點54．（2023·貴州遵義·模擬預測）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點Aa,0，Bb,0且a、b滿足a+4+b?3=0．若四邊形ABCD為平行四邊形，CD∥AB(1)直接寫出a、b的值；(2)如圖①，動點P從C點出發，以每秒2個單位長度沿y軸向下運動，當時間t為何值時，三角形ABP的面積等于平行四邊形ABCD面積的四分之一；(3)如圖②，當P從O點出發，沿y軸向上運動，連接PD、PA，∠CDP、∠APD、∠PAB存在什么樣的數量關系，請說明理由（排除P在O和C兩點的特殊情況）．??題型13坐標方法的簡單應用55．（2024·山西臨汾·二模）七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國漢民族的一種古老的傳統智力游戲．它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，以各種不同的拼湊法拼成人物、動物、建筑、字母等多種圖形．如圖為由七巧板拼成的“小船”，若點A的坐標為(?2,1)，點B的坐標為(0,?1)，則點C的坐標為（

）A．(?3,0) B．(?2,3) C．(2,?4) D．(?3,?2)56．（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤坐標的1,?2上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標是．57．（2024·河北廊坊·一模）某位同學先向北偏東45°方向走20m，然后向南偏東方向走20m，她現在所站位置在起點的（A．正北 B．正東 C．正西 D．正南58．（2022·河北保定·一模）在“愛我河北”白色垃圾清理活動中，小霞同學從B點出發，沿北偏西20°方向到達C地，已知∠C=70°，此時營地A在C的(

)．A．北偏東20°方向上 B．北偏東70°方向上C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上??題型14新考法：跨學科問題59．（2024·吉林·二模）《聞王昌齡左遷龍標遙有此寄》是唐代大詩人李白的詩作，笑笑默寫該詩如圖所示．如果用1,4表示“楊”字的位置，那么圖中錯別字的位置表示為．60．（2024錦州市模擬）某校組織九年級學生．以“運用函數知識探究坰鋅混合物中的銅含量”為主題，開展跨學科主題學習活動．已知常溫下，銅與稀鹽酸不會發生反應．鋅與稀鹽酸發生反應后不生成固體難溶物．小明按實驗操作規程，在放有10g銅鋅混合物樣品（不含其它雜質）的燒杯中．逐次加入等量等溶度的20（i）收集數據：加入稀鹽酸的累計總量x（單位：g）020406080100…充分反應后剩余固體的質量y（單位：g）108.77.46.14.83.5…（ii）建立模型：在如圖的平面直角坐標系中，描出這些數值所對應的點，發現這些點大致位于同一個函數的圖象上，且這一個函數的類型最有可能是______；（填“一次函數”、“反比例函數”或“二次函數”）（iii）求解模型：為便得所描的點盡可能多地落在該函數圖象上，根據過程（ii）所選的函數類型，求出該函數的表達式：（iv）解決問題：根據剩余固體的質量不再變化時，所加稀鹽酸的總量求得樣品中的銅含量．閱讀以上材料．回答下列問題：(1)完成小明的研究過程（ii）（描點，并指出函數類型）：(2)完成小明的研究過程（iii）；(3)設在研究過程（iv）中，發現最后剩余固體的質量保持2.2g61．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某校組織九年級學生以研究某種化學試劑的揮發情況為主題，開展跨學科主題學習活動．某研究小組從函數角度進行了如下實驗探究：【實驗觀察】記錄的數據如下表：時間x（分鐘）5101520…剩余質量y（克）2015105…【探索應用】(1)如圖，建立平面直角坐標系，橫軸表示時間x（分鐘），縱軸表示剩余質量y（克），描出以表格中數據為坐標的各點；(2)觀察上述各點的分布規律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應的函數表達式，如果不在同一條直線上，說明理由；(3)查閱文獻可知，該化學試劑發揮作用的最低質量為3克．在上述實驗中，該化學試劑經過多長時間剩余質量恰好為3克？62．（2024·山東青島·一模）活動·探究運用數學知識解決實際問題是我們初中生的必修課，同時也是“雙減”的目標之一．青島市某數學跨學科學習小組開展了數學跨學科學習探究，請你幫他們完成探究．探究一、地理學習（與地理跨學科學習小組共同完成）（1）該等高線地形圖的等高距為米；（2）已知圖上BC=2cm，若該圖的比例尺是1：700000，則BC實際相距（3）估計王家莊的實際面積可能是；A．2m2B．20m2C．200m2D．2000m2E．20000m2F（4）E點在點A的偏方向；探究二、化學學習（與化學跨學科學習小組共同完成）有兩組沒有標簽的化學試劑：第一組稀HCl稀HNaOH溶液Na第二組稀HN澄清石灰水CuSONaCl溶液還有一小瓶紫色石蕊試液；與化學小組提供的實驗信息：已知紫色石蕊試液遇到酸性溶液變紅，遇到堿性溶液變藍，遇到中性不變色酸堿鹽性質表格：酸性稀HCl稀H稀HN堿性澄清石灰水NaNaOH溶液中性CuSONaCl溶液請你解決以下問題：（5）數學小組中的調皮鬼鄭鋒設計了一個小游戲：從中取樣檢測，如果紫色石蕊試液變紅色，數學小組獲勝；如果不變色，那么化學小組獲勝．化學小組的葉子姐姐覺得她們小組被坑了．你來幫葉子姐姐用畫樹狀圖的方法判斷，本游戲是否公平？化學小組有沒有被鄭鋒同學坑？如果被坑了，請你幫葉子姐姐設置一個游戲規則，讓她坑鄭鋒一把（數學小組獲勝概率小，化學小組獲勝概率大），并再次畫樹狀圖證明你設計的規則能幫葉子姐姐坑到鄭鋒．??題型15新考法：新情景問題63．（2024·山西太原·一模）2025年第九屆亞洲冬季運動會將在哈爾濱舉行．如圖是本屆亞冬會的會徽“超越”，將其放在平面直角坐標系中，若A,C兩點的坐標分別為2,1,0,2，則點B64．（2023·河南·模擬預測）2024年春節期間，河南多地大范圍降雪．如圖，將具有“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）的圖形，放在平面直角坐標系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標為2,?3，則頂點C的坐標為（

）A．2?23,3 B．2?43,3 C．65．（2024·山西大同·三模）2024年5月5日在四川成都舉行的“尤伯杯”羽毛球團體決賽中，中國隊第16次奪得冠軍．如圖1是比賽場館圖，圖2是場館某正方形座位示意圖．小李、小亮、小東的座位如圖所示（網格中，每個小正方形的邊長都是1）．若小亮的座位用?1,0表示，小李的座位用1,3表示，則小東的座位可以表示為（

）A．?1,2 B．2,?1 C．3,?1 D．1,266．（2024·陜西西安·二模）2024年3月22日是第三十二屆“世界水日”，聯合國呼呼全世界關注和重視水資源的重要性．小明同學發現水龍頭關閉不嚴會造成滴水浪費．為了倡議全校同學節約用水，他做了如下試驗：用一個足夠大的量杯，放置在水龍頭下觀察量杯中水量的變化情況．知量杯中原來裝有10mL水，30min內7個時間點量杯中的水量變化如下表所示，其中tmin時間t051015202530量杯中的水量y10203040506070為了描述量杯中的水量與時間的關系，現有以下三種函數類型供選擇：y=kx+bk≠0，y=ax(1)在平面直角坐標系中描出表中數據對應的點，再選出最符合實際情況的函數類型，求出y與t的函數表達式；(2)在這種漏水狀態下，若不及時關閉水龍頭，請你估計照這樣漏一天，量杯中的水量約為多少mL？1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數y=x3?3x2+3x?1的圖象，發現它關于點1,0中心對稱．若點A10.1,y1，A20.2,y2，A3A．?1 B．?0.729 C．0 D．12．（2024·安徽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是邊AC上的高．點E，F分別在邊AB，BC上（不與端點重合），且DE⊥DF．設AE=x，四邊形DEBF的面積為y，則y關于x的函數圖象為（

A．B．C．D．3．（2024·湖南·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，對于點Px,y，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當yx（其中xy≠0）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點P2a?4,a+3A．a<?3 B．若點P為“整點”，則點P的個數為3個C．若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于104．（2024·北京·中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當1號杯和2號杯中都有VmL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度?1（單位：cm）和2號杯的水面高度?V/mL040100200300400500?102.55.07.510.012.5?202.84.87.28.910.511.8(1)補全表格（結果保留小數點后一位）；(2)通過分析數據，發現可以用函數刻畫?1與V，?2與(3)根據以上數據與函數圖象，解決下列問題：①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結果保留小數點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結果保留小數點后一位）．1．（2024·海南·中考真題）設直角三角形中一個銳角為x度（0<x<90），另一個銳角為y度，則y與x的函數關系式為（

）A．y=180+x B．y=180?x C．y=90+x D．y=90?x2．（2024·江蘇南通·中考真題）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據圖象信息，下列說法正確的是（

A．甲比乙晚出發1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是53．（2024·山東濰坊·中考真題）中國中醫科學院教授屠呦呦因其在青蒿素抗瘧方面的研究獲2015年諾貝爾生理學或醫學獎．某科研小組用石油醚做溶劑進行提取青蒿素的實驗，控制其他實驗條件不變，分別研究提取時間和提取溫度對青蒿素提取率的影響，其結果如圖所示：由圖可知，最佳的提取時間和提取溫度分別為（

）A．100min,50℃ B．120min,50℃ C．4．（2024·廣西·中考真題）激光測距儀L發出的激光束以3×105kms的速度射向目標M，ts后測距儀L收到M反射回的激光束．則L到M的距離dA．d=3×1052t B．d=3×105．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項式?x2my3與單項式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數圖象的“近軸點”．例如，點0,1是函數y=x+1圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；①y=?x+3；②y=2x；③（2）若一次函數y=mx?3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．7．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線OH，若H2a?1,a+1，則8．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在△ABC中，點A的坐標為0,1，點B的坐標為4,1，點C的坐標為3,4，點D在第一象限（不與點C重合），且△ABD與△ABC全等，點D的坐標是．9．（2024·河南·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標為?2，0，點E在邊CD上．將△BCE沿BE折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為0，6，則點10．（2024·吉林長春·中考真題）區間測速是指在某一路段前后設置兩個監控點，根據車輛通過兩個監控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛112小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區間測速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時間x(1)a的值為________；(2)當112≤x≤a時，求y與(3)通過計算說明在此區間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）11．（2024·江蘇南通·中考真題）已知函數y=x?a2+x?b2（a，b為常數）．設自變量x(1)若a=?1，b=3，求x0(2)在平面直角坐標系xOy中，點Pa,b在雙曲線y=?2x上，且x0=(3)當a2?2a?2b+3=0，且1≤x

第三章函數第09講函數與平面直角坐標系TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01函數的相關概念辨析??題型02求自變量的取值范圍??題型03求自變量的值或函數值??題型04函數圖象的識別??題型05從函數圖象上獲取信息??題型06根據實際問題列函數解析式??題型07動點問題的函數圖象??題型08根據坐標系內點的坐標特征求解??題型09坐標與圖形變化??題型10點坐標規律的探索??題型11求坐標系中的圖形面積??題型12與圖形面積有關的存在性問題??題型13坐標方法的簡單應用??題型14新考法：跨學科問題??題型15新考法：新情景問題??題型01函數的相關概念辨析1．（2024·貴州·一模）2024年1月17日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭在我國海南文昌航天發射場點火發射．在升天過程中，燃料的體積隨火箭飛行高度的增加而減少．則在上述語段中，自變量是（

）A．貨運飛船的質量B．火箭飛行的高度 C．燃料的體積 D．火箭的質量【答案】B【分析】本題主要考查了函數的概念，在一個變化過程中，如果變量A因為變量B的變化而變化，那么變量B叫做自變量，變量A叫做因變量，據此求解即可．【詳解】解：由題意可知，隨著高度的不斷增加，燃料的體積不斷減少，則自變量為火箭飛行的高度，故選：B．2．（2023觀山湖區模擬）如圖，下列圖象能表示y是x的函數關系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據函數的定義可知，滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，據此即可確定是否為函數．【詳解】解：A、對每一個x的值，有兩個y值與之對應，不是函數圖象，不符合題意；B、對每一個x的值，有兩個y值與之對應，不是函數圖象，不符合題意；C、對每一個x的值，有兩個y值與之對應，不是函數圖象，不符合題意；D、對每一個x的值，都有唯一確定的y值與之對應，是函數圖象，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查函數的定義．解題關鍵在于掌握函數的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數，x叫自變量．3．（2024·北京·模擬預測）圖①中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度有ym與旋轉時間xmin之間的關系如圖②所示．下列說法正確的是（A．變量y不是x的函數，摩天輪的直徑是65米B．變量y不是x的函數，摩天輪的直徑是70米C．變量y是x的函數，摩天輪的直徑是65米D．變量y是x的函數，摩天輪的直徑是70米【答案】C【分析】本題考查函數圖象，常量和變量，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據函數的定義可以判斷變量y是x的函數，）根據圖象可以得到摩天輪的直徑．【詳解】解：根據圖象可得，變量y是x的函數，因為對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，所以變量y是x的函數；由圖象可得，摩天輪的直徑為：70?5=65m故選C．4．（2023·北京豐臺·一模）下列關于兩個變量關系的四種表述中，正確的是（

）①圓的周長C是半徑r的函數；②表達式y=x中，y是x③下表中，n是m的函數；m?3?2?1123n?2?3?6632④下圖中，曲線表示y是x的函數A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據函數的定義與函數的表示方法逐一分析即可得到答案．【詳解】解：①圓的周長C是半徑r的函數；表述正確，故①符合題意；②表達式y=x中，y是x的函數；表述正確，故②由表格信息可得：對應m的每一個值，n都有唯一的值與之對應，故③符合題意；在④中的曲線，當x>0時的每一個值，y都有兩個值與之對應，故故選C．【點睛】本題考查的是函數的定義，函數的表示方法，理解函數定義與表示方法是解本題的關鍵．??題型02求自變量的取值范圍5．（2024·貴州黔東南·一模）若函數y=5x?5有意義，則自變量x的取值范圍是（A．x≠5 B．x≥5 C．x≤5 D．x>5【答案】D【分析】本題主要考查了求函數自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件，根據分式有意義的條件是分母不為0，二次根式有意義的條件是被開方數大于等于進行求解即可．【詳解】解：∵函數y=5∴x?5≥0x?5∴x>5，故選：D．6．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四個函數中，自變量x的取值范圍是全體實數的是（

）A．y=x2 B．y=x?1 C．y=【答案】A【分析】本題考查了求自變量的取值范圍、代數式是整式自變量可取任意實數、分式有意義、分母不為0，二次根式的被開方數是非負數．根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【詳解】A．y=x2，B．y=x?1中x?1≥0解得x≥1C．y=x+1x中分母不能為0，所以D．y=1x+2中分母不能為0，所以x+2≠0，解得：故選：A．7．（2024·四川瀘州·三模）函數y=14?x+x+30【答案】x<4且x≠?3【分析】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式有意義的條件、零指數冪的概念是解題的關鍵．根據二次根式有意義的條件、分母不為0、零指數冪的概念列出不等式，解不等式，得到答案．【詳解】解：由題意得，4?x>0，x+3≠0，解得，x<4且x≠?3．故答案為：x<4且x≠?3．8．（2024·內蒙古呼倫貝爾·一模）函數y=2x?1+x+2中，自變量【答案】x≥?2且x≠1【分析】本題考查的是函數自變量的取值范圍，①當表達式的分母不含有自變量時，自變量取全體實數．②當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零．③當函數的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數不小于零．根據分式有意義的條件、二次根式有意義的條件列式計算．【詳解】解：由題意得，x?1≠0,x+2≥0，解得，x≥?2且x≠1，故答案為：x≥?2且x≠1．??題型03求自變量的值或函數值9．（2024·浙江·模擬預測）設函數y=x2,x≥1x,x【答案】4【分析】本題主要考查了求函數值，選擇恰當的函數關系式是解答本題的關鍵．根據自變量的值選擇恰當的函數關系式，代入計算即可．【詳解】解：∵x=?2，∴?2∴當x=?2時，y=?2故答案為：4．10．（2024·江西南昌·模擬預測）已知華氏溫度(℉)和攝氏溫度(℃)的換算關系為：攝氏溫度=59×（華氏溫度?32)，在1個標準大氣壓下冰的熔點為0℃，則在1個標準大氣壓下冰的熔點為【答案】32【分析】本題考查求自變量的值，根據因變量和自變量的關系求解即可．【詳解】解：∵攝氏溫度=59×∴0=59×∴華氏溫度=32．故答案為：32．11．（2024·江蘇泰州·二模）在測量某種液體密度的實驗中，根據測得的該種液體和燒杯的總質量m（g）與該種液體的體積V（cm3），繪制了如圖所示的函數圖像（圖中為一線段），則72g該種液體的體積為cm3．【答案】80【分析】本題考查了一次函數的應用，設m=kV+bk≠0，將20,158，120,248代入解析式求得m=0.9V+140，進而可得燒杯的質量為140g，72g該種液體和燒杯的總質量為m=212g，求出【詳解】解：由圖象可得：液體和燒杯的總質量mg與液體的體積V設m=kV+bk≠0將20,158，120,248代入解析式得：20k+b=158120k+b=248解得：k=0.9b=140∴m=0.9V+140，當V=0時，m=140g，即燒杯的質量為當該種液體72g時，m=72+140=212(g)時，即解得：V=80cm故答案為：80．12．（2024·廣西百色·二模）你知道什么是“低碳生活”嗎？“低碳生活”是指人們生活中盡量減少所耗能量，從而降低（特別是二氧化碳）的排放量的一種生活方式．排碳計算公式：家居用電的二氧化碳排放量kg=耗電量開私家車的二氧化碳排放量kg=耗油量家用天然氣二氧化碳排放量kg=天然氣使用量家用自來水二氧化碳排放量kg=自來水使用量(1)設家居用電的二氧化碳排放量為ykg，耗電量為x(2)在上述關系式中，耗電量每增加1kW?h，二氧化碳排放量增加______；當耗電量從1(3)小明家本月家居用電大約110kW?h，天然氣20m3【答案】(1)y=0.785x(2)0.785kg，0.785kg，(3)小明家用電的二氧化碳排放量是86.35kg，天然氣的二氧化碳排放量是3.8kg，自來水的二氧化碳排放量是4.55【分析】本題考查了運用函數解決實際問題的能力，關鍵是能正確理解問題間數量關系，并正確運用函數知識進行求解．（1）根據家居用電的二氧化碳排放量kg=耗電量kW（2）由家居用電的二氧化碳排放量kg=耗電量kW（3）分別按照表中提供信息分別進行求解．【詳解】（1）解：由題意可得y=0.785x，故答案為：y=0.785x；（2）解：∵家居用電的二氧化碳排放量kg=耗電量kW∴耗電量每增加1kW?h當耗電量1kW?h時二氧化碳排放量為0.785kg；當耗電量故答案為：0.785kg，0.785kg，78.5（3）解：110×0.785=86.35kg0.19×20=3.8kg0.91×5=4.55kg2.7×75=202.5kg答：小明家用電的二氧化碳排放量是86.35kg，天然氣的二氧化碳排放量是3.8kg，自來水的二氧化碳排放量是4.55??題型04函數圖象的識別13．（2024·四川成都·模擬預測）把一個長方體鐵塊放在如圖所示的圓柱形容器內，現按一定的速度向容器內均勻注水，1min后將容器內注滿．那么容器內水面的高度h(單位：cm)與注水時間t(單位：s)之間的函數關系圖象大致是（

A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查了用圖象表示變量之間是關系，能夠根據條件分析不同時間段的圖像是什么形狀是解答本題的關鍵．根據圖像分析不同時間段的水面上升速度，進而可得出答案．【詳解】解：因為長方體鐵塊放置在圓柱形水槽容器內，向容器內按一定的速度均勻注水，60秒后將容器內注滿，且長方體是均勻的，所以初期的圖像應是直線，當水越過長方體后，注水需填充的體積變大，且此時水面上升的高度也是隨時間均勻升高，因此此時的圖像也是直線，但水面上升的速度比開始時要慢，因此四個選項中只有D選項符合題意．故選：D．14．（2024·廣東江門·模擬預測）“漏壺”是一種古代計時器，在它內部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出．壺內壁有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間．用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度．下列哪個圖象適合表示y與x的對應關系？（不考慮水量變化對壓力的影響）（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題意，可知y隨的增大而減小，符合一次函數圖象，從而可以解答本題．【詳解】解：∵不考慮水量變化對壓力的影響，水從壺底小孔均勻漏出，x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度，∴y隨x的增大而勻速的減小，符合一次函數圖象，∴選項C圖象適合表示y與x的對應關系．故選：C．15．（2024·浙江金華·模擬預測）某校與部隊聯合開展紅色之旅研學活動，上午7：00，部隊官兵乘坐軍車從營地出發，同時學校師生乘坐大巴從學校出發，沿公路（如圖）到愛國主義教育基地進行研學．上午8：00，軍車追上大巴并繼續前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時到達基地，設軍車與大巴離倉庫的路程為s，所用時間為A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了函數圖象，根據題意、明確兩個變量之間的關系是解題的關鍵．根據題意結合函數圖像的實際意義逐項判斷即可．【詳解】解：根據題意，函數s表示車與大巴離倉庫的路程，所用時間為t，A、該圖象反映隨著行駛時間增大，距離倉庫越來越遠，不符合題意；B、軍車到達倉庫后停留了一段時間，函數圖象沒有顯示出來，不符合題意；C、圖象準確反映了題意，符合題意；D、圖象函數一直下降，不符合題意．故選：C．16．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在兩個大小相同的玻璃瓶中分別裝有質量相同且初始溫度均為16℃的豆漿和牛奶，同時浸入100℃的熱水中加熱相同的時間，已知牛奶比豆漿的溫度升高得慢，則上述實驗的一段時間內，牛奶和豆漿的溫度T（℃）隨加熱時間tA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了函數圖象的識別，根據豆漿和牛奶初始溫度均為16℃且牛奶比豆漿的溫度升高得慢，即可得出牛奶和豆漿的溫度T（℃）隨加熱時間【詳解】解：根據豆漿和牛奶初始溫度均為16℃且牛奶比豆漿的溫度升高得慢，即可得出牛奶和豆漿的溫度T（℃）隨加熱時間故選：D．??題型05從函數圖象上獲取信息17．（2024·貴州遵義·模擬預測）生命在于運動，健康在于鍛煉．如圖是愛好運動的小聰某天登山過程中所走的路程s（單位：m）與時間t（單位：min）的函數關系圖象．則下列結論正確的是（

）A．后800m的速度為32m/C．后800m速度在逐漸增加 D．整個登山過程的平均速度為【答案】A【分析】本題考查了函數圖象，觀察函數圖象，逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．利用速度=路程÷時間，可求出后800m的速度，判斷A選項；利用中途停留的時間=25?20，可求出中途停留的時間，判斷B選項；當25≤t≤50時，s關于t的函數圖象是線段，可得出后800m速度不變，判斷C選項；利用整個登山過程的平均速度=總路程÷【詳解】解：A、后800m的速度為800÷B、中途停留了25?20=5minC、當25≤t≤50時，s關于t的函數圖象是線段，即后800mD、整個登山過程的平均速度為2000÷50=40m故選：A．18．（2024·貴州·模擬預測）2024年3月5日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議在北京開幕，政府工作報告中一個新關鍵詞“人工智能+”引發熱議，隨著人工智能的發展，智能機器人送餐成為時尚．如圖①是某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發，準備給客人送餐，聰聰比慧慧先出發，且速度保持不變，慧慧出發一段時間后將速度提高到原來的2倍．設聰聰行走的時間為x(s)，聰聰和慧慧行走的路程分別為y1(cm)、y2(cm)，A．客人距離廚房門口450cm； B．慧慧比聰聰晚出發15C．聰聰的速度為10cm/s； 【答案】D【分析】本題考查了一次函數的運用，理解圖象，掌握行程問題的數量關系，一次函數圖象的性質是解題的關鍵．根據圖象分別求出聰聰的解析式，結合圖象的性質，即可求解．【詳解】解：聰聰比慧慧先出發，且速度保持不變，∴OD表示的是聰聰行走的時間與路程的關系，設OD的解析式為y1=k∴450=45k解得，k1∴OD的解析式為y1由圖象知，慧慧從出發到送餐結束用時為31?15=16s∴A、客人距離廚房門口450cmB、慧慧比聰聰晚出發15sC、∵k1∴聰聰的速度為10cmD、當0≤x≤15時，聰聰與慧慧的距離逐漸增大，∴當x=15s時，y當15<x≤31時，聰聰與慧慧的距離先減小，再增加，當x=31時，y1∴y2當31<x≤45時，聰聰與慧慧的距離逐漸減小到0，∵150>140,∴D選項不正確，符合題意；故選：D．19．（2024·河北·模擬預測）某班級同學從學校出發去白鹿原研學旅行，一部分坐大客車先出發，余下的幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，5min后小轎車趕了上來，大客車隨即開動，以出發時速度的107繼續行駛，小轎車保持原速度不變，最終兩車相繼到達了景點入口，兩車距學校的路程S(單位：km)和行駛時間(1)求大客車在途中等候時距學校的路程有多遠？(2)在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有多遠？【答案】(1)15(2)50【分析】本題考查從函數圖象中提取信息，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．（1）根據題意和函數圖象中的數據，可以計算出小轎車的速度，然后即可得到a的值，從而可以得到大客車在途中等候時距學校的路程有多遠；（2）根據題意，可以計算出大客車開始的速度和后來的速度，從而可以計算出在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有多遠．【詳解】（1）解：由圖象可得，小轎車的速度為：40÷60?20a=1×35?20即大客車在途中等候時距學校的路程有15km（2）解：大客車開始的速度為：15÷30=0.5km大客車后來的速度為：0.5×1040?15?5即在小轎車到達景點入口時，大客車離景點入口還有50720．（2024·湖南長沙·模擬預測）圖1為小明和妹妹小紅每天的出行路線，某天兄妹倆從學校出發，到書吧看書后回家，哥哥小明步行先出發，途中速度保持不變：妹妹騎車從學校出發，到書吧前的速度為200米/分，兩人離學校的路程s（米）與哥哥離開學校的時間t（分）的函數圖像在圖2中分別表示．(1)求小明步行的速度．(2)已知妹妹小紅比哥哥小明遲2分鐘到書吧．①求圖中a的值；②若妹妹僅在書吧停留了11分鐘后就準備回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上時兄妹倆離家還有多遠．【答案】(1)100(2)①a=6；②追上時兄妹倆離家1003【分析】本題考查一次函數的應用；（1）根據“速度=路程÷時間”計算即可；（2）①根據時間=路程+速度可知妹妹到書吧所用的時間，再根據題意確定a得值即可；②分別求出哥哥與妹妹返程時的函數解析式，再聯立方程組即可得出結論．【詳解】（1）由A(8,800)可知哥哥的速度為：800÷8=100(m（2）①∵妹妹騎車到書吧前的速度為200米/分，∴妹妹所用時間t為：800÷200=4(min∵妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧，∴a=8+2?4=6；②由（1）可知：哥哥的速度為100mmin∴設BC所在直線為s1將B(17,800)代入得：800=100×17+b，解得b=?900.∴BC所在直線為：s1當s1=1900時，∵返回時妹妹的速度是哥哥的1.6倍，∴妹妹的速度是160米/分.∴設妹妹返回時得解析式為s2∵妹妹僅在書吧停留了11分鐘后就準備回家時tF∴F(21,800)將F(21,800)代入得800=160×21+b，解得b=?2560，∴s2令s1=s解得t=83∴妹妹能追上哥哥，此時哥哥所走得路程為：800+83兄妹倆離家還有1900?5600即妹妹能追上哥哥，追上時兄妹倆離家1003??題型06根據實際問題列函數解析式21．（2024·山西·模擬預測）某樹苗的初始高度為50cm，如圖，這是該樹苗的高度與生長的月數的有關數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此關系，則該樹苗的高度y（cm）與生長月數x之間的函數關系式為（

A．y=50+5(x?1) B．y=50+5x C．y=50+10(x?1) D．y=50+10x【答案】D【分析】本題考查了函數關系式，由題意可得樹苗每個月增長的高度是10cm【詳解】解：由題意得，樹苗每個月增長的高度是10cm故該樹苗的高度y（cm）與生長月數x之間的函數關系式為y=50+10x，故選：D．22．（2024·湖北武漢·模擬預測）預防高血壓不容忽視，“千帕kPa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血壓的單位，請你根據表格提供的信息判斷，下列各組換算正確的是（

）千帕kPa…101214…毫米汞柱mmHg…7590105…A．8kPa=70mmHgC．20kPa=145mmHg【答案】D【分析】本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是利用待定系數法求一次函數解析式，是基礎題，比較簡單．通過觀察，我們不難發現，千帕每增加2，毫米汞柱升高15，然后利用待定系數法求出一次函數解析式，再對各選項進行驗證即可得解．【詳解】解：根據題意得每增加2千帕，增加15毫米汞柱，設x千帕，毫米汞柱為y，開始時毫米汞柱為b，故千帕與毫米汞柱的關系式為y=7.5x+b，將點代入得：75=7.5×10+b，解得：b=0，∴關系式為：y=7.5x；A、當x=8時，y=7.5×8=60，即8kPaB、當x=16時，y=7.5×16=120，即16kPaC、當x=20時，y=7.5×20=150，即20kPaD、當x=24時，y=7.5×24=180，即24kPa故選：D．23．（2024·上海虹口·三模）設正多邊形的邊數為n，中心角度數為β，則β關于n的函數解析式及其定義域為【答案】β=【分析】本題考查了正多邊形的計算，一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數，就得到邊數．【詳解】解：由題意可得：邊數為360°÷β=n，則β=360故答案為：β=36024．（2024·黑龍江大慶·一模）一個等腰三角形的周長是10，腰長是x，底邊長是y，則y關于x的函數解析式為．【答案】y=10?2x【分析】本題考查了等腰三角形的定義以及函數關系式，正確求得函數關系式是關鍵．根據周長等于三邊之和可得出y和x的關系式即可．【詳解】解：由題意得：10=2x+y∴y=10?2x，故答案為：y=10?2x．??題型07動點問題的函數圖象25．（2024·甘肅·模擬預測）如圖1，在菱形ABCD中，∠D=60°，點E在邊CD上，連接AE，動點P從點A出發，在菱形的邊上沿AB→BC勻速運動，運動到點C時停止．在此過程中，△PAE的面積y隨著運動時間x的函數圖象如圖2所示，則DE的長為（

）A．2 B．23 C．4 D．【答案】A【分析】本題考查的是動點函數圖象問題、菱形的性質、勾股定理．設菱形的邊長為a，過點A作AF⊥DC于F，根據圖象可求出a=6，再根據菱形的性質求出AF=33，根據圖象當點P到達點C時，y=【詳解】解：設菱形的邊長為a，過點A作AF⊥DC于F，如圖，，則∠AFD=90°，∵∠D=60°，∴∠DAF=90°?∠D=30°，∴DF=12AD=由圖可知，當點P在點B時，△PAE的面積最大，此時y=1解得：a=6或a=?6（舍去），∴AB=BC=CD=DA=6，AF=33當點P到達點C時，y=1∴CE=4，∴DE=2．故選：A．26．（2024·湖北·模擬預測）如圖，等邊△ABC的邊長為3cm，動點P從點A出發，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向運動，當點P回到點A時運動停止．設運動時間為x（秒），y=PC2，則y關于A．B．C． D．【答案】D【分析】需要分類討論：①當0≤x≤3，即點P在線段AB上時，過C作CD⊥AB于點D，由勾股定理即可求得y與x的函數關系式，然后根據函數關系式確定該函數的圖象．②當3<x≤6，，y與x的函數關系式是y=(x?6)2(3<x≤6)，根據該函數關系式可以確定該函數的圖象；③當6<x≤9時，則y=【詳解】解：如圖，過C作CD⊥AB于點D，則AD=1.5cm，CD=①當點P在AB上時，0≤x≤3，AP=xcm，PD=∴y=PC該函數圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線x=3由此可排除A，B，C．②當3<x≤6時，即點P在線段BC上時，PC=(6?x)cm則y=(6?x)∴該函數的圖象是在3<x≤6上的拋物線，且對稱軸為x=6；③當6<x≤9時，即點P在線段CA上，此時，PC=(x?6)cm則y=(x?6)∴該函數的圖象是在6<x≤9上的拋物線，且對稱軸為直線x=6；故選：D．27．（2024·湖南長沙·模擬預測）RobotMaster機甲大師挑戰賽鼓勵學生自主研發制作多種機器人參與團隊競技，其某場對抗賽的軌道可簡化成下圖，其中ADC和ABC均為半圓，點M，A，C，N依次在同一直線上，且AM=CN．現有比賽雙方的機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動進行射擊比賽，其路線分別為M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移動時間為x，兩個機器人之間距離為y．則y與x關系的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查動點函數圖像，找到運動時的特殊點用排除法是關鍵．設圓的半徑為R，根據機器人移動時最開始的距離為AM+CN+2R，之后同時到達點A，C，兩個機器人之間的距離y越來越小，當兩個機器人分別沿A→D→C和C→B→A移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑2R，當機器人分別沿C→N和A→M移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大．【詳解】解：由題意可得：機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，設圓的半徑為R，∴兩個機器人最初的距離是AM+CN+2R，∵兩個人機器人速度相同，∴分別同時到達點A，C，∴兩個機器人之間的距離y越來越小，故排除A，C；當兩個機器人分別沿A→D→C和C→B→A移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑2R，保持不變，當機器人分別沿C→N和A→M移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，故排除C，故選：D．28．（2023·河南·三模）正方形ABCD與正方形BEFG按照如圖所示的位置擺放，其中點E在AB上，點G、B、C在同一直線上，且AB=4，BE=2，正方形BEFG沿直線BC向右平移得到正方形B'E'F'G'，當點G與點C重合時停止運動，設平移的距離為x，正方形B'E'FA．B．C．D．【答案】A【分析】本題主要考查了動點函數圖象問題，類似于這類要選擇符合題意的函數圖象時，不一定要寫出函數關系式．根據面積的變化情況一一比較即可．【詳解】解：由題可得：正方形BEFG面積為：2×2=4，∵AB>BE，∴最大重合面積為4，∴B選項，不符合題意；∵正方形BEFG沿直線BC向右平移得到正方形B'E'F'∴最后的重合面積為0，∴C、D不符合題意；A選項符合題意；故選：A．29．（2024·河北唐山·模擬預測）如圖①所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P，Q同時從點B出發，點P沿折線BE?ED?DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s，設P，Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2．已知y與t的函數關系圖象如圖②（曲線（1）cos∠ABE=（2）當t=時，△ABE∽【答案】45/0.8【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，涉及了余弦的求解，相似三角形的性質，根據圖象確定動點的運動位置是解題關鍵．（1）由圖可知：5秒后，動點Q運動到點C，動點P運動到點E；7秒后，動點P運動到點D，據此即可求解；（2）若△ABE∽△QBP，則動點Q運動到點C的位置，動點P在CD段運動；根據【詳解】（1）解：由圖可知：5秒后，動點Q運動到點C，動點P運動到點E；7秒后，動點P運動到點D，∴BC=AD=BE=5，當動點Q運動到點C，動點P運動到點E時，△BPQ的高為AB（或CD）的長度，∴y=∴AB=4∴cos∠ABE=故答案為：45（2）∵∠A=90°∴若△ABE∽△QBP∴動點Q運動到點C的位置，動點P在CD段運動∵BE=5，AB=4∴AE=∴AE:AB=PQ:QB=3:4解得：PQ=∴t=4?故答案為：294??題型08根據坐標系內點的坐標特征求解30．（2024·貴州遵義·三模）已知點P為平面直角坐標系第一象限內的一個點，坐標為2+2a,3a?2，且點P到兩個坐標軸的距離相等，則a的值為．【答案】4【分析】本題考查了點的坐標特征，點到坐標軸的距離，根據第一象限的點的橫縱坐標均為正數，且點P到兩個坐標軸的距離相等得出2+2a=3a?2，求解即可得出答案．【詳解】解：∵點P為平面直角坐標系第一象限內的一個點，坐標為2+2a,3a?2，且點P到兩個坐標軸的距離相等，∴2+2a=3a?2，解得：a=4，故答案為：4．31．（2024·福建福州·模擬預測）點M在第四象限，它到x軸的距離是1，到y軸的距離是4，則點M的坐標為．【答案】4,?1【分析】本題主要考查了點的坐標，正確掌握各象限內點的坐標特點是解題關鍵．已知點M在第四象限內，那么橫坐標大于0，縱坐標小于0，進而根據到坐標軸的距離判斷坐標．【詳解】解：∵點M在第四象限，∴其橫、縱坐標分別為正數、負數，又∵點M到x軸的距離為1，到y軸的距離為4，∴點M的坐標為4,?1．故答案為：4,?1．32．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）坐標系中，點P(m?3,4?2m)在第三象限，則m的取值范圍是.【答案】2<m<3【分析】本題考查了坐標系中象限中點的特征，以及解一元一次不等式組，熟練掌握知識點是解題的關鍵．由題意得，m?3<04?2m<0【詳解】解：由題意得，m?3<04?2m<0解m?3<0得，m<3，4?2m<0得，m>2，原不等式組的解集為：2<m<3，故答案為：2<m<3．33．（2024·山東日照·一模）若實數m，n是一元二次方程x2?2x?5=0的兩個根，且m<n，則點m,n在第【答案】二【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系、判斷點所在的象限，根據一元二次方程根與系數的關系，結合已知m<n，推出m<0，n>0，判斷點m,n所在的象限即可，掌握“對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若x1【詳解】解：∵實數m，n是一元二次方程x2∴mn=?5∴實數m，n異號，即一正一負，又∵m<n，∴m<0，n>0，∴點m,n在第二象限，故答案為：二．34．（2024·四川達州·模擬預測）在平面直角坐標系中，以方程組y=x+2y=?x+1的解為坐標的點Px,y位于第【答案】二【分析】此題考查了解二元一次方程組，直線的交點坐標，利用了消去的思想，消去的方法有：加減消去法與代入消元法．利用加減消元法解出方程組的解，得到x與y的值，從而確定出點的坐標，根據平面上點坐標的特征，即可確定出所在的象限．【詳解】解：y=x+2①+②得2y=3，即y=1.5，把y=1.5代入①得：x=?0.5，∴方程組的解為x=?0.5y=1.5∴坐點的標(?0.5,1.5)，則點Px,y故答案為：二35．（2024·廣東廣州·二模）已知P=(1)化簡P；(2)若a?b=2，且點a，b【答案】(1)1b?a(2)P=1【分析】本題考查了分式的化簡求值，點的坐標．（1）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果；（2）根據點的位置，求得a<0，b>0，推出a?b<0，求得a?b=?2，據此求解即可．【詳解】（1）解：P===?=1（2）解：∵點a，∴a<0，b>0，∴a?b<0，∵a?b=2∴a?b=?2，∴P=1??題型09坐標與圖形變化36．（2024·遼寧·模擬預測）將點P?5,6先向右平移3個單位長度，再向下平移7個單位長度得到點Q，則點Q所在的象限是（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】此題考查了點的平移，根據點坐標判斷點所在象限，先確定點Q的坐標，再確定點Q所在的象限，熟練掌握點的平移規律是解題的關鍵【詳解】解：將點P?5,6先向右平移3個單位長度，再向下平移7個單位長度得到點Q，則點Q的坐標是所以點Q在第三象限，故選：C37．（2024·山西陽泉·模擬預測）如圖，剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，若以這個蝴蝶圖案的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系，圖中點E，F關于y軸對稱，其中點E的坐標為3n?4，m+1，點F的坐標為n2，2m，若點E到x軸的距離小于它到yA．?2，?3 B．2，?3 C．?1【答案】B【分析】本題考查了坐標系中的軸對稱，直角坐標系中點的特征，二次函數的頂點坐標，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．先利用軸對稱求出m和n的值，再利用點E到x軸的距離小于它到y軸的距離排除不合題意的m和n的值，最后直接求二次函數的頂點坐標即可．【詳解】解：∵點E，F關于y軸對稱，點E3n?4，m+1∴3n?4=?n解得m=1n=1或m=1∴E?1，2∵點E到x軸的距離小于它到y軸的距離，∴E?1∴m=1，n=?4，∴二次函數y=x∴其頂點坐標為2，故選：B．38．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知菱形OABC的頂點O0,0,B2,2，若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第20秒時，菱形的對角線交點DA．1,?1 B．?1,?1 C．2,0 D．【答案】B【分析】此題考查坐標的變化規律、旋轉的性質、菱形的性質等知識，找到每旋轉8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置(1,1),由20÷8=2??4,得到第20秒時是把菱形繞點O逆時針旋轉了2周回到原來位置后，又旋轉了4秒，即又旋轉了4×45°=180°，即可可求出答案.【詳解】解：∵菱形OABC的頂點O(0,0),B(2,2)，∴BO與x軸的夾角為45°,∵菱形的對角線互相垂直平分，∴點D是線段OB的中點，∴點D的坐標是(1,1),∵菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°,360°÷45°=8,∴每旋轉8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置(1,1),∵20÷8=2??4,∴第20秒時是把菱形繞點O逆時針旋轉了2周回到原來位置后，又旋轉了4秒，即又旋轉了4×45°=180°，∴點D的對應點落在第三象限，且對應點與點D關于原點O成中心對稱，∴第20秒時，菱形的對角線交點D的坐標為(?1,?1)．故選：B39．（2024·江蘇常州·一模）如圖，點A坐標為?4,3，點B坐標為0,4，將線段AB繞點O按順時針方向旋轉得到對應線段CD，若點C恰好落在x軸上，則點D到x軸的距離為（

）A．85 B．165 C．817【答案】B【分析】連接OA、OD，過點D作DH⊥x軸于點H，過點A作AT⊥OB于點T，由旋轉的性質和勾股定理可得AT=4，OT=3，OB=4，【詳解】解：如圖，連接OA、OD，過點D作DH⊥x軸于點H，過點A作AT⊥OB于點T，，∵點A坐標為?4,3，點B坐標為0，4∴AT=4，∴OA=A∵線段AB繞點O按順時針方向旋轉得到對應線段CD，若點C恰好落在x軸上，∴OA=OC=5，∵S∴1∴1∴DH=16故選：B．【點睛】本題考查了坐標與圖形、旋轉的性質、勾股定理、三角形面積的計算，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．40．（2024·安徽合肥·三模）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．(1)將△ABC向右平移5個單位長度得到△A1B1C1，請在圖中畫出(2)在圖中畫出△ABC繞原點O逆時針旋轉90°得到的△A2B2C(3)無刻度尺作圖，在AB上取一點P使得AP:BP=2:3（保留作圖痕跡）．【答案】(1)見詳解，點A1的坐標為(2)見詳解，點A2的坐標為(3)見詳解【分析】本題主要考查了坐標與圖形、平移作圖、旋轉作圖、平行四邊形的判定與性質、平行線分線段成比例定