相似三角形線段比值問題例1a：b=c：d型，常通過相似比、平行線分線段成比例定理，三角形內角、外角平分線分線段成比例定理來實現。如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．分析設法通過添輔助線構造相似三角形，這里應注意利用角平分線產生等角的條件．證明：過B引BE∥AC，且與AD的延長線交于E．因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因為BE∥AC，所以∠2=∠3．從而∠1=∠3，AB=BE．顯然△BDE∽△CDA，所以BE∶AC=BD∶DC，所以AB∶AC=BD∶DC．說明這個例題在解決相似三角形有關問題中，常起重要作用，可當作一個定理使用．類似的還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習中出現，請同學們自己試證．例2：型，常通過比例法和通分法來實現比例法：將原等式變形為、，故構造以a＋b、b為邊且與a、c所在三角形相似的三角形；通分法：先將原等式變形為。利用相關定理將兩個比通分，即證出、，且，則原式成立。①如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．即可，為此若能設法利用長度分別為AB，BC，CA及l=AB＋AC這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決．注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎添加輔助線，構造一個三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問題．證明：延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結ED．下面證明，△ADE∽△ABC．設∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．從而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．又由作圖AE=AC，AE=BD，所以BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以△ABC∽△DAE，所以②如圖2-67所示．ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G．求證：分析與上例類似，求證中諸線段的位置過于“分散”，因此，應利用平行四邊形的性質，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證．證延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以在△OED與△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，所以△OED≌△OBH(AAS)．從而DE=BH=AI，例3.型，常用以下方法：利用提公因式或平方差公式，將原式轉化為等積式，再利用三角形相似加以證明；（2）要證，可在線段b所在的直線上取一點，則，則，再證、即可。①如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F，FGAB于G，求證：FG=CFBF②在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC。求證：。（按圖示輔助線以兩種方法證明）例4a2+b2，a2：b2型，常用勾股定理、射影定理、比例中項、線段的等量代換、比例相乘等途徑來實現①如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PM⊥QM．求證：PB2＋QC2=PM2＋QM2．分析與證明若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．于是求證式等價于PB2+QC2=PA2+QA2，①等價于PB2-PA2=QA2-QC2．②因為M是BC中點，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有AD=BD，AE=CE，②等價于(AD＋PD)2-(AD-PD)2=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③③等價于AD·PD=AE·EQ．④因為ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故④等價于ME·PD=MD·EQ．⑤為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．下面我們來證明這一點．事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以∠DME=90°=∠PMQ(已知)．⑥在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME，所得差角相等，即∠PMD=∠QME．⑦由⑥，⑦，所以△MPD∽△MEQ．由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，從而①成立，則原命題獲證．②如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC邊于D，求證：．分析：可過C作CE⊥AD于E，可得AC2=AE?AD，又有平分線可得CE=EF，再過E作EG∥BC交AB于G，得出對應線段成比例，進而通過化簡轉化即可得出結論．解答：證明：過C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于F，AC2=AE?AD，由∠CAD=∠FAE，AE⊥CF，得CE=EF，過E作EG∥BC交AB于G，則BC=2EG。例5比例連乘型與比例連加型，常用梅氏定理、塞瓦定理或相似比的積與和的形式實現。梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：設X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。①一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長線)分別交于D，E，F(如圖2-68所示)．求分析設法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進行求證．證明一：過B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質知證明二：過點C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。證明三：過ABC三點向三邊引垂線AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1證明四：連接BF。（AD：DB）?（BE：EC）?（CF:FA)=（S△ADF：S△BDF）?（S△BEF：S△CEF）?（S△BCF：S△BAF）=（S△ADF：S△BDF）?（S△BDF：S△CDF）?（S△CDF：S△ADF）=1此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶：在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E，F，D三點共線，則(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積，該形式的梅涅勞斯定理也很實用。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點A、B、C重合)②塞瓦定理在△ABC內任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數學家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發表的《直線論》塞瓦定理是塞瓦重新發現。（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面積關系證明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理的應用：A：利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。B：可用塞瓦定理證明的其他定理三角形三條中線交于一點（重心）D,E分別為BC,AC中點所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1且因為AF=BF所以AF/FB必等于1，所以三角形三條中線交于一點，即為內心。用賽瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點用定比分點來定義塞瓦定理：在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區分，那里是λμν=-1）塞瓦定理推論：1.設E是△ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)?(CE/AE)?(GA/DG)=1因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)?(CE/AE)?(AF/FB)=K（K為未知參數）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證3.如圖，對于圓周上順次6點A，B，C，D，E，F，直線AD，BE，CF交于一點的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證。A組：1.如圖，在中，，，下列結論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的個數是（）。A.4個B.3個C.2個D.1個2.如圖梯形ABCD中，AB//CD，AB=3CD，E是對角線AC的中點，直線BE交AD于F，則的值是________。3.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB<CD，一直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，則=________。4.如圖，EFGH是矩形ABCD的內接矩形，且EF:FG=3:1,AB:BC=2:1,則AH:AE=________。5.如圖，AD是Rt斜邊BC上的高，P是AD的中點，連接BP并延長交AC于E，已知AC:AB=k,求AE:EC的值。6．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．7．如圖2-84所示．在△ABC內有一點P，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求證：PB2＝PA·PC．提示：設法證明△PAB∽△PBC．)8．如圖2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點，延長BP交AC于E，過E作EF⊥BC于F．求證：EF2=AE·EC．9．在△ABC中，E，F是BC邊上的兩個三等分點，BM是AC邊上的中線，AE，AF分別與BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．10.如圖，設P是等邊的一邊BC上的任意一點，連接AP，它的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點，求證：。11.如圖，D為的BC邊的中點，E為AC邊上的點，且AC=3CE，BE與AD交于O點。求的值。12.如圖，AB是Rt的斜邊，AE是的平分線，CDAB于D，交AE于F，FM//AB交CB于M。求證：（1）；（2）；（3）。13．如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使AD＝AE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：14．如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：AB·DF=AC·EF。分析：證明等積式問題常常化為比例式，再通過相似三角形對應邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運用中間比代換得到，為構造相似三角形，需添加平行線。方法一：過E作EM//AB，交BC于點M，則△EMC∽△ABC（兩角對應相等，兩三角形相似）。方法二：如圖，過D作DN//EC交BC于N，15．如圖從ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。證明：過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）又∽∴∴（2）（1）+（2）又∴AN=CM∴16．在△ABC中，D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點，BE=AD，DE交AB于F。求證：EF×BC=AC×DF過D作DG∥BC交AB于G，則△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴∴②由①②得，∴EF×BC＝AC×DF17．中，，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中點），MN過Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求證：。過P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，則CEPF為矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴（1）在和中：CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即（2）由（1）（2）得18．理由？（用三種解法）圖（1）圖（2）圖(3)3、方法一：如圖（1），設BC中點為E，連接AE。方法二：如圖（2），在DA上截取DE=DC。在△BED與△BCD中，方法三：如圖（3），過B作BE⊥BC于B，交CA的延長線于E。B組：點P為ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q點，2．如圖，P為△ABC內一點，過P點作DE，FG，IH分別平行于AB，BC，CA．求證：3.如圖，在正方形ABCD中，E是AB的中點，F是AD上的一點，且，于G，求證：。4．在△ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過點C作AB的平行線CF,延長BP交AC于E，交CF于F,求證：BP2=PE·PF。證明:連PC,由AB=AC,AD是中線可證△ABP≌△ACP,所以BP=CP∠ABP=∠ACP又AB‖CF,所以∠ABP=∠F所以∠ACP=∠F,且∠FPC是公共角,所以△PCE∽△PFC,所以PC/PF=PE/PC,所以PC^2=PE*PF,即BP^=PE*PF5．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,M為AD中點，BM的延長線交AC于P，PQ⊥BC于Q.求證:PQ2=PA·PC。證明：延長BA和QP,相交于點N.∵AD⊥BC于D,PQ⊥BC于Q.∴AD//NQ.∴BM/BP