隱圓與蒙日圓重難點(diǎn)問題【六大題型】

?題型歸納

【題型1隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長】.................................................2

【題型2隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值】..........................................2

【題型3隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角】.................................................3

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】.................................................3

【題型5阿波羅尼斯圓】......................................................................4

【題型6蒙日圓】

?命題規(guī)律

1、隱圓與蒙日圓問題

從近幾年的高考情況來看，在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓,

這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔，需要靈活求

解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1隱圓與阿波羅尼斯圓】

1.隱圓問題

在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程),

從而最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

2.隱圓問題的幾大類型

(1)隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長；

(2)隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值；

(3)隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角；

(4)隱圓類型四：對角互補(bǔ)、數(shù)量積定值；

(5)隱圓類型五：阿波羅尼斯圓.

3.阿波羅尼斯圓

“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)/(七,0),8(。,0)(。＞0)的距離之比為正數(shù)如￥1)的點(diǎn)的軌跡是

以C（會1。，0）為圓心，|彩7為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓?

【知識點(diǎn)2蒙日圓】

1.蒙日圓

在橢圓，+噲=1（。>6>0）上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓

的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓.

設(shè)尸為蒙日圓上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)力,B,。為原點(diǎn)，如圖.

OJ7JDX

?舉一反三

【題型1隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長】

【例1】（2024?全國?二模）已知直線Ry=垃+5（teR）與直線％：%+ty-t+4=0（teR）相交于點(diǎn)P,且

點(diǎn)P到點(diǎn)Q（a,3）的距離等于1,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-272-3,-272-1]

B.[——3,2>/^—1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+1,2V2+3]

D.[—2A/2^—3,——1]U[2V^—3,2-1]

【變式1-1]（24-25高三上?江西南昌?開學(xué)考試）已知橢圓E:9+?=1的右焦點(diǎn)為F,貝UE上滿足|PF|=遮

的P點(diǎn)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-2]（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知原區(qū)是兩個單位向量，且|五+同=._同,若向量工滿足

尼一五一同=2,則同的最大值為（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.2立

【變式1-3]（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知MQi，%）,可（>2）2）是圓+2尸+（y—4尸=1上

的兩個不同的點(diǎn)，若|MN|=VL則%—丫1|+咫一？2l的取值范圍為（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,7V2]D.[4V2,8V2]

【題型2隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值】

【例2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）平面上一動點(diǎn)P滿足：仍M|2+甲川2=6且用（一1,0）網(wǎng)（1,0）,則動

點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.（x+I）2+y2=3B.（x—I）2+y2=3

C.x2+y2=2D.x2+y2=3

【變式2-1]（2024?河南?三模）在平面a內(nèi)，已知線段的長為4,點(diǎn)P為平面a內(nèi)一點(diǎn)，且|P4|2+仍引2

=10,貝此PA8的最大值為（）

TlTlTI71

A.6B.4C.目D.2

【變式2-2]（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4（2,0）,若點(diǎn)M滿足MTP

+M02=10,則點(diǎn)M的軌跡方程是.

【變式2-3]（23-24高二上?福建廈門?期末）已知圓0必+、2=1和圓。1@一2）2+期=i,過動點(diǎn)p分別

作圓。，圓內(nèi)的切線P4PB（/,B為切點(diǎn)），且|P4|2+|P8|2=18,則|P4|的最大值為.

【題型3隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角】

【例3】（2024?浙江嘉興?二模）已知圓C:（x—5產(chǎn)+（y+2）2=/&>o）/（—6,o）,現(xiàn)0,8）,若圓C上存在點(diǎn)

P使得P41PB,貝。的取值范圍為（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+oo）

【變式3-1]（2024?北京平谷?模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)4（1,0）,動直線/：x+ay+2a—1=0,作AM1Z于點(diǎn)

則點(diǎn)〃到坐標(biāo)原點(diǎn)。距離的最小值為（）

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【變式3-2]（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M,N為圓好+y2=9上兩

點(diǎn)，點(diǎn)2（1,2）,且AM14N,則線段MN的長的取值范圍是（）

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4-V5,4+V5]D.[V13-V5,V13+Vs]

【變式3-3]（2024?廣西南寧?二模）已知直線丫=+力0）與無軸和y軸分別交于4B兩點(diǎn)，且

\AB\=2V2,動點(diǎn)C滿足C41CB,則當(dāng)匕TH變化時，點(diǎn)C到點(diǎn)D（l,l）的距離的最大值為（）

A.4V2B.3V2C.2V2D.V2

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】

2

【例4】（2024?北京?三模）已知圓C:（x—遍）+（y—1尸=1和兩點(diǎn)4（—t,0）,8（t,0）（t>0）,若圓C上存在

點(diǎn)P,使得刀?麗=0,則t的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【變式4-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）M點(diǎn)是圓C:（x+2）2+y2=1上任意一點(diǎn)，為圓的:（久一2尸+y2=3

的弦，且|40=2魚，N為48的中點(diǎn)，則|MN|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

【變式4-2]（2024?江西贛州?一模）在邊長為4的正方體4BC。一4中心。1中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)

面288遇1內(nèi)的動點(diǎn)（含四條邊），且tan乙4PD=4tanNEPB,則P的軌跡長度為（）

n2TC4TC8K

A.5B.—C.—D.—

【變式4-3]（2024?河南鄭州?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)4（2,4）,B（—2,—4）,動點(diǎn)P滿足麗?麗

=—1,貝肚an/PB。的最大值為（）

A2后B4舊C2?D立

【題型5阿波羅尼斯圓】

【例5】（23-24高二上?遼寧沈陽?期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果

之一，指的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)0,P的距離之比盟=4（2>0,4K1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅

尼斯圓.已知動點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為久2+y=1,0為x軸上一定點(diǎn)，P（-|,0）,且

2=2,則點(diǎn)0的坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（-2,0）D.（2,0）

【變式5-1]（23-24高二上?江西南昌?階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德

并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓

錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)。，P的距離之比湍=2

（4>0,4力1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知動點(diǎn)的〃?與定點(diǎn)Q（m,0）和定點(diǎn)P（—，0）的距

離之比為2,其方程為/+y2=i,若點(diǎn)BQ1）,則21Mpi+|MB|的最小值為（）

A.V6B.V7C.V10D.V11

【變式5-2]（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262?公元前190

年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)

4（4片1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)。（0,0）,4（3,0）,動點(diǎn)P（K,y）滿足版=，

則點(diǎn)P的軌跡與圓C：（比一2）2+y2=1的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5-3]（23-24高二上?湖南益陽?期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱

為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐

曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：己知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比需

=A（A>0,Z豐1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為好+必

=1,其中，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一，0）,2=3,若點(diǎn)則31Mpl+|MB|的最小值為

（）

A.V10B.VilC.V15D.V17

【題型6蒙日圓】

[例6]（23-24高三上?安徽六安?階段練習(xí)）橢圓，+，=l（a>0,6>0,a豐b）任意兩條相互垂直的切線

的交點(diǎn)軌跡為圓：X2+y2=a2+b2,這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓（%—4）2+（y—3）2=丁20>0）上總

存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P能作橢圓好+9=1的兩條相互垂直的切線，貝卜的取值范圍是（）

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

【變式6-1]（2024?貴州銅仁?二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)

現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日

圓.若橢圓噎+居=l（a>6>0）的蒙日圓為C:久2+7=款，過C上的動點(diǎn)M作T的兩條切線，分別與C交

于P,Q兩點(diǎn)，直線PQ交「于4B兩點(diǎn)，則橢圓「的離心率為（）

【變式6-2]（2024高三?山東?專題練習(xí)）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓

上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓C：痣+?=1

(a>0)的離心率為,則橢圓C的蒙日圓方程為()

A.%2+y2=9B.x2+y2=7C.%2+y2=5D.x2+y2=4

【變式6-3]（23-24高二上?江蘇徐州?期中）畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與

橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日

圓.已知橢圓，+苓=l（a>b>0）的蒙日圓方程為%2+y2=次+62.若圓（％—3）2+（y-A）2=9與橢圓

2

京+y2=1的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，貝》的值為（）

A.±3B.±4C.±5D.2V5

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知動點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)0（0,0）/（3,0）的距離之比為2,那么直線OM

的斜率的取值范圍是（）

A.[2V6,6V2]B.[—乎圖C.[一手,爭D.

2.（23-24高三上?重慶?期中）已知。為拋物線C:V=4久上的動點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足到點(diǎn)，（2,0）的距離

與到點(diǎn)尸（尸是C的焦點(diǎn)）的距離之比為亭貝”QM+I。目的最小值是（）

A.3-V2B.4-V2C.4+V2D.4

3.（23-24高二下?貴州六盤水?期末）已知線段48的長度為4,動點(diǎn)M與點(diǎn)4的距離是它與點(diǎn)B的距離的四

倍，則4MAB面積的最大值為（）

A.8V2B.8C.4V2D.y

4.（23-24高二上?河北石家莊?期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線/=y+l與x軸相交于4,8兩點(diǎn),P是

平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|P*=魚仍3|,則APAB面積的最大值是（）

A.V3B.2V3C.V2D.242

5.（23-24高二下?陜西寶雞?期中）已知點(diǎn)N為直線3久+4y—5=0上一動點(diǎn)，點(diǎn)P（m+2,1—n）,B（2,0）,

且滿足爪2+聲=271-4爪一4,貝!12Mpi+|BP|的最小值為（）

A.fB.\C.隼D.（

5355

6.（2024?廣東?二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點(diǎn)

軌跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據(jù)此背景，設(shè)M為橢圓C:/+E=i的一個外切長方形

（M的四條邊所在直線均與橢圓C相切），若M在第一象限內(nèi)的一個頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,則M的面積為（）

11?114

A.13V^B.26C.-D.

7.（23?24高二下?浙江?期中）在A45C中，BC=2,^BAC=p。為中點(diǎn)，在A45C所在平面內(nèi)有一

動點(diǎn)尸滿足麗?麗=元?麗，則赤?麗的最大值為（)

A.B.竽C.V3D.竽

8.（23-24高二下?山東青島?開學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞

歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)2（A>0,且,

那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)C到4（—1,0）,8（1,0）的距離之比為則點(diǎn)C到直

線x—2y+8=0的距離的最小值為（）

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2V5D.V3

二、多選題

9.（23-24高二上?福建泉州?期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262?前190）發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到

兩個定點(diǎn)48的距離之比為定值2（4力1）的點(diǎn)的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波

羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知2（—1,0）,8（2,0）,動點(diǎn)P滿足解=今直線

l\mx—y+m+l=0,貝!］（）

A.直線/過定點(diǎn)（—1,1）

B.動點(diǎn)P的軌跡方程為（x+2產(chǎn)+y2=4

C.動點(diǎn)P到直線I的距離的最大值為a+1

D.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一1,1）,則|P0+2|P4|的最小值為V15

10.（2024?山西太原?二模）已知兩定點(diǎn)4（—2,0）,5（1,0）,動點(diǎn)M滿足條件|M*=其軌跡是曲線

C,過2作直線/交曲線C于尸，0兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|PQ|取值范圍是［2百,4］

B.當(dāng)點(diǎn)/,B,P,。不共線時，面積的最大值為6

C.當(dāng)直線/斜率kHO時，48平分NP4Q

D.tan/PAQ最大值為K

22

11.（23-24高二上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓C轟+左=1

（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、

短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓就稱為橢圓。的蒙日圓，其圓方程為/+'2=小+62.已知橢圓。

的離心率為苧，點(diǎn)8均在橢圓C上，直線1:6比+ay—4=0,則下列描述正確的為（）

A.點(diǎn)A與橢圓C的蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為b

B.若/上恰有一點(diǎn)尸滿足：過P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為9+y=1

C.若/上任意一點(diǎn)。都滿足證＞0,貝|0＜匕＜1

D.若6=1,橢圓C的蒙日圓上存在點(diǎn)M滿足AL41MB,則aaOB面積的最大值為孚

三、填空題

12.(24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí))已知點(diǎn)4(—3,0),5(1,0),平面內(nèi)的動點(diǎn)P滿足P8—3P4=0,則

點(diǎn)P的軌跡形成的圖形周長是.

13.(23-24高二下?湖南?開學(xué)考試)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262?公元前190年)的著作《圓

錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)2(4力1)的點(diǎn)的軌

跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)。(0,0),2(3,0),動點(diǎn)P(Xy)滿足版=9,則點(diǎn)P的軌跡與

圓C:(x-I)2+y2=1的公切線的條數(shù)為.

14.(23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí))蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切

線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個圓又被叫做“蒙日圓”，已知點(diǎn)N、8為橢圓9+著=1(0＜fa＜V3)上任

意兩個動點(diǎn)，動點(diǎn)P在直線4x+