巧解圓錐曲線的離心率問題【八大題型】

?題型歸納

【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】...............................................2

【題型2利用圓錐曲線的性質求離心率或其范圍】...............................................3

【題型3利用等量關系或不等關系求離心率或其范圍】............................................3

【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】..................................................4

【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】......................................................5

【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】......................................................5

【題型7函數法求離心率或其范圍】............................................................6

【題型8坐標法求離心率或其范圍】............................................................7

?命題規律

1、巧解圓錐曲線的離心率問題

從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線的離心率或其取值范圍問題是高考的熱點題型，主要以選擇題或

填空題的形式考查，難度不大；對圓錐曲線中已知特征關系的轉化是解決此類問題的關鍵，相關平面幾何

關系的挖掘應用也可使問題求解更簡潔.

?方法技巧總結

【知識點1圓錐曲線的離心率】

1.橢圓的離心率

(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比色稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=。

aa

(2)離心率的范圍：0<e<l.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當e越接近于1時，。越接近于0,從而6="^越小，因此橢圓越扁；當e越接近于。時，c越接

近于0,從而6=，^二越接近于a,因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=6時，c=0,這時兩個焦點重合,

圖形變為圓，它的方程為x2+y2=02.

2.求橢圓離心率或其取值范圍的方法

解題的關鍵是借助圖形建立關于?,b,c的關系式(等式或不等式)，轉化為e的關系式，常用方法如下:

(1)直接求出a,c,利用離心率公式0=?求解.

(2)由。與6的關系求離心率，利用變形公式e=求解.

(3)構造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出。與。的關系，從而求得

3.雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比(，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>l.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為2=*]1,所以e越大，令越大，則雙曲線的開口越大.

a\aa

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=，5.

4.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a,6,c的齊次方程(或不等式)，借助于〃=/—c?消去人轉化為含有e的方程(或不等

式)

求解.

5.拋物線的離心率

拋物線的離心率e=l.

【知識點2離心率的范圍問題的求解方法】

1.不等式法求離心率的范圍

(1)利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍：利用圓錐曲線的定義建立不等關系，結合離心率公式求解.

(2)利用圓錐曲線的性質求離心率的范圍：利用圓錐曲線的性質，如：橢圓的最大角、雙曲線漸近線的

斜率、通徑、三角形中的邊角關系、曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解.

(3)利用題目條件中的不等關系，建立不等式(不等式組)求解.

(4)利用基本不等式求離心率的范圍：把離心率的關系式轉化為能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等關系進行求解.

2.函數法求離心率的范圍

(1)根據題干條件，如圓錐曲線的定義、性質、其他等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數

關系式；

(2)結合圓錐曲線的離心率的范圍，來確定所得函數的定義域;

（3）利用函數的性質求最值或值域，進而求解離心率的最值或取值范圍.

3.坐標法求離心率的范圍

根據所給條件，設出所求點的坐標，把點的坐標代入曲線方程，結合相關知識，進行求解即可.

?舉一反三

【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】

【例1】（2024?內蒙古呼和浩特?模擬預測）已知雙曲線的兩個焦點分別為（4,0）,（—4,0）,點（4,—6）在該雙

曲線上，則該雙曲線的離心率為（）

A.V3B.3C.2D.V2

【變式1-1]（2024?廣西貴港?模擬預測）已知正方形/BCD的四個頂點都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點分

別為邊40和2c的中點，則該橢圓的離心率為（）

返生旦DV3

2222

22

【變式1-2]（23-24高二下?山西晉城?階段練習）已知％,尸2是橢圓C：叁+:=l（a>6>0）的兩個焦點,

M為C的頂點，若的內心和重心重合，則C的離心率為（）

A.苧B.亨C.|D.|

【變式1-3]（2024?陜西商洛?三模）已知雙曲線C:《一看=l（a>。力>0）的左、右焦點分別為％,&，若。

上存在點P,使得|PFi|=3仍尸2|，貝照的離心率的取值范圍為（）

A.[V2,+oo）B.（1,V2]C.[2,+8）D.（1,2]

【題型2利用圓錐曲線的性質求離心率或其范圍】

22

【例2】（2024?浙江杭州三模）已知雙曲線叁一左=l（a,6〉0）上存在關于原點中心對稱的兩點/,B,以

及雙曲線上的另一點C,使得△ABC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（V2,+oo）B.（V3,+oo）C.（2,+oo）D.（竽,+8）

【變式2-1]（23-24高二下?山西運城?期中）已知%尸2分別是橢圓若|+?=l（a>0）的左、右焦點，過點

%的直線交C于4B兩點，若|4?2|+田尸2|的最大值為8,貝UC的離心率為（）.

A."■5B.旁ZC.咚3D.14

22

【變式2-2]（2024?四川?模擬預測）已知雙曲線E:a—相=l（a>0,b>0）,F/分別為E的右焦點和左頂點,

點M（—2,3）是雙曲線E上的點，若aAMF的面積為5，則雙曲線E的離心率為（）

A.V3B.2C.芋D.V6

【變式2-3］（2024?陜西銅川?模擬預測）已知七尸2是橢圓l（a>6>0）的左、右焦點，若E上存

在不同的兩點4B,使得貝恒的離心率的取值范圍為（）

A.（0,V2-1）B.（0,V2-1］C.（3-2V2,1）D.［3-2V2,1）

【題型3利用等量關系或不等關系求離心率或其范圍】

【例3】（2024?廣東深圳?二模）尸是橢圓C：5+著=1（a〉6>0）上一點，/、&是。的兩個焦點，

麗?麗=0,點Q在〃止尸2的平分線上，。為原點，OQIIPF1，且|OQ|=4則c的離心率為（）

A.|B.C.乎D.y

【變式3-1］（2024?江西南昌?三模）已知雙曲線C:，一，=1缶>0,6>0）的左、右焦點分別為Fi，F2.過尸2

作直線I與雙曲線C的右支交于4B兩點，若的周長為106,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.除聞B.惕詞C.［1,2］D.［2,+co）

【變式3-2］（2024?河北邯鄲?模擬預測）已知雙曲線C：［―《=l（a>0,b>0）,。為坐標原點，F［、F2

分別為C的左、右焦點，點P在雙曲線上，且PF2，x軸，〃在NF2PF1外角平分線上，且石方?麗=0.若

|0&|=層陷，則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.苧

【變式3-3］（2024?陜西安康?模擬預測）已知橢圓+左=l（a>6>0）,直線+a）與橢圓C交

于4B兩點（B點在力點上方），。為坐標原點，以。為圓心，|。8|為半徑的圓在點B處的切線與x軸交于點D,

若NBn4>NB4D,貝UC的離心率的最大值為（）

A.|B.|C.亨D.y

【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】

【例4】（2024?廣西桂林?模擬預測）已知％、氏是雙曲線。套一底=1的左、右焦點，過尸2作雙曲線一條

漸近線的垂線，垂足為尸，且|「％|2+|尸尸2|2=8爐，則雙曲線C的離心率為（）

A-B-C2y3D'5

34533

【變式4-1］（2024?陜西安康?模擬預測）設4B分別為橢圓。/+\=1（￡1>6>0）的左、右頂點，M是C上

一點，^.\MA\-.\MB\-.\AB\e3:5:7,則C的離心率為（）

A33V15n7V286

B

A/-7C.7rD,

【變式4-2]（2024?四川成都?模擬預測）設點Fi，F2分別為雙曲線C：，一'=1（。>06>0）的左、右焦點，

點/,8分別在雙曲線C的左，右支上.若@=6鬲7,AF2LBF2,且|欣布則雙曲線的離心率為

（）

A.yB.yC.等D.等

【變式4-3]（23-24高二上?浙江杭州?期中）雙曲線緇一，=l（a>0,6>0）的左，右焦點分別為F仍，。

為坐標原點，過廣作C的一條漸近線的垂線，垂足為。，且|。&1=夕1。叫，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V5D.3

【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】

【例5】（23-24高二上?安徽黃山?期末）已知點/是橢圓卷+卷=1（（1>6〉0）的左焦點，過原點作直線Z

交橢圓于4、B兩點，M、N分別是4匕、BFi的中點，若4MON=90°,則橢圓離心率的最小值為（）

A.[B.亨C.|D.日

22

【變式5-1]（23-24高三上?云南曲靖?階段練習）已知％,F2,分別為雙曲線也一:=1（a>0,b>0）

的左、右焦點，M為雙曲線左支上任意一點，若制的最小值為8a,則雙曲線離心率e的取值范圍是

（）

A.（I,1]B.（2,4]

C.（1,3]D.（3,5]

22

【變式5-2]（23-24高二?全國?課后作業）已知Fi，92分別為雙曲線點一標=l（a>0力>0）的左、右焦點,

尸為雙曲線右支上任意一點，若制的最小值為8a,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（1,3]D.（2,4）

【變式5-3]（2024?河南?二模）從橢圓嗒+3=1（口〉6>0）外一點「（>0）0）向橢圓引兩條切線，切點分

別為4B,則直線稱作點P關于橢圓C的極線，其方程為翳+黃=1.現有如圖所示的兩個橢圓C]C2,離心

率分別為ei，2,C2內含于Ci，橢圓加上的任意一點M關于C2的極線為Z,若原點。到直線[的距離為1,則謚一

【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】

【例6】（2024?安徽合肥?模擬預測）已知橢圓Ci：5+y2=1（機>1）與雙曲線C2：9―產=2>0）的

焦點重合，61，02分別為的，。2的離心率，則（）

A.?送2>2B.%+益>2

C.0<?送2<2D.0V〃+62<2

2222

【變式6-1]（2024?山東荷澤?二模）已知6逆2分別為橢圓a+:=l（a>b>0）和雙曲線會一左=1的離心

率，雙曲線漸近線的斜率不超過竽，則言的最大值是（）

A.2B.3C.4D.5

2222

【變式6-2]（2024?全國?模擬預測）已知橢圓Ci：盍+叫=l（m>n>0）與雙曲線一琶=l（a>0,b>0）

有共同的焦點乙尸2，點P為兩曲線的一個公共點，且乙尸/&=60°,橢圓的離心率為雙曲線的離心率

為02，那么嫉+餐最小為（）

A2+V^B2+V3c3+2V2口3+2A/2^

【變式6-3]（23-24高二上?湖北荊州?期末）已知尸1，&是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共

點，且|PFi|>|PF2l，線段PFi的垂直平分線過&，若橢圓的離心率為ei，雙曲線的離心率為02,則：+:的

el4

最小值為（）

A.8B.6C.4D.2

【題型7函數法求離心率或其范圍】

22

【例7】（2024?全國?模擬預測）已知橢圓「：?+旌=l（a>%>0）的左、右焦點分別為鼻尸2，點P在橢圓「

上，且PF「PF2=0.若局6[1,3],則橢圓「的離心率的取值范圍是（）

A.[知B.母羽C.[|,|]D,[1,4-2V3]

【變式7-1]（2024?河北邯鄲?二模）已知直線Z：出一（4a—l）y+zn=0（a>》與雙曲線總一，=l（a>0,

b>o）的兩條漸近線交于a2兩點，。為坐標原點，若ao/B為直角三角形，則雙曲線的離心率e的最大

值為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【變式7-2]（2024?遼寧?模擬預測）已知Q是橢圓“卷+餐=1（0<b<3）上的動點，若動點Q到定點P（2,0）

的距離|PQ|的最小值為1,則橢圓M的離心率的取值范圍是（）

A.[Q）B,（0當C.除1）D,（0閘

【變式7-3]（2024?四川?模擬預測）已知雙曲線嗒一看=l（a>0力>0）,Fi，&為C的左、右焦點，B

（0,46）,直線8尸2與C的一支交于點P，且忌=2（221）,則C的離心率最大值為（）

A.V5B.2C.2V2D.2棟

【題型8坐標法求離心率或其范圍】

[例8]（23-24高二下?湖北武漢?階段練習）已知4尸分別為橢圓5+看=l（a>b>0）的左頂點和左焦點,

直線y=kx與橢圓交于B,C兩點，若直線CF交線段于”,府=押，則橢圓的離心率為（）

A.?B.|C.半D.等

【變式8-1]（23-24高三上?河北保定?階段練習）已知雙曲線C:/—'=1仙>0）,點P（2,0）,Q（3,0）,若C

上存在三個不同的點M滿足|MQ|=2|MP|,則C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,孚）B.（1嚕C.彎+8）D.（苧,+8）

【變式8-2]（2024?福建泉州?模擬預測）橢圓E：/+^=1（￡1>6>0）的左右焦點分別為尸1尸2，點。（0即）

（jn>b）,線段P%,P&分別交E于4B兩點，過點B作E的切線交P%于C,且BC?PF】=0,PB=2B12,則E

的離心率為（）

A.1B.乎C.乎D.日

【變式8-3]（23-24高二上?湖北?期中）已知雙曲線C：《一\=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為Fi

（―c,0），F2（C,0）,過點％的直線I與雙曲線C的左支交于點4與雙曲線C的一條漸近線在第一象限交于點8,

且F1F2I=2|0B|（。為坐標原點）.下列三個結論正確的是（）

①B的坐標為（a,b）；@\BF1\-\BF2\>2a；③若荏=3工1,則雙曲線C的離心率丹立;

A.①②B.②③C.①③D.①②③

?過關測試

一、單選題

1.（2024?湖北武漢?模擬預測）設橢圓+l（a>6>0）的左右焦點為尸1尸2，右頂點為4已知點P

在橢圓E上，若4尸"尸2=9O°,ZPXF2=45。，則橢圓E的離心率為（）

A.|B.苧C.2-V2D.V3-1

2.（2024?四川雅安?三模）設乙尸2分別為雙曲線C：5一f|=l（a>0力>0）的左右焦點，過點&的直線交雙

曲線右支于點M,交y軸于點M且尸2為線段MN的中點，并滿足前1布，則雙曲線C的離心率為（）

A.B.V3+1C.2D.V5+1

3.（2024?陜西咸陽?模擬預測）設Fi，尸2分別是橢圓E：^+f1=l（a>b>0）的左、右焦點，過尸2的直線交

橢圓于48兩點，且疝?死=0,6=2不，則橢圓E的離心率為（）.

A.孚B.字C.jD.|

4.（2024?安徽合肥?模擬預測）已知雙曲線唁一看=l（a>。力>0）,%（—c,0）、&。。）分別為左、右焦

點，若雙曲線右支上有一點尸使得線段P%與y軸交于點E,\PO\=\PF2\,線段E&的中點〃滿足蒜?麗

=0,則雙曲線的離心率為（）

A.3*同B.3一二舊c.7+375D.7-3V5

5.（2024?廣東?一模）已知點RN分別是橢圓《+看=1（￡1>6>0）的左焦點、右頂點，8（0力）滿足布?荏

=0,則橢圓的離心率等于（）

皿叁C.井口.回

2222

6.（2024?遼寧?模擬預測）已知橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點是橢圓C1與雙曲線C2的一個公共點，

且〃止尸2=今其離心率分別為％色，貝!!3餐+e油最小值為（）

A.3B.4C.6D.12

7.（2024?河南濮陽?模擬預測）點M是橢圓《+看=l（a>6>0）上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢

圓的焦點F,圓M與y軸相交于P,Q兩點，若^PQ"是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（2-V3,l）B.（年,1）

C.D.年）

8.（2024?四川德陽?模擬預測）已知雙曲線/：《一餐=l（a>0/>0）的焦距為2c,右頂點為/,過/

作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點，若SMONN*2,則E的離心率的取值范圍是（）

A.圖忖B.圖同C.[V2）V3]D.[V3,2]

二、多選題

9.（2024?甘肅酒泉?三模）已知橢圓今+翕=l（a>b>0）上存在點P,使得|PFj=4四，其中尸1典分

別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率可能為（）

-1or

A.-B.-C.TD.V3-1

z□o

22

10.（2024?河南信陽?模擬預測）已知雙曲線C:點一方=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為％（—60）尸2

（c,0）,直線l:bx+ay—%=0與C相交于點M,與C的一條漸近線相交于點N,C的離心率為e,則（）

A.若NF—NF2,貝ije=2B.若貝b=2魚

C.若INF2I=2|MF2l，則e=?D.若25|“尸2|，貝MW四

11.（2024?貴州貴陽?三模）雙曲線C:/—/=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為點尸1尸2,斜率為正的漸

近線為小過點尸2作直線k的垂線，垂足為點4交雙曲線于點P,設點M是雙曲線C上任意一點，若伊或1=

24

^\AF2\,S/\PF1F2=則（）

A.雙曲線C的離心率為遙

B.雙曲線C的共輾雙曲線方程為外―1

C.當點M位于雙曲線C右支時，制6（1,噌

D.點M到兩漸近線的距離之積為2

三、填空題

12.（2024?山東濟南?三模）已知％、F2是橢圓《+餐=1Q>b>。）的左，右焦點，點P為