第04講數列的通項公式

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：觀察法.................................................................2

題型二：疊加法.................................................................2

題型三：疊乘法.................................................................3

題型四：形如an+1=pan+q型的遞推式............................................3

題型五：形如an+i=pan+kn+b型的遞推式........................................4

題型六：形如an+i=pan+rq11型的遞推式...........................................4

題型七：形如an+i=pa^P>0,an>0）型的遞推式...................................5

題型八：形如an+i=4型的遞推式...............................................5

題型九：形如a.2=pan+1+qan型的遞推式.........................................5

題型十：形如a.1=吧就型的遞推式..............................................6

pan+q

題型十一：已知通項公式an與前n項的和S"關系求通項問題..........................6

題型十二：周期數列.............................................................7

題型十三：前〃項積型...........................................................8

題型十四：“和”型求通項.........................................................8

題型十五：正負相間討論'奇偶討論型.............................................9

題型十六：因式分解型求通項....................................................10

題型十七：雙數列問題..........................................................10

題型十八：通過遞推關系求通項..................................................11

02重難創新練.................................................................12

03真題實戰練.................................................................62

//

題型一：觀察法

1.（2024?高三.河北唐山?期中）若數列也,｝的前6項為1,-g,|,3，-：，則數列｛%｝的通項公式可以為

C.(-1)"—D.(-1嚴」一

2〃一12n-l

2.數列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個通項公式是％=()

3.數列｛g｝的前4項為：則它的一個通項公式是（）

A.—1―B.C.D.

2n—l2n+l3n-l3〃+1

4.如圖所示是一個類似楊輝三角的遞推式，則第，，行的首尾兩個數均為（）

33

565

711117

91822189

A.2nB.2〃一1C.2〃+2D.In+1

題型二：疊加法

5.己知數列｛4｝滿足％=2,a“+]-a“=2〃+2,〃eN*,則。“=.

6.畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，他們把美學視為自然科學的一個組成

部分.美表現在數量比例上的對稱與和諧，和諧起于差異的對立，美的本質在于和諧.他們常把數描繪成

沙堆上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對自然數進行研究.如圖所示，圖形的點數分別為1，5,

12,22____枚結規律并以此類推下去，第10個圖形對應的點數為,若這些數構成一個數列｛4｝，

記數歹I[—1-7]的前〃項和為臬,貝IS2023=_____________.

&+i-aTj-

7.已知數列｛4｝滿足為+「氏=32("6?4*),4=3,則4=

題型三：疊乘法

8.已知數列｛4"｝中，4=1，nan+l=2(^+a2++a?)(neN*),則數列｛4｝的通項為

9.設｛。“｝是首項為1的正項數列，且(〃+2)““+:-"/2+2°什陷“=0(〃eN*),求通項公式。“=

10.(2024.四川成都?二模)在數列｛4｝中，％=1,a,T(〃22,〃eN"),則數列｛叁｝的前〃項和

題型四：形如每+1=pan+q型的遞推式

11.已知數列｛。“｝滿足4=1。，%+1=3。“-2.

(1)求｛g｝的通項公式；

.4Z—1，、1

(2)若0=g；2吊,記數列也｝的前“項和為求證：

12.數列｛4｝滿足4=4%_I+3(〃N2)且4=0,則數列｛。“｝的通項公式是.

13.已知首項為2的數列｛%｝對V〃eN*滿足4+1=3為+4,則數列｛%｝的通項公式。“=.

14.已知數列｛為｝滿足4=1,2an+I=3an+l.

⑴求數列｛%,｝的通項公式；

11115

(2)證明：-+—+—+

axa2a3an2

題型五：形如每+i=pan+kn+b型的遞推式

15.記數列｛4｝的前幾項和為S“，若q=1,且%+1=2。"+2〃.

(1)求證：數列｛q+2〃+1｝為等比數列；

(2)求數列｛%｝的前〃項和S“的表達式.

16.(2024?陜西安康?模擬預測)在數列｛4｝中，已知4,=2。1-2〃+4(”22),。1=4.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵求數列｛2"/"-4"｝的前”項和.

題型六：形如用+1=pan+『或型的遞推式

n+2

17.已知數列｛4｝滿足：an+l=2an+2,且6=2.求凡；

18.(2024?高三?河北張家口?開學考試)已知數列｛%｝滿足％=5,且a向=3%-2"(“wN*).

求數列｛?｝的通項公式；

題型七：形如每+i=pa?(p>0,an>0)型的遞推式

19.設正項數列｛g｝滿足4=1,a?=2<1(?>2),求數列｛4｝的通項公式.

題型八：形如每+】二熟型的遞推式

20.數列｛(/”｝中，。"+|=1￡,4=2,貝ij%=

21.已知數列｛為｝滿足4=1，g+1貝!I數歹■的前8項和a=

〃〃+2

22.已知數例J4=l，%+i=三:，則數列｛%｝的通項公式見=

題型九：形如冊+2-Pan+1+qa”型的遞推式

23.已知數列｛。“｝滿足。?=1,a2=5,an+2=5an+1—6an.

(1)證明：｛q+「2叫是等比數列；

⑵求4.

24.已知數列｛%｝滿足4=3,a2=6,an+2=2anU+3an,求a,

題型十：形如冊+1=整型的遞推式

Mn+q

3g—4(x

25.已知％=3,an+l=——,則｛4｝的通項公式為___.

〃〃一,

26.在數列｛。“｝中，4=2,且。用=煞，，求其通項公式應.

27.已知數列｛?｝滿足4=2,。用=*弓，則%=____.

%十一

題型十一：已知通項公式即與前n項的和S”關系求通項問題

28.已知數列｛%｝的前w項和為S“，且5”="一12”.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

(2)令4=--------，求數列｛a｝的前11項和3.

4A+i

29.記數列｛%｝的前"項和S"，S“=(〃+1)%-〃(〃+1).

⑴求｛凡｝的通項公式;

(2)設數歹!j—的前〃項和為.，證明：!玨＜；.

〔44+J84

30.已知數列｛為｝的前“項和為S,，且滿足S“=2%+2〃-l.

(1)求證:數列｛%-2｝為等比數列；

(2)已知/=吟@，求數列也｝的前〃項和.

31.已知在數列｛%｝中,3=1,前“項和S”=

（1）求出、“3；

（2）求數列｛〃“｝的通項公式；

（3）設數列｛'｝的前〃項和為北,求人

32.（2024.浙江紹興三模）已知數列｛g｝的前w項和為S,,且4=2,Sn=-^-an+1,設么=盤.

n+2n

⑴求證：數列也｝為等比數列；

⑵求數列｛r｝的前"項和T,.

33.已知數列｛%｝的前“項和為S“，且4s“=（2〃+l）a“+l.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵已知上eN*,集合｛〃豚-l<q,<2"+l,〃eN*｝中元素個數為4,求2+仇++bk.

題型十二：周期數列

34.（2024.內蒙古包頭.一模）已知數列｛%｝的前〃項和為S“，q=2,出=3,an+2=an+l-an,則%=.

35.（2024?上海浦東新?模擬預測）已知4=1,%=2,且a“+2=a“+i-a“（〃為正整數）,則a2023H.

36.（2024?上海普陀.模擬預測）已知數列｛4｝滿足a,“用?%+,=-3，卬=-2,4=；，則數列｛4｝的前，

項積的最大值為

37.(2024?河北?模擬預測)若數列｛?｝滿足q=si吟，=an_x-1(zi>2,MGN*),則為023

題型十三：前"項積型

一21,

38.(2024.福建廈門?高三廈門外國語學校校考期末)7；為數列｛%｝的前"項積，且一+書=1

an4

(1)證明：數列｛4+1｝是等比數列；

(2)求｛4｝的通項公式.

2

39.已知數列｛4｝的前”項之積為2,且/+赍+…+今=2=(〃。*).

求數列加和｛叫的通項公式;

40.已知數列｛an｝的前n項積Tn=2"口⑵.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵記bn=log2an,數列也｝的前〃項為S,,求S,的最小值.

題型十四：“和”型求通項

2

41.(2024?南明區校級月考)若數列他”｝滿足a“+a,貝凡=

"+1J〃+2+4n

42.（2024?青海西寧?二模）已知S"為數列｛?｝的前及項和，%=1,。用+2S“=2”+1,貝I]S?。?？=（

A.2020B.2021C.2022D.2024

43.已知數列｛4｝的前幾項和為S.，若S“M+S〃=2"2（"eN*）,且a戶0,即）=28,則%的值為（）

A.-8B.6C.-5D.4

44.數列｛4,｝滿足：Oi=0,a?+1+a?=2,求通項.

題型十五：正負相間討論、奇偶討論型

45.已知數列｛%｝滿足：4=3”.“用=1]07€可），求此數列的通項公式.

an+2,〃為奇數

46.（2024?山東?校聯考模擬預測）已知數列｛?｝滿足q=-2,a?

+12a“+2,w為偶數.

（1）求｛。2n｝的通項公式；

（2）設數列｛瑪｝的前幾項和為S“，且S”>25。，求"的最小值.

2a”,〃是偶數,

47.（2024?湖南長沙?長郡中學校聯考模擬預測）已知數列｛。“｝滿足4=3,且凡十】

an-1,"是奇數.

⑴設N=的“，求數列也｝的通項公式;

（2）設數列｛。/的前w項和為S”,求使得不等式S“>2023成立的n的最小值.

題型十六：因式分解型求通項

48.（2024?四川模擬）己知數列｛%｝的各項均為正數，且滿足（九+1）%-2?-〃=0.

（1）求4,出及｛4｝的通項公式;

（2）求數列｛2冊｝的前〃項和S..

題型十七：雙數列問題

49.已知數列｛4｝和也｝滿足q=2,伉=1,an+bn=bn+l,區出+%]=4a..則^.

“1008

117

an+l=2a"+2^"

50.（2024.上海奉賢.二模）數列｛?｝,｛或｝滿足《11111%>0,4>0.

+

4+12an2bn

（1）求證：｛巴?〃｝是常數列；

（2）若｛%｝是遞減數列，求由與4的關系;

14〃=3〃++4

51.（2024.高三.遼寧?期中）已知數列｛。"｝、也』滿足弓=2,4=1,且"-（?>2）

[4或=%+3%+4

⑴令-2,證明:匕｝是等差數列，｛4｝是等比數列；

（2）求數列｛。“｝和也」的通項公式；

（3）求數列｛%｝和也,｝的前"項和公式.

題型十八：通過遞推關系求通項

52.某校高一學生1000人，每周一次同時在兩個可容納600人的會議室，開設“音樂欣賞”與“美術鑒賞”的

校本課程.要求每個學生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數為機(400＜機＜600),其余的人聽“美術

鑒賞”課；從第二次起，學生可從兩個課中自由選擇.據往屆經驗，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學生，下一

次會有20%改選“美術鑒賞”，而選“美術鑒賞”的學生，下次會有30%改選“音樂欣賞”，用明,或分別表示

在第〃次選“音樂欣賞”課的人數和選“美術鑒賞”課的人數.

(1)若“=500,分別求出第二次，第三次選“音樂欣賞”課的人數的,?3；

⑵①證明數歹式q-600｝是等比數列，并用〃表示。“；

②若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學生的總人次不超過5800,求m的取值范圍.

53.某區域市場中5G智能終端產品的制造全部由甲、乙兩公司提供技術支持.據市場調研及預測，5G商用

初期，該區域市場中采用的甲公司與乙公司技術的智能終端產品各占一半，假設兩家公司的技術更新周期

一致，且隨著技術優勢的體現，每次技術更新后，上一周期采用乙公司技術的產品中有15%轉而采用甲公

司技術，采用甲公司技術的產品中有10%轉而采用乙公司技術.設第"次技術更新后，該區域市場中采用

甲公司與乙公司技術的智能終端產品占比分別為凡和“，不考慮其他因素的影響.

⑴用%表示。向，并求使數列｛氏-可是等比數列的實數4.

(2)經過若干次技術更新后，該區域市場采用甲公司技術的智能終端產品的占比能否達到60%以上？若能，

則至少需要經過幾次技術更新；若不能，請說明理由.

54.某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產.該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產,

到當年年底資金增長了50%.預計以后每年年增長率與第一年的相同，公司要求企業從第一年開始，每年

年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第〃年年底企業上繳資金后的剩余資金為。“萬

元.

(1)用d表示為與〃2，并寫出%+i與〃”的關系式；

⑵求證：當dwlOOO時，數列｛氏-2力為等比數列，并說明d＜1000的現實意義；

(3)若公司希望經過5年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的近似值(d取整數).

55.某電視頻道在一天內有尤次插播廣告的時段，一共播放了y條廣告，第一次播放了1條以及余下的>-1

條的：，第2次播放了2條以及余下的第3次播放了3條以及余下的：，以后每次按此規律插播廣告,

OOO

在第M%>i)次播放了余下的x條.

⑴設第上次播放后余下軟條，這里a0=y,勺=。，求知與的遞推關系式.

(2)求這家電視臺這一天播放廣告的時段x與廣告的條數y.

56.治理垃圾是A地改善環境的重要舉措.去年A地產生的垃圾量為200萬噸，通過擴大宣傳、環保處理

等一系列措施，預計從今年開始，連續5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬噸，從第6年開始，每

年的垃圾排放量為上一年的75%.

(1)寫出A地的年垃圾排放量與治理年數的表達式；

(2)設4為從今年開始〃年內的年半凈垃圾排放量，證明數列｛4｝為遞減數列；

(3)通過至少幾年的治理，A地的年平均垃圾排放量能夠低于100萬噸？

1.(2024?西藏?模擬預測)已知數列｛%｝對任意％eN*滿足以9+1=2。則今出必=()

A.21012B.21013C.22024D.22025

2.(2024?陜西西安?模擬預測)已知數歹(]｛“〃｝的前〃項和為—〃Q〃+2(〃￡N*),則工二()

A.190B.210C.380D.420

3.（2024江蘇鹽城?模擬預測）若數列｛。“｝滿足2"%+2"-&+--+2%=4",｛%｝的前〃項和為S“，則（）

2,H=1

A.S“=《4"-4-4"T+5

Bf=3

[3心2

C.S〃=空D.S.4

〃3〃3

4.（2024.湖北黃岡?模擬預測）已知數列｛%｝的首項％=：,且滿足％=三」,^-+—+-+-+—<1000,

則滿足條件的最大整數〃=（）

A.8B.9C.10D.11

5.已知數列｛〃〃｝滿足，nan+l-(2n+2M，則-()

+CL?+^^4++^^100

A50n51-50n51

A.----B.----C.—D.—

1011019999

設正數數列｛為｝的前〃項和為s“，且S“=g，+：｝〃eN*）,則（）

6.（2024?安徽阜陽?模擬預測）

A.｛4｝是等差數列B.｛S“｝是等差數列C.｛%｝單調遞增D.｛S“｝單調遞增

7.（2024?北京朝陽?二模）北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術”，提出長方臺形垛積的一般求

和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有曲個小球，第二層有（。+1）修+1）個

小球，第三層有（a+22+2）個小球……依此類推，最底層有cd個小球，共有〃層，由“隙積術”可得這些

小球的總個數為［（2"d）a+（2d+-c+（c-a）］〃若由小球堆成的某個長方臺形垛積共&層,小球

6

總個數為240,則該垛積的第一層的小球個數為（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024?山西?三模）已知數列｛%｝,｛bn｝對任意〃eN*均有an+x=an+bn,或包=2+2.若％=a=3,則%,=（）

A.530B.531C.578D.579

9.（多選題）（2024.四川內江.模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同學相互做傳接球訓練，球從甲

手中開始，等可能地隨機傳向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外5人中的1人,

如此不停地傳下去，假設傳出的球都能被接住.記第〃次傳球之后球在乙手中的概率為%.則下列正確的有

B.為等比數列

C.設第"次傳球后球在甲手中的概率為2,九<%。

10.（多選題）（2024?山東?模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣

的一列數：1,1,2,3,5,8,13,21,....該數列的特點如下：前兩個數均為1,從第三個數起，每一個

數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，若用歹表示斐

波那契數列的第"項，則數列｛/（〃）｝滿足：F（1）=F（2）=1,網"+2）=尸（〃+1）+網〃）.則下列說法正確的

是（）

A.F（10）=34

B.3F（n）=F（n-2）+F（n+2）（n>3）

C.F（l）+F（2）+---+F（2023）=F（2025）-l

D.[F（l）]2+[F（2）]2+---+[F（2023）]2=F（2023）-F（2024）

+b

11.（多選題）（2024.重慶?模擬預測）已知數列｛4｝,｛bn｝,記雹=4a2a3,。"，5“=々+仇+4+?-

11,,1

+—=］且〃=則下列說法正確的是（

Ta

nnTJ?+l

A.Tl2=12B.數列｛4｝中的最大項為2

C,D.S?<|

12.（2024?陜西銅川?模擬預測）已知數列｛?｝的前三項依次為2,2,3,｛%｝的前〃項和5"=。/+/+乙則

°2024=-

13.（2024?內蒙古.三模）假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2

個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.

若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為.

14.（2024?上海.模擬預測）已知無窮數列｛4｝的前"項和為S“，不等式電<0對任意不等于2的正整數”

恒成立，且6s“=&+1乂q+2）,那么這樣的數列有個.

15.（2024?吉林?模擬預測）已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且％=1,2S“=3凡+機.

（1）求實數加的值和數列｛4｝的通項公式;

(2)若耳=Jog3aX，求數列｛bn｝的前n項和Tn.

16.(2024?江西宜春?模擬預測)數列｛%｝滿足q+爭爭+...+券=2”.

(1)求｛%｝的通項公式;

,n

(2)若〃=一,求出｝的前〃項和

an

17.(2024?陜西安康?模擬預測)記S,為數列｛4｝的前w項和，已知％=1,"S同-5+l)S"="+〃.

(1)求｛4｝的通項公式；

n

⑵若bn=+[(-D+1]2\求數列｛%｝的前In項和4”.

18.(2024?江蘇揚州?模擬預測)己知各項均為正數的數列｛%｝前〃項和為S?,且2S“=an(??+1).

(1)求數列｛%｝的通項公式;

111c

⑵證明：—+—++—<2

32

19.(2024?福建泉州?模擬預測)將足夠多的一批規格相同、質地均勻的長方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，

每個鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠而不

掉下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問題.將鐵塊從上往下依次標記為第1塊、第2塊、第3塊......第“

塊，將前詆=1,2,3,…/)塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第7+1塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌

面的上方，整批鐵塊就保持不倒.設這批鐵塊的長度均為1,若記第“塊比第”+1塊向桌緣外多伸出的部分

(II)砥T=.(用%表示)

2.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）記S1,為數列｛瑪｝的前"項和，己知4s“=3%+4.

⑴求｛%｝的通項公式；

1

⑵設%=（-1）-nan,求數列也｝的前〃項和T”.

3.（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設S“為數列｛a“｝的前”項和，已知出=1，2S“=〃4.

⑴求｛%｝的通項公式;

anl

（2）求數列+的前"項和

2"

4.（2022年新高考全國I卷數學真題）記S,為數列｛%｝的前〃項和，已知是公差為g的等差數

列.

⑴求也“｝的通項公式；

111c

（2）證明：一+—++—<2.

a

ax%n

5.（2021年全國高考乙卷數學（理）試題）記為數列｛4｝的前"項和，2為數列｛Sj的前"項積，已

21?

知1T=2.

S,bn

（1）證明：數列他｝是等差數列;

（2）求｛%｝的通項公式.

6.(2020年浙江省高考數學試卷)6知數列｛即｝，｛加卜｛，〃｝中,%="=q=tcn=an+i-an,cn+i=—^-^(neN*).

“〃+2

(I)若數列｛6〃｝為等比數列，且公比4>0,且々+3=64,求q與伍〃｝的通項公式；

(II)若數列｛加｝為等差數列，且公差d>0,證明：q+q++q,<l+；(〃eN*)

7.(2018年全國普通高等學校招生統一考試數學(江蘇卷))設/eN*,對1,2,n的一個排列牡4,

如果當SV時，有［>"貝U稱@,匕)是排列咕，"的一個逆序，排列注％的所有逆序的總個數稱為其逆序

數.例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數為2.記力例為

1,2,…，〃的所有排列中逆序數為4的全部排列的個數.

(1)求力(2),%(2)的值；

(2)求力(2)(〃25)的表達式(用”表示).

8.(2018年全國普通高等學校招生統一考試文科數學(新課標I卷))已知數列｛《｝滿足。1=1,

S+I=2(〃+1)4,,設r=%.

n

(1)求々，打，4；

(2)判斷數列物/是否為等比數列，并說明理由；

(3)求｛%｝的通項公式.

第04講數列的通項公式

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：觀察法.................................................................2

題型二：疊加法.................................................................2

題型三：疊乘法.................................................................3

題型四：形如an+1=pan+q型的遞推式...........................................3

題型五：形如an+1=pan+kn+b型的遞推式.......................................4

11

題型六：形如an+i=pan+rq型的遞推式..........................................4

題型七：形如an+i=pa,(p>0,an>0)型的遞推式..................................5

題型八：形如an+i=號型的遞推式..............................................5

pan+q

題型九：形如a.2=pan+1+qan型的遞推式.........................................5

題型十：形如a*1=3型的遞推式..............................................6

pan+q

題型十一：已知通項公式a?與前n項的和S"關系求通項問題..........................6

題型十二：周期數列.............................................................7

題型十三：前〃項積型...........................................................8

題型十四：“和”型求通項.........................................................8

題型十五：正負相間討論、奇偶討論型.............................................9

題型十六：因式分解型求通項....................................................10

題型十七：雙數列問題..........................................................10

題型十八：通過遞推關系求通項..................................................11

02重難創新練.................................................................12

03真題實戰練.................................................................62

//

題型一：觀察法

1.(2024?高三?河北唐山?期中)若數列｛《｝的前6項為-：宗-白，則數列｛。.｝的通項公式可以為

%=()

C.(-1/--^-D.(-1嚴?乙

2M-12n-l

【答案】D

【解析】通過觀察數列｛例｝的前6項，可以發現有如下規律：

且奇數項為正，偶數項為負，故用(-1)向表示各項的正負；

各項的絕對值為分數，分子等于各自的序號數，

而分母是以1為首項，2為公差的等差數列，

故第"項的絕對值是義,

2/1-1

所以數列｛??｝的通項可為=(-1)向了；,

2n—l

故選：D

2.數列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個通項公式是%=()

【答案】C

【解析】數列9,99,999,9999,…的一個通項公式是a=10"-1,則數列0.9,0.99,0.999,0.9999,

的一個通項公式是%=，x(10〃-1)=1-擊，則數列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個通項公式是

故選：c.

3.數列｛4｝的前4項為：則它的一個通項公式是（）

25o11

A?上1

B.-----D

2n+\-+

【答案】C

1111

【解析】將可以寫成

25o113xl-l，3x2-l，3x3-l，3x4-l'

所以｛4｝的通項公式為止P

故選:C

4.如圖所示是一個類似楊輝三角的遞推式，則第“行的首尾兩個數均為（）

33

565

711117

91822189

A.2nB.2n-lC.2〃+2D.2〃+1

【答案】B

【解析】依題意，每一行第一個數依次排成一列為：1,3,5,7,9,…，它們成等差數列，通項為2〃-1,

所以第，行的首尾兩個數均為2〃-1.

故選:B

題型二：疊加法

5.已知數列｛4｝滿足q=2,%+1-%=2附+2,九eN",則。“=.

【答案】n2+n

【解析】因q=2,%+1-%=2〃+2,"eN*,

aa

貝In=（。“—a”—1）+（”"一1一n-2）++（42—。］）+%=2+4+6+?+（2〃—2）+2n=--———-=n~+n.

故答案為：n2+n.

6.畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，他們把美學視為自然科學的一個組成

部分.美表現在數量比例上的對稱與和諧，和諧起于差異的對立，美的本質在于和諧.他們常把數描繪成

沙堆上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對自然數進行研究.如圖所示，圖形的點數分別為1,5,

12,22,…，總結規律并以此類推下去，第10個圖形對應的點數為，若這些數構成一個數列｛4｝,

]

記數列的前〃項和為s〃，則82023二

_〃T

【答案】

3036

【解析】由圖知％=1,%—q=4=l+3xl,%=1+3X2,%3=1+3X3,

4,-%T=1+3(“-1),累加得勺=1+4+7++[l+3(?-l)]=^(3n-l),

所以％0=145.

]2

因為

%一〃T3n(n+l)

所以邑儂=:“_;+g_;++盛-品帝-盛〉馥

2023

故答案為：145；

3036

7.已知數列｛4｝滿足a,+-%=3"\77eN*),4=3,則氏=

【答案】

2

【解析】因為數列｛??｝滿足a?+l-an=3用(〃eN*),

23

所以%-4=3,a3-a2=3,...,a“一%,_]=3"?2),

當時，a〃=q+(%_q)+(%—%)■!---H(%—a，7)=3+3?+3^H---F3〃=--——；

32-3

當〃=1時，CL=---------=3,滿足上式.

“2

綜上所述，3^_

〃2

2〃+lQ

故答案為：

題型三：疊乘法

8.已知數列｛%｝中，％=1，〃a,+i=2(q+為++%)(〃eN*),則數列｛%｝的通項為

【答案】an=n(〃eN*)

【解析】nan+}=2(q+%+...+)(T^),

???當〃22時，(〃-1)為=2(q+%+...+4柿)②，

①-②得：叼,+]-("-1)。“=2%，即：nall+1=(n+l)a?,

%”+1

,?，

ann

出y2n

???an=a\---…----=1.不…-----?=幾，當〃=1時，結論也成立.

%an_x1n-i

an=n(neN*).

故答案為：an=n(neN*)

9.設｛〃〃｝是首項為1的正項數列，且("+2)〃〃+12-"42+2〃用％=0(〃￡Z)，求通項公式。“二

2

【答案】

n(n+l)

【解析】由(〃+2)為/一〃QJ+2%討%=0(〃￡N*),得[(〃+2)an+i-nan](an+l+%)=。，

an+ln

.?a?>0,?.?4+i+Q“〉0，???(〃+2)。用_〃。“=0，工---=-

an〃+2

%%為an,123n-2n-12._

=.....-=lx—x—x—x---x----x----=-------(n>2)x,

axa2a3an_x345nn+1n(n+1)

2

又3滿足上式，.?.%=而百.

2

故答案為:

幾2

10.(2024?四川成都?二模)在數列｛?｝中，at=l,ann>2,neN1),則數列的前〃項和

2〃

【答案】Q

九2

【解析】令2=3,顯然因為%=〃22,〃￡N*

n/_]4T

所以「

n>2,n€N),

b4，("T)2=En>2,

所以又4=*L

%1n+1

可得….殷崇.b.

由累乘法,

bn-X

,123n-12

=lx—X—X—XX-----二〃之2,〃wN“

345n+\

顯然，當〃=1時，4=1滿足上式,

2

所以2=

〃（幾+1）

所以北二4+4+

2n

故答案為：

題型四：形如即+1=pan+q型的遞推式

11.已知數列｛%｝滿足4=1。，4"+1=3。“-2.

⑴求｛4｝的通項公式；

T4”—1（\1

（2）若％=（〃+2”,記數列｛2｝的前"項和為力求證：Tn<~.

【解析】（1）因為4+1=3。“一2,所以%+1-1=3（為一1）,又。「1=9,

所以馬吟=3,

所以｛。〃-1｝是以9為首項，3為公比的等比數列，

所以4-1=931=3用,所以％=3向+1

3〃+i3〃

（2）由（1）知2=

213"

111111111

~\------1c2

所以為=4+4+…+%+H—I]

2（3+132+12U2+133+12（3"+13向+1

111

,又>0

2482（3n+1+l）2（3n+1+l）

所以

O

12.數列｛4｝滿足為=4%_i+3（讓2