考點17.多邊形與平行四邊形（精講）

【命題趨勢】

多邊形與平行四邊形是歷年中考考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將

出現，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內角和、平行四邊形性質和判定、與三角形中位線有關計算的可

能性比較大。中考數學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函數、解

直角三角形等綜合考查的可能性比較大，對于本考點內容，要注重基礎，反復練習，靈活運用。

【知識清單】

1：多邊形的相關概念（☆☆）

1）多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。

2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的重角線_。

3）多邊形對角線條數：從n邊形的一個頂點可以引（n—3）條對角線,并且這些對角線把多邊形分成了

（"-2）個三角形,n邊形的對角線條數為_<21-。

4）多邊形內角和定理：。邊形的內角和為（n-2）-180°（。23）。

5）多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360。，與多邊形的形狀和邊數無關。

6）正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。

7）平面鑲嵌（密鋪）的條件：在同一頂點內的幾個角的和等于迦；所有正多邊形中，單獨使用其中一種

能夠進行密鋪（鑲嵌）的只有正三角形、正方形、正六邊形。如果選用多種，則需要滿足：⑴邊長相等；（2）選

用正多邊形若干個內角的和恰好等于360。。

2：平行四邊形的性質與判定（☆☆☆）

1）平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2）平行四邊形的表示：用符號“口”表示，平行四邊形ABC。記作“QA8CD”，讀作“平行四邊形ABCZ）”.

3）平行四邊形的性質：（1）兩組對邊平行且相等;（2）對角相等、鄰角互補;（3）對角線互相平分;（4）

平行四邊形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。

4）補充性質：

（1）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積利齷。

（2）如圖①，AE平分NBA。，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABE為等艘三角形，即

（3）如圖②，已知點E為A。上一點，根據平行線間的距離處處相等,可得SABEC=SAABE+S^CDEO

（4）如圖③，根據平行四邊形的面積的求法，可得

圖①圖②圖③

5）平行四邊形的判定定理：

①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;

③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

3；中位線（☆☆☆）

1）三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形空位線。

2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半。

3）三角形中位線定理的作用：（1）證明位置關系：可以證明兩條直線壬紅；（2）證明數量關系：可以證明線

段的倍分關系。

4）常用結論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線將原三角形分割成四個金笠的三角形。

結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相壬會。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相篁。

【易錯點歸納】

L多邊形的有關計算的公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤；

2.切記一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形。

【核心考點】

核心考點1.多邊形的相關概念

例1:（2023?重慶?統考中考真題）若七邊形的內角中有一個角為100。，則其余六個內角之和為^

【答案】800。/800度

【分析】根據多邊形的內角和公式180。5-2）即可得.

【詳解】解：回七邊形的內角中有一個角為100°,

回其余六個內角之和為180。'（7-2）-100。=800。，故答案為：800°.

【點睛】本題考查了多邊形的內角和，熟記多邊形的內角和公式是解題關鍵.

變式1.（2023?江蘇連云港?校考三模）一個多邊形的內角和等于1980。，那么它是（）

A.十邊形B.H-一邊形C.十二邊形D.十三邊形

【答案】D

【分析】根據題意可以設這個多邊形的邊數為〃，根據多邊形的內角和定理列方程求解即可.

【詳解】設這個多邊形的邊數為小

回一個多邊形內角和等于1980。，0（n-2）xl8O°=198O°,解得，n=13.即它是十三邊形，故選D.

【點睛】本題考查了多邊形的內角定理，熟記多邊形的內角和公式為（“-2）x180。是解答本題的關鍵.

變式2.（2023?吉林長春?統考中考真題）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點3與點E重合，折痕為

AM,展開后，再將紙片折疊，使邊A3落在線段AM上，點8的對應點為點e，折痕為Ab，則NAFB'

的大小為度.

【分析】根據題意求得正五邊形的每一個內角為g（5-2）義180。=108。，根據折疊的性質求得

在VAF3'中，根據三角形內角和定理即可求解.

【詳解】解：回正五邊形的每一個內角為：（5-2）*180。=108。，

將正五邊形紙片A5CDE折疊，使點8與點E重合，折痕為AM,

則ZBAM=-ZBAE=1x108°=54°,

22

團將紙片折疊，使邊落在線段AAf上，點8的對應點為點折痕為Ab,

0ZFAB'=-ZBAM=-x54°=27°,ZAB'F=NB=108°,

22

在VAF?中，ZAFB'=180°-ZB-ZFAB'=180°-108°-27°=45°,故答案為：45.

【點睛】本題考查了折疊的性質，正多邊形的內角和的應用，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

變式3.（2022?湖南常德?中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將

其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這

樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣

共有4張紙片；......；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張

四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數為.

【答案】6

【分析】根據多邊形的內角和進行即可求解.

【詳解】解：根據題意用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊

形的內角和增加360。，10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙

片，設還有一張多邊形紙片的邊數為“，

.?.（5-2）xl80°+3xl80o+（4-2）xl80ox5+（n-2）xl80o=360o+360°x9,解得〃=6.故答案為：6.

【點睛】本題考查了多邊形內角和公式，理解題意是解題的關鍵.

例2：（2023?北京,統考中考真題）正十二邊形的外角和為（）

A.30°B.150°C.360°D.1800°

【答案】C

【分析】根據任何多邊形的外角和都為360。即可解答.

【詳解】解：因為多邊形的外角和為360。，所以正十二邊形的外角和為：360°.故選：C.

【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和，掌握任何多邊形的外角和都為360。是解答本題的關鍵.

變式1.（2023?甘肅蘭州?統考中考真題）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八

邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中.如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角4=（）

圖1圖2

A.45°B.60°C.110°D.135°

【答案】A

【分析】由正八邊形的外角和為360。，結合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計算即可.

【詳解】解：回正八邊形的外角和為360。，回/1=手360°=45°,故選A

O

【點睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為360。是解本題的關鍵.

變式2.（2023?湖北黃岡?統考中考真題）若正”邊形的一個外角為72。，則“=.

【答案】5

【分析】正多邊形的外角和為360。，每一個外角都相等，由此計算即可.

【詳解】解：由題意知，"=警=5,故答案為：5.

【點睛】本題考查正多邊形的外角問題，解題的關鍵是掌握正"邊形的外角和為360。，每一個外角的度數

均為幽.

n

變式3.（2023?河北保定?校考模擬預測）如果一個正多邊形的內角比它相鄰的外角大100。，那么這個多邊

形是一邊形.

【答案】九

【分析】設正多邊形的內角為無，則與它相鄰的外角度數為（x-100。），根據題意列方程

x+^-100°=180°,求出x=140。，進而求出外角的度數，進而根據外角和求解即可.

【詳解】設正多邊形的內角為無，則與它相鄰的外角度數為（x-100°）,

0x+x-lOO°=18O°,解得x=140°,0%-100°=40°,回360°—40°=9.

團這個多邊形是九邊形.故答案為：九.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，正多邊形的內角與外角的關系.解題的關鍵在于對知識的熟練

掌握與靈活運用.

例3：（2023?浙江?模擬預測）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點在一起，剛好能完全鋪滿地

面，已知正多邊形的邊數為X、＞、z,則,+’+工的值為______.

xyz

【答案】1/0.5

【分析】利用正』多邊形的內角公式（"-2）x180°求解即可.

n

【詳解】解：根據題意，這三種邊長相等的正多邊形的內角和為360。，

貝U（一）義180。+"2）x180。+-2）x18。°=§60。，

xyz

?2?212c1111+……i

mi一一+i一一+i一一=2,H-+—,故答案為：-.

xyzxyz22

【點睛】本題考查正多邊形的內角問題，理解題意，得到這三種邊長相等的正多邊形的內角和為360。是解

答的關鍵.

變式1.（2023?吉林長春?校考三模）如圖①是15世紀藝術家阿爾布雷希特?丟勒利用正五邊形和菱形創作

的鑲嵌圖案設計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內角為度.

【分析】根據平面鑲嵌的定義，結合正五邊形的內角，即可求解.

【詳解】解：正五邊形的每一個內角為、-21x180=]08。

設菱形的最小內角為x,根據題意得，x+3xlO8=36O解得：x=36故答案為：36.

【點睛】本題考查了正多邊形的內角和公式，平面鑲嵌，熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內角和公

式是解題的關鍵.

變式2.（2023?廣東深圳?校聯考模擬預測）20世紀70年代，數學家羅杰?彭羅斯使用兩種不同的菱形，完

成了非周期性密鋪，如下圖，使用了A,5兩種菱形進行了密鋪，則菱形B的銳角的度數為

A

【答案】36

【分析】如圖，設菱形B的銳角為x,菱形A的銳角和鈍角分別為y、z,根據密鋪的圖案中一個頂點處的

周角為360。列出方程組，解答即可.

【詳解】解：如圖，設菱形B的銳角為羽菱形A的銳角和鈍角分別為y、z,根據題意，得

5y=360。%=36。

<2x+y+2z=360°解得y=72°,故答案為：36.

y+z=180°z=108°

【點睛】本題常考了密鋪問題，涉及了菱形的性質、多邊形的內角和、三元一次方程組等知識，正確理解

題意、得出方程組是解題的關鍵.

例4：(2023?浙江麗水?統考一模)已知一個多邊形內角和為1080。，則這個多邊形可連對角線的條數是

()

A.10B.16C.20D.40

【答案】C

【分析】先根據多邊形內角和計算公式求出這個多邊形是八邊形，再根據多邊形對角線計算公式求解即

可.

【詳解】解：設這個多邊形為〃邊形，

由題意得，180x(0-2)=1080,回〃=8,回這個多邊形為八邊形，

回這個多邊形可連對角線的條數是肥魚2=20,故選C.

2

【點睛】本題主要考查了多邊形內角和定理，多邊形對角線計算公式，熟知W邊形的對角線條數是

比山是解題的關鍵.

2

變式1.（2023?河北保定?統考一模）如果一個多邊形的內角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的

一個頂點出發的對角線的條數是（）

A.3B.6C.9D.18

【答案】A

【分析】先由多邊形的內角和公式與外角和的關系可得（〃-2）-180。=2*360。再解方程，從而可得答案.

【詳解】解：設這個多邊形為“邊形，則（”-2）-180。=2乂360。，.?.〃-2=4,解得：〃=6,

所以從這個多邊形的一個頂點出發共有3=6-3=3條對角線，故選A.

【點睛】本題考查的是多邊形的內角和定理與外角和定理，多邊形的對角線問題，掌握"利用多邊形的內角

和為5-2”80。,外角和為360。”是解題的關鍵.

變式2.（2023?陜西西安?校考模擬預測）一個正多邊形每一個中心角都為40。，則這個正多邊形共有

條對角線.

【答案】27

【分析】利用多邊形的中心角之和是360度，每個中心角都是40。，可求多邊形的邊數，再根據一個多邊形

有條對角線，即可算出共有多少條對角線.

【詳解】解：360+40=9,?..這個正多邊形有9條邊；

.-.1n（n-3）=1x9x（9-3）=27,,這個正多邊形共有27條對角線.故答案為：27.

【點睛】本題主要考查正多邊形的中心角、對角線條數，解題的關鍵是掌握“邊形對角線條數

=1w（n-3）.

核心考點2.平行四邊形的性質與判定

例5：（2023?湖北十堰?統考中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架A3CD,然后向左扭動

框架，觀察所得四邊形的變化.下面判斷錯誤的是（）

I)

8

A.四邊形A3CD由矩形變為平行四邊形B.對角線的長度減小

C.四邊形A3CD的面積不變D.四邊形A3CD的周長不變

【答案】C

【分析】根據四邊形的不穩定性、矩形的性質和平行四邊形的性質，結合圖形前后變化逐項判斷即可.

【詳解】解：A、因為矩形框架ABCD向左扭動，AD=BC,AB=OC,但NCBA不再為直角，所以四邊

形變成平行四邊形，故A正確，不符合題意；

B、向左扭動框架，8。的長度減小，故B正確，不符合題意；

C、因為拉成平行四邊形后，高變小了，但底邊沒變，所以面積變小了，故C錯誤，符合題意；

D、因為四邊形的每條邊的長度沒變，所以周長沒變，故D正確，不符合題意，故選：C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質和平行四邊形的性質、四邊形的不穩定性，弄清圖形變化前后的變量

和不變量是解答此題的關鍵.

變式1.（2023?北京海淀?校考模擬預測）下列命題中的假命題是（）

A.對角線互相平分的四邊形是中心對稱圖形

B.有一個角是直角的平行四邊形是軸對稱圖形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是中心對稱圖形

D.等邊三角形既是軸對軸圖形，又是中心對稱圖形

【答案】D

【分析】根據平行四邊形、矩形、菱形的判定與性質，以及等邊三角形的性質進行逐項判斷即可.

【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是中心對稱圖形，真命題，不符合題意；

B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，是軸對稱圖形，真命題，不符合題意；

C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，是中心對稱圖形，真命題，不符合題意；

D、等邊三角形既是軸對軸圖形，不是中心對稱圖形，假命題，符合題意，故選：D.

【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命

題；經過推理論證的真命題稱為定理.熟練掌握相關知識是解答的關鍵.

變式2.（2023?四川綿陽?統考中考真題）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標系xOy中，。為坐

標原點，若點A的坐標是（6,0）,點C的坐標是（1,4）,則點B的坐標是.

【答案】（7,4）

【詳解】試題分析：回四邊形ABCO是平行四邊形，。為坐標原點，點A的坐標是（6,0）,點C的坐標是

（1,4）,回BC=OA=6,6+1=7,回點B的坐標是（7,4）；故答案為（7,4）.

考點：平行四邊形的性質；坐標與圖形性質.

例6：（2023?四川甘孜?統考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCRABvAD）中，按如下步驟作圖：①以

點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交AB,AD于點N；②分別以點N為圓心，以大于

的長為半徑畫弧，兩弧在NBW內交于點尸；③作射線A尸交8c于點E.若4=120。,則NEW

為.

【分析】先利用基本作圖得==再根據平行四邊形的性質和平行線的性質得到

/BAD=180°-ZB=60°,從而得到ZEAD=30°.

【詳解】解：由作法得AE平分Z.BAD,NEAB=ZEAD=|NBAD,

四邊形ABCD為平行四邊形，.〔ADaBC,.?.N3+/BA￡>=180。,

ABAD=180°-120°=60°,ZEAD=-ABAD=30°.故答案為：30.

2

【點睛】本題考查了尺規作角平分線，平行四邊形的性質，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵.

變式1.（2023?山東濰坊?統考二模）已知YABCD中，蜘=55。，分別以點B,點C為圓心，以大于的

作直線交。C于點E,則NABE的度數為（

C.65°D.70°

【答案】D

【分析】由YABCD得NC=/A=55。，根據題意得MN是JBC得垂直平分線，則比="，得

NC=NEBC=55。,即求得/ABE的度數.

【詳解】團解：四邊形A3CD是平行四邊形，

0ZC=ZA=55°,ZA+ZABC=180°,貝i|ZABC=180°-55°=125°,

回以點2,點C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，分別交于點M,N,作直線MN交。C于點E,

2

是3C得垂直平分線，則3E=CE,所以NC=NEBC=55。，

那么ZAfiE=ZABC—/￡BC=125。-55。=70。，故選：D.

【點睛】本題主要考查的是平行四邊形性質以及垂直平分線等知識內容，熟練掌握垂直平分線性質是解題

的關鍵.

變式2.（2022?湖南湘潭?中考真題）在ABCD中（如圖），連接AC,已知/WC=40。，ZACB=80°,則

ZBCD=（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【答案】C

【分析】根據平行四邊形的對邊平行和兩直線平行內錯角相等的性質，再通過等量代換即可求解.

【詳解】解：回四邊形ABC。為平行四邊形，SAB//CD^\DCA=SCAB,

0ZBCD=0DCA+EL4CB,ZS4c=40°,ZACB=80°0ABCD=405+805=1205,故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質和平行線的性質，解題的關鍵是熟記性質并熟練運用.

例7：（2023?海南?統考中考真題）如圖，在YABCD中，AB=8,ZABC=60°,8E平分/ABC,交邊

AD于點E,連接CE,若AE=2ED,則CE的長為（）

C.4拒D.276

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質可得ND=NABC=60。，CD=AB=8,AD^BC,由平行線的性質可得

ZAEB=ACBE,由角平分線的定義可得NABE=NCBE,從而得到N/RE=NAEB,推出AE=M=8,

DE=4,過點E作所工CD于點八由直角三角形的性質和勾股定理可得。尸=；OE=2,EF=20,

CF=6,即可得到答案.

【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZD=ZABC=GO°,CD=AB=8,AD〃BC,:.ZAEB=ZCBE,

BE平■令NABC,:.ZABE=ZCBE,:,ZABE=ZAEB,:.AE=AB=8,

AE=2ED,:.DE=4,如圖，過點后作EF，CD于點尸，

則NEFC=NEFD=90°,/.NDEF=90°-ZD=90°-60°=30°,

:.DF;DE=2,...EF=1DE2-DF2=代—2?=2百，CF=CD-DF=8-2=6,

:.CE=ylcF+EF?=+（24J=4上，故選:C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性

質、勾股定理等知識，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解題的關鍵.

變式1.（2023?福建?統考中考真題）如圖，在YABCD中，。為的中點，E尸過點。且分別交互,8于

點、E,F.若AE=10,則C/的長為.

【答案】10

【分析】由平行四邊形的性質可得DC〃AB,DC=AB即NOED=NOEB,NODF=NEBO,再結合

OD=OB可得AAS）可得DF=EB，最進一步說明產C=AE=10即可解答.

【詳解】解：回ABCD中，^DC//AB,DC=AB,0AOFD=ZOEB,ZODF=ZEBO,

SOD=OB,SA￡>OF^ABOE（AAS）,SDF=EB,

SDC-DF=AB-BE,^FC=AE^10.故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，證明三角形全等是解答

本題的關鍵.

變式2.（2023,湖北宜昌?統考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點A落在長邊上的

點A處，并得到折痕DE,小宇測得長邊CD=8,則四邊形A，EBC的周長為.

【答案】16

【分析】可證=從而可得=再證四邊形A'￡BC是平行四邊形，可得

CA，EBC=2（AC+AE）,即可求解.

【詳解】解：四邊形A3CD是平行四邊形，.?.ABaC。，，NAED=NA'DE,

由折疊得：ZADE=ZADE,AD=AD,AE=A'E,

ZADE=ZAED,AD=AE,AD=AE=A!D=A!E>

:.AB-BE=CD-AD,:.AC=BE,四邊形A'EBC是平行四邊形，

.?.CA，EBC=2（AC+AE）=2（AC+AO）=2CD=16.故答案：16.

【點睛】本題考查了平行四邊形判定及性質，折疊的性質，掌握相關的判定方法及性質是解題的關鍵.

變式3.（2023?山西?統考中考真題）如圖，在YABCD中，ZD=60°.以點8為圓心，以54的長為半徑作

弧交邊BC于點E,連接AE.分別以點AE為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點尸，作射

OF

線BP交AE于點。，交邊AD于點/，則X的值為.

【答案】&

【分析】證明BOLAE,AO^OE,NBAO=/E4O=60。，再利用正切函數的定義求解即可.

【詳解】解：團在YABCD中，ZD=60°,

0ZABC=6O°,AD//BC,由作圖知BP平分/ABC,BA=BE,

0ABE是等邊三角形，=/ABC=30。，0BO±AE,AO=OE,

^AD//BC,0ZAFB=Z￡BF=3O°,0ZAFB=ZABF=30°,SAB^AF,

BBO±AE,0ZBAO=ZFAO=1（180°-30°-30°）=60°,

OFop[-

團——=——=tanZE4O-tan60°=V3,故答案為：6

OEAOJ

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，尺規作圖一作角平分線，等邊三角形的判定和

性質，正切函數的定義，求得NB4O=NE4O=6。。是解題的關鍵.

例8：（2023?黑龍江大慶?統考模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線ACM相交于點

O,ZABC=60°,A3=2BC,E是AB的中點，連接CE,OE.下列結論：①ZACD=30。；②CE平分

NDCB；③CD=4OE；④&COE=2S四邊形如正其中結論正確的序號有（）

A.①②B.②③④C.①②③D.①③④

【答案】C

【分析】根據AB=2BC,點E是48的中點，ZABC=60°,可知，BCE是等邊三角形，得出

NBEC=NBCE=60。,AE=BE=CE,進而得出NAEC,根據平行四邊形得性質可判斷①，再根據平行

四邊形的性質得N3CD=120。，即可說明CE是否平分NDCB,然后說明OE是ABC的中位線，可判斷

8和OE的關系，再根據點。是AC的中點，得SAOE=SC°E，由點E是A3的中點，得

S般=SBCE=2s以，進而得s欣=4s誣，然后根據平行四邊形的性質得S四邊形械廠2S,,即可判斷

④，得出答案.

【詳解】回AB=23C,點E是AB的中點，^AB=2BE.

SAB=2BC,ZABC=6O°,SBC=BE,國,BCE是等邊三角形，

SZBEC=ZBCE=60°,AE=BE=CE,EZ^T=120°,BZACE=ZCAE=30°.

團四邊形ABC。是平行四邊形，0ABCD,AB=CD=2BC,

^ZACD=ZCAE=30°,/BCD=120。，回CE是平分/DCS.則①②正確;

團點E是A3的中點，點。是AC的中點，回OE是,ABC的中位線，

02OE=BC,^CD=WE.則③正確；回點。是AC的中點，05A0￡=SC0￡.

回點E是A3的中點，國5”=S應=2s.至，回5"=4ss?

由平行四邊形的T生質得S四邊物及力=2S.板,，ElS四邊形1aB=85.建，即S'4龐■=石S四邊形絲。.則④不正確.

所以正確的有①②③.故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，中位線的性質，求三角形的面積

等，弄清各三角形的面積之間的關系是解題的關鍵.

變式1.（2023?廣西北海?統考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,3。相交于點O,所過

點。，交4。于點片交3C于點E.若鉆=3,AC=4,AD=5,則圖中陰影部分的面積是（）

A.1.5B.3C.6D.4

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理的逆定理，利用三角形全

等，把陰影面積轉化為ABC的面積計算即可.

【詳解】解:回四邊形A3CD是平行四邊形，

0JBC=AD,AD〃BC,OA=OC,NEOA=NFOC,ZEAO=ZFCO,

ZEOA=ZFOC

在AAOE和△OFC中，ZEAO=NFCO,回AOE^OFC（AAS）,05AOE=S0FC,

AO=CO

OA=OC

在「AOB和△DOC中，0<ZAOB=ZCOD,回&AO3空COD（SAS）,0S^AOB=SAD0C,

OB=OD

回鉆=3,AC=4,AD=5,A笈+AC2=BC2回71BC是直角三角形，且ZB4C=90°,

13s陰影=S即c=gA&AC=gx3x4=6，故選：C.

變式2.（2023?廣東潮州?二模）如圖，在A5CD中，AC為對角線.⑴求證：ABC與CDA.（2）尺規作

圖：作AC的垂直平分線，分別交AD,BC于點E,尸（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）若-CDE的周長為

10,求「ABCD的周長.

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶20

【分析】（1）根據平行線的性質得到NZMC=/3C4,利用AAS即可證明△他C絲TXaM；

（2）以4C分別為圓心，大于』AC長為半徑作弧交于兩點，過兩交點作直線，即為所作垂直平分線；

2

（3）利用垂直平分線的性質可以得到CE=AE,結合CE+ED+CD=10,得到4D+CD=10,根據平行

四邊形的性質即可求得結論；

【詳解】（1）團四邊形ABCD是平行四邊形，BC,NB=/D,SZDAC=ZBCA,

ZB=ZD

在，ABC和.CZM中，<ZDAC=ZBCA,0,ABC^*CZM（AAS）；

AC=CA

（2）如圖，所即為所作；

（3）EIER垂直平分AC,SCE=AE,國二C?E的周長為10,回CE+ED+CD=10,

團AE+ED+CD=10,^AD+CD=10,13四邊形ABCD是平行四邊形，0AD=SGAB=CD,

回YABCD的周長=AD+8C+AB+CD=2（AD+CD）=20.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，三角形全等的判定，作垂直平分線，垂直平分線的性質，準確作圖

是解題的關鍵.

變式3.（2023?湖南?統考中考真題）如圖，在YABCD中，平分ZADC,交BC于點、E,交AB的延長

線于點E⑴求證：4>=AF；⑵若AD=6,AB=3,ZA=120。，求成的長和△A￡）式的面積.

AD

F

【答案】⑴見解析（2）3R=3；△ADR的面積為9/

【分析】（1）根據平行線的性質得到NCDE=NF,根據角平分線的定義得到43=/C￡見，求得

ZF=ZADF,根據等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；

（2）根據線段的和差得到W=AB=3；過。作DHLAF交E4的延長線于“，根據直角三角形的性

質得到AH=^AD=3,根據三角形的面積公式即可得到的面積.

【詳解】（1）證明：在YABCD中，AB//CD,^ZCDE=ZF,

團￡>尸平分工ADC,SZADE=ZCDE,^\ZF=ZADF,SAD=AF.

（2）解：回AD=AF=6,AB=3,SBF=AF-AB=3；

過。作DH_LAF交E4的延長線于H,

F

0ZR4D=12O°,0ZZMH=6O°,0ZADH=3O°,SAH=-AD=3,

2

^DH=yjAD2-AH1=36>I3AADF的面積=；AF?￡>"=：x6x36=9Q.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、三角形面積的計算、等腰三角形的判定和性質等知識點，正

確作出輔助線是解題的關鍵.

例9：（2023?湖南,統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，已知添加下列條件不能判定四邊

形A3CD是平行四邊形的是（）

D

A.AD=BCB.AB,DCC.AB=DCD.ZA=ZC

【答案】C

【分析】據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知A項不符合題意；根據兩組對邊分別平行的四

邊形是平行四邊形可知B項不符合題意；據全等三角形的判定與性質可知D項不符合題意進而即可判斷.

【詳解】解：^\AD//BC,AD=BC,回由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

團A項能判定四邊形A3CD是平行四邊形，故A項不符合題意；

^AD//BC,ABDC,團由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

團B項能判定四邊形A3C。是平行四邊形，故B項不符合題意；

EIAB=OC,但43和8不一定平行，

團C項不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C符合題意；

SAD//BC,BZADB=ZCBD,

0ZA=ZC,BD=DB,ElAAB￡^ACDB（AAS）,0AE>=CB,

回D項能判定四邊形A3co是平行四邊形，故D項不符合題意；故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，掌握平行四邊形的判定是解題的關

鍵.

變式1.（2023?江蘇南通?統考二模）如圖，在YABCD中，點E,點/在對角線AC上.要使

AADF^ACBE,可添加下列選項中的（）

A.DF=BEB.ZDAF=ZBCEC.AE=CFD.AE=EF

【答案】C

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定定理；根據平行四邊形的性質可得AD=3C,

AD//BC,則ZZMF=4CE,進而逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：國四邊形ABCD是平行四邊形，S\AD=BC,AD//BC,SZDAF=ZBCE,

A.添加條件。尸=BE,不能根據SSA證明ZXAT小絲△C3E,故該選項不正確，不符合題意；

B.已知ZDAF=ZBCE,不能證明絲△CBE,故該選項不正確，不符合題意；

C.添加條件AE=CF,貝UAE+EF=CF+EF,即Ab=CE,根據SAS證明,故該選項正

確，符合題意；

D.添加條件AE=￡F,不能證明AAZm四△CBE,故該選項不正確，不符合題意；故選：C.

變式2.（2023?河南周口?校聯考模擬預測）如圖，已知相＞〃及7,添加下列條件，不能判定四邊形ABCD

是平行四邊形的是（）

A.ZABC=ZADCB./BAD=/BCDC.ZACB=ZCADD.NBAC=ZACD

【答案】C

【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法，逐一進行判斷即可.掌握平行四邊形

的判定方法，是解題的關鍵.

【詳解】解：A、ADBC,.-.ZABC+ZBAD=180°,

ZABC=ZADC,:.ZADC+ZBAD=1SO°,:.AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；

B、AD\BC,.-.ZABC+ZSAD=180°,

/BAD=/BCD,.-.ZABC+ZBCD=180o,:.AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故選項B不符合題意；

C、ZACB=ZCAD,:.AD//BC,不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C符合題意；

D、NBAC=ZACD,:.AB//CD,

又田ADBC,.?.四邊形ABC。是平行四邊形，故選項D不符合題意；故選：C.

例10：（2023,江蘇鎮江,統考中考真題）如圖，8是AC的中點，點。，E在AC同側，AE=BD,

3E=C□.⑴求證：回△3CD.（2）連接DE,求證：四邊形3CDE是平行四邊形.

【答案】⑴見解析(2)見解析

【分析】(1)由8是AC的中點得AB=3C,結合AE=B。，3E=CD,根據全等三角形的判定定理

"55”即可證明‘45￡'回△5(?；(2)由(1)中,ABE田ABCD得NABE=NBCD,進一步得BECD,再

結合5E=CD,根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明.

【詳解】⑴解：國2是AC的中點，0AB=BC.

AE=BD,

在,ABE和ABC。中，＜BE=CD-ABEMBCD(SSS).

AB=BC,

(2)如圖所示，ElAABE0ABCr),B1NABE=NBCD,BlBECD.

又回BE=CD,團四邊形BCDE是平行四邊形.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法與性

質是解題的關鍵.

變式1.(2023?浙江杭州?統考中考真題)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC8。相交于點。，點E,F在

對角線3。上，且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.

⑴求證：四邊形是平行四邊形.(2)若，ABE的面積等于2,求△CFO的面積.

“7T---------------D

(J

E

BC

【答案】⑴見解析（2）1

【分析】（1）根據平行四邊形對角線互相平分可得OA=OC,OB=OD,結合3￡=即可得OE=OF,即

可證明四邊形AEb是平行四邊形；（2）根據等底等高的三角形面積相等可得^入斯=SABE=2,再根據平

行四邊形的性質可得S”,=：ScEF=gs4阱=gx2=l.

【詳解】（1）證明：.四邊形A3CD是平行四邊形，；.Q4=OC,OB=OD,

BE=FD,■-OB-BE=OD-FD,■-OE=OF,

又，Q4=OC,.,.四邊形AEC尸是平行四邊形.

（2）解：SABE=2,BE—EF，,S..=S.=2,

四邊形AEC尸是平行四邊形，SCFO=；S,CEF=；s.=:x2=1.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分.

變式2.（2023?湖南?統考中考真題）如圖所示，在ABC中，點。、E分別為AB、AC的中點，點X在線段

CE上，連接點G、P分別為9、CH的中點.

⑴求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）DG，3",BD=3,EF=2,求線段3G的長度.

【答案】⑴見解析；（2）石

【分析】（1）由三角形中位線定理得到=GF//BC,GF=-BC,得到

22

GF//DE,GF=DE,即可證明四邊形DEFG為平行四邊形；（2）由四邊形DEFG為平行四邊形得到

DG=EF=2,由OGL3H得到NDG3=90。，由勾股定理即可得到線段3G的長度.

【詳解】（1）解：回點E分別為AB、AC的中點，^DE//BC,DE^BC,

團點G、尸分別為3"、C"的中點.HGF//BC,GF=^BC,

@GF〃DE,GF=DE,回四邊形。曲G為平行四邊形；

（2）回四邊形。EBG為平行四邊形，SDG=EF=2,BDGBH,^ZDGB=90°,

22

S\BD=3,0BG=>]BD-DG=A/32-22=A/5-

【點睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，證明四邊形DEFG為平行

四邊形和利用勾股定理計算是解題的關鍵.

核心考點3.中位線

例11：（2023?江蘇鹽城?統考中考真題）在二ABC中，D,E分別為邊AB,AC的中點，BC=10cm,則

DE的長為cm.

【答案】5

【分析】由于。、E分別為A3、AC邊上的中點，那么DE是的中位線，根據三角形中位線定理可

求DE.

【詳解】如圖所示，

D、E分別為48、AC邊上的中點，.〔DE是，ABC的中位線，.??■D￡'=LBC；

2

XVBC=10cm,0DE=-BC=5cm；故答案為：5.

2

【點睛】本題考查了三角形中位線定理.三角形的中位線等于第三邊的一半.

變式1.（2023?湖北荊門?統考中考真題）如圖，CO為Rt^ABC斜邊上的中線，E為AC的中點.若

AC=8,CD=5,貝lj￡>E=.

【分析】首先根據直角三角形斜邊中線的性質得出AB,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角形

中位線定理即可求解.

【詳解】解：團在RtZXABC中，8為RtZXABC斜邊AB上的中線，CD=5,

0AB=2CD=1O,0BC-yjAB2-AC2=A/102-82=6-

團E為AC的中點，回。E=JgC=3故答案為：3.

【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，三角形中位線定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊

的一半是解題的關鍵.

變式2.（2023?廣西?統考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,尸分別是BC,CD上的動

點，M,N分別是ERA尸的中點，則的最大值為.

【答案】V2

【分析】首先證明出是△皿的中位線，得到然后由正方形的性質和勾股定理得到

2

AE={AB。+BE2=44+BE2，證明出當BE最大時，AE最大，此時最大，進而得到當點E和點C重

合時，BE最大,即3C的長度，最后代入求解即可.

【詳解】如圖所示，連接AE,

0Af,N分別是AF的中點，EIMV是△4￡斤的中位線，S\MN=^AE,

團四邊形A3CD是正方形，0?B90?,0AE=VAB2+BE2=y/4+BE2>

團當班最大時，AE最大，此時最大，

團點E是上的動點，回當點E和點C重合時，BE最大,即8C的長度，

團此時=聲=20，0MN=（AE=^,回MN的最大值為行.故答案為：0.

【點睛】此題考查了正方形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上

知識點.

變式3.（2023?湖北黃岡?統考模擬預測）如圖，在ABC中，D,E,F分別為BC,AC,AB邊的中

點，AH,3c于"，FD=5,則"E等于（）

A