7.3定義、命題、定理第七章相交線與平行線學習目標課時講解1課時流程2定義命題定理與證明逐點導講練課堂小結作業提升知1－講感悟新知知識點定義11.我們在學習一些新的數學對象時，對它們進行了清晰、明確的描述，這樣的描述稱為數學對象的定義.2.一個數學對象的定義揭示了它的本質特征，能夠幫助我們準確地理解它，并作出準確的判斷.感悟新知知1－講特別解讀定義的作用：1.促進理解，消除歧義；2.準確分類，規范交流.知1－練感悟新知下列語句中，是定義的是（）A.點A

到點

B的距離是3cmB.兩直線平行，同位角相等C.直角都相等D.可以寫成分數形式的數稱為有理數例1解題秘方：根據定義的特征進行判斷.D知1－練感悟新知1-1.下列描述不屬于定義的是(

)A.單項式和多項式統稱整式B.有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角C.兩點之間線段最短D.含有未知數的等式叫作方程C感悟新知知2－講知識點命題21.命題定義可以判斷為正確（或真）或錯誤（或假）的陳述語句叫作命題如：對頂角相等組成命題由題設（條件）和結論兩部分組成.題設（條件）是已知事項，結論是由已知事項推出的事項命題“對頂角相等”中，題設是“兩個角是對頂角”，結論是“這兩個角相等”結構形式一個命題常寫成“如果……那么……”的形式，其中“如果”后面的部分是題設，“那么”后面的部分是結論“對頂角相等”可以寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”分類真命題：被判斷為正確（或真）的命題如：對頂角相等假命題：被判斷為錯誤（或假）的命題如：相等的角是對頂角知2－講感悟新知特別解讀1.命題必須具有“判斷”作用，要對事情作出肯定或否定的判斷，故命題不能是祈使句或疑問句.判斷的結果可能是正確的，也可能是錯誤的.2.在改寫時，要適當添加詞語，使語句通順且不改變原意.感悟新知知2－講2.命題與定義的區別與聯系知2－講感悟新知特別解讀真命題一般為題設成立而結論也成立的命題；而假命題一般為題設成立但結論不成立的命題.感悟新知知2－練寫出下列命題的題設和結論.(1)如果a2=b2，那么a=b；(2)同旁內角互補，兩直線平行；(3)同角或等角的補角相等；(4)過兩點有且只有一條直線.例2

知2－練感悟新知解題秘方：根據命題的定義和結構特征進行分析，找出題設和結論.解：(1)題設：a2=b

2；結論：a=b.(2)題設：同旁內角互補；結論：兩直線平行.(3)題設：兩個角是同角或等角的補角；結論：這兩個角相等；(4）題設：經過兩點作直線；結論：有且只有一條直線.知2－練感悟新知2-1.

[中考·雅安]下列四個選項中不是命題的是(

)A.對頂角相等B.過直線外一點作直線的平行線C.三角形任意兩邊之和大于第三邊D.如果a=b，a=c，那么b=cB知2－練感悟新知2-2.命題“內錯角相等”的題設是________________，結論是__________________.兩個角為內錯角這兩個角相等感悟新知知2－練判斷下列命題是真命題還是假命題.(1)兩個鈍角的和一定大于180°；(2)異號兩數相加和為零；(3)若a=b，則a2=b2.(4)同旁內角互補.例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣真命題和假命題的定義進行判斷.解：(1)兩個鈍角的和一定大于180°，是真命題；(2)異號兩數相加和為零，是假命題；(3)若a=b，則a2=b

2，是真命題；(4)同旁內角互補，是假命題.知2－練感悟新知3-1.下列命題是真命題的是(

)A.如果兩個角不相等，那么這兩個角一定不是對頂角B.如果a2=b2，那么a=bC.兩個互補的角一定是鄰補角D.如果兩個角是同位角，那么這兩個角一定相等A知3－講感悟新知知識點定理與證明31.定理：經過推理證實的真命題叫作定理.感悟新知知3－講特別解讀定義、基本事實(公理)、定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過基本事實(公理)是最原始的依據；而命題不一定是真命題，因而不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據.感悟新知2.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明.(1)證明一個命題是真命題的依據可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實(公理)、定理等.(2)證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可.知3－講感悟新知3.證明的一般步驟(1)審題，分清命題的題設和結論；(2)如果與圖形有關，要根據題意畫圖，結合圖形寫出已知和求證；(3)分析因果關系，找出證明途徑；(4)有條理地寫出證明過程.知3－講知3－練感悟新知說明“一個角的余角大于這個角”是假命題，可以舉反例.下列表述，不符合舉反例要求的是（）A.設這個角是45°，它的余角是45°，但45°=45°，即一個角的余角不大于這個角B.設這個角是30°，它的余角是60°，但30°＜60°，即一個角的余角不大于這個角C.設這個角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°，即一個角的余角不大于這個角D.設這個角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，即一個角的余角不大于這個角例4

知3－練感悟新知解：A.所設的角與它的余角相等，不符合原結論，符合反例要求，故A選項不符合題意；B.所設的角小于它的余角，和原結論相同，不符合反例要求，故B選項符合題意；C.所設的角大于它的余角，不符合原結論，符合反例要求，故C選項不符合題意；D.所設的角大于它的余角，不符合原結論，符合反例要求，故D選項不符合題意.解題秘方：反例符合題設而不符合結論.答案：B知3－練感悟新知4-1.

[期中?廈門思明區]如圖，已知AB∥CD，直線AD

與直線BC

有公共點，命題“內錯角相等”是一個假命題，下列選項可以作為反例的是(

)A.∠1和∠4是內錯角，∠1=∠4B.∠2和∠3是內錯角，但∠2≠∠3C.∠1和∠3是內錯角，但∠1≠∠3D.∠B和∠3是內錯角，但∠B≠∠3B知3－練感悟新知4-2.用一個a

的值說明命題“如果a

＞-3，那么a2

＞9”是假命題，這個值可以是a=_______.1(答案不唯一)知3－練感悟新知[母題教材P25習題T3]填寫下列證明過程中的推理依據.如圖7.3-1，已知AC，BD

相交于點O，DF

平分∠CDO

交AC于點F，BE平分∠ABO

交AC于點E，∠A=∠C.求證：∠1=∠2.例5知3－練感悟新知

已知內錯角相等，兩直線平行兩直線平行，內錯角相等已知角平分線的定義等量代換知3－練感悟新知解題秘方：根據上一步的已知條件填寫下一步結論的依據.知3－練感悟新知5-1.如圖，直線AD∥BC，∠1=100°，∠B=80°，求∠A

的度數.閱讀下面的解答過程，并填空.解：∵AD∥BC（已知），∴∠1=_____（_________________________）.∵∠1=100°，∠B=80°（已知），∴∠1+∠B=180°.∴∠C+∠B=180°（_______）.∴_____∥_____（________________________）.∴∠A=_____（___________________________）.∴∠A=100°.∠C兩直線平行，內錯角相等等量代換ABCD同旁內角互補，兩直線平行∠1兩直線平行，同位角相等定義、命題、定理推理正確定理命題結構真假過程證明題型證明依據的填寫1完成下面的證明過程.已知：如圖7.3-2所示，BE∥CF，BE

平分∠ABC，CF平分∠BCD.求證：AB∥CD.例6方法點撥解答推理過程填空題的策略:1.讀懂題意，分析已知條件，明確給出的推理思路.2.正確填寫推理依據.3.推理依據可以是題目中的已知條件，也可以是學過的定義、定理及基本事實等.解題秘方：緊扣條件與結論之間的關系，正確地寫出證明的依據.

角平分線的定義兩直線平行，內錯角相等等量代換內錯角相等，兩直線平行題型幾何題的證明2如圖7.3-3，已知DE⊥AC

于點E，BC⊥AC于點C，FG⊥AB

于點G，∠1=∠2.求證：CD⊥AB.例7解題秘方：可由條件進行分析得到結論，也可由結論逆推是否符合條件.證明：∵DE⊥AC，BC⊥AC（已知），∴∠5=∠ACB=90°（垂直的定義）.∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）.∴∠2=∠3（兩直線平行，內錯角相等）.又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代換）.∴GF∥CD（同位角相等，兩直線平行）.∴∠4=∠6（兩直線平行，同位角相等）.∵FG⊥AB（已知），∴∠6=90°（垂直的定義）.∴∠4=90°（等量代換）.∴CD⊥AB（垂直的定義）.解法思路展示分析法(由果索因)：題型文字命題的證明3求證：兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行.例8解題秘方：分析命題的題設和結論，寫出已知和求證，最后寫出證明過程.

方法點撥證明一個命題的一般步驟：1.分清命題的題設和結論，如果與圖形有關，首先根據題意，畫出圖形，并標出有關字母與符號；2.根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證；3.經過分析，找出由已知推出結論的途徑，有條理地寫出證明過程.易錯點將命題改寫成“如果……那么……”的形式時對題設、結論表述不清將命題“同角的補角相等”改寫成“如果……那么……”的形式為___________________

.例9錯解：如果是同角，那么補角相等正解：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等診誤區：將命題改寫成“如果……那么……”的形式時，一是分清題設和結論，二是改寫成通順的語句.[中考·涼山州]下列命題中：①鄰補角是互補的角；②相等的角是對頂角；③同位角相等；④兩銳角的和不一定是鈍角.其中正確的個數是（）A.0B.1C.2D.3考法命題真假的辨析1例10試題評析：本題考查命題真假的辨析，解題的關鍵是利用舉例的方式進行辨析.解：①鄰補角是互補的角，說法正確；②相等的角不一定是對頂角，如圖7.3-5，∠1=∠2，但∠1與∠2不是對頂角.故②說法錯誤；③同位角相等，沒有說兩直線平行這個條件，如圖7.3-6，∠1與∠2是同位角，但∠1與∠2不相等.故③說法錯誤；④兩銳角的和不一定是鈍角，也可以是銳角，還可以是直角，故④說法正確.綜上可得①④正確，共2個.答案：C1.下列語句是命題的是（）A.畫兩條相等的線段B.等于同一個角的兩個角相等嗎C.延長線段AO

到C，使OC=OAD.兩條直線相交，有且只有一個交點D2.下列語句中不是定義的是（）A.只有符號不同的兩個數互為相反數B.大于0的數叫作正數C.對頂角相等D.幾個單項式的和叫作多項式C3.[期中?大連旅順口區]下列命題是真命題的是（）A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等B.兩個銳角的和是直角C.互補的角是鄰補角D.若y2=4，則y=±2D4.[月考?邢臺襄都區]可以說明“負數a

與負數b

之差是負數”是假命題的一個反例是（）A.a=2，b=－1B.a=－2，b=－1C.a=－1，b=－2D.a=－1，b=2C5.[中考·金華]某同學的作業如下框，其中※處填的依據是（）A.兩直線平行，內錯角相等B.內錯角相等，兩直線平行C.兩直線平行，同位角相等D.兩直線平行，同旁內角互補C6.[期中?濟南槐蔭區]命題“兩直線平行，同旁內角互補”的條件（題設）是______________________

.兩直線平行7.如圖，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，AD平分∠BAC嗎？為什么？解：AD平分∠BAC，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG.∴∠2＝∠3，∠1＝∠E.又∵∠E＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC.8.如圖，現有以下3個論斷：①AB∥CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.請以其中2個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題.(1)你構造的有哪幾個命題？解：構造3個命題如下：條件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；結論是：③∠E＝∠F；條件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；結論是：②∠B＝∠C；條件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；結論是：①AB∥CD；(2)你構造的命題是真命題還是假命題？請選擇其中一個真命題加以證明.條件是：