2025年高考數學一輪復習課時作業-正態分布【原卷版】

（時間：45分鐘分值:80分）

【基礎落實練】

1.（5分）已知隨機變量］服從正態分布NQ1）,若尸（區1）=0.84廁尸（-1玄式）等于

（）

A.0.34B.0.68C.0.15D,0.07

2.（5分）（2023?貴州八校聯考）設隨機變量X~N（2,4），若尸（X>a+2）=尸（X<2a-3）,則實數

Q的值為（）

A」B.|C.5D,9

3.（5分）若隨機變量X服從正態分布N（5,l）,則P（6<X<7）^（）

附:若X?則戶0.6827,P@-2dXq+2a戶0.9545,

P〃-3dX斗+3。戶0.9973.

A.0.1359B.0.3413

C.0.4472D.l

【加練備選】

某天文館開館后的1個月內每天的游客人數X服從正態分布N（2000,4900）,

則在此期間的某一天，該館的游客人數不超過2210的概率為（）

（參考數據:若X?廁PQ-dXq+a戶0.6827,尸〃-2三0/+20戶0.9545,

尸依3dX~/+3亦0.9973）

A.0.99865B.0.9973

C.0.9772D.0.00135

4.（5分）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態分布

N（105,*）m〉0）,試卷滿分150分,統計結果顯示數學成績優秀（高于120分）的人數

占總人數的:則此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為（）

A.150B.200C.300D.400

5.（5分）（2023?濟南模擬）已知隨機變量^服從正態分布心,"）,若函數八%）=尸（把公

%+1）為偶函數則〃=（）

11

A-zB.OC,-D,1

6.（5分）（多選題）（2024.北海模擬）已知變量X服從正態分布X~N（0/2）,當。變大時,

則（）

A?尸變大

B?尸（4<X<9變小

C正態分布曲線的最高點上移

D.正態分布曲線的最高點下移

7.（5分）（2023?深圳模擬）若X~N（9,22）,則尸（7<X<13）=（精確到0.01）.

參考數據:若X?可（〃夕2）,則VCT）-0.6827,P（|X-/Z|<2（T）-0.9545.

8.（5分）某種品牌攝像頭的使用壽命式單位:年）服從正態分布，且使用壽命不少于2

年的概率為0.8,使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個

該品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為.

9.（10分）已知隨機變量X~N5,/），且正態密度函數在（①,80）上是增函數，在（80,+8）

上是減函數,P（720XS88戶68.27%.

⑴求參數〃a的值；

（2）求產（640X<72）.（結果精確到0.0001）

參考數據:P@FX0/+a戶68.27%,P（/z-2dx9+2o■戶95.45%,P（//-3dX9+3（T）

-99.73%.

【能力提升練】

10.（5分）為了解某地區高中男生的身體發育狀況抽查了該地區1000名年齡在

17.5歲至19歲的高中男生的體重情況抽查結果表明他們的體重X（單位:kg）服從

正態分布25且正態密度曲線如圖所示.若58.5<X<62,5屬于正常情況，則這

1000名男生中屬于正常情況的人數是（）

A.997B.954C.819D.683

11.（5分）在如圖所示的正方形中隨機投擲40000個點，則落入陰影部分（曲線。為

正態分布X?N（-2,4）的密度曲線）的點的個數的估計值為（）

（若X?貝U尸戶0.6827,P（/z-2dx0/+2o■戶0.9545）

A.906B.l359C.2718D.3413

12.（5分）（多選題）（2024.廈門模擬）李明每天7:00從家里出發去學校，有時坐公交車,

有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得

到:坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36;自行車平均用時34分鐘，樣本方差

為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時V都服從正態分布，則（）

A.P（X〉32）〉P（y〉32）

B.P（X<36>P（r<36）

C.李明計劃7:34前到校，應選擇坐公交車

D.李明計劃7:40前到校，應選擇騎自行車

13.（5分）（2024.泉州模擬）設隨機變量X~N（72,/）,若P（70<X<73）=0.3,則

尸（71<X<74）=.

14.（10分）某市為了傳承發展中華優秀傳統文化，組織該市中學生進行了一次文化

知識有獎競賽，競賽獎勵規則如下:得分在［70,80）內的學生獲三等獎,得分在

［80,90）內的學生獲二等獎,得分在［90,100）內的學生獲一等獎，其他學生不得獎,

為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣

本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

⑴現從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績，求這兩名學生中恰有一名學生獲

獎的概率；

（2）若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態分布NO,/）,其中815,〃為樣本

平均數的估計值，利用所得正態分布模型解決以下問題：

①若該市共有10000名學生參加了競賽,試估計參賽學生中成績超過79分的學

生數（結果四舍五入到整數）；

②若從所有參賽學生中（參賽學生數大于10000）隨機取3名學生進行訪談，設其

中競賽成績在64分以上的學生數為年求隨機變量e的分布列和期望.

附參考數據，若隨機變量X服從正態分布NQ,4）,則P"H<X<fi+。戶0.6827,

尸（〃-2。<X<（i+2CT）-0.9545,尸（〃-3。<X<（i+3cr）~0.9973.

2025年高考數學一輪復習課時作業-正態分布【解析版】

(時間：45分鐘分值:80分)

【基礎落實練】

1.(5分)已知隨機變量e服從正態分布N(0,D,若尸(區1)=0.84廁尸(-上公0)等于

()

A.0.34B.0.68C.0.15D,0.07

【解析】選A.由題意得尸?>1)=1孑(后1尸1-0.84=0.16,所以P(-l<e<0>

1

jx(1-0.16x2)=0.34.

2(5分)(2023?貴州八校聯考)設隨機變量X~N(2,4)若尸(X>a+2)=尸(X<2a-3),則實數

Q的值為()

A」B.|C.5D.9

【解析】選B.因為P(X>a+2)=尸(X<2a-3),

所以由正態曲線的對稱性知號％=2,解得q=|.

3.(5分)若隨機變量X服從正態分布N(5,l),則P(6<X<7)^()

附:若X?淋)，則戶0.6827,尸〃-2"X9+2a戶0.9545,

尸@-3dX9+3亦0.9973.

A.0.1359B.0.3413

C.0.4472D.1

【解析】選A.依題設得P(4<X<6)-0.6827,尸(30X07戶0.9545,

所以P(6<X<7)-|x(0.9545-0.6827)=0.1359.

【加練備選】

某天文館開館后的1個月內每天的游客人數X服從正態分布N(2000,4900),

則在此期間的某一天，該館的游客人數不超過2210的概率為（）

（參考數據:若X?N〃,/）廁PQ-dXq+a戶0.6827,尸〃-2三0/+20戶0.9545,

尸依3dX~/+3亦0.9973）

A.0.99865B.0.9973

C.0.9772D.0.00135

【解析】選A.因為該天文館開館后1個月內每天的游客人數X服從正態分布

NQ000,4900）,

所以P（1790<X<2210）=P（2000-3x70<X<2000+3x70）-0.9973,所以尸（X>2210）

~|x（l-0.9973）=0.00135,所以P（X<2210）-1-0.00135=0.99865.

4.（5分）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數學考試成績近似服從正態分布

N（105,*）m〉0）,試卷滿分150分,統計結果顯示數學成績優秀（高于120分）的人數

占總人數的也則此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為（）

A.150B.200C.300D.400

【解析】選C.因為尸（X<90）=尸（X〉120）W

P（90<X<120>1一如2=|,所以P（90<X<105）福，

所以此次數學考試成績在90分到105分之間的人數約為1000x5=300.

10

5.（5分）（2023?濟南模擬）已知隨機變量亡服從正態分布心,小,若函數1"）=尸（爛公

%+1）為偶函數則〃=（）

11

A.--B.OC.-D.1

22

【解析】選C.因為函數危）=尸（正公%+1）為偶函數，則#-%）=/（%），所以P（-x<^<-x+1）

=尸（爛區%+1）,所以〃=久+；+1=\

6.（5分）（多選題）（2024.北海模擬）已知變量X服從正態分布X~N（0/2）,當。變大時,

則（）

A?尸(-*X<3變大

B?尸(4<X<9變小

C正態分布曲線的最高點上移

D.正態分布曲線的最高點下移

【解析】選BD.當。變大時，方差變大，數據離散程度變大，所以》變

小，且正態分布曲線的最高點下移，即B,D正確,A,C錯誤.

7.(5分)(2023.深圳模擬)若X~N(9,22),則P(7<X<13)=(精確到0.01).

參考數據:若X~N(〃62),則<CT)~0.6827,P(|X-〃|V2cr)~0.9545.

【解析】因為X-N(9,22),根據參考數據，

1

P(J<X<13)=P(?-(T<X<//+2<7)=jx(0.6827+0.9545)~0.82.

答案082

8.(5分)某種品牌攝像頭的使用壽命口單位:年)服從正態分布，且使用壽命不少于2

年的概率為0.8,使用壽命不少于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個

該品牌的攝像頭，則在4年內這兩個攝像頭都能正常工作的概率為.

【解析】由題意知P02)=O.8,P(含6尸0.2,所以P(32)=P(含6尸0.2.所以正態曲線

的對稱軸為直線％=4,即P(含4)三，即每個攝像頭在4年內能正常工作的概率為:

所以兩個該品牌的攝像頭在4年內都能正常工作的概率為力白"

答案3

4

9.(10分)已知隨機變量且正態密度函數在(代,80)上是增函數，在(80,+8)

上是減函數，尸(723X388)48.27%.

⑴求參數〃a的值；

(2)求尸(64WX<72).(結果精確到0.0001)

參考數據:斗+亦68.27%,P〃-2dX9+2o■戶95.45%,P(/z-3dx9+3㈤

-99.73%.

【解析】(1)由題意得參數〃=80.又P(72<X<88>68.27%,

結合Pg-dXq+a戶68.27%,可知戶8.

(2)尸@-2dX%+2Q=P(64*96戶95.45%.

因為尸(X<64)=尸(X>96),

所以P(X<64)gx(l-95.45%)=2.275%,

所以P(XN64戶97.725%.

又P(X<72)=jx[1-P(72<X<88)]-

1

jx(l-68.27%>15.865%,

所以P(X>72>84.135%,

所以尸(640X<72)=尸(XN64)-P(XN72戶13.59%.

【能力提升練】

10.(5分)為了解某地區高中男生的身體發育狀況抽查了該地區1000名年齡在

17.5歲至19歲的高中男生的體重情況，抽查結果表明他們的體重X(單位:kg)服從

正態分布N5,22),且正態密度曲線如圖所示.若58.5<X<62,5屬于正常情況，則這

1000名男生中屬于正常情況的人數是()

A.997B.954C.819D.683

【解析】選D.由題意，可知〃=60.5,戶2,故尸(58.5SX062.5)=P〃-dX3，+(7戶0.6827,

從而屬于正常情況的人數是1000x0.6827-683.

11.(5分)在如圖所示的正方形中隨機投擲40000個點，則落入陰影部分(曲線C為

正態分布X?N(-2,4)的密度曲線)的點的個數的估計值為()

（若X?N@,標），貝u戶0.6827,0（//-2三乂0/+20戶0.9545）

A.906B.l359C.2718D.3413

【解析】選B.因為X~N（-2,4）,所以陰影部分的面積S=P（0<X<2）=|[P（-6<X<2）-

P（-4<X<0）]=|x（0.9545-0.6827）=0.1359,則在正方形中隨機投擲一點，該點落在陰

影內的概率為尸=華，所以落入陰影部分的點的個數的估計值為40000x等

44

=1359.

12.（5分）（多選題）（2024.廈門模擬）李明每天7:00從家里出發去學校，有時坐公交車,

有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得

到:坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36;自行車平均用時34分鐘，樣本方差

為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時F都服從正態分布，則（）

A.尸（X〉32）>尸（丫>32）

B.P（X<36>P（F<36）

C.李明計劃7:34前到校，應選擇坐公交車

D.李明計劃7:40前到校，應選擇騎自行車

【解析】選BCD.對于選項A,由條件可知X?N（30,62）,y~N（34,22）,

根據對稱性可知尸（y>32）>0.5>P（X〉32）,故A錯誤；

對于選項B,P（XS36）=尸（X9+Q,P（ys36）=尸（臼行辦

所以尸（XS36）=尸（注36）,故B正確；

對于選項C,P（X<34）>0.5=P（r<34）,

所以尸（X034）>尸（注34）,故C正確；

對于選項D,P(XW40)<P(X*2尸尸(X3/+2a),P(左40)=尸(Vq+3a),

所以尸(X04O)〈尸(仁40),故D正確.

13.(5分)(2024.泉州模擬)設隨機變量X~N(72d),若P(70<X<73)=03則

尸(71<X<74)=.

【解析】因為隨機變量X~N(72,M),且尸(70<X<73)=0.3,所以P(71<X<74)

=P(70<X<73)=0.3.

答案03

14.(10分)某市為了傳承發展中華優秀傳統文化，組織該市中學生進行了一次文化

知識有獎競賽，競賽獎勵規則如下:得分在［70,80)內的學生獲三等獎,得分在

［80,90)內的學生獲二等獎,得分在［90,100)內的學生獲一等獎，其他學生不得獎,

為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣

本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

⑴現從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績，求這兩名學生中恰有一名學生獲

獎的概率；

(2)若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態分布N(〃/2),其中815,〃為樣本

平均數的估計值，利用所得正態分布模型解決以下問題：

①若該市共有10000名學生參加了競賽,試估計參賽學生中成績超過79分的學

生數(結果四舍五入到整數)；

②若從所有參賽學生中(參賽學生數大于10000)隨機取3名學生進行訪談，設其

中競賽成績在64分以上的學生數為3求隨機變量e的分布列和期望.

附參考數據，若隨機變量X服從正態分布叫后）,則P。/<X<