培優(yōu)沖刺10直線、圓與圓錐曲線壓軸小題歸類

籍優(yōu)題型大集合

目錄

題型一：含參雙動直線...........................................................................1

題型二：直線系與方程...........................................................................2

題型三：圓：定角...............................................................................3

題型四：圓：切點弦............................................................................3

題型五：圓綜合.................................................................................3

題型六：離心率：第一定義型....................................................................4

題型七：離心率：焦半徑型......................................................................5

題型八：離心率：第三定義型....................................................................5

題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型..........................................................7

題型十：離心率：重心型........................................................................8

題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）..........................................................8

題型十二：離心率：共焦點橢圓雙曲線型..........................................................8

題型十三：離心率：雙曲線漸近線型..............................................................9

題型十四：離心率：求參數(shù).....................................................................10

題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化.............................................................11

題型十六：拋物線焦點弦：梯形轉(zhuǎn)化型...........................................................11

題型十七：拋物線焦點弦極坐標(biāo)公式應(yīng)用.........................................................12

題型十八：拋物線切線型.......................................................................13

籍優(yōu)題理_大_槎出

題型一：含參雙動直線

gCT0

1.直線含參。

一般情況下，過定點

如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。

1,每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。

2.兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1,確定兩條直線

是否互相"動態(tài)垂直”。

3.如果兩條動直線"動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。

4.如果兩條動直線交點在對應(yīng)的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進行線段的最值

求解計算

1.（2024上河北承德?高三統(tǒng)考）已知直線4：x-沖=0與/2：mx+y-2?i+4=0交于點戶（如幾），則%+%

的最大值為（）_

A.1B.2A/5C.-1+V5D.-1+710

2.（2024上北京高按清華附中校考）已知直線4：〃a+>=0恒過定點A,直線小尤-my-2=0恒過定點民

且直線4與〃交于點P,則點P到點（0,20）的距離的最大值為（）

A.4B.26C.3D.2

3.（2024,全國,高三專題練習(xí)）已知直線4:mx-y-3m+l=O（meR）與直線4:x+陽-3帆-1=0（/〃eR）相交于點p,

則P到直線x+y=。的距離d的取值范圍是（）_

A.[&,3偽B.[后2拘

C.他3aD.詆,2回

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQk（O為坐標(biāo)原點）中，不過原點的兩直線

4:x-my+2/w-l=。，4:〃優(yōu)+y-機-2=。的交點為R過點。分別向直線4,/?引垂線，垂足分別為例,

N,則四邊形。例物面積的最大值為（）

35

A.3B.-C.5D.-

22

題型二：直線系與方程

直線系：

過Aix+8iy+Ci=0與A2%+&y+C2=0的交點的直線可設(shè)：Aix+Biy+Ci+4（A2x+&y+C2）=0.

⑴若直線含參，參數(shù)在X系數(shù)出，則不包含豎直，如〉=左（*-1）+1,不含想X=1

（2）若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如龍+機。-1）+2=0,不含y=l

（3）若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如尤+》+。=。與丁=一彳平行

1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)"（％,%）,N（程％）為不同的兩點，直線/的方程

為奴+勿+c=0,設(shè)>=時+。.有下列三個說法：

ax2+。

①存在實數(shù)S,使點N在直線/上；

②若5=1,則過MN兩點的直線與直線/平行；

③若5=-1,則直線I經(jīng)過線段MN的中點.

上述所有正確說法的序號是.

2.（2023上?浙江紹興,高三浙江省上虞中學(xué)校考）已知點九），直線/:―+By+C=O,且點尸不在直

線/上，則點p到直線I的距離d=a+：Q，?類比有：當(dāng)點尸（4,幾）在函數(shù)y=/（x）圖像上時，距離

A/A+B

公式變?yōu)楣珖a(chǎn)，根據(jù)該公式可求卜

+3-A/1—1+1x—3+A/1—%21的最小值是.

0ax.+by,+c

3.（2022,四川綿陽?統(tǒng)考一模）設(shè)”（XQJN?,%）為兩個不同的點直線/g+6y+c=0,S=一.有下

?ax2+by2+c

列命題：

①不論5為何值點N都不在直線I上；

②若直線I垂直平分線段MN,則5=1；

③若5=-1廁直線/經(jīng)過線段MN的中點；

④若5>1,則點M、N在直線I的同側(cè)且I與線段MN的延長線相交.

其中正確命題的序號是（寫出所有正確命題的序號）.

題型三：圓：定角

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線/：y=2X上在第一象限內(nèi)的點，8（5,0）,以A3為直徑的圓C與直

線I交于另一點。.若NDBA巳45°,則點A的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

2.（2023?四川省通江中學(xué)高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系宜為中，若圓C：（尤-3）2+（y-a）2=4上存在

兩點A、B滿足：4403=60。，則實數(shù)。的最大值是.

3.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C滿足：圓心在x軸上,且與圓d+（y-2）2=1

相外切.設(shè)圓C與x軸的交點為M,N,若圓心C在x軸上運動時，在＞軸正半軸上總存在定點尸，使得NMPN

為定值，則點尸的縱坐標(biāo)為.

題型四：圓：切點弦

切點弦方程求解，可以有如下兩種思路

1.公共弦法：過圓C外一點作圓的切線則切點A,8與C,P四點共圓，線段CP就是圓的一條直徑.兩圓

方程相減可得公共弦所在直線方程.

2二級結(jié)論法：（x—。）2+3一切2=戶外一點尸（司,如）做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：

2

（x0-a）（x-a）+（y0-&）（y-Z?）=r

1.（2022秋,四川綿陽?高三四川省綿陽江油中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓+-2x-2y-2=0,直線/：

x+y+2=0,P為直線/上的動點，過P點作圓M的切線PA、PB,切點為A、B,當(dāng)1PM|的最小時，直

線的方程為（）

A.x+y=0B.%+y—3=0

C.%+y-l=0D.2x+y+l=0

2.（2023春.遼寧沈陽.高三東北育才學(xué)校校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓

O：x2+y2=l,C：（x+l）2+y2=9,直線/與圓0相切，與圓C相交于A8兩點，分別以點A3為切點作圓C的

切線。4.設(shè)直線4,4的交點為P,則|0"的最小值為（）

7

A.9B.7C.35/7-D.—

2

3.（2023春福建莆田,高三莆田一中校考階段練習(xí)）若尸是直線/:尤+2y-2百=0上一動點，過尸作圓

。:/+9=1的兩條切線，切點分別為4,3,叫他的最小值為（）

A.73B.3C.y/2D.2

題型五：圓綜合

1.（2023?黑龍江?一模）設(shè)蒼yeR,貝1J（3—4y—cos尤）？+（4+3y+sinx）2的最小值為

A.4B.16C.5D.25

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知8,C為圓/+;/=4上兩點，點A。」），且

uuur1zuunuum

ABAC=0,AM=-^AB+ACxj,則AQ4M面積的最大值為.

3.（2022山東?薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室高三模擬）已知圓C:（x-2y+（y-5）2=4,T為圓C外的動點，過

點T作圓C的兩條切線，切點分別為A/、N,使而.而取得最小值的點T稱為圓C的萌點，則圓C的萌

點的軌跡方程為.

4.（2022?江蘇高三專題練習(xí)）已知圓。：/+丁=9與x軸交于點A、B,過圓上動點不與A、B重

合）作圓。的切線/,過點A、3分別作x軸的垂線，與切線/分別交于點C,D,直線CB與交于點Q,Q

關(guān)于〃的對稱點為尸，則點尸的軌跡方程為

題型六：離心率：第一定義型

求解圓錐曲線的離心率的常見方法：

1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得a，。得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于4，c的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程或不等

式，結(jié)合離心率的定義求解；

3、特殊值法：根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.

22

1.橢圓C:,方=l（a>6>0）的左右焦點分別為尸2,直線/：y=履與C交于48兩點，若

\F2O\=^\AB\,ZBAF2=0,當(dāng)時，C的離心率的最小值為（）

A.72-1B.變C.逅D.V3-1

23

22

2.（2023春?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系My中，已知雙曲線C*-方=13>0,方>0）的左、

右焦點分別為K，F(xiàn)2,過4的直線與雙曲線C的右支相交于點尸，過點。名作垂足

分別為且M為線段PN的中點，|ON|=a,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.石+1C.&+1D.叵

222

22

3.（江蘇省常州市第一中學(xué)2022-2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題）設(shè)橢圓+1=1的左右焦點分別為耳，工，

ab

焦距為2c,點。上幻在橢圓的內(nèi)部，點P是橢圓上的動點，且歸耳|+|PQ|<5］耳閶恒成立，則橢圓的離心

率的取值范圍為（）

22

4.（2023春?陜西西安?高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線。：1-2=1（°>0力>0）的左、右焦點分別為斗F2,

ab

過月的直線與C的左支分別交于RQ兩點，且「閭=]閨可，若點。為尸居的中點，。。，尸匕則c的離

心率為（）

43

A.-B.-C.2D.3

32

題型七：離心率：焦半徑型

橢圓焦半徑

焦半徑范圍：a-c<\PF^<a+c（長軸頂點到焦點最近和最遠，即遠、近地點）

雙曲線焦半徑

動點P到同側(cè)焦點F2的距離最小值為：|尸周皿山=。一。

22

1.（江蘇省啟東中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知橢圓0+4=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為耳，鳥，

離心率為e,若橢圓上存在點尸，使得e,則該離心率e的取值范圍是

22

2.（2022-2023學(xué)年江西省上饒中學(xué)高三下學(xué)期第一次月）已知耳，乃分別為雙曲線.一斗=1（。>0/>0）

ab

的左、右焦點，尸為雙曲線右支上任意一點，若M的最小值為8a,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是

A.(1,2)B.(1,3)C.(1,3]D.(2,4)

3.（遼寧省實驗中學(xué)、大連八中、大連二十四中、鞍山一中、東北育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期考

22

試數(shù)學(xué)試題）己知橢圓二+4=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為耳，鳥，若橢圓上存在一點尸使得

ab

3

PRFPF?,則該橢圓的離心率e的取值范圍是.

22

4.（2023秋廣東深圳高三校考）設(shè)月，尸?是雙曲線?-4=1（。>0,6>0）的左右焦點，若雙曲線上存在

ab

點P滿足麗?朋=-/,則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.|^A/2,+cojB.j^>/3,+cojC.[2,+oo）D.[3,+co）

題型八：離心率：第三定義型

（1）橢圓

r22b2

1.45是橢圓。:%+]=1（。〉6〉0）上兩點，加為AB中點，則心8?勺〃=——（可用點差法快速證明）

結(jié)論拓展

22

已知直線/：y=Ax+機優(yōu)W0,機wO）與橢圓A+[=l相交于A,3兩點，M為A5的中點，。為坐標(biāo)原點，

ab

h2

-

則％OM，左=-T?

a

2

如果是焦點在y軸上，則是左0M?左=-*?

丫22力2

2.A3是雙曲線。：+-七=1（。〉0,力>0）上兩點，M為AB中點，則心B?%OM=3（可用點差法快速證

aba

明）

結(jié)論拓展

22

已知直線/：,二丘+根（左W0,mW0）與雙曲線「-A=1相交于A,3兩點，"為AB的中點，。為坐標(biāo)原

ab

b2

點,則kOM.k=/.

2

如果是焦點在y軸上，則是左0M?左二5

22

1.（陜西省渭南市富平縣2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）已知點。在橢圓下方=1伍〉。〉0）上，片

是橢圓的左焦點，線段尸耳的中點在圓/+產(chǎn)=〃2—〃上記直線尸片的斜率為左，若左之石，則橢圓離心

率的最小值為（）

A.V2-1B.3C.正D.1

222

22

2.（2022.新疆喀什.高十三新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考開學(xué)考試）過雙曲線鼻-2=1（°>0涉>0）的

cib

右焦點尸作一條漸近線的垂線，垂足為M,且的中點A在雙曲線上，則雙曲線離心率e等于（）

A.72B.V3C.V5D.^±1

22

3.（山西省臨汾市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知點尸是橢圓C:1r+3=1（。>b>0）上一點，「與橢圓上、

下頂點連線的斜率之積為,則C的離心率為.

22

4.（2023.全國.高三專題練習(xí)）已知雙曲線Cq-方=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為用,匕過B作雙曲

線C的一條漸近線的垂線/,垂足為H,直線/與雙曲線C的左支交于E點，且H恰為線段后工的中點，則

雙曲線C的離心率為（）

A.5/2B.\/3C.2D.^5

題型九：離心率：雙三角形雙余弦定理型

焦點弦型雙三有自形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：

鼠,

仍

可分別在倆三有自形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率

題型十：離心率：重心型

22

1.（2023春?四川廣安,高三四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點A為雙曲線C:j=1的虛軸的上

ab

頂點，尸為雙曲線的右焦點，存在斜率為-3夜的直線交雙曲線于點M，N兩點，且AAAW的重心為點心

則雙曲線C的離心率為（）

A.5/2B.73C.2gD.屈

22

2.已知橢圓二+當(dāng)?shù)挠医裹c和上頂點分別為點尸（c,O）0>c）和點A,直線/:6x-5y-28=0交

ab

橢圓于尸，。兩點，若尸恰好為AAPQ的重心，則橢圓的離心率為（）

A.也B.—

23

C.—D也

55

22

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線￡:5-2=1（。>0,"0）的右焦點為八M（0,3ft）,若直線/與E的

ab

右支交于A8兩點，且尸為△M4B的重心，則E的離心率的取值范圍為（）

題型十一：離心率：內(nèi)心型（角平分線）

22

1.已知橢圓［+1=1（。>6>0）的左、右焦點分別為耳，月,點尸為橢圓上不同于左、右頂點的任意一點,

ab

/為APT譙的內(nèi)心，且鼠呼二丸%"2-S5B，若橢圓的離心率為名則人（）

“12

A.—B.—C.eD.2e

ee

22

2.（2023秋河南鄭州?高三鄭州市第一O六高級中學(xué)校考）已知點尸是雙曲線三-與=1（fl>0,b>0）右支

ab

上一點，F(xiàn)i、/2是雙曲線的左、右焦點，M是△PBB的內(nèi)心，若5AMp耳=S^MPF?+-成立，則雙曲線

的離心率為（）

...43

A.3B.2C.—D.一

32

22

3..已知橢圓C：=+?=1（。>6>0）的左、右焦點分別為B,尸2,點尸為橢圓C上不與左右頂點重合的

ab

動點，設(shè)/,G分別為的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線/G的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，橢圓C的離

心率為.

題型十二：離心率：共焦點橢圓雙曲線型

橢圓與雙曲線共焦點耳、尸2,它們的交點尸對兩公共焦點月、弱的張角為/片產(chǎn)工=2。，橢圓與雙曲線的離

22

、—八miIsin6cos0,

心率分別為，、e2,貝IJ.——+—「=1

TT

1.（2023?高三課時練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點可，工，它們的交點為尸，且鳥=可.若橢圓的離心率為

且，則雙曲線的離心率為（）

2

A.B.述C.6D.2

64

2.（2023秋,高三聯(lián)考）已知橢圓G與雙曲線C?有相同的焦點%F2,其中尸?為右焦點，兩曲線在第一象

限的交點為P,離心率分別為e?.若線段尸入的中垂線經(jīng)過點耳，則（）

eie2

A.y/2B.2C.y/3D.3

2222

3.（2023.全國.高三模擬）已知橢圓C:亍+M=l（q>4>。）與雙曲線。：號嘖=1（%>0,b2>0）

具有共同的焦點可，F(xiàn)2,離心率分別為e「g,且幺=有.點P是橢圓C和雙曲線。的一個交點，且尸耳JL「鳥,

e\

則e?=()

A.晅n3百

C,丘Lz.----------

3B-T4

.4.（2023,全國,高三專題練習(xí)）已知橢圓G與雙曲線C2的焦點相同，離心率分別為e「%,且滿足02=石弓，

耳,F?是它們的公共焦點，戶是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若/片尸耳=120。，則雙曲線C?的離心率

為（）

題型十三：離心率：雙曲線漸近線型

2222

與雙曲線［=1有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為二-斗=”2牛0）.

abab

焦點到漸近線的距離為：卜b.

22

漸近線求法結(jié)論:可直接令方程二-斗等號右邊的常數(shù)為0,化簡解得

crb1

22

1.（2023?陜西咸陽?陜西咸陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）若雙曲線與-斗=l（a＞0,。＞0）的一條漸近線的傾斜角

ab

是另一條漸近線傾斜角的3倍，則該雙曲線的離心率為（)

A.2B.y/2C.y/3D.

3

22

2.（2022.全國.高三專題練習(xí)）已知雙曲線鼻一與=1（。＞0,6＞0）與直線y=2x無公共點，則雙曲線的

ab

離心率的最大值是（）_

A.0B.2C.V2+1D.75

22

3.（2023?山西晉中,統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：'-當(dāng)=l（a＞0,6＞0）的左、右焦點分別為E（f。），耳（G。），

ab

平面內(nèi)一點P滿足尸月，尸%,△尸片月的面積為14點Q為線段P耳的中點，直線。。為雙曲線的一條漸

近線，則雙曲線c的離心率為（）

A.75B.若或更C.旦D.2

22

22

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示,雙曲線C：2=15＞0,。＞0）的左、右焦點分別為月、F2,

ab

過耳的直線與雙曲線c的兩條漸近線分別交于A、2兩點，A是43的中點，且耳則雙曲線C的

離心率e=（）

A.V3B.2C.75D.V2+1

題型十四：離心率：求參數(shù)

r22

1.（2023秋?高三專題練習(xí)）已知A3分別為雙曲線＞%=1（。＞0乃＞0）的左、右頂點，尸為雙曲線上一點,

且AAB尸為等腰三角形，若雙曲線的離心率為亞，則尸的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.120°D.30°或120°

2.（2023秋,湖南長沙?高三湖南師大附中階段練習(xí)）已知方程V+辦2+bx+c=0的三個實根可分別作為一橢

圓、一雙曲線、一拋物線的離心率，則6+〃的取值范圍是

A.（V5,+oo）B,[番,+s）C.[5,+oo）D.（5,+co）

3.（2023?甘肅?統(tǒng)考二模）若直線4和直線4相交于一點，將直線乙繞該點依逆時針旋轉(zhuǎn)到與〃第一次重合時

所轉(zhuǎn)的角為，，則角，就叫做乙到4的角，tane=M9，其中匕,％分別是的斜率，已知雙曲線E：

II*Vi

222

二-2=1（〃>。，">。）的右焦點為尸，A是右頂點，尸是直線工=一上的一點，e是雙曲線的離心率，ZAPF=0,

abc

則tan。的最大值為（）

1eee

A.—B./D.5

ey/l+e

22

4.（2023全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：1-a=1（。>0*>0）的離心率為*其中一條漸近線的傾

ab

斜角a的取值范圍是其斜率為左,則叵的取值范圍是

<36Jk

A.（-4,-2^）B.[-4,-我

C.（-4,-石]D.（-4,-2^]

題型十五：拋物線：定義型最值轉(zhuǎn)化

拋物線y2=2pxg>0）焦點弦AB,設(shè)AQi,yi）、8（x2,”），AB的中點E,準(zhǔn)線為/.

⑴焦半徑問題：

①焦半徑：|4/|=以。|=尤1+2,|BF|=|BC|=X2+2（隨焦點位置變動而改變）；

2P

②焦點弦：|AB|=?+x2+p=sin2a（其中，a為直線的傾斜角）

112

③而+而=方；

焦半徑公式得：用=口，忸同=P

1+COS。

（2）4、8兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值,即XI-X2—4，力少2=—p?（隨焦點動而變）；圖4

（3）其他結(jié)論：①SAaw=2sina（其中，a為直線AB的傾斜角）;②以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點H.

1.已知點P為拋物線/=-4尤上的動點，設(shè)點P到小x=1的距離為4,到直線x+y-4=o的距離為則

4+4的最小值是（）

A.-B.還

C.2D.72

22

2.P是拋物線丁=8x上的動點，P到y(tǒng)軸的距離為4,到圓C:（x+3/+（y-3）2=4上動點。的距離為d2,

則4+d2的最小值為.

3.設(shè)尸是拋物線V=4x上的一個動點，尸為拋物線的焦點，記點尸到點A（—l,l）的距離與點p到直線x=—l

的距離之和的最小值為M,若3（3,2）,記|尸到+歸司的最小值為兒則加+雙=—.

4.點”（20,40）,拋物線;/=20%（0>0）的焦點為尸，若對于拋物線上的任意點/>,戶閘+「尸|的最小值為41,

則P的值等于.

題型十六：拋物線焦點弦：梯形轉(zhuǎn)化型

有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|A3|

+

=Xl^X2pt

若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

（2）本題還運用到點差法，設(shè)而不求，利用拋物線方程作差有效地簡化了計算量，從而到達所需的變量等

式，此方法在橢圓和雙曲線中也廣泛運用.

1.過拋物線y2=2px（0>O）的焦點下的直線/（不平行于y軸）交拋物線于A,B兩點，線段的中垂線交

x軸于點若|AB|=4,則線段楨的長度為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試）已知是拋物線尸=一6x上的兩點，

B.\AB\=U,則線段A5的中點到>軸的距離的最小值為（）.

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A.