第03講基本不等式

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................3

高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析..............................3

高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小..............................4

高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值................................5

角度1：利用基本不等式求積最大值...............................5

角度2：利用基本不等式求和最小值..............................5

角度3：二次與二次（一次）的商式的最值........................5

角度4：“1”的妙用求最值......................................6

角度5：條件等式求最值........................................6

高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題..............................7

高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題..........................8

第四部分：典型易錯(cuò)題型.............................................10

備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”.............10

第五部分：新定義題（解答題）.......................................11

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果a>0,b>0,4ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)，等號(hào)成立.

②其中J法叫做正數(shù)。，人的幾何平均數(shù)；一叫做正數(shù)匕的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個(gè)重要的不等式

①a?+b222ab（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號(hào)成立.

②4（審了（。力eR）當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號(hào)成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知X,y是正數(shù)，如果積犯等于定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2，萬；

V2

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積孫有最大值?一；

4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧一一湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）

）、代（1的代入）、解（整體解）.

G)湊：湊項(xiàng)，例：xH-------=x—a--------Fa?2+a=3(x>a)；

x-ax-a

湊系數(shù)，例:x(l-2x)=g.2x(1-2x)<g-

--4+444I—

②拆：例：--=%+2+——=x-2+——+4>2V4+4=8(x>2)

x-2x-2x-2x-31)

2x

—<1(%>0)

③除：例：。+1

XH---

X

④1的代入：例：已知a>0,6>0,a+b=l,求工+工的最小值.

ab

…廣111I-丁、ba

斛析：—?■一=Z（一■F—）（a+b）=2H---F—>4A.

ababab

⑤整體解：例：已知〃，人是正數(shù)，且aZ?=a+Z?+3,求a+Z?的最小值.

i9

解析：??-ab<II，二1—2J>a+b+3即~(a+b)—(〃+/?)—320,解得

a-^-b>6(a+b<-2舍去).

第二部分：高考真題回顧

1.（2022?全國?（甲卷文））已知9"=10,。=10"'-111=8?'-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

AT

2.（2022?全國?（甲卷文理））已知AABC中，點(diǎn)。在邊3。上，ZADB=T20。,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一上

AB

取得最小值時(shí)，BD=.

3.（2022?全國?（新高考I卷））記"LBC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知產(chǎn)sin2g

1+sinAl+cos2B

Q）若C寸27r，求&

⑵求V匕的最小值.

C

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析

典型例題

例題1.（2024上?陜西安康?高一校考期末）下列不等式一定成立的是（）

A.x2+1>2x（x>0）B.sinxd------->2（x^k7i,keZ）

sinx

C.>l（xeR）D.t+^>2（t>0）

例題2.（多選）（2024?全國?高三專題練習(xí)）任取多組正數(shù)。，瓦c,通過大量計(jì)算得出結(jié)論：空產(chǎn)3痂,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)，等號(hào)成立.若0<〃?<3,根據(jù)上述結(jié)論判斷m2（3-m）的值可能是（）

A.V17B.715C.5D.3

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國?高一假期作業(yè)）下列不等式中等號(hào)可以取到的是（）

2

AJ%2+5H—rr=N2B.X+2+^—>2

、4EX2+2

C.X2+^>2D.IxI+3+,：.22

x2|x|+3

2.（多選）（2024上?河南漠河,高一潺河高中校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.I的最小值是2

4+4

B.當(dāng)％>1時(shí)，XH------的最小值是3

x-1

C.當(dāng)OvxvlO時(shí)，J%。。-x）的最大值是5

21

D.若正數(shù)羽y滿足一+—=3,貝|2犬+y的最小值為3

xy

高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小

典型例題

例題:1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）對(duì)于任意a,下列不等式一定成立的是（）

a+b/_bab,,a,

A.------->4abB.a+—22C.-+->2tD.|-|+|-|>2

2aabab

例題2.（2024下?福建?高一校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州，作為2023年亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)的舉辦城市，以其先進(jìn)的科

技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用"機(jī)器狗”在田徑賽場(chǎng)上運(yùn)送鐵餅等，迅速成為了全場(chǎng)的

焦點(diǎn).已知購買x臺(tái)“機(jī)器狗”的總成本為/3=《/+彳+20（萬元）.

（1）若使每臺(tái)"機(jī)器狗"的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺(tái)？

（2）現(xiàn)安排標(biāo)明"汪1"、"汪2"、"汪3"的3臺(tái)"機(jī)器狗”在同一場(chǎng)次運(yùn)送鐵餅，且運(yùn)送的距離都是120米.3臺(tái)"機(jī)

器狗"所用時(shí)間（單位:秒）分別為刀，T2,I,."汪1"有一半的時(shí)間以速度（單位:米/秒）匕奔跑，另一半

的時(shí)間以速度匕奔跑；"汪2"全程以速度聞不奔跑；"汪3"有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以

速度七奔跑，其中匕>0,匕>。，且匕*匕則哪臺(tái)機(jī)器狗用的時(shí)間最少？請(qǐng)說明理由.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末）已知a>6>0,則下列不等式一定成立的是（）

ablaba2+b2

A.---->----Bn.-------<

。+1b+la+b2

C.〃+Z?+ln（"）>2D.——-——<——-——

1+lntz1+lnZ?

2.（多選）（2024?全國?高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家哈利奧特用表示不等號(hào)，并逐

漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為。

和6（0<。<6）,記兩速度的算術(shù)平均值為匕，全程的平均速度為匕，則下列選項(xiàng)正確的是（）

ClbI~-II/+—2

A.v=----B.a<v<y!abC.yjab<v,<J------D.>v

2a+b2y22

高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值

角度1:利用基本不等式求積最大值

典型例題

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）若正數(shù)x，y滿足?+26=26,則孫的最大值為（）

.一93

A.6B.9C.-D.一

42

例題2.（2024下?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知x>0,>>0,向量商=（x,y）石=（2,1）,濟(jì)5=1,

則孫的最大值為.

角度2：利用基本不等式求和最小值

典型例題

例題L（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)為，滿足孫=1,則/+2丁的最小值為（）

A.1B.0C.2D.2.72

例題2.（2024上?廣西,高一校聯(lián)考期末）已知a2+/=a6+4,則。+匕的最大值為（）

A.2B.4C.8D.272

例題3.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）己知x>[,則無+彳二的最小值為__________

22x-l

角度3：二次與二次（一次）的商式的最值

典型例題

例題1.（2024,全國，局二專題練習(xí)）函數(shù)=2、+x+3a<0）的最大值為

x

例題2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y3a>2）的最小值為

函數(shù)如尸馬三！在小⑹上的最大值為

例題3.（2024?全國,高三專題練習(xí)）

角度4：“1”的妙用求最值

典型例題

81

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）已知正數(shù)元,丁滿足一+—=1,則％+2y的最小值是（）

%y

A.6B.16C.20D.18

例題2.（多選）（2024上?福建漳州?高一統(tǒng)考期末）已知〃>0,b>09且a+2h=2,則（）

A."的最大值為；B.上1+17的最小值為9:

ab2

C.儲(chǔ)+442的最小值為2D.伍+2）優(yōu)+2）的最大值為8

角度5：條件等式求最值

典型例題

例題1.（2024下,重慶,高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于正數(shù)”涉，有（2H+l）（a+b）=6",則

的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[1,6]C.[1,2]D.[2,+oo]

1221

例題2.（多選）（2024上?安徽合肥?高一合肥一中校考期末）已知正數(shù)。力滿足。之一+：為2—+二則（）

abab

A.ab>3B.（6z+Z?）2>12

C.LU逋D.1+1<2

ab3ab

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?福建龍巖?高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知x>Ly>l,且尤+y-盯=g,則2x+y

的最小值是（）

A.272B.4C.4A/2D.5

2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）已知力>。，若。+抄=1,則

（）

A.a+b>—B.a+b<l

2

121

C.次?的最大值為丁D.—H7的最小值為8

4ab

3.（多選）（2023上?安徽合肥?高一合肥市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知。>0力>0,且3〃+b=3,則（）

A.必的最大值為=3B.1；1的最大值是；4

43ab3

1Q1

C.筋+記的最小值是8D.2+.+〃+b的最小值是2啦-3

4.（多選）（2023上?河南三門峽?高一校考階段練習(xí)）已知〃，匕為正實(shí)數(shù)，且。1）=1,

則（）

A."的最大值為4B.2a+Z?的最小值為3+2行

C.a+人的最小值為3-2近D.—的最小值為2

a-1Jb-1

i12

5.（2023上?重慶永川?高一重慶市永川中學(xué)校校考期末）已知。>大，且2〃-匕=1,貝1一-+——

22a-lb-1

的最小值是.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）當(dāng)尤>-1時(shí)，求函數(shù)y=上上々二的最小值.

X+1

高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題

典型例題

例題L（2024上?山東濱州?高一統(tǒng)考期末）已知x>0,y>0,且x+3y-孫=0,若x+3y>+機(jī)恒成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（-<?,-3]u[4,+oo）B.（-4,3）

C.（-3,4）D.（-8,T]U[3,+8）

例題2.（2024上?重慶?高一校聯(lián)考期末）當(dāng)x>0,>>0,且滿足2x+y-2個(gè)=0時(shí)，有2x+y>左z+4一8恒

成立，則％的取值范圍為（）

A.（-4,3）B.M,3]C.（-3,4）D.[-3,4]

22

例題3.（2024上?江西萍鄉(xiāng)■高一統(tǒng)考期末）已知awR,函數(shù)/1（無）=2/-依+/,g（x）=x-x+a-4.

⑴若a=4,求不等式/（摩2尤）>22的解集;

⑵求不等式/（%）<2〃的解集；

（3）Vxe[l,3],不等式〃x）〉g（x）恒成立,求°的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?陜西漢中?高一南鄭中學(xué)校聯(lián)考期末）"a=4"是"不等式。+＞）|^+'1]三9對(duì)于任意正實(shí)數(shù)

恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11,

2.（2024上?青海西寧?高三統(tǒng)考期末）對(duì)滿足x+y=l的任意正實(shí)數(shù)X、y,不等式一+—恒成立，

無y

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-oo,T）U（l,+oo）B.（-W,-1）U（4,-K?）C.（-1,4）D.（-4,1）

3.（2024上?上海青浦?高一統(tǒng)考期末）若對(duì)任意的xe[l,2],不等式f+%＞如一2恒成立，則實(shí)數(shù)小的取

值范圍是.

高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題

典型例題

例題1.（2024上?福建漳州?高一統(tǒng)考期末）北京時(shí)間2023年10月26日H時(shí)14分，搭載神舟十七號(hào)載

人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)尸遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準(zhǔn)發(fā)射，約10分鐘后，神州十七號(hào)載人飛船與

火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國載人航天工程立項(xiàng)實(shí)

施以來的第30次發(fā)射任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù).航天工程對(duì)人們的生活產(chǎn)生方方面面的

影響，有關(guān)部門對(duì)某航模專賣店的航模銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該專賣店每天銷售一款特價(jià)航模，在過去

的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的特價(jià)航模日銷售價(jià)格P（x）（元/個(gè)）與時(shí)間x（一個(gè)月內(nèi)的第尤天，下同）的

k

函數(shù)關(guān)系近似表示為P（x）=20+，"（常數(shù)左＞0）.該專賣店特價(jià)航模日銷售量Q（x）（百個(gè)）與時(shí)間x部

分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

X（天）271423

。（無）（百個(gè)）4567

已知一個(gè)月內(nèi)第7天該專賣店特價(jià)航模日銷售收入為350百元.

（1）給出以下三種函數(shù)模型：①。（x）=px+q,（2）g（x）=a（x-15）2+b,③。（x）=，加/x+2+〃.請(qǐng)你依據(jù)上

表中的數(shù)據(jù)，從以上三種函數(shù)模型中，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來表示該專賣店特價(jià)航模日銷

售量。（X）（百個(gè)）與時(shí)間X的關(guān)系，說明你的理由.

（2）借助你在（1）中選擇的模型，記該專賣店特價(jià)航模日銷售收入為“X）（百元），其中14XW30,無eN*,

預(yù)估該專賣店特價(jià)航模日銷售收入在一個(gè)月內(nèi)的第幾天最低？

例題2.（2024上?江西上饒,高一統(tǒng)考期末）隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以

及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).上饒市醫(yī)療器械公

司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.己知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大

2d+60%,0<x<40

產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)X臺(tái)，需另投入成本G（x）萬元，且G（無）=<20卜+陋_210040<X<100,由市場(chǎng)調(diào)

、無

研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

⑴寫出年利潤卬（元）萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；

（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大?最大利潤是多少？

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽亳州?高一統(tǒng)考期末）拉魯濕地國家級(jí)自然保護(hù)區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是

國內(nèi)最大的城市濕地自然保護(hù)區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地.其中央有一座涼亭，

涼亭的俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結(jié)構(gòu)，其中〃和G用Z為兩個(gè)相同的矩形，俯瞰圖白色部分

面積為20平方米.現(xiàn)計(jì)劃對(duì)下圖平面正方形染色，在四個(gè)角區(qū)域（即圖中陰影部分）用特等顏料，造價(jià)為

200元/平方米，中間部分即正方形區(qū)域使用一等顏料，造價(jià)為150元/平方米，在四個(gè)相同的矩形區(qū)

域即EAVM,GHPN,PQJI,MQKL用二等顏料，造價(jià)為100元/平方米.

⑴設(shè)總造價(jià)為W元，MN的邊長(zhǎng)為尤米，AB的邊長(zhǎng)為y米，試建立W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

⑵計(jì)劃至少要投入多少元，才能完成平面染色.

2.（2024上?云南昭通?高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為200萬元，

可變成本《X）萬元與年產(chǎn)量x（件）的關(guān)系為

12

—x+50x,0<x<60,

2

r（x）=2

'791/_2028尤+20881“

---------------------------,x>60.

Ix-9

每件產(chǎn)品的售價(jià)為90萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.

（1）將年盈利額L（萬元）表示為年產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；

（2）求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.

第四部分：典型易錯(cuò)題型

備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”

1*2—y-LA

1.（2024?全國二專題練習(xí)）已知函數(shù)>=------（x<1）,當(dāng)工=。時(shí)，y取