PAGE9-課時素養評價三十八用函數模型解決實際問題(15分鐘30分)1.一等腰三角形的周長為20,底邊y是關于腰長x的函數,它的解析式為 ()A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】選D.由y+2x=20得y=20-2x.又2x>2.一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車,當他離汽車25米時,交通燈由紅變綠,汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走A.人可在7秒內追上汽車B.人可在10秒內追上汽車C.人追不上汽車,其間距最少為5D.人追不上汽車,其間距最少為7【解析】選D.設汽車經過t秒行駛的路程為s米,則s=12t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,當t=6時3.今有一組試驗數據如表所示:t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則能體現這些數據關系的函數模型是 ()A.u=log2t B.u=2t-2C.u=t2-【解析】選C.可以先描出各點(如圖),并利用數據點直觀地相識變量間的關系,選擇合適的函數模型來刻畫它.由圖可知,圖象不是直線上的點,解除選項D;圖象不符合對數函數的圖象特征,解除選項A;當t=3時2t-2=23-2=6,t2-12=32-12=4,由題干中表格知當4.某廠有很多形態為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節流,現要從這些邊角料上截取矩形鐵皮(如圖中陰影部分)備用.當截取的矩形面積最大時,矩形的兩邊長x,y分別為.

【解析】由三角形相像,即24-y24-8=x20,得x=54故當y=12時,S有最大值,此時x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收費標準如下:用水量x/t每噸收費標準/元不超過2t部分m超過2t不超過4t部分3超過4t部分n已知某用戶1月份用水量為8t,繳納的水費為33元;2月份用水量為6t,繳納的水費為21元.設用戶每月繳納的水費為y元.(1)寫出y關于x的函數解析式;(2)若某用戶3月份用水量為3.5t,則該用戶需繳納的水費為多少元?(3)若某用戶希望4月份繳納的水費不超過24元,求該用戶最多可以用多少噸水.【解析】(1)由題設可得y=mx當x=8時,y=33;當x=6時,y=21,代入得2m+6+4所以y關于x的函數解析式為y=1(2)當x=3.5時,y=3×3.5-3=7.5.故該用戶3月份需繳納的水費為7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故該用戶最多可以用6.5t水.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共25分)1.某廠原來月產量為a,一月份增產10%,二月份比一月份減產10%,設二月份產量為b,則 ()A.a=b B.a>bC.a<b D.無法比較a,b的大小【解析】選B.因為b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a1-1100,所以b=a×992.用長度為24的材料圍成一個矩形場地,中間有兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為 ()A.3 B.4 C.6 【解析】選A.設隔墻長度為x,如圖所示,則與隔墻垂直的邊長為24-所以矩形面積S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以當x=3時,Smax=18.3.據調查,某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次,其中變速車存車費是每輛一次0.8元,一般車存車費是每輛一次0.5元,若一般車存車數為x輛次,存車費總收入為y元,則y關于x的函數關系式是 ()A.y=0.3x+800(0≤x≤2000)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000)【解析】選D.依題意存車費總收入:y=0.5x+0.8(2000-x)=-0.3x+1600.4.我國工農業總產值安排從2000年到2024年翻兩番,設平均每年增長率為x,則 ()A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4【解析】選D.翻兩番,即從1變成4,從2000年到2024年共經過20年,即(1+x)20=4.【誤區警示】翻番問題,要特殊留意翻一番是由1變為2,翻兩番是由1變為4.5.(2024·全國卷Ⅲ)Logistic模型是常用數學模型之一,可應用于流行病學領域.有學者依據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K為最大確診病例數.當I(t*)=0.95K時,A.60 B.63 C.66 D.69【解析】選C.因為I(t)=K1+所以I(t*)=K1+則e0.23(t*-53)解得t*≈30.23二、多選題(共5分,全部選對的得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)6.甲乙兩人在一次賽跑中,路程s與時間t的函數關系如圖所示,則下列說法正確的是 ()A.甲比乙先動身B.甲比乙跑得快C.甲、乙兩人的速度相同D.甲先到達終點【解析】選BD.由題圖可知兩人跑的路程相同,甲比乙跑的時間少,甲比乙跑得要快,比乙先到達終點.三、填空題(每小題5分,共10分)7.四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x改變的數據如表:x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關于x呈指數型函數改變的變量是.

【解析】以爆炸式增長的變量呈指數函數改變.從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2起先改變,且都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,畫出它們的圖象(圖略),可知變量y2關于x呈指數型函數改變.答案:y28.(2024·北京高考)李明自主創業,在網上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網上支付勝利后,李明會得到支付款的80%.(1)當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,須要支付元;

(2)在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為.

【解析】(1)顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,原價應為60+80=140(元),超過了120元可以實惠,所以當x=10時,顧客須要支付140-10=130(元).(2)由題意知,當x確定后,顧客可以得到的實惠金額是固定的,所以顧客支付的金額越少,實惠的比例越大.而顧客要想得到實惠,最少要一次購買2盒草莓,此時顧客支付的金額為(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值為15.答案:(1)130(2)15四、解答題(每小題10分,共20分)9.某公司推出了一種高效環保型洗滌用品,年初上市后,公司經驗了從虧損到盈利的過程,如圖的二次函數圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤S(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和S與t之間的關系).依據圖象供應的信息解答下列問題:(1)由已知圖象上的三點坐標,求累積利潤S(萬元)與時間t(月)之間的函數關系式;(2)求截至第幾月末公司累積利潤可達到30萬元;(3)求第八個月公司所獲得的利潤是多少萬元.【解析】(1)可設S與t的函數關系式為S=at2+bt+c.由題意,得a+b或a無論哪個均可解得a=12所以所求函數關系式為S=12t2(2)把S=30代入,得30=12t2解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10個月末公司累積利潤可達到30萬元.(3)把t=7代入,得S=12×72-2×7=212=10.5(把t=8代入,得S=12×82-2×8=16(萬元則第八個月獲得的利潤為16-10.5=5.5(萬元),所以第八個月公司所獲利潤為5.5萬元.10.某跨國飲料公司在對全世界全部人均GDP在0.5～8千美元的地區銷售該公司A飲料的狀況調查時發覺:該飲料在人均GDP處于中等的地區人均A飲料銷售量最多,然后向兩邊遞減.(1)下列幾個模擬函數中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,單位:千美元,y表示年人均A飲料的銷售量,單位:L).用哪個模擬函數來描述人均A飲料銷售量與地區的人均GDP關系更合適?說明理由;(2)若人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷售量為2L,人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷售量為5L,把(1)中你所選的模擬函數求出來,并求出各個地區中,【解析】(1)用①來模擬比較合適.因為該飲料在人均GDP處于中等的地區人均A飲料銷售量最多,然后向兩邊遞減.而②,③,④表示的函數在區間上是單調函數,所以②,③,④都不合適,故用①來模擬比較合適.(2)因為人均GDP為1千美元時,年人均A飲料的銷售量為2L;人均GDP為4千美元時,年人均A飲料的銷售量為5L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得2=a+b,5=16a+4b,解得a=-1因為y=-14x2+94x=-14x-922+811681161.把物體放在冷空氣中冷卻,假如物體原來的溫度是T1(℃),空氣的溫度是T0(℃),經過t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把溫度是90℃的物體,放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后,物體的溫度是50℃,那么t的值約等于(參考數據:ln3A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】選B.由題意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=12,即-0.25t=ln12=-ln2≈-0.693,解得t2.某校學生探討性學習小組發覺,學生上課的留意力指標隨著聽課時間的改變而改變,老師講課起先時,學生的愛好激增;接下來學生的愛好將保持較志向的狀態一段時間,隨后學生的留意力起先分散.設f(x)表示學生留意力指標,該小組發覺f(x)隨時間x(分鐘)的改變規律(f(x)越大,表明學生的留意力越集中)如下:f(x)=100ax10-60,0≤x(1)求a的值;(2)上課后第5分鐘時和下課前5分鐘時比較,哪個時間留意力更集中?并請說明理由;(3)在一節課中,學生的留意力指標至少達到140的時間能保持多長?【解析】(1)由題意得,當x=5時,