PAGEPAGE1考點11.3二項式定理考點梳理考點梳理1．二項式定理二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項綻開式的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項二項式系數二項綻開式中各項的系數Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)2.二項式系數的性質(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)(0≤m≤n)．(2)二項式系數先增后減中間項最大．當n為偶數時，第eq\f(n,2)＋1項的二項式系數最大，最大值為，當n為奇數時，第eq\f(n＋1,2)項和第eq\f(n＋3,2)項的二項式系數最大，最大值為或.(3)各二項式系數和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.概念方法微思索1．(a＋b)n與(b＋a)n的綻開式有何區分與聯系？提示(a＋b)n的綻開式與(b＋a)n的綻開式的項完全相同，但對應的項不相同而且兩個綻開式的通項不同．2．二項綻開式中二項式系數最大時該項的系數就最大嗎？提示不肯定最大，當二項式中a，b的系數為1時，此時二項式系數等于項的系數，否則不肯定．真題演練真題演練1．（2024?北京）在的綻開式中，的系數為（）A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】的綻開式中，通項公式為，令，求得，可得的系數為，故選C．2．（2024?新課標Ⅰ）的綻開式中的系數為（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】因為；要求綻開式中的系數即為求綻開式中的系數；綻開式含的項為：；故的綻開式中的系數為15；故選C．3．（2024?全國）的綻開式中的系數是（）A．120 B．60 C．30 D．15【答案】B【解析】由二項式的綻開式的通項為，令，解得，則的綻開式中的系數是，故選B．4．（2024?新課標Ⅲ）的綻開式中的系數為（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】的綻開式中的系數為：．故選A．5．（2024?新課標Ⅲ）的綻開式中的系數為（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【解析】由二項式定理得的綻開式的通項為：，由，解得，的綻開式中的系數為．故選C．6．（2024?新課標Ⅰ）綻開式中的系數為（）A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】綻開式中：若供應常數項1，則供應含有的項，可得綻開式中的系數：若供應項，則供應含有的項，可得綻開式中的系數：由通項公式可得．可知時，可得綻開式中的系數為．可知時，可得綻開式中的系數為．綻開式中的系數為：．故選C．7．（2024?新課標Ⅲ）的綻開式中的系數為（）A． B． C．40 D．80【答案】C【解析】的綻開式的通項公式：．令，，解得．令，，解得．的綻開式中的系數．故選C．8．（2024?浙江）二項綻開式，則__________，__________．【答案】80；122【解析】，則．．故答案為：80；122．9．（2024?上海）已知二項式，則綻開式中的系數為__________．【答案】10【解析】，所以綻開式中的系數為10．故答案為：10．10．（2024?新課標Ⅲ）的綻開式中常數項是__________（用數字作答）．【答案】240【解析】由于的綻開式的通項公式為，令，求得，故常數項的值等于，故答案為：240．11．（2024?天津）在的綻開式中，的系數是__________．【答案】10【解析】的綻開式的通項公式為，令，得，的系數是，故答案為10．12．（2024?上海）已知二項式，則綻開式中含項的系數為__________．【答案】40【解析】二項式的綻開式的通項公式為，令，求得，可得綻開式中含項的系數值為，故答案為：40．13．（2024?天津）的綻開式中的常數項為__________．【答案】28【解析】由題意，可知：此二項式的綻開式的通項為：．當，即時，為常數項．此時．故答案為：28．14．（2024?浙江）在二項式綻開式中，常數項是，系數為有理數的項的個數是__________．【答案】，5【解析】二項式的綻開式的通項為．由，得常數項是；當，3，5，7，9時，系數為有理數，系數為有理數的項的個數是5個．故答案為：，5．15．（2024?上海）在的綻開式中，常數項等于__________．【答案】15【解析】綻開式的通項為令得，故綻開式的常數項為第3項：．故答案為：15．16．（2024?全國）多項式中的系數為__________．（用數字填寫答案）【答案】9【解析】多項式中的系數，即為和中的系數之和，為，故答案為：9．17．（2024?天津）在的綻開式中，的系數為__________．【答案】【解析】的二項綻開式的通項為．由，得．的系數為．故答案為：．18．（2024?浙江）二項式的綻開式的常數項是__________．【答案】7【解析】由．令，得．二項式的綻開式的常數項是．故答案為：7．19．（2024?上海）設，若的二項綻開式中的常數項相等，則__________．【答案】4【解析】的綻開式的通項為，由，得．的綻開式中的常數項為．的綻開式的通項為，由，得．的綻開式的常數項為．由，得．故答案為：4．20．（2024?上海）在的二項綻開式中，項的系數為__________（結果用數值表示）．【答案】21【解析】二項式綻開式的通項公式為，令，得綻開式中的系數為．故答案為：21．21．（2024?全國）的綻開式中的系數是__________．（用數字填寫答案）【答案】【解析】的綻開式中的通項公式為，令，求得，可得的系數是，故答案為：．22．（2024?浙江）已知多項式，則__________，__________．【答案】16；4【解析】多項式，中，的系數是：3，常數是1；中的系數是4，常數是4，；．故答案為：16；4．23．（2024?山東）已知的綻開式中含有的系數是54，則__________．【答案】4【解析】的綻開式中通項公式：．含有的系數是54，．，可得，，．解得．故答案為：4．24．（2024?上海）若的二項綻開式的各項系數之和為729，則該綻開式中常數項的值為__________．【答案】160【解析】令，由題意可得：，解得．綻開式的通項公式為：，令，解得，其綻開式中常數項，故答案為：160．25．（2024?江蘇）設，，．已知．（1）求的值；（2）設，其中，，求的值．【解析】（1）由，，可得，，，，可得，解得；（2）方法一、，由于，，可得，，可得；方法二、，，由于，，可得，可得．強化訓練強化訓練1．（2024?內江三模）在的綻開式中，的系數為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為綻開式通項為：，由題意，要求綻開式中含的系數，只需求出的系數，令，得，故即為所求．故選．2．（2024?天津二模）已知的綻開式中常數項為112，則實數的值為A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】通項公式為，令，解得，所以常數項為，解得．故選．3．（2024?衡水模擬）的綻開式中的常數項為A．40 B． C．120 D．140【答案】B【解析】的綻開式的通項公式為，，則的綻開式中的常數項為，故選．4．（2024?安徽模擬）綻開式中的系數為A．20 B． C．44 D．40【答案】B【解析】中的4次方，3次方的系數分別為：和；而綻開式中的3次方，2次方的系數分別為：和；綻開式中的系數為：；故選．5．（2024?運城模擬）的綻開式中，的系數是A．32 B．40 C． D．【答案】B【解析】綻開式的通項公式是；則的系數是．故選．6．（2024?靖遠縣四模）綻開式中的系數為A．40 B．80 C． D．【答案】A【解析】依據題意，綻開式的通項為，當時，，此時的綻開式中含的項為，當時，，此時的綻開式中含的項為，則的綻開式中含的項為，故綻開式中的系數為40；故選．7．（2024?黃州區校級模擬）若，則的值是A． B． C．126 D．【答案】C【解析】令，得．又，所以．故選．8．（2024?鼓樓區校級模擬）設，1，2，，是常數，對于，都有，則！！！！A．2024 B．2024 C．2024！ D．2024！【答案】A【解析】代入，得，，而，，代入得！！！，！！！！，故選．9．（2024?吉林模擬）已知不等式且的解集為，則二項式的綻開式中系數最大項的系數為A．16 B．80 C．240 D．480【答案】C【解析】由題意，當時，由，可得，當時，由，可得，所以．故，，，系數為正，故綻開式中系數最大項的系數為．故選．10．（2024?包河區校級模擬）的綻開式中的系數為A． B． C．32 D．352【答案】B【解析】，綻開式的第項為，，當時，即時，綻開式中的系數為，當時，即時，綻開式中的系數為，所以的綻開式中的系數為，故選．11．（2024?黃州區校級二模）已知綻開式的中間項系數為20，則由曲線和圍成的封閉圖形的面積為A． B． C．1 D．【答案】A【解析】因為綻開式的中間項系數為20，所以，解得，所以．即曲線和圍成的封閉圖形的面積為，故選．12．（2024?桃城區校級模擬）在的綻開式中，含項的系數等于A．98 B．42 C． D．【答案】D【解析】的通項公式為，令得；令得；依據二項式定理，含項的系數等于．故選．13．（2024?雨花區校級模擬）若直線與垂直，則二項式的綻開式中的系數為A． B． C．2 D．【答案】B【解析】由題意，可得，則，的綻開式的通項公式，令可得，故的系數為，故選．14．（2024?榆林四模）的綻開式中的常數項為A．240 B．480 C．448 D．228【答案】A【解析】通項公式，令，解得．常數項．故選．15．（2024?讓胡路區校級三模）已知，則A．21 B．42 C． D．【答案】C【解析】因為，即為綻開式中的系數，所以，故選．16．（2024?遼寧三模）在綻開式中，含的項的系數是A． B． C．15 D．51【答案】A【解析】，故綻開式中含的系數為，故選．17．（2024?貴港四模）已知二項式綻開式中系數最大的只有第5項，則項的系數為A．28 B．36 C．56 D．84【答案】A【解析】二項式綻開式中系數最大的只有第5項，．通項公式．則項的系數為28．故選．18．（2024?龍鳳區校級模擬）二項式的綻開式中的系數為A． B． C． D．【答案】B【解析】二項式的綻開式的通項公式為，令，解得，故二項式的綻開式中的系數為為，故選．19．（2024?運城三模）綻開式中項的系數為A． B． C．15 D．5【答案】B【解析】綻開式中項的系數：；綻開式中項的系數：；故綻開式中項的系數為，故選．20．（2024?市中區校級模擬）在二項式的綻開式中，各項系數的和為128，把綻開式中各項重新排列，則有理項都互不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】二項式的綻開式中，令，可得各項系數的和為，，綻開式的通項公式為，可知，當，2，4，6時，為有理項，即綻開式中有4項有理項，有4項為無理項，把綻開式中各項重新排列，則有理項都互不相鄰的方法有中，而全部的排法有種，故有理項都互不相鄰的概率為，故選．21．（2024?四川模擬）若綻開式的常數項為160，則A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】二項式的綻開式的通項公式為，令，可得；故二項式綻開式的常數項為，解得．故選．22．（2024?寧波模擬）若綻開式的各項二項式系數和為512，則綻開式中的常數項A．84 B． C．56 D．【答案】A【解析】綻開式中全部二項式系數和為512，即，則，；令，則，所以該綻開式中的常數項為84．故選．23．（2024?桃城區校級模擬）已知的綻開式中各項系數的和為256，則該綻開式中的系數為A．26 B．32 C．38 D．44【答案】C【解析】令，可得的綻開式中各項系數的和為，，則的綻開式中的系數為，故選．24．（2024?江西模擬）已知的綻開式的第4項與第8項的二項式系數相等，則綻開式中的系數為A．80 B．40 C． D．【答案】A【解析】的綻開式的第4項與第8項的二項式系數相等，所以，由題意可得，解得，則的綻開式中的系數為．故選．25．（2024?三模擬）的綻開式中的系數等于A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】，其中的綻開式中含的項是，的綻開式中沒有含的項，的綻開式中的系數等于：．故選．26．（2024?西安二模）的綻開式中常數項為A．60 B． C． D．192【答案】A【解析】二項式的綻開式的通項公式為：，令，求得，故常數項為：，故選．27．（2024?綿陽模擬）我們把數列（其中，，與叫做“互為隔項相消數列”，明顯．已知數列的通項公式為，其中表示不超過實數的最大整數，則除以4的余數為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由二項式定理