基本初等函數的導數6.1.4求導法則及其應用課程標準學習目標（1）理解導函數的概念，并能進行簡單的應用；（2）掌握基本初等函數的導數公式，并能進行簡單的應用（3）能利用導數的四則運算法則，求含有和、差、積、商綜合運算的函數的導數；（4）進一步理解導數的運算與幾何意義的綜合應用；（5）能求簡單的復數運算。（1）通過導函數的概念的理解及簡單應用，達成數學抽象、邏輯推理的核心素養；（2）通過基本初等函數的導數公式的簡單應用，增強數學運算的核心素養；（3）通過運用導數四則運算法則求解簡單的導數問題，培養數學運算的核心素養；（4）在運用復合運算公式解題過程中提升數學抽象與數學運算的核心素養。知識點01基本初等函數的導函數1、導函數：一般地，如果函數在某定義內的每一個點都可導，則稱可導。此時，對定義域內的每一個值，都對應一個確定的導數。于是，在的定義域內，是一個函數，這個函數通常稱為的導函數，記作（或，），即2、幾個常用函數的導數原函數導函數其中為常數3、基本初等函數的導數公式函數導函數函數導函數(c是常數)(為實數)特別地特別地【即學即練1】（2324高二上·浙江舟山·期末）下列求導結果正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，A正確；，B錯誤；，C錯誤；，D錯誤.故選：A知識點02導數的運算法則1、導數的四則運算法則（1）加減法：（2）乘法：（3）除法：2、公式推廣與結構特征（1）公式推廣：函數和、差的導數可以推廣到個函數設，，…，在處可導，則（2）結構特征：乘法公式中間用“加號”，前導后不導＋前不導后導；除法公式分母平方，分子用“減號”。【即學即練2】（2324高二下·河南·開學考試）（多選）下列求導數運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，由指數函數求導公式可得，故B正確；對于，故C正確；對于，故D正確.故選：BCD.知識點03復合函數的導數1、復合函數的概念一般地，對于兩個函數和，如果通過中間變量，可以表示成的函數，那么稱這個函數為和的復合函數，記作.2、復合函數的求導法則一般地，復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.規律：從內到外層層求導，乘法連接。【即學即練3】（2223高二下·河北滄州·階段練習）（多選）下列求導不正確的是（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】，選項A正確；，選項B正確；選項C錯誤；選項D錯誤；故選：CD.【題型一：基本初等函數的導數】例1．（2324高二上·重慶長壽·期末）下列導數公式不正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據基本初等函數的導數公式可知，ABD正確；C錯誤，應為.故選：C.變式11．（2324高二上·全國·課時練習）下列運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，因為，所以A錯誤；對于B，因為，所以B錯誤；對于C，因為，所以C錯誤；對于D，因為，所以D正確．故選：D.變式12．（2324高三上·河北邯鄲·階段練習）下列求導運算中正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D變式13．（2324高二上·海南海口·期末）下列式子錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A：，故正確；對于B：，故錯誤；對于C：，故正確；對于D：，故正確，故選：B．【方法技巧與總結】應用求導公式應注意的問題：求函數的導數，一般不再用定義，而主要應用倒數公式，這就要求必須熟記常見的求導公式，應用公式時一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則。在實施化簡時，首先要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤。【題型二：利用四則運算求導數】例2．（2324高二上·浙江紹興·期末）已知函數的導函數為，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數，可得，因為，可得，所以，解得.故選：C.變式21．（2324高二上·陜西寶雞·期末）（多選）下列求導運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】由題意，，，.故選：AD.變式22．（2324高二下·重慶·階段練習）求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3）．變式23．（2324高三上·河南周口·階段練習）求下列函數的導數．（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由可得（2）由可得（3）由得（4）由得【方法技巧與總結】利用運算法則求導數的方法：對一個函數求導時，要緊扣導數運算法則，聯系基本初等函數的導數公式。在不宜直接應用導數公式時，應先對函數進行化簡（恒等變形），然后求導。這樣可以減少運算量，優化解題過程。【題型三：求復合函數的導數】例3．（2324高二上·河南周口·期末）已知，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，則，.故選：C．變式31．（2223高二下·全國·課時練習）函數的導數是（）A．cosxB．－cosxC．－sinxD．sinx【答案】C【解析】故選：C變式32．（2324高二上·山西長治·期末）（多選）下列導數運算正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】選項A，，故A正確；選項B，，故B錯誤；選項C，，故C正確；選項D，，故D錯誤.故選：AC.變式33．（2223高二·全國·隨堂練習）求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【方法技巧與總結】1、求復合函數的導數的步驟第一步分層：選擇中間變量，寫出構成它的內、外層函數；第二步分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數；第三步相乘：把上述求導的結果相乘；第四步變量回代：把中間變量代回。2、求復合函數的導數注意以下幾點：（1）分解的函數通常為基本初等函數；（2）求導時分清是對哪個變量求導；（3）計算結果盡量簡潔。【題型四：求某點處的導數值】例4．（2324高二上·廣東深圳·期末）在處的導數（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由，得，所以.故選：B.變式41．（2324高三上·安徽合肥·階段練習）已知函數，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，即，則，，故選：D.變式42．（2324高二上·河南開封·期末）已知函數的導函數為，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，令，則，．故選：C變式43．（2324高二上·河北滄州·階段練習）已知函數，則（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】對求導可得，所以，所以，故選：C【方法技巧與總結】求函數在的導數可以先求出導函數，再將代入從而得到。注意，當函數中含有時，需將其看作常數進行求導。【題型五：“在”某點的切線問題】例5．（2324高二上·云南曲靖·期末）曲線在點處的切線的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所以曲線在點處的切線的斜率為，所以曲線在點處的切線的方程是，即.故選：A.變式51．（2324高二上·山西大同·期末）曲線在處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題得，切點坐標為，，所以函數在切點處的切線斜率，切線方程為，化簡得．故選：A．變式52．（2324高二上·浙江寧波·期末）已知曲線在點處的切線方程為，則（）A．1B．0C．D．【答案】D【解析】,則，又，所以，故，故選：D變式53．（2324高二下·上海·階段練習）已知、為實數，函數在處的切線方程為，則的值.【答案】21【解析】由，得，則，又，則切線方程為，即，得，【方法技巧與總結】求曲線“在”與“過”某點的切線（1）求曲線“在”某點處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點處切線的斜率第二步（寫方程）：用點斜式第三步（變形式）：將點斜式變成一般式。【題型六：“過”某點的切線問題】例6．（2223高二下·北京大興·期中）已知過點的直線與曲線的相切于點，則切點坐標為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設切點坐標為，由，得，則過切點的切線方程為，把點代入切線方程得，，即，又，所以，則，則切點坐標為.故選：A變式61．（2223高二下·重慶渝北·階段練習）已知函數，過點作該函數曲線的切線，則該切線方程為（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】函數，求導得：，設切點坐標為，于是，解得，則，所以所求切線方程為，即.故選：D變式62．（2023高三·江蘇·二模）過點作曲線的切線，寫出一條切線的方程．【答案】（答案不唯一）【解析】，，設切點坐標為，則切線斜率為，得方程，代入點，得，即，解得或，當時，切線方程為；當時，切線方程為.變式63．（2024高二·全國·專題練習）已知直線為曲線在過點的切線.則直線的方程為.【答案】或【解析】∵，∴.

設直線與曲線相切于點，則直線的斜率為，∴過點的切線方程為，即，又點在切線上，∴，整理得，∴，解得或；∴所求的切線方程為或.【方法技巧與總結】求曲線“過”某點處的切線方程步驟第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據直線的點斜式方程，得切線方程為．【題型七：切線的平行垂直問題】例7．（2024·廣東茂名·一模）曲線在點處的切線與直線平行，則（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】因為曲線在點處的切線與直線平行，故曲線在點處的切線的斜率為2，因為，所以，所以，故選：C.變式71．（2324高三上·內蒙古赤峰·期中）已知，曲線在點處的切線與直線平行，則直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，其中，則，直線的斜率為，由，可得，且，即點，所以，直線的方程為，即.故選：B.變式72．（2324高三上·安徽馬鞍山·階段練習）若曲線在點處的切線與直線垂直，則.【答案】【解析】對函數求導得，則，因為直線的斜率為，且曲線在點處的切線與直線垂直，則，可得，解得.變式73．（2324高三上·重慶·階段練習）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，切線和垂直，切線斜率顯然存在，設為，根據直線垂直的斜率關系可得，，那么切線斜率，由導數的幾何意義：，而，，解得.故選：D【方法技巧與總結】結合平行垂直的斜率關系解決與切線平行、垂直的問題。【題型八：切線的條數問題】例8．（2223高二下·四川資陽·期末）過坐標原點可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，設切點為，則，切線斜率,切線方程為，∵切線過原點，∴，整理得：,∵切線有兩條，∴，解得或，∴的取值范圍是,故選：D變式81．（2023·全國·模擬預測）若曲線有3條過坐標原點的切線，則實數a的取值范圍為.【答案】【解析】由題意得，設過坐標原點的直線與曲線相切于點，則，且切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過坐標原點，因此，整理得，設，則“曲線有3條過坐標原點的切線”等價于“函數有3個不同的零點”，，當x變化時，與的變化情況如下表：x01＋0－0＋當時，，當時，，所以，解得.變式82．（2024高二下·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為.【答案】【解析】令，則有，設過點作曲線的切線，切點為，根據題意有，即，又，可得，因為，所以上式可化為，整理有：，因為過點可以作曲線的兩條切線，所以方程有兩解，所以，即，解得或.變式83．（2324高二上·廣東深圳·期末）若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是.【答案】【解析】由得，設切點坐標為，則切線斜率，切線方程為，又因為切線過，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數解，所以，解得或，所以的取值范圍是.【方法技巧與總結】已知，過點，可作曲線的（）條切線問題第一步：設切點第二步：計算切線斜率；第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關于的方程就有幾個實數解；【題型九：兩曲線的公切線問題】例9．（2223高二下·福建廈門·期末）直線與兩條曲線和均相切，則的斜率為（）A．B．1C．2D．【答案】B【解析】由，可得；由，可得，設兩個切點分別為和，直線l的斜率，故，由，所以，即直線l的斜率為1.故選：B變式91．（2223高二上·安徽·期中）拋物線與的兩條公切線（同時與兩條曲線相切的直線叫做兩曲線的公切線）的交點坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設直線與拋物線相切的切點為，與拋物線相切的切點為，由求導得：，由求導得：，則拋物線在點處切線為，即，拋物線在點處切線為，即，依題意，，解得，因此兩條公切線方程分別為，，由，解得，所以兩條公切線的交點坐標為.故選：C變式92．（2023·廣東佛山·一模）已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則.【答案】【解析】易知：必有.設兩曲線的交點為，，，由題意：，兩式相除得：，∵，∴.代入得：解得a=e2.變式93．（2223高二下·陜西咸陽·階段練習）已知直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點是，則的值為．【答案】1【解析】設直線與曲線相切于，又，所以直線的斜率為，則處的切線方程為，即；直線與曲線相切于，，可得切線方程為，即，因為直線與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，則且，則，即可得，解得.【方法技巧與總結】求公切線方程已知其中一曲線上的切點，利用導數幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；若不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程。具體做法為：設公切線在上的切點，在上的切點，則【題型十：利用切線求距離最值】例10．（2324高二上·北京·階段練習）拋物線上的一動點到直線:距離的最小值為【答案】【解析】因為，所以，令，得，所以與直線平行且與拋物線相切的切點，切線方程為，即，由兩平行線間的距離公式可得所求的最小距離.變式101．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）曲線上一點到直線的最短距離為．【答案】【解析】直線的斜率為，令，當時，，所以曲線在點處的切線方程為，即，與的距離為.所以曲線上一點到直線的最短距離為.變式102．（2324高二上·陜西西安·期末）已知分別是曲線和上的點，其中是自然對數的底數，則的最小值為．【答案】【解析】由得，即，所以函數的反函數是，因此它們的圖象關于直線對稱，取得最小值時，兩點一定關于直線對稱，由得，令，則，此時，因此曲線上斜率為1的切線的切點坐標為，它到直線的距離為，由對稱性知的最小值是．變式103．（2324高三上·安徽合肥·期中）點分別是函數圖象上的動點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當函數在點處的切線與平行時，最小.，令得或（舍），所以切點為，所以的最小值為切點到直線的距離，所以的最小值為.故選：D.【方法技巧與總結】利用平行線間距離最短的原理，找尋與已知直線平行的曲線的切線。一、單選題1．（2324高二上·浙江寧波·期中）函數在處的導數是（）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】由，得，所以函數在處的導數是，故選：A2．（2324高二上·浙江溫州·期末）已知函數滿足，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得，，則，所以，.故選：A.3．（2223高二下·陜西咸陽·階段練習）已知,是的導函數，即，…，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，則，，，，故是以4為周期的函數，故選：A4．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數，則在處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，因為為奇函數，所以對恒成立，所以，代入函數表達式得，所以，則，所以在處的切線方程為，即.故選：A5．（2223高二下·湖南岳陽·期末）已知函數在處的切線與直線垂直，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數，求導得：，因為在處的切線與直線垂直，所以在處的切線斜率為，解得.故選：D.6．（2324高二上·江蘇鎮江·期末）已知直線與曲線相切，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設切點為，由得，因為直線與曲線相切，所以，解得，，所以，又在直線上，所以，解得.故選：B.7．（2324高二上·山東濱州·期末）若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函數，可得，令，可得，因為，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點坐標為，由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故選：B.8．（2324高二上·寧夏·期末）已知過點作曲線的切線有且僅有兩條，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設切點為，，，則切線方程為：，切線過點代入得：，即，即方程有兩個解，則有，解得或．故選：A二、多選題9．（2324高二下·山東菏澤·開學考試）下列運算不正確的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】A：因為，所以本選項不正確；B：因為，所以本選項不正確；C：因為，所以本選項正確；D：因為，所以本選項不正確，故選：ABD10．（2223高二下·遼寧沈陽·階段練習）下列四條曲線中，直線與其相切的有（）A．曲線B．曲線C．曲線D．曲線【答案】ABD【解析】直線的斜率為，A中，若，則由，得，，因為點在直線上，所以直線與曲線相切．B中，若，則由，得，，因為點在直線上，所以直線與曲線相切．C中，若，則由，得，，，因為，都不在直線上，所以直線與曲線不相切．D中，若，則由，得，，，其中在直線上，所以直線與曲線相切．故選：ABD11．（2324高二上·山西運城·期末）若直線是曲線與曲線的公切線，則（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.故選：BD.三、填空題12．（