《第十二章全等三角形》單元核心考點歸納1．如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AB的兩側，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.(1)求證：△ACE≌△BDF.(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的長．1全等三角形的判定與性質∴△ACE≌△BDF(AAS)．(2)由(1)知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2.∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4.2．如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，∠1＝∠B，點E，F分別在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，連接EF.(1)求證：∠D＝∠2.(2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度數．∴△BEF≌△CDA(SAS)，∴∠D＝∠2.(2)∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°.∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠2＝78°.3．如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BD＝CD，BE＝CF.(1)求證：AD平分∠BAC.(2)請猜想AB＋AC與AE之間的數量關系，并證明．2角平分線的性質與判定解：(1)證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.(2)AB＋AC＝2AE.證明如下：∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∴AB＋AC＝AB＋AF＋CF＝AB＋AE＋BE＝2AE.4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分別為△ABC的角平分線，連接DE.(1)求證：點E到DA，DC的距離相等．(2)求∠DEB的度數．解：(1)證明：如圖，過點E作EH⊥AB于點H，EF⊥BC于點F，EG⊥AD于點G.∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°.∵∠CAH＝180°－120°＝60°，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG.∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF，∴EF＝EG，∴點E到DA，DC的距離相等．(2)由(1)知，DE平分∠ADC.∵∠EDC＝∠DEB＋∠DBE，核心方法技巧1作垂線法5．如圖，BD是△ABC的一條角平分線，AB＝10，BC＝8，且S△ABD＝25，求△BCD的面積．3幾種輔助線作法解：如圖，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N.∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN.核心方法技巧2截長補短法6．如圖，AD∥BC，點E是邊CD上一點，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求證：AB＝AD＋BC.證明：如圖，延長AD至點F，使AF＝AB，連接EF.先證△AEF≌△AEB(SAS)，再證△EDF≌△ECB(AAS)，DF＝BC即可．7．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，且AD，CE交于點O.(1)∠AOC的度數是____________.(2)求證：AC＝AE＋CD.120°解：(1)120°.(2)證明：在AC上截AF＝AE.證△AOE≌△AOF(SAS)，證∠AOE＝60°＝∠AOF＝∠COF＝∠COD，再證△COF≌△COD(ASA)即可．核心方法技巧3倍長線段法8．如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點M為BC的中點．求證：DE＝2AM.解：延長AM至點N，使MN＝AM，連接BN.∵點M為BC的中點，∴CM＝BM.在△AMC和△NMB中，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD＋∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.在△EAD和△ABN中，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE＝AN＝2MN.《第十二章全等三角形》單元檢測(一)(測試范圍：12.1～12.2時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，滿分30分)1．下列說法中正確的是(

)A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形

B．兩個長方形是全等圖形C．兩個全等圖形的形狀一定相同D．兩個正方形一定是全等圖形2．若△ABC≌△DEF，∠A＝36°，∠E＝40°，則∠C的大小為(

)A．104° B．76°C．40° D．36°CA3．如圖，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判斷△ABC≌△DCB的方法是(

)A．SAS B．AASC．SSS D．ASAA4．小華家梳妝臺上的一塊三角形玻璃不小心碎成了如圖所示的四塊，需要去玻璃裝飾品店再購買一塊與原來大小和形狀完全相同的玻璃，最省事的辦法是攜帶哪兩塊玻璃去玻璃裝飾品店讓商家再裁出一塊(

)A．(1)和(3) B．(3)和(4)C．(1)和(4) D．(1)和(2)D5．教材P45T12改編如圖，在△ABC中，點D是邊AB上一點，DF交AC于點E，DE＝FE，FC∥AB.若AB＝4，CF＝3，則BD的長是(

)A．0.5 B．1C．1.5 D．2B6．如圖，將等腰直三角形△AOB放在平面直角坐標系中，點O是原點，點A的坐標為(1,2)，則點B的坐標為(

)A．(－2,1) B．(－1,2)C．(2,1) D．(－2，－1)A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．如圖，BC∥EF，∠C＝∠F，添加一個條件____________________________，使得△ABC≌△DEF.AB＝DE(答案不唯一)8．新情境如圖，小明與小紅玩蹺蹺板游戲，蹺蹺板的支點O(蹺蹺板的中點)至地面的距離是50cm.當小紅從水平位置CD下降30cm時，這時小明離地面的高度是________cm.809．如圖，AD，BC相交于點O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.若∠ABC＝35°，則∠CAO的度數是__________.20°10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(2,1)，B(4,1)，C(1,3)，△ABC與△ABD全等，則點D的坐標為________________________________.(1，－1)或(5,3)或(5，－1)三、解答題(本大題共4小題，滿分50分)11．(本題12分)如圖，BD是∠ABC的平分線，在BC上截取BE＝BA.若∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度數.解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.又∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠BED＝100°，∴∠DEC＝80°，∴∠ADE＝∠C＋∠DEC＝110°，∴∠BDE＝55°.12．核心素養·應用意識(本題12分)小明利用一根3m長的竿子來測量路燈的高度．他的方法是這樣的：在路燈前選一點P，使BP＝3m，并測得∠APB＝70°，然后把豎直的竿子CD(CD＝3m)在BP的延長線上移動，使∠DPC＝20°，此時量得BD＝11.2m．根據這些數據，小明計算出了路燈的高度．你知道小明計算的路燈的高度是多少？為什么？解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝70°.在△CPD和△PAB中，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝11.2m，PB＝3m，∴AB＝11.2－3＝8.2(m)．答：路燈的高度AB是8.2m.13．

(本題12分)如圖，AC與BD相交于點O，AD＝CB，點E，F是BD上兩點，且AE＝CF，DE＝BF.求證：(1)∠D＝∠B.(2)AE∥CF.證明：(1)在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SSS)，∴∠D＝∠B.(2)∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB.∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF.14．(本題14分)長方形具有四個內角均為直角，并且兩組對邊分別相等的特征．如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF.(1)如果∠DEF＝110°，求∠BAF的度數．(2)判斷△ABF和△AGE是否全等？請說明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠CFE＝180°－∠DEF＝70°，由折疊可得，∠AFE＝∠CFE＝70°，∴∠AFB＝180°－∠AFE－∠CFE＝40°.∵∠B＝90°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝50°.(2)△ABF≌△AGE.理由如下：由折疊可得，AG＝CD，∠G＝∠D＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵∠BAE＝90°，∠FAG＝90°，∴∠BAE＝∠GAF，∴∠BAE－∠FAE＝∠FAG－∠FAE，∴∠BAF＝∠GAE.∴△ABF≌△AGE(ASA)．《第十二章全等三角形》單元檢測(二)(測試范圍：12.3時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1．觀察圖中尺規作圖痕跡，下列說法中錯誤的是(

)A．OE是∠AOB的平分線B．OC＝ODC．點C，D到OE的距離不相等D．∠AOE＝∠BOEC2．如圖，OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于點D，PD＝5，則點P到OB的距離是(

)A．1 B．2.5C．4 D．5D3．在正方形網格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應是(

)A．點M B．點N

C．點P D．點QA4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AB于點E，測得BC＝9，BE＝3，則△BDE的周長是(

)A．15 B．12C．9 D．6BA．3∶4 B．4∶5C．3∶5 D．無法確定C6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，過點C作CG⊥AB于點G，交AD于點E，過點D作DF⊥AB于點F，下列結論中錯誤的是(

)A．∠CED＝∠CDE

B．S△AEC∶S△AEG＝AC∶AGC．∠ADF＝2∠FDB

D．CE＝DFC二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若BC＝7，DE＝3，則BD的長為______.48．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于點E，BF交AC于點F，過點O作OD⊥BC于點D，若AB＝8，OD＝1，則△AOB的面積為______.49．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝14，則DE的長是______.210．如圖，在△ACE中，∠AEC＝90°，點D，B分別在邊CE，AE上，DF⊥AC于點F，BD＝CD，BE＝CF.(1)若∠C＝60°，則∠BAD＝__________.(2)已知AC＝10，BE＝2，則AB的長是______.15°6三、解答題(本大題共5小題，滿分56分)11．(本題10分)如圖，F是∠MON內一點，過點F作FA⊥OM于點A，FB⊥ON于點B，連接AB，若∠FAB＝∠FBA.求證：OF平分∠MON.證明：∵∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB.∵FA⊥OM，FB⊥ON，∴點F在∠MON的平分線上，∴OF平分∠MON.12．(本題10分)如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點E，F分別在邊AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF.求證：CB＝CD.證明：如圖，連接AC.在△AEC與△AFC中，∴△AEC≌△AFC(SSS)，∴∠CAE＝∠CAF，即CA平分∠BAD.又∵∠B＝∠D＝90°，即CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB＝CD.13．(本題10分)如圖，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB.將一直角三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E，F.求證：PE＝PF.證明：如圖，過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為點M，N，則∠PME＝∠PNF＝90°.∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN.∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°.∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN.易證△PEM≌△PFN(ASA)，∴PE＝PF.14．(本題12分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，點F在邊AC上，且BD＝FD.求證：AE－BE＝AF.證明：∵AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，∠C＝90°，∴DC＝DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE.同理可得Rt△FCD≌Rt△BED，∴FC＝BE，∴AE－BE＝AC－FC＝AF.15．(本題14分)如圖，點A，B分別在y軸、x軸的正半軸上，AC平分∠OAB交x軸于點C，∠ADC＋∠ABO＝180°.(1)求證：CD＝CB.(2)若點D的坐標為(0,2)，求AB－AD的值．解：(1)證明：如圖，過點C作CE⊥AB于點E.證△OCD≌△ECB(AAS)，∴CD＝CB.(2)∵△OCD≌△ECB，∴OD＝BE.∵AC是∠OAB的平分線，CE⊥AB，CO⊥AO，∴△AOC≌△AEC(AAS)，∴AO＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AO＋EB＝AD＋OD＋BE＝AD＋2OD，∴AB－AD＝2OD＝4.《第十二章全等三角形》綜合檢測一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．下列各組中的兩個圖形屬于全等形的是(

)C2．如圖，△ABC≌△DEF，則∠F的度數是(

)A．75°

B．60°

C．45°

D．無法確定A3．如圖，BC＝BE，CD＝ED，則△BCD≌△BED，其依據是(

)A．SSS B．AASC．SAS D．ASAA4．如圖，點E在△ABC的外部，點D在邊BC上，DE交邊AC于點F.若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，AE＝AC，則(

)A．△ABC≌△AFE

B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC

D．△ABC≌△ADED5．如圖，已知DB⊥AE于點B，DC⊥AF于點C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，則∠DGF的度數是(

)A．130° B．150°C．100° D．140°B6．如圖，AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F，且AE＝CF，則下列結論中錯誤的是(

)A．Rt△AEB≌Rt△CFD

B．BE＝DF

C．∠ABE＝∠CDF

D．BE＝CDD7．如圖，直線EF經過AC的中點O，交AB于點E，交CD于點F.下列條件中不能使△AOE≌△COF的是(

)A．∠A＝∠C

B．AB∥CD

C．AE＝CF

D．OE＝OFC8．如圖，在△ABC和△CDE中，點B，C，E在同一條直線上，∠B＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝2，BE＝6，則DE的長為(

)A．8 B．6C．4 D．2C9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，點D，F分別是邊BC，AC上的點，DE⊥AB于點E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數是(

)A．40° B．50°C．70° D．71°C10．如圖，△ABC的周長為19，點D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為點N，∠ACB的平分線垂直于

AD，垂足為點M，若BC＝7，則DE的長是(

)A．6 B．4C．2 D．5D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．如圖，△ABC≌△ADE,AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，則DE＝______cm.712．如圖，已知∠ABC＝∠DEF，BE＝FC，要證明△ABC≌

△DEF，若以“ASA”為依據，還需要添加的條件是__________________.∠ACB＝∠F13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥

AB于點D，在AC上取一點E，使EC＝BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F.若EF＝5cm，則AE＝______cm.314．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為邊AB上的高，點E在直線BC上．(1)若∠ECF＝40°，則∠CAB＝__________.(2)若點E從點B出發，在直線BC上以每秒2cm的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F，當點E運動__________s時，CF＝AB.40°2或5三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．如圖，△ABC≌△DFE，求∠FDB＋∠ABD的值．解：∵△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥FD，∴∠FDB＋∠ABD＝180°.16．如圖，AB∥CD，∠B＝∠D，求證：△ABC≌△CDA.證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(AAS)．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，AB＝AC，點E，F分別是AB，AC的中點．求證：△AFB≌△AEC.證明：∵點E，F分別是AB，AC的中點，∴△AFB≌△AEC(SAS)．18．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝130°.(1)尺規作圖：作∠A的平分線，交BC于點D.(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)求∠ADC的度數．解：(1)作圖如圖所示．(2)∵AD是∠BAC的平分線，由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°＋65°＝95°，∴∠ADC＝95°.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，點P是∠BAC內的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F，AE＝AF.求證：(1)PE＝PF.(2)點P在∠BAC的平分線上.證明：(1)如圖，連接AP并延長．∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，∴PE＝PF.(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP，∴AP是∠BAC的平分線，即點P在∠BAC的平分線上．20．如圖，點C在線段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE.(1)求證：△ACD≌△BEC.(2)若∠DCE＝110°，求∠DCF的度數．解：(1)證明：∵AD∥EB，∴∠A＝∠B，∴△ACD≌△BEC(SAS)．(2)∵△ACD≌△BEC，∴DC＝CE.∵CF⊥DE，∵∠DCE＝110°，∴∠DCF＝55°.六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，點E在邊AB上，BD＝BE，要使△ADB≌

△CEB，還需添加一個條件．(1)給出下列四個條件：①AD＝CE；②AE＝CD；③∠BAD＝∠BCE；④∠ADB＝∠CEB.請你從中選出一個能使△ADB≌

△CEB的條件，并給出證明．(2)在(1)中所給出的條件中，能使△