11.2與三角形有關的角

11.2.2三角形的外角如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角是三角形的什么角呢？這就是本節課我們要學習的內容：三角形的外角.新課導入學習目標：

1．能準確地判斷一個三角形的外角.

2．能敘述和證明三角形的外角的性質.

3．能利用三角形的外角性質解決實際問題.推進新課理解三角形的外角的概念知識點1問題1在△ABC中，∠A=75°，∠B=40°，∠C等于多少度？ABCABCD問題2如圖，把△ABC

的一邊BC

延長，得到∠ACD．這個角還是三角形的內角嗎？概念：

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．ABCD∠ACD（外角）+∠ACB（相鄰的內角）=180°．問題3如圖，∠ACD

與∠ACB

的位置是怎樣的？∠ACD

與∠ACB

有什么數量關系？探索與證明三角形的外角的性質知識點2ABCD如圖，∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=∠A+∠B．問題4如圖，∠ACD

與∠A，∠B

的大小有什么關系？你能證明你的結論嗎？三角形內角和定理的推論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．推論是由定理直接推出的結論，和定理一樣，推論可以作為進一步推理的依據．∠C∠3∠DAC∠4練習1如圖，口答：（1）∠1=

+

；（2）∠2=

+

．BACD1234練習2

如圖，說出圖形中∠1的度數．圖中∠1的度數依次為：90°，85°，95°，45°．（1）（2）（3）（4）30°

60°

1

35°

60°

145°

50°

130°

15°

1練習3如圖，一個三角形有______個外角.每個頂點處有______個外角，這兩個外角是____________.62對頂角運用三角形的外角的性質知識點3例如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD

是△ABC

的三個外角，它們的和是多少？ABFCDE123解法一：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=2（∠1+∠2+∠3）．ABFCDE123ABFCDE123∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD

=2×180°=360°.ABFCDE123解法二：由∠1+∠BAE=180°，∠2+∠CBF=180°，∠3+∠ACD=180°，得∠1+∠2+∠3+∠BAE

+∠CBF+∠ACD=540°．

ABFCDE123由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD

=540°-180°=360°.ABDC練習4如圖，D是△ABC的邊BC上一點，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數；（2）∠C的度數．解：（1）∠ADC=∠B+∠BAD=

2∠B∠B=40°（2）∠C+∠B+∠BAC=180°∠C=180°-70°-40°=70°練習5

如圖，說出圖形中∠1和∠2的度數：（1）（2）（3）11122260°80°30°40°40°∠1=40°∠2=140°∠1=110°∠2=70°∠1=50°∠2=140°【課本P15練習】∠1=55°∠2=70°∠1=80°∠2=40°∠1=60°∠2=30°隨堂演練1.如圖，∠1=_______.2.如圖，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，則∠1=_______.110°85°第1題圖第2題圖基礎鞏固3.如圖，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=_______.120°第3題圖4.已知三角形的三個外角的度數比為2∶3∶4，則它的最大內角度數為（）A.90° B.110°C.100° D.120°C綜合應用5.如圖，是一個五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數.解：∵∠AFG=∠B+∠D，∠AGF=∠C+∠E，∠A+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.FG拓展延伸ABCD如圖，∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACD=∠A+∠B．三角形內角和定理的推論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．課堂小結1.從課后習題中選取；2.完成練習冊本課時的習題。課后作業1．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，點D是BC延長線上一點，∠ACD＝150°，則∠B的度數是(

)A．60° B．65°C．70° D．165°C2．如圖，直線AB∥CD，連接BC，點E是BC上一點，∠A＝15°，∠C＝27°，則∠AEC的度數為(

)A．27° B．42°C．45° D．70°3．三角形的三個外角的度數之比為2∶2∶3，則此三角形為(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形

C．直角三角形 D．等邊三角形BA4．如圖，點D在△ABC的邊BC的延長線上，CE平分∠ACD.若∠A＝80°，∠B＝40°，則∠ACE的度數是__________.60°5．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC上的點，點F在邊BC的延長線上，DE∥BC.若∠A＝44°，∠1＝57°，則∠2的度數是____________.101°6．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度數．解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2∠1.又∵∠BAC＝63°，三角形的內角和等于180°，∴∠2＋∠4＝3∠2＝3∠1＝180°－∠BAC＝117°，∠1＝117°÷3＝39°，∴∠DAC＝63°－39°＝24°.第十一章三角形11.2與三角形有關的角《11．2.2三角形的外角》同步練習1．如圖，下列各角是△ABC的外角的是(

)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠41三角形外角的性質C2．如圖，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，則∠ACD的度數為(

)A．110° B．100°C．90° D．80°B3．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，則∠ADC的度數是(

)A．80° B．90°C．100° D．110°C4．如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，點F在線段BC的延長線上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，則∠A＝__________.90°5．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，AE平分△ABC的外角∠CAD.求證：AE∥BC.證明：∵∠B＝∠C，∴∠CAD＝∠B＋∠C＝2∠C.∵AE平分∠CAD，∴AE∥BC.6．某零件的平面圖如圖所示，其中∠B＝∠C＝30°，∠A＝40°，求∠ADC的度數．解：【解法一】如圖，延長AD交BC于點E.∵∠B＝30°，∠A＝40°，∴∠DEC＝70°.∵∠C＝30°，∴∠ADC＝70°＋30°＝100°.【解法二】如圖，連接BD并延長至點E.根據三角形外角的性質，可得∠ADE＝∠A＋∠ABD，∠CDE＝∠C＋∠CBD，∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠C＋∠ABD＋∠CBD＝∠A＋∠C＋∠ABC＝100°.7．關于三角形的外角和，下列說法中正確的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角的和的一半

D．以上都不對8．如圖，∠CBD，∠ADE為△ABD的兩個外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，則∠A的度數是(

)A．20° B．30°C．40° D．50°2三角形的外角和CC9．如圖，BP是∠ABC的平分線，CP是△ABC的外角的平分線，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A的度數是(

)A．30° B．40°C．50° D．60°D10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD⊥BC于點D，AE平分∠DAC，則∠AEC的度數是(

)A．110° B．115°C．120° D．125°11．已知三角形三個外角的度數比為2∶3∶4，則它的最大內角的度數是____________.B100°12．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝__________.55°13．新情境如圖是可調躺椅示意圖(數據如圖)，AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝140°，則圖中∠D應________(選填“增加”或“減少”)__________.增加20°解：∵∠1＝∠3＋∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°.∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°－100°－10°＝70°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°.∵∠4＝∠2＋∠ABE，∴∠4＝45°.15．教材P17T11改編如圖，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E.(1)若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度數．(2)求證：∠BAC＝∠B＋2∠E.解：(1)∵∠B＝35°，∠E＝20°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∴∠ACD＝2∠ECD＝110°，∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝75°.(2)證明：∵CE