配方法

知識(shí)梳理

L配方法的概念

把代數(shù)式通過(guò)湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問(wèn)題的條件的目

的，這種解題方法叫配方法.

2.二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方的兩種類型

(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1的類型：x2+px+q;

(2)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的類型：ax2++c(a力0,a力1).

尤其當(dāng)針對(duì)第⑵種類型配方時(shí)，一般需要先提取二次項(xiàng)系數(shù)(一元二次方程則通過(guò)除以二次項(xiàng)系數(shù)將方程化為

二次項(xiàng)系數(shù)為⑴的類型)，然后再加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方來(lái)配成完全平方，最后不要忘記減掉所增加的項(xiàng).

3酒己方法的重要性

配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是求解變形的一種手段酒己方法的實(shí)質(zhì)在于改變式子的非負(fù)性，是

挖掘隱含條件的有力工具，配方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、解方程、解最值問(wèn)題、討論不等式等方面有廣泛的應(yīng)用.

典型例題

例1

將多項(xiàng)式4產(chǎn)+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方.則添加單項(xiàng)式的方法共有多少種?請(qǐng)寫

出所有的式子及演示過(guò)程.

分析因?yàn)檎桨▎雾?xiàng)式和多項(xiàng)式兩種情況，所以根據(jù)4x2是平方項(xiàng)、是乘積二倍項(xiàng)的情況利用完全平方公式

添加，以及完全平方式是單項(xiàng)式的平方的情況添加一個(gè)單項(xiàng)式消去其中的一項(xiàng)即可.

解添加的方法有5種，其演示的過(guò)程分別是：

添加4x4號(hào)4x2+1+4x=(2x+l)2;

添加-4x,得4x2+1—4%=(2x-I)2;

添加4x4彳導(dǎo)4久2+1+4久4=(2x2+l)2;

添加-4%2得4x2+1-4x2=I2;

添加」得4/+1-1=(2久產(chǎn)

例2

對(duì)于二次三項(xiàng)式3%2-6%+5,小聰同學(xué)做出如下結(jié)論：無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)，它的值都不會(huì)小于2(最小值是

2)，你是否同意他的說(shuō)法，并說(shuō)明你的理由.

分析此題涉及二次三項(xiàng)式，它的基本形式是：aY+bx+c.:可以根據(jù)配方的方法，把它整理成一個(gè)完全平方

加或減一個(gè)數(shù)字的形式.

解由于原二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)不為1,所以化系數(shù)為1并配方：

原式=3(/-2x)+5

=3(/-2x+I2)+5-3xI2

=3(%-I)2+2,

所以無(wú)論x取何值時(shí)，((久-20,所以一6久+5N2.因止匕，小聰?shù)恼f(shuō)法是正確的.

例3

若x為任意實(shí)數(shù)，求好+4x+7的最小值.

分析求/+?+7的最小值，可以先將它化成((x+2)2+3,根據(jù)(x+2)2>0,求得它的最小值為3.

解/+4x+7=(x2+4x+4)+3=(x+2)2+3

因?yàn)?%+2)2>0,所以(x+2)2+3>3,

因此“%2+4%+7的最小值是3.

例4

已知a2+b2+c2=ab+bc+ac,又知a,b,c為三角形的三條邊，求證：該三角形為等邊三角形.

分析利用配方法解題.先將原式轉(zhuǎn)化為完全平方公式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.

解因?yàn)閍2+b2+c2—ab—be—ca=0.

所以兩邊都乘以2得:2a2+2b2+2c2-2ab—2bc-2ca=0,

所以(a2-2ab+b2)+(62—2bc+c2)+(c2—2ca+a2)=0,

所以(a—b)?+(b—c)2+(c—a)2=0,

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得(a-b)2—)2=0,(c-a)2=0,

可知a=b=c,這個(gè)三角形是等邊三角形.

雙基訓(xùn)練

1.用一些硬紙片拼成的圖形面積可以解釋一些代數(shù)恒等式.如圖21-1所示，圖27(a)可以用來(lái)解釋(a+b)2-

(a-bY=4必那么通過(guò)圖21-l(b湎積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是().

(a)(b)

圖21-1

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a—6)(a+2b)=a2+ab-b2

C.(a—by—a2—2ab+b2D.(a+Z))2=a2+2ab+b2

2.下列二次三項(xiàng)式是完全平方式的是().

A.x2—8x—16B.X2+8X+16C.X2—4x—16D.x2+4x+16

3.計(jì)算((x+2)2的結(jié)果為X2+DX+4,,則“口”中的數(shù)為().

A.-2B.2C.-4D.4

4.多項(xiàng)式4r+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)二項(xiàng)整式的完全平方，則滿足條件的單項(xiàng)式有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如果二次三項(xiàng)式%2-2(m+l)x+16是一Is?完全平方式，那么m的值是().

A.3或-5B.lC.-3D.無(wú)法確定

6.若a,b,c為公ABC的三邊，且關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x?+2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)為完全平方式廁小ABC是().

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.只有兩邊相等的等腰三角形

7.填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：XX2—4x+=(x—_)2.

8.當(dāng)整數(shù)k=—時(shí)，多項(xiàng)式.x2+kx+4恰好是另一個(gè)多項(xiàng)式的平方.

9.若%2-2(fc+l)x+fc2+5是一個(gè)完全平方式，則k等于.

10.多項(xiàng)式x2+y2-6x+8y+7的最小值為.

11.已知a=2002,b=2003,c=2004,求a2+b2+c2—ab—ac—6c的值.

12.不管x取什么實(shí)數(shù)，+2x-3的值一定是個(gè)負(fù)數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.利用配方法證明代數(shù)式-10久2+7x_4的值恒小于0.由上述結(jié)論，你能否寫出三個(gè)二次三項(xiàng)式，其值恒大

于0,且二次項(xiàng)系數(shù)分別是1,2,3?

14.已知n為正整數(shù)，且4,+4+小998是一個(gè)完全平方數(shù)，求n的一個(gè)值.

15.不管x取什么實(shí)數(shù)，x2+2x+5的值一定是正數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.若x為任意實(shí)數(shù)，求-2/+4%+7的最大值.

17.求證:a(a+l)(a+2)(a+3)+l是完全平方式.

18.若久2—4久+\3x—y\=-4,求y*的值.

19.某學(xué)生在學(xué)習(xí)公式(a+b=a2+2ab+〃時(shí)記得快，忘得也快，應(yīng)用時(shí)始終容易出錯(cuò)，請(qǐng)幫助他解決

這一難題.

⑴你猜測(cè)該學(xué)生在應(yīng)用這個(gè)公式時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么錯(cuò)誤，列舉出來(lái)；

(2)如圖21-2所示，請(qǐng)運(yùn)用圖中所給的圖片，解釋這一公式；

(3)如果a-b=3,ab=2,求a2+△的值.

20.一個(gè)正整數(shù)a恰好等于另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a為完全平方數(shù).如(64=82,64就是一個(gè)完全

平方數(shù).若a=2992?+29922x29932+2993Z,求證：a是一個(gè)完全平方數(shù).

能力提升

21.若。2+2接+2〃一b+；=0,則a,b的值分別為().

A,--,-B.-,-C.--,--

22222222

22.設(shè)x為正整數(shù)，若x+1是完全平方數(shù)，則它前面的一個(gè)完全平方數(shù)是().

A.xB.x-2y[x+1

C.x—2-久+1+1D.x—2、x+1+2

23.如果((x-l)(x+3)(x-4)(x-8)+m是一個(gè)完全平方式.則m是().

A.-196B.196C+196D.以上都不對(duì)

24.已知a+b+c=3,a2+b2+c2=3,則a2008+b2008+。2。。8的值是().

A.OB.3C.22008D.3x22008

25.若—6x+1=0,則x2+^-1=一.

26.已知|a-6+2|+(a—2b)2=0,求(—2a)2b的值是__；二次三項(xiàng)式x2-kx+9是一個(gè)完全

平方式，則k的值是.

27.如果多項(xiàng)式(%+1)(*+2)(%+3)(%+4)+k是一/完全平方式，則常數(shù)k=.

28.已知代數(shù)式-/+6%-10.

⑴用配方法證明：不論x為何值，代數(shù)式的值總為負(fù)數(shù).

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式的值最大?最大值是多少？

29.用配方法證明，多項(xiàng)式2%4-4/一1的值總大于x4-2/一4的值

30.兩個(gè)正整數(shù)的和與積的和恰好為2005,并且其中一個(gè)是完全平方數(shù).求這兩個(gè)數(shù)中較大數(shù)與較小數(shù)的差.

拓展資源

31.一個(gè)四位數(shù)具有這樣的性質(zhì)：用它的后兩位數(shù)去除這個(gè)四位數(shù)得到一個(gè)完全平方數(shù)(如果它的十位數(shù)字是

0,就只用個(gè)位數(shù)字去除)，且這個(gè)完全平方數(shù)正好是前兩位數(shù)加1的平方，則具有上述性質(zhì)的四位數(shù)共有().

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

32.設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),4=a2-26+(8=^2—2c+；,C=02—2a+g

⑴判斷A+B+C的符號(hào)并說(shuō)明理由；

(2)證明：A,B,C中至少有一個(gè)值大于零.

33若100a+64和201a+64均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù),則整數(shù)a的值是.

34.試求出所有整數(shù)n，使得代數(shù)式2n2+n-29的值是某兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和.

35.(1)分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：

x2—6x+9=25x2+10x+1=4x2+12x+9=;

(2)觀察上述三個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，有((―6)2=4xlx9,102=4x25x1,122=4x4x9于是小明猜測(cè)：若多

項(xiàng)式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，那么系數(shù)a,b,c之間一定存在某種關(guān)系.請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子表示小明的猜

想：(說(shuō)明：如果你沒(méi)能猜出結(jié)果，就請(qǐng)你再寫出一個(gè)與(1)中不同的完全平方式，并寫出這個(gè)式中各系數(shù)之

間的關(guān)系).

(3)若多項(xiàng)式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用(2)中的規(guī)律求ac的值

1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.4,28+49.210.-18

11.因?yàn)?(a?+b?+c?—ab—etc—be)=(a—b)?+(a—c)2+(b—c)2

=(2002-2003)2+(2002-2004)2+(2003-2004)2=1+4+1=6,

所以a2+b2+c2—ab—ac—be=3.

12.-x2+2%-3=-(x2-2x+l)+l-3=-(x2-2%+1)+1-3=-(%-I)2-2.

因?yàn)?(x-l)2<0,所以-(久-l)2-2<0.所以不管x取什么實(shí)數(shù)，-K2+2x-3的值一定是個(gè)負(fù)數(shù)

22

13.因?yàn)?10/+7x—4=—5)一詈又一[一￡)三°，一詈<°，

所以一10卜一劫2-答<。，即：一10久2+7%-4<0,所以代數(shù)式-IO%2+7x-4的值恒小于0.舉例：①/

+2久+2,(2^)2x2-4,x+8,(^)3久2+6x+8

7n72n-819982

14.先分情況討論:(1)4+4+4.98=(27)2+2x2x2+(2)

7n

因?yàn)?+4+爐998是一個(gè)完全平方數(shù),所以22-8=2/8即2n-8=1998.

所以當(dāng)n=1003時(shí),47+4n+41998是完全平方數(shù)；

(2)47+4n+41"8=47+41998+綃=(27)2+2X2,X23988+(2,2,

7n

因?yàn)?+4+41998是一個(gè)完全平方數(shù),所以23988=2",所以n=3988.

綜上得n=1003或n=3988.

15.x2+2x+5=(x2+2%+1)+4=(x+l)2+4.因?yàn)?x+I)2>0,所以(x—l)2+4>。.所以不管x取什么

實(shí)數(shù)。/+2刀+5的值一定是個(gè)正數(shù).

16.-2x2+4x+7=-2(x2-2x)+7=-2(x2-2x+l)+2+7=-2(x-l)2+9,@^-2(x-l)2<0,所以-2(x-l)2+9<9.

因此，2/+4%+7的最大值是9.

17.因?yàn)閍(a+l)(a+2)(a+3)+1=(a2+3a)[(a2+3a)+2]+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+-1

=(a2+3a+I)2,

所以a(a+l)(a+2)(a+3)+l是完全平方式.

18.因?yàn)閤2—4x+|3x—y\=-4,所以x2—4x+4+\3x—y\=0,即(x—2)2+|3x—y|=0.

所以K_j：力解得x=2,y=6.所以yx=62=36.

19.⑴可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有(a+bp=a2+b2,(2x+3y)2=2x2+12xy+3y?等；

(2)如答圖21-1所示.

(3)由a-b=3得((a—b)2=9,即a2—2ab+b2=9又ab=2,所以a2+b2=13.

20.令2992=m,則2993=m+l,于是a=/+/?(m+l)2+(m+l)2

—m4+2m3+3m2+2m+1=m4+2m3+2m2+m2+2m+

=(m2)2+2-m2-(m+1)+(m+I)2

=(m2+m+I)?,所以是a一個(gè)完全平方數(shù).

答圖21-1

21.A22.D23.B24.B25.3326.-128,6

27.(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+k=(x+l)(x+4)[(x+2)(x+3)]+k=(x2+5x+4)(%2+5K+6)+k=(x2+5x)2+10(%2

+5%)+24+k要使上式是一個(gè)完全平方式，只要24+k=52即可，解得k=l.

28.(1)原式:=—%2+6%—10=—(%2—6x)—10=—(%2-6%+32—32)—10

=-(%-3)2-1<0;

(2)因?yàn)樵?-(%-3)2-1,所以當(dāng)x=3時(shí)，原式取得最大值，最大值為-1.

424242424222

29.據(jù)題意得(2x4-4X2-1)-(X-2X-4)=2X-4X-1-X+2X+4=X-2X+3=x-2x+1-1+3=(%-l)+2>

2>0所以多項(xiàng)式2%1-4%2-1的值總大于%4-2Y-4的值

30.設(shè)這兩個(gè)正整數(shù)為a,b,則a+b+ab=2005,即ab+a+b+l=2006,所以(a+l)(b+l)=2006=2><17x59.因?yàn)槠渲幸粋€(gè)是

完全平方數(shù),有a+l=2和a+l=17成立.當(dāng)a+l=2時(shí)2=15=1003-1=1002,1)出=100：1;當(dāng)a+l=17時(shí),a=16,b=118-l=117,b-a=

101.

31.D.設(shè)這樣的四位數(shù)為100a+b(gW99,lWbW99),由已知有((100a+b)b=(.a+I)2=a2+2a+1,則100a

+b=(a+lYb=a2b+2ab+瓦可得:100=b(a+2),于是b=翳,a+2=詈，而10SaW99,可求得當(dāng)a=18,23,48,98時(shí),

b=5,4,2,1.故這樣的四位數(shù)有四個(gè),分別是:1805,2304,4802,9801.

32.(1)4+B+C=a?-2b+—+(b2-2c+—+(c2-2a+—

=a2+b2+c2-2a—2b—2c+n

=Q2-2a+1+(b?—2b+1)+(c2—2c+1)-3+TT,

=(a—l)2+(6—I)2+(c—I)2+7i—3,

因?yàn)?(a—I)?>0,(/?—l)2>0,(c—I)2>0,7T—3>0,

所以.A+B+C=(a—I)?+(b—l)2+(c—l)2+7T-3>0

故A+B+OO;

(2)因?yàn)锳+B+OO,

所以A,B,C中至少有一個(gè)值大于零.

33.設(shè)100a+64=一①,201a+64="②，則m,n均為正整數(shù)，目.32W爪<100,32<n<100.由式②-

①彳導(dǎo)101a—n2-m2—(ji+m)(n-zn),因?yàn)?01是質(zhì)數(shù)，且0<n--m<101,所以n+m=101,故a=n-m=2n-101.把a(bǔ)=2n-

2

101代入:201a+64=",整理得n-402n+20237=0,,解得n=59,或n=343(舍去).所以a=2n-101=17.

34.設(shè)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)是x和x+1,則根據(jù)題意知2n2+n-29=x2+(x+I)2,

化簡(jiǎn)得2/+2%+3。-2"