統計與概率

知識梳理

1.科學計數法

一個大于10的數可以表示成AX10X的形式，其中1WA<1O,N是正整數.

2.扇形統計圖

(1)用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大

小，這樣的統計圖叫作扇形統計圖.

⑵扇形統計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360。的比.

3.各種統計圖的優勢

(1)條形統計圖能清楚地表示出每個項目的具體數目.

(2)折線統計圖能清楚地反映事物的變化情況.

⑶扇形統計圖能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比.

4.近似數字和有效數字

(1)測量的結果都是近似的.

(2)利用四舍五入法取一個數的近似數時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.

(3)對于一個近似數，從左邊第一個不是。的數字起，到精確到的數位為止，所有的數字都叫作這個數的有效

數字.

5.平均數

X]+X?+…+X.、

對于N個數Xi,X2，…,XN我們把不"的結果叫作這N個數的算術平均數，記為X.

6.加權平均數

一組數據里各個數據的重要程度未必相同，因而在計算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就

是加權平均數.

7.中位數與眾數

(DN個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫作這組數據的中位

數.

(2)一組數據中出現次數最多的那個數據叫作這個組數據的眾數.

⑶優劣：①平均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現實生活中常用，但容易受

極端值影響；②中位數：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數據的信息；③眾數：各個數據如果

重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義.

8.調查

(1)為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總

體的每一個考察對象稱為個體.

⑵從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫作總體的一

個樣本.

(3)抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此它的優點是調查范圍小，節省時間、人力、物力和財力，但

其調查結果往往不如普查得到的結果準確為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性.

9.頻數與頻率

(1)每個對象出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率.

(2)當收集的數據連續取值時，我們通常先將數據適當分組，然后再繪制頻數分布直方圖.

10.可能性

⑴有些事情我們能確定它一定會發生，這些事情被稱為必然事件；有些事情我們能肯定它一定不會發生，這

些事情被稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的.

(2)有很多事情我們無法肯定它會不會發生，這些事情被稱為不確定事件.

(3)一般來說，不確定事件發生的可能性是有大小的.

11.概率

(1)人們通常用1(或100%)來表示必然事件發生的可能性，用0來表示不可能事件發生的可能性.

⑵游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同.

(3)必然事件發生的概率為1,記作P(必然事件)=1；不可能事件發生的概率為0,記作P(不可能事件)=0；如果

A為不確定事件，那么0<P(A)<l.

典型例題

例1

在平行四邊形ABCD中，AC,BD是兩條對角線，現從以下四個關系式①AB=BC；②AC=BD;③ACLBD;④

ABXBC中，任取一個作為條件，即可推出平行四邊形ABCD是菱形的概率為—.

解析因為四邊形ABCD為平行四邊形，

?AB=BC時，則有平行四邊形的四邊都相等，即為菱形.

②4C=時，則是平行四邊形的對角線相等，即為矩形.

@AC1時，則有平行四邊形的對角線垂直，即為菱形.

@AB1BC時，則有四邊形的鄰邊垂直，即為矩形.

從上面可以得到，只有①③可以判斷平行四邊形ABCD為菱形，所以可以推出的概率為

例2

如圖所示，將3枚相同的硬幣一次放入一個4X4的正方形格子中(每個正方形格子只能放一枚硬幣),求所放

的3枚硬幣中，任意兩個都不同行且不同列的概率.

解析3枚硬幣如果沒有要求任意放，則第一枚硬幣總共可以有16種放法，第二枚硬幣則就有15種放法了，

同理，第三枚硬幣就有14種放法.總共的放法數就有16x15x14.

若按照要求放硬幣即任意兩個都不同行且不同列，則第一枚硬幣可以任意放總共有16種放法，第二枚硬幣為

了和第一枚硬幣不在同一行同一列，在第一枚硬幣放置的位置所在的行和所在的列都不可以放置，再加上第一枚

硬幣放置的位置總共就是7個位置不可以放置，剩下的9個位置可以放置.同樣的道理，第三枚硬幣可以放置的位

置就有4個，則總共的放法數為16x9x4.

則問題中所求的概率為林為=2

loXIbX14DD

例3

2

從3,0,-1,-2,-3這五個數中，隨機抽取一個數，作為函數y=(5-爪?)久和關于x的方程(m+l)x+mx

+1=0中m的值，恰好使所得函數的圖像經過第一、三象限，目方程有實數根的概率為—.

解析因為函數y=(5-m是正比例函數，要使得它的圖像經過第一、三象限，

所以5—m2>0,即m2<5,

所以3,0,-1,-2,-3中,3和-3不符合題意.

現將0,-1,-2代入方程中，一次驗證二次函數根的情況.

①m=0時，代入二次函數得%2+1=0,顯然無實數解.

②m=-l時，代入二次函數得-x+l=0,為一次函數，有實數解.

③m=-2時，代入二次函數得x2+2x-l=0,A=4+4=8>0,有實數解.

,|因此方程有實數解的概率為.

例4

一個口袋中有4個白球和1個紅球，5個人依次在口袋中摸出1個球；

(1)若每人摸出后放回，則第3個人摸到紅球的概率是多少？

(2)若摸出白球不放回，則第3個人摸到紅球的概率是多少？

⑶若每個人摸出的球不放回，且摸到紅球即停止摸球，則第3個人去摸球時摸到紅球的概率是多少？

解析⑴每人摸出后放回，因此第3個人摸到紅球的概率是

(2)若摸到白球不放回，第3個人是要摸紅球，則可以知道前面2個人摸到的是白球，因此第3個摸到紅球的

概率為

(3)若每個人摸出的球不放回，且摸到紅球即停止摸球，因此前面3個人摸球的所有可能的種數為：5x4x3；而

第3個人摸到紅球，則前面2個人需要先摸到白球,那樣第3個人才能摸到紅球，因此可能的種數為：4x3x1.因

此，第3個人摸球時摸到紅球的概率為：條=去

5x4x35

雙基訓練

1.為了了解我市今年初二期末數學學科各分數段成績分布情況，從其中抽取120個學生的期末數學成績進行統

計分析.在這個問題中，樣本是指（）,

A.150B.被抽取的150名學生

C.被抽取的150名考生的期末數學成績D.我市今年初二數學學科成績

2.下列調查方式中，你認為不合適的個數是（）.

⑴旅客上飛機前的安檢，采用抽樣調查方式；

（2）了解杭州市人民生活水平，采用全面調查方式；

（3）了解每天杭州市的流動人口量，采用抽樣調查方式；

（4）日光燈廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用全面調查的方式.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.為了了解某學校初三700名學生的視力情況，從中隨機抽取了50名學生進行調查，在此次調查中，樣本容

量為（）.

A.700B.50C.700名學生的視力D.50名學生的視力

4.下列調查中，適宜采用全面調查（普查）方式的是（）.

A.調查市場上老酸奶的質量情況

B.調查某品牌圓珠筆芯使用壽命

C.調查乘坐飛機的旅客是否攜帶違禁物品

D.調查我市市民對倫敦奧運會吉祥物的知曉率

5.在條形統計圖中，下列說法正確的是（）.

A.橫、縱軸都必須從0開始

B.橫、縱軸都不必從0開始

C.縱軸必須從。開始，橫軸不必受這個限制

D.橫軸必須從。開始，縱軸不必受這個限制

6.小林家今年1~5月份的用電量情況如圖所示，由圖可知，相鄰的兩個月中，用電量變化最大的是（）.

第6題圖

A.1月至2月B.2月至3月C.3月至4月D.4月至5月

7.已知某天某市連續七天的空氣質量指數分別為:120,100,99,67,88,105,70,則這七天空氣質量的平均數是（）.

A.120B.67C.92.7D.88

8.下列說法中正確的個數有（）.

⑴一組數據345,5,6,7,8的眾數和中位數都是5;

（2）“拋一枚硬幣反面向上的概率是會表示每拋硬幣2次就有一次反面向上；

（3）“打開電視機，正在播新聞”是必然事件；

⑷調查某品牌圓珠筆芯的使用壽命適合用抽樣調查.

A.lB.2C.3D.4

9.某校七年級1班20名男生的身高如下（單位:cm）:153,156,152,158,156,160,163,145,152,153,162,153,165,150,15

7,153,158,157,158,157.則在139.5?149.5的頻率為（）.

A.-B.-C.-D.一

5102030

10.在一塊麥田里抽取1000個小麥穗，考察它的長度,數據落在5.75~6.05之間數據的頻率是0.36,則長度在5.

75-6.05之間的麥穗的個數是（）.

A.640B.350C.360D.630

11.A箱子中裝有40個白球和10紅球，B箱子中裝有60個白球、40個紅球和50個黑球，除了顏色外大小、

形狀沒有區別，把A,B兩個箱子中的球攪勻了，從中隨機抽取一個球，下列正確說法的個數有（）.

（1）從A箱子中摸到紅球的概率大；

⑵從B箱子中摸到白球的概率較大；

（3）從兩個箱子中摸到紅球的概率相等；

⑷無法比較兩個箱子中摸到紅球的概率

A.lB.2C.3D.4

12.袋中有同樣大小的4個小球，其中3個紅色，1個白色，從袋中任意地同時摸出兩個球，這兩個球顏色相

同的概率為（）.

A.-B.-c.-D.i

3324

13.一個質地均勻的正方形，其六個面上分別標有數字1,2,3,其展開圖如圖所示，隨機拋擲此正方形，力

面朝上的概率是（）.

建muz

第13題圖

14.為了估計池塘中有多少魚，先從池塘中捕捉50條魚，做了標記以后又放回到池塘中，經過一段時間以后,

等做好記號的魚完全混于魚群中之后，再捕捉200條，統計有10條魚做了記號，則估計池塘約有（）條魚.

A.400B.500C.800D.1000

15.某校報名參加甲、乙、丙、丁四個興趣小組的學生人數如圖所示，那么報名參加甲組和丙組的人數之和占

所有報名人數的百分比為—.

第15邈圖

16.某燈泡廠在一次質量檢查中，從5000個燈泡中隨機抽查了100個，查得合格率為96%，估計這5000個燈

泡中有一個燈泡不合格.

17.一張圓桌旁有4個座位，A先坐在如圖所示的位置，B,C,D三個人隨機坐到其他3個座位，則A與B

不相鄰而坐的概率為

第17題圖

18.把標有號碼1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10個乒乓球放在一個箱子中，從中任意取一個號碼為小于7的奇數的概

率是一.

19.為了了解某中學畢業班500名學生的中考數學成績，從中抽取了100名學生的中考數學試卷進行分析，在

這次分析過程中，總體是樣本是—，個體是______樣本容量是—.

20.在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的乒乓球共有20個，除顏色外、形狀、大小、質地等完全相

同，小明通過多次摸球實驗后發現其中摸到紅色、黑色球的概率穩定在5%和15%,則口袋中白色球的個數很可能

是-

能力提升

21.對某校八年級學生隨機抽取若干名學生進行體能測試，成績記為1分，2分，3分，4分，共4個等級.將調

查結果繪制成如下條形統計圖和扇形統計圖.根據圖中信息，這些學生的平均分數是().

成績頻數扇形統計圖

A.2.25B.2.5C.2.95D.3

22.一個質地均勻的正方體骰子的六個面分別刻有1至1]6的點數，將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上面的數

字記為A，擲第二次，將朝上面的數字記為B,則(A,B)落在直線y=-x+6上的概率為().

A.—B.-C.-D.-

36946

23.在對n個數據進行整理時，把這些數據分成7組，則各組的頻數之和與概率之和為().

A.n和1C.n和7D.1和1

24.某初中要了解七年級女生的體重,以便掌握她們的身體發育情況,從七年級學生的700名女生中抽取50名

進行體重檢測，在這個問題中，下列說法正確的是().

A.700名女生是個體B.700名女生的體重是總體

C.50名是樣本D.50名女生是總體的一個樣本

25.小芳同學有兩根長度為4cm,10cm的木棒，她想釘一個三角形相框，桌上有五根木棒供她選擇(如圖所

示),從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是.

15cm

第25題圖

26.如圖所示，電路圖上有四個開關A,B,C,D和一個燈泡.

⑴任意閉合其中一個開關，求燈泡發光概率.

(2)任意閉合其中兩個開關，請用樹狀圖的方法求出小燈泡的發光概率.

27.如圖所示,口袋中5張完全相同的卡片，分別寫有1cm,2cm,3cm,4cm,5cm.口袋外有2張卡片，分別寫有4cm

和5cm.現隨機從袋中取出一張卡片，與口袋外兩張卡片放在一起，以卡片上的數量分別組成三條線段的長度，回

答下列問題：

(1)求這三條線段能構成三角形的概率.

(2)求這三條線段能構成直角三角形的概率.

(3)求這三條線段能構成等腰三角形的概率.

第27題圖

28.如圖所示的兩個轉盤分別被均勻地分成3個和4個扇形，每個扇形上都標有一個實數，同時自由轉動兩個

轉盤，轉盤停止后(若指針指在分格線上，則重轉)，兩個指針都落在無理數上的概率是多少？

第28題圖

拓展資源

29.“國際無煙日，來臨之際，小冰就某市公眾對在餐廳中吸煙所持的態度進行了調查，并將調查結果制作成如

下圖所示的統計圖，請根據圖中的信息回答下列問題：

(1)被調查者中，不吸煙者贊成在餐廳徹底禁煙的人數是—.

(2)被調查者中，希望在餐廳設立吸煙室的人數是—.

⑶求被調查者中贊成在餐廳徹底禁煙的概率.

(4)該市現有人口約370萬，根據圖中的信息估計該市現有人口中贊成在餐廳徹底禁煙的人數.

30.為培養學生養成勤儉節約的習慣，學校開展對廢舊用品的收集活動(主要包括舊報紙、舊書本、飲料瓶),

隨機抽取三年級五個班級學生一周收集的情況進行統計，統計結果如下圖所示.已知飲料瓶每個賣01元，解答下

歹D問題：

各班收集飲料瓶的數量統計表

班級個數

一班80

二班120

三班90

四班110

五班100

(1)三年級五個班級一周收集的飲料瓶共賣多少錢？

⑵三年級五個班級一周收集的三種物品總共賣多少薪°題圖五個班級收集三種廢品的所賣錢數扇形統計圖

(3)已知收集的舊書本共賣100元，請補全扇形統