第七章相交線與平行線7.1.1兩條直線相交

問題1

觀察這些圖片，你能否看到相交線、平行線的形象？新課導入

問題2

上一章我們認識了相交線，知道相交是直線之間的一種基本位置關系，如何刻畫兩條直線之間的這種位置關系呢？新課導入…相交的直線新課導入

研究兩條相交直線所構成的角問題3

任意畫兩條相交直線，在形成的四個角中，兩兩相配共能組成幾對角？各對角存在怎樣的位置關系？你能否根據這種位置關系將它們分類呢？兩條直線AB，CD

相交于點O．新知探究ABCDO1234圖中四個角兩兩分為一組，共有多少組？

∠1與∠2，

∠2與∠3，新知探究∠1與∠3，∠1與∠4，∠2與∠4，∠3與∠4．如何分類？ABCDO1234新知探究一個頂點兩條邊角ABCDO1234新知探究ABCD1234

∠1的頂點是O，邊是OA

與OC；

∠2的頂點是O，邊是OB

與OC；∠1與∠2O互為反向延長線OAOB公共頂點公共邊新知探究ABCD1234O∠2與∠3有一條公共邊另一邊互為反向延長線位置關系∠2與∠3∠1與∠2新知探究有一條公共邊另一邊互為反向延長線∠1與∠2∠2與∠3∠3與∠4∠1與∠4∠1與∠3∠1與∠4∠2與∠4∠3與∠4位置關系ABCD1234O新知探究數量關系互補有一條公共邊另一邊互為反向延長線位置關系∠1與∠2∠2與∠3∠3與∠4∠1與∠4ABCD1234O鄰補角新知探究∠1與∠3∠2與∠4ABCD1234O新知探究ABCD1234

∠1的頂點是O，邊是OA

與OC；

∠3的頂點是O，邊是OB

與OD；O公共頂點互為反向延長線互為反向延長線位置關系∠1與∠3新知探究ABCD1234O對頂角有公共頂點兩邊分別互為反向延長線∠1與∠3∠2與∠4位置關系新知探究ABCD1234O∠1與∠2∠2與∠3∠3與∠4∠1與∠4∠1與∠3∠2與∠4互為鄰補角互為對頂角

例1

（1）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？例題精講12121221

例1

（1）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？

∠1與∠2不是對頂角．例題精講12

例1

（1）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？

∠1與∠2不是對頂角．例題精講12

例1

（1）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？

∠1與∠2不是對頂角．例題精講12

例1

（1）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？

∠1與∠2是對頂角．例題精講21（2）如圖，直線AB，CD，EF

相交于點O．①寫出∠DOE

的鄰補角；②寫出∠BOE

的對頂角．例題精講CDBFAEO（2）如圖，直線AB，CD，EF

相交于點O．①寫出∠DOE

的鄰補角；

∠EOC

是∠DOE

的鄰補角

∠DOF

是∠DOE

的鄰補角例題精講CDBFAEO（2）如圖，直線AB，CD，EF

相交于點O．①寫出∠DOE

的鄰補角；

解：∠DOE

的鄰補角是∠EOC

和∠DOF．例題精講CDBFAEO直線CD，EF

相交于點O（2）如圖，直線AB，CD，EF

相交于點O．②寫出∠BOE

的對頂角．

解：∠BOE

的對頂角是∠AOF．例題精講CDBFAEO直線AB，EF

相交于點O

問題4

前面我們研究了鄰補角和對頂角的位置關系，下面我們來研究它們的數量關系．問題

3中的∠1和∠2，∠1和∠3分別有怎樣的數量關系？新知探究ABCDO1234

探究對頂角的性質新知探究？有公共頂點兩邊分別互為反向延長線∠1與∠3對頂角∠2與∠4位置關系數量關系ABCDO1234新知探究ABCD1234O新知探究ABCD1234O對頂角有公共頂點兩邊分別互為反向延長線∠1與∠3∠2與∠4位置關系數量關系相等？猜想度量、比較推理論證∠1＝∠3互為鄰補角互為鄰補角

分析：∠1與∠3的關系？新知探究∠2ABCD1234O同角的補角相等推理過程如下：因為∠1與∠2互補，∠3與∠2互補所以∠1＝∠3類似地，你能說明∠2與∠4相等嗎？新知探究ABCD1234O（鄰補角定義），（同角的補角相等）．推理過程如下：因為∠2與∠3互補，∠4與∠3互補（鄰補角定義），所以∠2＝∠4（同角的補角相等）．新知探究ABCD1234O新知探究ABCD1234O對頂角的性質：對頂角相等．新知探究位置關系數量關系

∠1與∠2

∠2與∠3

∠3與∠4

∠1與∠4有一條公共邊另一邊互為反向延長線互補

∠1與∠3

∠2與∠4有公共頂點兩邊分別互為反向延長線相等鄰補角對頂角

問題5

圖中是對頂角量角器，你能說出它測量角的原理嗎？原理：對頂角相等．新知探究

例2

如圖，直線a，b

相交．（1）∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度數；例題精講ba1234∠1＝40°位置數量相關角（鄰補角和對頂角）解：由鄰補角定義，得

∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°，

∠4＝180°－∠1＝180°－40°＝140°．

由對頂角相等，得

∠3＝∠1＝40°．例題精講ba1234

例2

如圖，直線a，b

相交．（1）∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度數；反思：例題精講ba1234∠1∠3∠2∠4鄰補角定義對頂角相等還有其他方法嗎？

例2

如圖，直線a，b

相交．（1）∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度數；思路：例題精講ba1234∠1∠3∠2鄰補角定義對頂角相等∠4對頂角相等

例2

如圖，直線a，b

相交．（1）∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度數；反思：兩直線相交所構成的四個角中，如果已知一個角的度數，即可求出其余三個角的度數．例題精講ba1234知一得三

例2

如圖，直線a，b

相交．（2）∠1＝90°，求∠2，∠3，∠4的度數．解：由鄰補角定義，得

∠2＝180°－∠1＝180°－90°＝90°，

∠4＝180°－∠1＝180°－90°＝90°．

由對頂角相等，得

∠3＝∠1＝90°．例題精講ba1234

例3

如圖，直線

AB

和

CD

相交于點

O，且

OE

為∠AOD

的平分線．

（1）找出圖中相等的角；

（2）若

OF

為∠COB

的平分線，OE

和

OF

有怎樣的位置關系？請說明理由．解：（1）∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC，∠AOE＝∠DOE，

∠COE＝∠BOE；拓展提升ACBODE（2）若OF

為∠COB

的平分線，OE

和OF

在同一條直線上．理由：∵

直線AB

和CD

相交于點O，

∴∠AOE＋∠EOD＋∠BOD＝180°．又∵

OE，OF分別是∠AOD，∠BOC

的平分線，

∴

∠AOE＝∠EOD＝∠AOD，

∠COF＝∠BOF＝∠BOC．又∵

∠AOD＝∠BOC，∴

∠AOE＝∠BOF，

∴

∠BOF＋∠EOD＋∠BOD＝180°．

∴

OE和OF

在同一條直線上．拓展提升ACBODEF

回顧本節課所學內容，請思考并回答下面的問題：

（1）你對鄰補角和對頂角有哪些認識？

兩條相交直線形成的角中，有四組鄰補角、兩組對頂角；鄰補角互補，對頂角相等；但互補的角不一定是鄰補角，相等的角