2024-2025學年高考數學（理）考點：函數與方程1．函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)三個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．(3)函數零點的判定(零點存在性定理)假如函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數210概念方法微思索函數f(x)的圖象連綿不斷，是否可得到函數f(x)只有一個零點？提示不能．1．（2024?天津）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】若函數恰有4個零點，則有四個根，即與有四個交點，當時，與圖象如下：兩圖象只有兩個交點，不符合題意，當時，與軸交于兩點，圖象如圖所示，兩圖象有4個交點，符合題意，當時，與軸交于兩點，在，內兩函數圖象有兩個交點，所以若有四個交點，只需與在，還有兩個交點，即可，即在，還有兩個根，即在，還有兩個根，函數，（當且僅當時，取等號），所以，且，所以，綜上所述，的取值范圍為，，．故選．2．（2024?新課標Ⅲ）函數在，的零點個數為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函數在，的零點個數，即方程在區間，的根個數，即在區間，的根個數，即或在區間，的根個數，解得或或．所以函數在，的零點個數為3個．故選．3．（2024?新課標Ⅲ）已知函數有唯一零點，則A． B． C． D．1【答案】C【解析】因為，所以函數有唯一零點等價于方程有唯一解，等價于函數的圖象與的圖象只有一個交點．①當時，，此時有兩個零點，沖突；②當時，由于在上遞增、在上遞減，且在上遞增、在上遞減，所以函數的圖象的最高點為，的圖象的最高點為，由于，此時函數的圖象與的圖象有兩個交點，沖突；③當時，由于在上遞增、在上遞減，且在上遞減、在上遞增，所以函數的圖象的最高點為，的圖象的最低點為，由題可知點與點重合時滿意條件，即，即，符合條件；綜上所述，，方法二：，令，則為偶函數，圖象關于對稱，若有唯一零點，則依據偶函數的性質可知當時，，所以．故選．4．（2024?上海）設，若存在定義域為的函數同時滿意下列兩個條件：（1）對隨意的，的值為或；（2）關于的方程無實數解，則的取值范圍是__________．【答案】，，，【解析】依據條件（1）可得或（1），又因為關于的方程無實數解，所以或1，故，，，，故答案為：，，，．5．（2024?新課標Ⅲ）函數在，的零點個數為__________．【答案】3【解析】，，，，，當時，，當時，，當時，，當時，，，，，或，或，故零點的個數為3，故答案為：3．6．（2024?浙江）我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一．凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數分別為，，，則，當時，__________，__________．【答案】8；11【解析】，當時，化為：，解得，．故答案為：8；11．7．（2024?新課標Ⅰ）已知函數，若（3），則__________．【答案】【解析】函數，若（3），可得：，可得．故答案為：．8．（2024?上海）設，函數，，若函數與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，即方程有兩不同根，也就是有兩不同根，，在上有兩不同根．，或，．又，且，，僅有兩解時，應有，則．的取值范圍是．故答案為：．9．（2024?江蘇）設是定義在上且周期為1的函數，在區間，上，，其中集合，，則方程的解的個數是__________．【答案】8【解析】在區間，上，，第一段函數上的點的橫縱坐標均為有理數，又是定義在上且周期為1的函數，在區間，上，，此時的圖象與有且只有一個交點；同理：區間，上，的圖象與有且只有一個交點；區間，上，的圖象與有且只有一個交點；區間，上，的圖象與有且只有一個交點；區間，上，的圖象與有且只有一個交點；區間，上，的圖象與有且只有一個交點；區間，上，的圖象與有且只有一個交點；區間，上，的圖象與有且只有一個交點；在區間，上，的圖象與無交點；故的圖象與有8個交點，且除了，其他交點橫坐標均為無理數；即方程的解的個數是8，故答案為：8．10．（2024?上海）若關于、的方程組無解，則實數__________．【答案】6【解析】若關于、的方程組無解，說明兩直線與無交點．則，解得：．故答案為：6．11．（2024?上海）設、，若函數在區間上有兩個不同的零點，則（1）的取值范圍為__________．【答案】【解析】函數在區間上有兩個不同的零點，即方程在區間上兩個不相等的實根，，如圖畫出數對所表示的區域，目標函數（1）的最小值為過點時，的最大值為過點時（1）的取值范圍為故答案為：．1．（2024?馬鞍山三模）已知，若關于的方程有5個不同的實根，則實數的取值范圍為A．， B． C．， D．，【答案】B【解析】當時，，則，令得：，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，且（1），，當時，，則，明顯，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，且，故函數的大致圖象如圖所示，令，則關于的方程化為關于的方程，△，方程有兩個不相等的實根，設為，，由韋達定理得：，，不妨設，，關于的方程恰好有5個不相等的實根，由函數的圖象可知：且，設，則，解得．故選．2．（2024?龍鳳區校級模擬）若關于的方程恰有4個不相等實根，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】方程恰有4個不相等實根，轉化為恰有4個不相等實根，令，可得．由，得，當時，，當，時，，可得在上單調遞減，在，上單調遞增．作出的圖象如圖，由圖可知，要使恰有4個不相等實根，則，，且關于的方程在，上有兩個不相等的實數根，即在，上有兩個不同的零點，則，解得．故選．3．（2024?香坊區校級一模）已知為定義在上的奇函數，且，當，時，，則函數的零點個數為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，可得周期，又是奇函數，可得，，可得函數關于對稱，當，時，，作出的圖象如與之間的交點，結合函數的圖象可知，圖象的交點有4個．即函數的零點個數為4個．故選．4．（2024?唐山二模）函數的零點個數是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當時，函數，，故在，上單調遞增．，，，在，有一個零點；當時，令得，即，此時原函數的零點即為：，的零點．令得．當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增．因為（1），（3），（6），故在和上各有一個零點，即在上有兩個零點．綜上，共有3個零點．故選．5．（2024?湖北模擬）已知函數，，則函數在區間，內有個零點A．4038 B．4039 C．4040 D．4041【答案】B【解析】令得，在，上單調遞減，在，上單調遞增，在，上單調遞減，在，上單調遞增，且是上的奇函數且，，，，如圖所示在同一坐標系下作出與的圖象可知：與的圖象在，上有2024個交點，在，上有2024個交點函數有4039個交點；故選．6．（2024?九龍坡區模擬）已知函數，若方程有四個不同的解，，，且，則的取值范圍是A． B．， C． D．，【答案】D【解析】作函數函數，的圖象如下，由圖可知，，，，則，其在上是減函數，令，函數和函數在，是減函數，在，上是減函數，由單調性可得：（1），即．故選．7．（2024?杜集區校級模擬）已知函數對隨意的，都有，函數是奇函數，當時，，則函數在區間，內的零點個數為A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】由題意，，可知關于對稱，那么函數是奇函數，即圖象過，且，可得即，可得周期，作出，的圖象，可得函數在區間，內的零點個數為8．故選．8．（2024?武侯區校級模擬）定義在上的函數有個零點？（其中表示不大于實數的最大整數）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意，函數的零點問題轉化為求的根的個數，依據和的圖象，求兩函數圖象的交點，則有，，，，一共有3個零點．故選．9．（2024?杜集區校級模擬）已知函數有唯一的零點，則常數A． B．1 C． D．【答案】B【解析】由題意，函數有唯一的零點，即函數與，只有一個交點，當時，函數的最小值為1，其頂點坐標為，那么函數的最大值的坐標為，所以，所以．故選．10．（2024?西安三模）定義域和值域均為，（常數的函數和的圖象如圖所示，方程解得個數不行能的是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】方程對應的有一個解，從圖中可知，，可能有1，2，3個解；從而可知方程解得個數不行能為4個；故選．11．（2024?武侯區校級模擬）定義在區間，的函數有個零點？（其中表示不大于實數的最大整數）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】令，則，，，則原問題轉化為求的根的個數，依據和的圖象，求兩函數圖象的交點，則有，，，，即當，則；，則和；，，亦有兩解，一共有5個零點．故選．12．（2024?東湖區校級模擬）若函數在其定義域上有兩個零點，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】函數定義域為，由有兩個根，而（1），所以不是方程的根，即直線與函數有兩個交點，，因為在上恒成立，所以當時，，當時，，當時，．．作出函數的圖象，如圖所示：由圖可知，的取值范圍是，．故選．13．（2024?青羊區校級模擬）設函數，若關于的不等式有且只有一個整數解，則實數的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】只有一個整數解，即只有一個整數解，令，則的圖象在直線的上方只有一個整數解．作出的圖象，由圖象可知的取值范圍為（3）（2）即，故選．14．（2024?梅河口市校級模擬）已知函數在區間上為單調函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，當時，與函數恒有一個交點，的最大值的端點坐標為．函數有兩個不同的零點，即函數與且有一個交點；當時，函數的函數值為3，即坐標為，若，即直線與拋物線相切，則只有一個解，即△，，可得，若，要使函數與且有一個交點，則，，綜上可得實數的取值范圍是．故選．15．（2024?運城模擬）定義在上的函數滿意，且，若函數有5個零點，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以是周期為的周期函數，作出函數的圖象如圖所示，直線經過點，，由圖知，當直線夾在直線與直線之間時，與函數的圖象有5個交點，易知，，，則；實數的取值范圍是．故選．16．（2024?道里區校級四模）定義：表示的解集中整數的個數．若，，且，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】當時，由冪函數和對數函數的性質可知，不只有兩個整數解，當時，，若，即，解得，整數解不是兩個，當時，（3），（3），（3）（3），所以3是一個整數解，若另一個整數解為2時，，解得，若另一個整數解為4時，無解，綜上所述的取值范圍為，故選．17．（2024?天心區校級模擬）已知函數，若方程有3個不同實數根，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】當直線與曲線相切時，設切點為，則切線斜率，所以，即，解得．又當時，．所以（1）當時，有1個實數根，此時有1個實數根，不滿意題意；（2）當時，有2個實數根，此時有1個實數根，滿意題意；（3）當時，無實數根，此時最多有2個實數根，不滿意題意．綜上，，故選．18．（2024?桃城區校級模擬）已知函數，若函數恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍是A．， B． C．，， D．，【答案】D【解析】（1）當時，，所以是的一個零點；（2）當時，由題知應有兩個不為零的不同零點，即有兩個不為零的不同實根，即與的圖象有兩個不為零的不同交點，又，令，，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，令，，則，所以時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以的大致圖象是數形結合，知當或，時，函數有三個零點．故選．19．（2024?讓胡路區校級三模）已知函數，若方程恰有四個不相等的實數根，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出函數的圖象如圖中實線部分所示，方程恰有四個不相等的實數根，即函數與函數的圖象有四個不同的交點，而是斜率為，過定點的直線，當直線與相切時，即圖中，設切點坐標為，，，則切線的方程為，又點在切線上，代入可解得，直線的斜率為，當直線過原點，即圖中，計算可知直線的斜率為，所以當時，兩函數的圖象有4個不同的交點．故選．20．（2024?河南模擬）已知函數函數零點的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】令B，則，①當時，，即，即，當時，有一個解，即方程有一個解；當時，，，；，，且，所以，當時，而，于是方程無解．②當時，，由（1）知，即，當時，有一個解；當時，，所以無