2024年中考數學真題知識點分類匯編之圖形的相似(解答題)

—.解答題(共24小題)

1.數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，更是培養動手能力，創新能力

的一種手段.小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如圖1)產生了

如下問題，請同學們幫他解決.

圖3

在△ABC中，點。為邊上一點，連接CD

(1)初步探究

如圖2,若求證：AC2^AD-AB；

(2)嘗試應用

如圖3,在(1)的條件下，若點。為AB中點，BC=4,求CO的長；

(3)創新提升

如圖4,點E為中點，連接BE,若NCD8=/CBZ)=30°,ZACD=ZEBD,AC=2近，求8E的

長.

2.如圖，點E,尸分別在正方形的邊BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求證：XABEsXECF.

(1)如圖1,在△ABC中，是△ABC的中位線.連接C。，將△AOC繞點。按逆時針方向旋轉,

得到DC.當點E的對應點E'與點A重合時，求證：AB=BC.

【數學理解】

(2)如圖2,在△ABC中(ABVBC),DE是△ABC的中位線.連接C。，將△49C繞點。按逆時針

方向旋轉，得至IJZvl'DC,連接A'B,CC,作△?!'8。的中線。？求證：2DF?CD=BD-CC.

【拓展探索】

4"

(3)如圖3,在△ABC中，tanB=g,點。在A8上，AD=過點。作。E_LBC,垂足為E,BE=3,

CE=*在四邊形AQEC內是否存在點G,使得NAGQ+NCGE=180。？若存在，請給出證明；若不

存在，請說明理由.

A'

E\

B

圖2圖3

4.數學課上，老師給出以下條件,請同學們經過小組討論，提出探究問題.如圖1,在AABC中，AB

AC,點。是AC上的一個動點,過點D作DELBC于點E,延長EZ)交BA延長線于點足

請你解決下面各組提出的問題:

(1)求證：AD=AF；

(2)探究二與的關系；

DEDC

心一—一，、AD1DF2,AD4DF8

某小組探究發現，當r二=時t，:二=不當777=1時t，［二=:

DC3DE3DC5DE5

請你繼續探究:

AD7DF

①當而一時,直接寫出法的值;

ADrnDF

②當而一時,猜想法的值(用含…的式子表示)，并證明;

(3)拓展應用：在圖1中，過點/作EPLAC,垂足為點P,連接CF,得到圖2,當點。運動到使/

^AD771AP

ACF=NACB時t，若一—,直接寫出而的值(用含m,〃的式子表小).

DCn

圖1圖2

5.如圖，在△A3。中，AB=BD,。。為的外接圓，8E為。。的切線，AC為OO的直徑，連接

OC并延長交8E于點E.

(1)求證：DE1BE；

(2)若42=5痣，BE=5,求。。的半徑.

6.問題背景如圖(1),在矩形ABC。中，點E,尸分別是AB,BC的中點，連接3。，EF,求證：ZXBCD

s△尸BE.問題探究如圖(2),在四邊形ABC。中，AD//BC,ZBC￡>=90°,點E是AB的中點，點

F在邊上，AD=2CF,EF馬BD交于點、G,求證：BG=FG.

7.綜合與實踐

如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，

受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在△ABC中，ZA=90°,將線段

8C繞點B順時針旋轉90°得到線段80,作。交A8的延長線于點E.

圖1圖2圖3

(1)【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段與。E的數量關系是

(2)【問題解決】如圖3,連接CO并延長交A8的延長線于點R若A8=2,AC=6,求△8。尸的面

積；

BN

(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交5。于點N,則一=；

BC-----------------------------------

(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線A8上找點P,使tan/BCP=|,請直接寫出線段AP的長

度.

8.如圖1,△ABC中，ZB=90°,4B=6.AC的垂直平分線分別交AC,48于點M,0,C。平分NACB.

(1)求證：△ABCsMBO；

(2)如圖2,將△AOC繞點。逆時針旋轉得到△HOC,旋轉角為a(0°<a<360°).連接A'M,

CM.

①求△AMC面積的最大值及此時旋轉角a的度數，并說明理由；

②當△AMC是直角三角形時，請直接寫出旋轉角a的度數.

9.在矩形A8CD中，點E,尸分別在邊A。，8C上，將矩形ABCD沿跖折疊，使點A的對應點尸落在

邊CD上，點8的對應點為點G,PG交BC于點、H.

(1)如圖1,求證：△DEPS^CPH；

(2)如圖2,當尸為CD的中點，A3=2,4。=3時，求G8的長;

探究8G與AB的數量關系，并說明理由.

圖1圖2圖3

10.如圖，在o。中，AB是。。的直徑，弦C。交AB于點E,AD^BD.

(1)求證：△ACDs^ECB；

(2)若AC=3,BC=1,求CE的長.

11.綜合與探究：如圖，/4。8=90°,點尸在NAO8的平分線上，B4J_OA于點A.

(1)【操作判斷】

如圖①，過點P作PCL08于點C,根據題意在圖①中畫出PC,圖中NAPC的度數為度;

(2)【問題探究】

如圖②，點M在線段A。上，連接過點P作PMLPM交射線于點N,求證：OM+ON=2PA；

(3)【拓展延伸】

點M在射線AO上，連接PM,過點P作PNLPM交射線OB于點、N,射線NM與射線PO相交于點F,

OP

若0N=3OW,求一的值.

12.如圖，矩形A8CZ)中，E,尸在A。，BC上,將四邊形ABPE沿EF翻折，使E的對稱點P落在C。

上，F的對稱點為G,PG交BC于H.

(1)求證：△EDPS/\PCH.

(2)若尸為CD中點，且AB=2,BC=3,求GH長.

(3)連接8G,若尸為C。中點，X為8c中點，探究2G與42大小關系并說明理由.

13.如圖1,在矩形ABCD中，點E為AD邊上不與端點重合的一動點，點F是對角線8。上一點，連接

BE,AP交于點。，且

【模型建立】

(1)求證：AFLBE-,

【模型應用】

1

(2)若AB=2,AD=3,DF=^BF,求。E的長；

【模型遷移】

14.如圖1,口ABC。的對角線AC與2。交于點。，點M,N分別在邊AD,BC上，且AM=CN.點E,

F分別是8。與AN,CM的交點.

(1)求證：OE=OF；

(2)連接交AC于點H,連接HE,HF.

(i)如圖2,若HE〃AB,求證：HF//AD；

15.綜合與實踐

如圖，在RtaABC中，點。是斜邊上的動點(點。與點A不重合)，連接CD以CD為直角邊在

CEcB

CD的右側構造RtACDE,/DCE=90°,連接BE,一=一=m.

特例感知

(1)如圖1,當m=1時，8E與AD之間的位置關系是，數量關系是

類比遷移

(2)如圖2,當機W1時，猜想BE與之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

拓展應用

(3)在(1)的條件下，點尸與點C關于。E對稱，連接。REF,BF,如圖3.已知AC=6,設A。

=x,四邊形CDFE的面積為y.

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值;

②當8尸=2時，請直接寫出A。的長度.

16.如圖所示，在矩形ABC。中，￡為邊CD上一點，且

(1)求證：AD2=DE'DC-,

(2)/為線段AE延長線上一點，且滿足EF=CF=*1BD,求證：CE=AD.

AB

17.如圖，點C在以A8為直徑的O。上，過點C作O。的切線/,過點A作垂足為。，連接AC、

BC.

(1)求證：△ABCs/\AC￡)；

(2)若AC=5,CZ)=4,求。。的半徑.

B

DC

18.(1)如圖1,/XABC中，點、D,E,尸分別在三邊BC,CA,AB上，且滿足。e〃AC,DE//AB.

①求證：四邊形AFDE為平行四邊形；

4DBD

②若就=而,求證：四邊形A即E為菱形；

(2)把一塊三角形余料(如圖2所示)加工成菱形零件，使它的一個頂點與△MNH的頂點M重

合，另外三個頂點分別在三邊MN,NH,HM上,請在圖2上作出這個菱形.(用尺規作圖，保留作圖

圖1圖2

19.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,。為斜邊AB上一點，以2。為直徑作O。，交AC于E,尸兩點,

連接BE,BF,DF.

(1)求證：BC'DF=BF'CE-,

(2)若tanZBFC=V5,AF=4V5,求C尸的長和O。的直徑.

20.如圖，在菱形中，ZABC=60°,對角線AC與3。相交于點。，點尸為BC的中點，連接AF

與2D相交于點E,連接CE并延長交于點G.

(1)證明：△BEFs^BCO；

(2)證明：ZXBEG絲△AEG.

AD

21.在△ABC中，AB=AC,點。是BC邊上一點(點。不與端點重合).點。關于直線A8的對稱點為點

E,連接ADDE.在直線上取一點R使/EFD=/BAC,直線斯與直線AC交于點G.

(1)如圖1,若/54C=60°,BD<CD,ZBAD=a,求/AGE的度數(用含a的代數式表示);

(2)如圖1,若/54C=60°,BD<CD,用等式表示線段CG與DE之間的數量關系，并證明;

(3)如圖2,若/BAC=90°,點。從點8移動到點C的過程中，連接AE,當AAEG為等腰三角形

時’請直接寫出此時旅的值.

22.數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片

繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質.已知三角形紙片ABC和AOE中，AB=AO=3,BC=DE=4,

ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】

BD

(1)如圖1,連接B。，CE,在紙片AOE繞點A旋轉過程中，試探究方的值.

【深入探究】

(2)如圖2,在紙片AOE繞點A旋轉過程中，當點。恰好落在△ABC的中線的延長線上時，延

長即交AC于點凡求CP的長.

【拓展延伸】

(3)在紙片AOE繞點A旋轉過程中，試探究C,D,E三點能否構成直角三角形.若能，直接寫出所

有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

E

圖1圖2備用圖

23.如圖，正方形ABC。邊長為6c〃z,點E為對角線AC上一點，CE=2AE,點尸在AB邊上以lon/s的

速度由點A向點3運動，同時點。在BC邊上以2cMs的速度由點C向點3運動，設運動時間為r秒

(0<W3).

(1)求證：2￡Ps匕CEQ.

(2)當△EP。是直角三角形時，求t的值.

(3)連接AQ,當tan/AQE=/時，求△AE。的面積.

24.為測量水平操場上旗桿的高度,九(2)班各學習小組運用了多種測量方法.

圖1(利用影子)圖2(利用鏡子)圖3(利用標桿)

(1)如圖1,小張在測量時發現，自己在操場上的影長所恰好等于自己的身高。E.此時，小組同學

測得旗桿的影長2C為113〃，據此可得旗桿高度為m；

(2)如圖2,小李站在操場上￡點處，前面水平放置鏡面C,并通過鏡面觀測到旗桿頂部A.小組同

學測得小李的眼睛距地面高度DE=15",小李到鏡面距離EC=2%,鏡面到旗桿的距離C8=16加.求

旗桿高度；

(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大.在更新測量工具，優化測量方法后，測量精

度明顯提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度.方法如下:

圖4（找水平線）圖5（找定標高線）圖6（測雕塑高）

如圖4,在透明的塑料軟管內注入適量的水，利用連通器原理，保持管內水面N兩點始終處于同一

水平線上.

如圖5,在支架上端P處，用細線系小重物。，標高線始終垂直于水平地面.

如圖6,在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部8處于同一水平線的。，G兩點,

并標記觀測視線DA與標高線交點C,測得標高CG=1.8m,DG=1.5m.將觀測點D后移24m到D'

處.采用同樣方法，測得C'G'=1.2如D'G'=2m.求雕塑高度（結果精確到1冽）.

2024年中考數學真題知識點分類匯編之圖形的相似(解答題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共24小題)

1.數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，更是培養動手能力，創新能力

的一種手段.小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如圖1)產生了

如下問題，請同學們幫他解決.

在AABC中，點。為邊A8上一點，連接CD

(1)初步探究

如圖2,若求證：AC2^AD-AB；

(2)嘗試應用

如圖3,在(1)的條件下，若點。為A8中點，BC=4,求。的長；

(3)創新提升

如圖4,點E為CD中點，連接BE,若NCDB=NCBD=30°,/ACD=/EBD,AC=2?,求BE的

長.

【考點】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)。的長是2夜；

(3)8E的長是何.

AOAC

【分析】(1)由NA=NA,ZACD=ZB,證明△AC0s/vi3C,得一=一，貝！］AC2=AO?A&

ACAB

CDADAC

(2)設A0=m，則AQ=3O=m，AB=2m,根據相似三角形的性質得一=—=—,則4。2=2m2,

BCACAB

求得4。=魚根，所以—=—=—，而5C=4,貝!JC￡>=/5C=2企；

BCAB22

(3)作BFLL。。交。。的延長線于點凡設CE=DE=n,則C8=CD=2小再證明//3。=30°,所

以CF=WCB=w,求得￡尸=2”,BF=Wn,則20=2百〃，BE=41n,作CH〃砂交A8的延長線于點

HeHDCD

H,則所以一=一=—=2,則HC=2y/7n,HD=AWn,再證明△AC0S\A”C,

BEBDCE/

ADACCDA/7.17———

得一=一=一=—,貝！JA0=￥AC=2,AH=V7AC=14,所以"。=4b"=12,貝"〃=百，求得

BE=V21.

【解答】(1)證明：如圖2,VZA=ZA,/ACD=/B,

AACD^AABC,

.ADAC

??—,

ACAB

AAC2=ADMB.

(2)解：如圖3,設AZ)=機，

:點。為AB中點，

'.AD=BD=m,AB—2m,

由(1)得△ACDS^ABC,

?CDADAC

??BC~AC~AB"

：.AC2=AD'AB=mX2m=2tv2,

.,.AC=y[2mg)(,AC=-42m(不符合題意，舍去)，

.CDACV2mV2

,?BC~AB~2m—2’

VBC=4,

Z.CD=￥"=?X4=2V2,

；.C。的長是2&.

(3)解：如圖4,作8色LOC交。C的延長線于點尸，則/尸=90°,

;點、E為CD中點，

：.CE=DE,

設CE=DE=n,

,：ZCDB=ZCBD=30°,

:.CB=CD=2n,ZBCF=ZCDB+ZCBD=600,

：.ZFBC=90°-NBC/=30°，

1

：.CF=^CB=n,

；?EF=CE+CF=2n,BF=y/CB2-CF2=V(2n)2-n2=V3?,

：.BD=2BF=2y/3n,BE=A/EF2+BF2=J(2n)2+(V3n)2=V7n,

作CH〃EB交AB的延長線于點H,則

,HCHDCO_里_

,,BEBDCEn'

：.HC=2BE=2y[7n,"。=28。=4鬲，

??ZACD=ZEBD,ZH=ZEBD,

：.ZACD^ZH,

'：NA=NA,

，AACD^^XAHC,

.ADACCD2n1V7

"AC~AHHC~2V7n―近一7'

:AC=2夕，

：.AD=y-AC=亨X2V7=2,AH=V7AC=V7X2V7=14,

：.HD=AH-AD=U-2=12,

4-/3n=12,

解得n=V3,

.?.BE=V7xV3=vn,

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、

勾股定理等知識，此題綜合性強，難度較大，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

2.如圖，點E,歹分別在正方形A8C。的邊BC,C￡）上，BE=3,EC=6,CF=2.求證：AABE^AECF.

A

\JF

EC

【考點】相似三角形的判定；正方形的性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】證明見解析.

【分析】先根據BE=3,EC=6得出8C的長，進而可得出的長，由相似三角形的性質即可得出結

論.

【解答】證明：EC=6,CF=2,

：.BC=3+6=9,

:四邊形A8CO是正方形，

：.AB=BC=9,ZB=ZC=90°,

_AB93BE3

?CE―6-2'CF~2

.ABBE

??一,

CECF

：.AABE^^ECF.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似

是解題的關鍵.

3.【知識技能】

(1)如圖1,在△ABC中，OE是△ABC的中位線.連接C￡),將△AOC繞點。按逆時針方向旋轉，

得到△?!'DC.當點E的對應點E'與點A重合時，求證：AB=BC.

【數學理解】

(2)如圖2,在△ABC中(AB<3C),OE是△ABC的中位線.連接C。，將△AOC繞點。按逆時針

方向旋轉，得到AA'DC',連接A'B,CC,作的中線。孔求證：2DF'CD=BD-CC'.

【拓展探索】

AQ?

(3)如圖3,在△ABC中，tanB=@,點。在上，AZ)=-g-.過點。作Z)E_LBC,垂足為E,BE=3,

CE=^f.在四邊形ADEC內是否存在點G,使得NAG￡>+NCGE=180°?若存在，請給出證明；若不

存在，請說明理由.

A'A

圖3

【專題】幾何綜合題；應用意識.

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）證明詳見解析;（3）存在，理由見解析.

【分析】（1）利用等腰三角形+平行線證明即可得證;

710

（2）先證△AOA'得到⑦=而‘再證代入變形即可得證;

（3）利用特殊點，ZAGD=90°,NCGE=90°,則G就是以AD為直徑的圓和以CE為直徑的圓的

交點，根據題意證G在內部即可.

【解答】（1）證明：:△A。。繞點。按逆時針方向旋轉，得到DC,且E與A重合,

：.AD=DEf

：.NDAE=NDEA,

TOE是△ABC的中位線,

J.DE//BC,

；?/DEA=NBCA,

：./DAE=NBCA,

：.AB=BC.

（2）證明：連接4V,

ZADAr=/CD。,AD=A'D,CD=CD,

.ADAiD

99CD~C，D'

AAADArs&CDC，

.AArAD

??"，—CD'

〈DE是△ABC的中位線，。方是△A3。的中線,

：.AD=BD,BF=A'F,

???。方是△4V8的中位線，

：.AA=2DF,

.2DFBD

,?CC，~CD1

：.2DF?CD=BD?CC

(3)解：存在，理由如下，

解法一：取A。中點”，CE中點N,連接MN,

TA。是直徑，CE是。N直徑，

ZAGD=90°,NCGE=90°,

ZAG￡>+ZCGE=180°,

4

-

3

：.BD=5,

32

??，CE=手，

:.EN=^CE=學，

25

；?BN=BE+EN=芋

YDELCE,

???OE是ON的切線，即。石在ON外,

作NF±AB,

■:/B=/B,/BED=/BFN=90°,

.?.△BDES^BNF,

.BDDE

"BN~NF'

??.N/=岑〉學，即NV",

???A5在ON外，

???G點在四邊形ADEC內部.

作MH工BC,

414

9：BM=tanB=

123164

：.BH=詈,

鬻,

:.MN=7MH2+NIP77AVAM+CN

：.QM和ON有交點.

故四邊形AOEC內存在點G,使得NAGO+NCGE=180°.

分別以AD,CE為弦作。。2和O。，使得△O2A￡>SZ\OEC,兩圓的交點即為所求.

作圖步驟：①在四邊形AOEC內任取一點F作△￡人?得外接圓，圓心為O,連接。￡,OC,

②作A。的中垂線,

3

③以。為圓心，gOC為半徑畫圓交中垂線于點。2,

④以。2為圓心，02A為半徑畫圓，交。。于點G,點G即為所求.

.?.△OMOs/kOEC,

ZA02D=ZE0C,

11

VZAGD=i(360°-ZAO2D)=180°一今NAO2D,

1

/EGC="EOC,

Z.ZAGD+Z￡GC=180°.

故四邊形AOEC內存在點G,使得/49。+/。6￡=180°.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、中位線定理、圓周角定理、勾股定理等知識，熟練

掌握相關知識是解題關鍵.

4.數學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題.如圖1,在AABC中，AB

AC,點。是AC上的一個動點，過點。作。ELBC于點E,延長交B4延長線于點?

請你解決下面各組提出的問題:

(1)求證：A￡)=AF；

(2)探究外與二7的關系；

DEDC

>一…一…，、廠AD1,DF2,AD4,DF8

某小組探究發現，當t二=時，-=當h=7■時,~~

DC3DE3DC5DE5

請你繼續探究:

①當,?時，直接寫出黑的值;

②當A而D丁時771,猜想法D的F值(用含機,〃的式子表示)，并證明;

(3)拓展應用：在圖1中，過點尸作尸尸，AC,垂足為點尸，連接CF,得到圖2,當點。運動到使/

^AD7Z7AP

ACF=NAC3時t，若一—,直接寫出而的值(用含m,n的式子表不).

DCn

【專題】幾何綜合題；幾何直觀.

【答案】(1)證明過程詳見解析;(2)①(②竽n

(3)---.

2m

【分析】(1)利用等角的余角相等即可得證;

(2)①過點A作AG〃CE,利用平行線分線段成比例+等腰三角形等線段轉化即可得解；②與第①問思

路一樣;

(3)利用等線段轉化得二二在作平行線，利用平行線分線段成比例求解即可.

ADCF

【解答】(1)證明：???A8=AC,

：.ZB=ZC,

?：DE2BC,

：./BED=/CED=90°,

???N8+NF=NC+NE￡>C=90°,

:./F=/EDC,

/ADF=/EDC,

：.ZF=ZADF,

：.AD=AF.

(2)解：①如圖，過點A作AG〃CE,貝IJAGLOR

，△AGDs^CED,

.GOAD_7

DE-DC-6’

9：AF=AD,

：.GF=GD,

DFGD7

—=2>—=—

DE~DE~3'

②如圖，過點A作AG〃CE,貝!|AG_LOR

AAGDs^CED,

.GOADm

?'DE~DC~n

9：AF=AD,

：.GF=GD,

,—DF—。?-G-D----2-m

??DE-DE~n'

F

ZACF=a,

在Rt△曲尸中和RtAFCE中，ZFAP=ZFCE=2a,

tanZFAP=tanZFCE,

APCE

??一，

AFCF

9：AD=AF,

APCE

99AD~CF

CE

則我們求出了的值即可.

方法一：如圖，過點尸作尸交CA的延長線于點M,

ZACB=ZACF=NM,

???CF=MF,

同理AM—AF—AD,

.CECECDCDn

CF~MF~MD~2AD~2m'

.APn

*AD2m.

方法二：如圖，過點E作硒〃AC交尸。延長線于點M

同方法一CE=CN,

.CNDE

??--,

CFDF

DF2m

由(2)②得二=

DEn

CNDEn

CF~DF~2TYI

APCEn

AD~CF~2m.

方法三：如圖，過。作。于點E,

根據角平分線性質可得DE=DE,

△CED和△C。尸可以看作等高三角形，同時也是等高三角形，

?S&CED_竺_竺_n

S&CFDCFDF2TH,

tAPCEn

AD~CF~2m

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例、等腰三角形的判定和性質等

知識，熟練掌握相關知識和添加合適的輔助線是解題關鍵.

5.如圖，在△A3。中，AB=BD,O。為△A3。的外接圓，BE為。。的切線，AC為O。的直徑，連接

DC并延長交3E于點E.

(1)求證：DELBE-,

(2)若42=5乃，BE=5,求O。的半徑.

D

【考點】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的

性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】(1)見解答；

(2)3V5.

【分析】(1)連接80并延長交AD于H點，如圖，先證明80垂直平分A。得到/母m=90°,再根

據切線的性質得到/。2￡=90°,根據圓周角定理得到/AZ)C=90°,于是可判斷四邊形BEDH為矩

形，所以/E=90°,從而得到結論；

(2)先利用B0垂直平分AD得至UAH=DH,再利用四邊形BEDH為矩形得到DH=BE=5,接著在

RtABDH中利用勾股定理計算出BH=5后設。。的半徑為r,則0H=5小-r,OD=r,所以(5瓶-r)

2+52=^,然后解方程即可.

【解答】(1)證明：連接2。并延長交于X點，如圖，

'：AB=BD,OA^OD,

...BO垂直平分AD

；./BHD=90°,

：BE為O。的切線，

：.OB±BE,

：.ZOBE=90°

：AC為。。的直徑，

AZADC=90°,

四邊形BED”為矩形，

AZE=90°,

：.BE±DE；

(2)解：：3。垂直平分A。，

:.AH=DH=^AD,

:四邊形BEOH為矩形，

:.DH=BE=5,

在中，?：BD=AB=5正,DH=5,

：.BH=J(5V6)2-52=5V5,

設O。的半徑為r,則0H=5V^—r,0D=r,

在RtZkODH中，(5V5-r)2+52=?,

解得r=3小，

即OO的半徑為3V5.

A

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公

共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質計算相應線段的長

或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵.也考查了圓周角定理、切線的性質.

6.問題背景如圖(1),在矩形48C。中，點E,尸分別是AB,的中點，連接BD,EF,求證：LBCD

問題探究如圖(2),在四邊形48。中，AD//BC,/8。=90°,點E是AB的中點，點

廠在邊BC上，AD^ICF,EF與BD交于點、G,求證：BG=FG.

(1)(2)⑶

【考點】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀.

V5

【答案】(1)證明詳見解析；(2)證明詳見解析；(3)y.

【分析】(1)根據中點可得出兩邊對應成比例且夾角相等得兩個三角形相似；

(2)由中點和平行線可以聯想作倍長中線全等，即延長FE交D4延長線于點作/7/，4。于點”，

證△AME四△BFE(A4S),再證△A/FH0ZXBDC(SAS)即可得證；

(3)這一問是建立在第二問的基礎上，所以很容易想到構造相似通過線段關系轉化求解，過E作FM

±AD于點M,取BD中點H,連接AF,設CF=a，則AM=DM^CF^a,AD=CD^2a^MF,AF=V5a,

證FE垂直平分AB得到AF=BF=V5o,再證△EG”S2\PG8即可求解.

【解答】(1)證明：尸分別是AB和BC中點，

,BE1BF1

??—―，——，

AB2BC2

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,

.BEBF

??二,

CDBC

■:NEBF=NC=9U°,

:.△BCDsMBE；

(2)方法一：如圖延長bE交。A延長線于點M,作打/LAO于點"，則四邊形C0”方是矩形.

???石是A3中點，

:?AE=BE,

'：AM//BCf

：.ZAME=ZBFE,NMAE=/FBE,

：.AAME^ABFE(A4S),

：.AM=BF,

9：AD=2CF,CF=DH,

：.AH=DH=CF,

：.AM+AH=BF-^-CF,BPMH=BC,

,:FH=CD,ZMHF=ZBCD=90°,

AMFH^ABDC(SAS),

ZAMF=ZCBD,

又,:/AMF=/BFG,

；?NCBD=NBFG,

：.BG=FG；

方法二：如圖，取8。中點H,連接即、CH,

???E是A3中點，H是3。中點，

：.EH=|AD,EH//AD,

9

\AD=2CFf

：.EH=CF,

9：AD//BC,

：.EH//CF,

???四邊形EHCF是平行四邊形，

：.EF//CH,

：.ZHCB=ZGFB,

VZBC￡)=90°,“是3。中點，

1

???CH=7D=BH,

：.ZHCB=/HBC,

：.ZGFB=ZHBC,

：.BG=FG；

(3)如圖，過/作FM_LAO于點取瓦)中點“，連接AR則四邊形CD?是矩形,

：.CF=DM,

9

\AD=2CFf

：.AM=DM=CF,

設。尸=辦則AM=Z)M=C尸=〃，AD=CD=2a=MF,

：.AF=7AM2+MF2=瓜i,

9：AG=FG,BG=FG,

：.AG=BG,

YE是A5中點，

???bE垂直平分AB,

；.BF=AF=V5a,

:H是BD中點，

；.EH是AABD中位線,

：.EH=^AD=a,EH//AD//BC,

:AEGHsAFGB,

EGEHaV5

GF~BF~V5a-5

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角

形斜邊中線等于斜邊的一半以及中位線定理等知識點，熟練掌握以上知識和添加輔助線是解題的關鍵.

7.綜合與實踐

如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，

受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在△ABC中，NA=90°,將線段

繞點8順時針旋轉90°得到線段作。交A8的延長線于點E.

圖2圖3

(1)【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段A8與。E的數量關系是AB=DE

(2)【問題解決】如圖3,連接并延長交AB的延長線于點R若AB=2,AC=6,求△&)尸的面

積；

BN9

(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交8。于點N,則下=—；

BC—13-

(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線AB上找點P,使tanNBCP=|,請直接寫出線段AP的長

度.

【考點】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀.

9548

【答案】(1)AB=DE；(2)10；(3)—；(4)一或一.

13711

【分析】(1)利用“一線三垂直"證AABC絲AEBDCAAS)即可得證；

(2)證△。所可求所長度，然后即可求出的面積；

BN

(3)要求^的值，有兩個方向，①把BN和5。的值求出來，這題5C很好求，但是5N不好求，可以

建立坐標系求解析式，再求交點N坐標，最后利用兩點距離公式求3N的長度；②根據題干給我們的思

路建立一線三直角得相似進行轉化即可，利用△EMNSAEA。和△BMNsABED建立關于MN的方程，

BN

求出MN的長度，最后利用求一值即可.

BC

(4)由已知條件過尸作垂線段，可得兩個直角三角形，然后解這兩個直角三角形即可求解.另外

方法二的正切和差角公式可以作為課外拓展知識,在這種直接寫答案的題型中可以用下，快速找出答案.

【解答】解：(1),??線段繞點8逆時針旋轉90。得到線段3。，

：.BC=BD,NCBD=90°,

：.ZBCA=ZDBE=90°-NABC,

VZA=ZE=90°,

???△ABCm^EBD(A4S),

:.AB=DE；

故答案為：AB=DE.

(2),?,線段BC繞點B逆時針旋轉90°得到線段30,

:?BC=BD,NCBD=9U°,

???ZBCA=/DBE=90°-ZABC,

VZA=ZE=90°,

AABC^AEBD(AAS),

：.DE=AB,BE=AC,

9：AB=2,AC=6,

:?DE=2,BE=6,

???AE=A8+BE=8,

VZZ)EB+ZA=180°,

：.DE//AC,

:?△DEFsXcAF,

DEEF-2EF

--=---,即-=-----,

ACAF6EF+8

???E尸=4,

；?BF=BE+EF='O,

1

；&BDF=WBF?DE=\O.

(3)方法一：如圖，以AE所在直線為％軸，以AC所在直線為y軸建立坐標系,

由AC=6,AE=8,DE=2,BD=2,

：.C(0,6),B(2,0),E(8,0),D(8,2),

設直線3。解析式為將5、。代入得，

0=2/c+b

2=8