實驗操作型題型專項練習

類型一裁剪、拼接、作圖

1.基本作圖

基本作圖圖1形__1

（彘）

作一條線段等于已知線段

AanP

/A

作已知角的平分線

__B

J

F

過一點作已知直線的垂線

作已知線段的垂直平分線4

■B

2.裁剪與拼接問題

通常先給出一個圖形，再要求用直線或弧線將圖形分成特殊形狀或面積相等的幾部分.解題時，可借助對稱的

性質、面積和角度等求解.

例1如圖1,已知NABC,用尺規作它的角平分線.

如圖2,步驟如下，

第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BA,BC于點D,E;圖1

第二步：分別以D,E為圓心，以b為半徑畫弧,兩弧在NABC內部交于點P;

第三步：畫射線BP.射線BP即為所求.

圖2

下列正確的是（）

A.a,b均無限制

B.a>O,b的長

C.a有最小限制,b無限制

D.a>O,b的長

解析由角平分線的作法可知，a>0,b>?E的長，故選B.

答案B

例2圖⑴是一個長為2a,寬為2b（a>b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小

都一樣的小長方形，然后按圖⑵那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是()

(2)

A.abB.（a+b）2C.（a-b）2D.a2-b2

解析解法一：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b-2b=a-b,則面積是（（a-bp.解法二：拼成的大正方形的

面積為（（a+bp,四塊形狀和大小都一樣的小長方形的面積均為ab,故中間空余的部分的面積是（（a+6）2-4ab,即

（（a—bp.

答案C

類型二折疊與對稱

圖形的折疊屬于軸對稱變換，故折疊前后的兩個圖形是全等的.這就為解決許多問題提供了邊、角相等的條件.

此類問題一般涉及全等三角形、垂直平分線、勾股定理等知識.當折痕固定時，直接利用軸對稱知識，探討線段長

度、角度大小、三角形面積等問題；當折痕不固定時，可以引入字母參數，表示相關線段的長度，為下一步的探討

奠定基礎.

例3如圖，在RtAABC中,NB4C=90°,AB=2五,AC=6,點E在線段AC上，且AE=1,D是線段BC上的一點,

連接DE,將四邊形ABDE沿直線DE翻折彳導到四邊形FGDE,當點G恰好落在線段AC上時,AF=—.

解析如圖，過點F作FH±AC于H,

?"各四邊形ABDE沿直線DE翻折,彳導至I」四邊形FGDE,

/.AB=FG=2V2,AE=EF=1,ZBAC=ZEFG=90°,

EG=y/EF2+FG2=V1T8=3,

sin乙FEG=—FG

EG'

—HF=—2V2,H“F廠=2y[2

EF

???COSZFEG=—

EG'

—EH=一1,EH=1-

133

4

.：AH=AE+EH=-,

AF=7AH2+HF22V6

3,

答案乎

解后小結

本題是一道翻折變換題目，考查了軸對稱的性質、勾股定理、銳角三角函數，作FHLAC于H構造直角三

角形即可解決問題.

例4在線上教學中，教師和學生都學習到了新知識，掌握了許多新技能.例如教材八年級下冊的數學活動一

T斤紙，就引起了許多同學的興趣.在經歷圖形變換的過程中，進一步發展了同學們的空間觀念，積累了數學活

動經驗.

實踐發現：

對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點A落在EF上的

點N處，并使折痕經過點B，得到折痕BM,把紙片展平，連接AN,如圖①.

(1)折痕BM(填“是”或“不是")線段AN的垂直平分線；請判斷圖中AABN是什么特殊三角形?答：；

進一步計算出ZMNE=—°;

⑵繼續折疊紙片，使點A落在BC邊上的點H處，并使折痕經過點B，得到折痕BG,把紙片展平，如圖②，

貝!!/GBN=—。;拓展延伸：

⑶如圖③折疊矩形紙片ABCD,使點A落在BC邊上的點A處，并且折痕交BC邊于點T,交AD邊于點S,

把紙片展平，連接AA，交折痕ST于點O,連接AT、A'S.

求證:四邊形SATA，是菱形；

解決問題：

(4)如圖④矩形紙片ABCD中,AB=10,AD=26,折疊紙片，使點A落在BC邊上的點A處，并且折痕交AB

邊于點T,交AD邊于點S，把紙片展平.同學們小組討論后，得出線段AT的長度有4,5,7,9.

請寫出以上4個數值中你認為正確的數值—.

圖①圖②

圖③圖④

解析(1)根據折疊的性質可知AB=BN,AE=BE,ZBAD=ZBNM=90°,ZAEN=ZBEN=90°,且對應點所連線段

被對稱軸垂直平分，故折痕BM是線段AN的垂直平分線.cos乙EBN=黑=［所以/EBN=60。,故AABN為等邊

DNZ

三角形，且NENB=30。,所以/MNE=90"30o=60。.

(2)由(1)可知NABN=60。且/ABC=90。,所以/NBC=30。,由折疊可知/ABG=乙HBG==45。，所以

乙GBN=45°-30°=15°.

(3)證明:由折疊可知,AT=AT,AS=A'S,NATS=/ATS,

因為AD〃:BC,所以/AST=/ATS,所以NAST=NATS,所以AT=AS,

所以AT=A'T=AS=4S,,所以四邊形SATA，是菱形.

(4)令AT=x，則AT=x,TB=10-x根據直角三角形的直角邊長小于斜邊長得10-x<x且xWO,即5<xW10,故7和9

正確.

疑難突破

第(4)問結合折疊后對應線段相等及直角三角形斜邊長于任何一條直角邊,可得出5<AT<10.

類型三平移與旋轉

平移變換和旋轉變換是全等變換，平移前后、旋轉前后對應角相等，對應邊相等.平移時，對應點平移的方

向和長度相同，所以會出現平行線和平行四邊形.旋轉時，每個點繞旋轉中心旋轉的角度相同，對應點到旋轉中

心的距離相等，所以有時會用到圓的性質.

因平移或旋轉涉及相等的邊和相等的角，故圖形的平移或旋轉多與全等三角形、相似三角形、等腰三角形相

在4

汩口?

例5如圖,在平面直角坐標系中，已知A(-2,1),B(-1,4),C(-1,1),將AABC先向右平移3個單位長度得到AAiBiCi,

再繞Ci按順時針方向旋轉90。得到AAzBzCi，則A?的坐標是.

解析如圖，由題意得Ai(l,l),Ci(2,l),AG=1,&(2,2).

fy

X

答案(2,2)

審題技巧

經過兩次變換，點A的對應點依次為Ai、A2.由于線段Ai。平行于x軸.故當aAiBiCi繞C1按順時針方向

旋轉90。時，點A?剛好在垂直于Ai。的直線上，結合旋轉的性質，由A2C1=&CI可以得出A?的坐標是(2,2).

例6在R3ABC+,ZACB=90°,AB=5,BC=3,WAABC繞點B順時針旋轉得到△ABC,其中點A,C的對應點分

別為A1,C.

⑴如圖1,當點A落在AC的延長線上時.求AA的長;

⑵如圖2,當點C落在AB的延長線上時，連接CC,交A'B于點M,求BM的長；

⑶如圖3,連接AA；CC,直線CC交AA，于點D,點E為AC的中點，連接DE.在旋轉過程中，DE是否存在最小

值?若存在，求出DE的最小值；若不存在，請說明理由.

解析⑴由旋轉得A,B=AB.

*/NACB=90。,即BC±AA；

AC=A'C.

?.?在RtzkABC中,AC=,52-32=4,

A'C=4,.-.44=4+4=8.

⑵如圖過C作CGXAB于G,過M作MH_LAC'于H.

貝！]CG〃MH.

.,.AMHC'^ACGC,

.MH_C'H

?'CG~C'G，

在RtAABC中,tan/CBA=-.sin^CBA=之.*.在RtACBG中,sinzCBG=—=7,

35CB5

.12009rr/9?o24

CrGr=—,:?BG=-，：?GC=—F3=—.

5555

VZMBH=ZCBA,

.?.在RtAMBH中,tan/MBB=

設MH=4x,貝!]BH=3x,BM=5x,C'H=3-3x.

MHC'H「4X3-3X

S襦=^^亙==-，

55

解得X==5%=i|.

⑶如圖過A作AP〃AC交C'D的延長線于點P,