2024年中考數學二輪探究性專題考前訓練

圖形規律

一、選擇題

1.根據圖中箭頭的指向規律，從2022到2023再到2024,箭頭的方向是圖示中的

)

A.4047B.6069C.6070D.6071

3.如果一個等腰三角形的頂角為36°,那么其底邊與腰之比等于且，

2

我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，在AABC中，AB=AC=1,Z

A=36°,AABC看作第一個黃金三角形；作NABC的平分線BD,交AC于點D,△

BCD看作第二個黃金三角形；作NBCD的平分線CE,交BD于點E,ZXCDE看作第三

個黃金三角形；…以此類推，第2023個黃金三角形的腰長是（）

D

B

A.（＜75-1^2022B.（%T）2021C?（3+與2020口?（3+與2019

4.用圓圈按如圖所示的規律拼圖案，其中第1個圖案中有2個圓圈，第2個圖案

中有5個圓圈，第3個圖案中有8個圓圈，第4個圖案中有11個圓圈，…，按此

規律排列下去，則第7個圖案中圓圈的個數為（）

OOO

OOOOOO

OOOOOOOOO…

OOOO

①②③

④

A.14B.20C.23D.26

5.將一個正方形剪成n個小正方形，第一次操作按照圖1所示，分割出4個正方

形，第二次操作按如圖2所示，分割出6個正方形，第三次操作按如圖3所示，

按照上述規律，則第n次操作，正方形的個數為（）

圖1圖2圖3

A.(n+1)2B.3n+lC.2nD.2n+2

6.如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形。4BC繞點。順時針旋轉

45°后得到正方形O&BiCi，依此方式，繞點。連續旋轉2023次得到正方形

%2023B2023c2023，那么點人2023的坐標是（）

A.(1,0)B.(0,-1)C.婚，D.(—果

7.如圖，在平面直角坐標系中，△04B的頂點。在原點上，。4邊在％軸的正半軸

上，軸，AB=1,408=30。，將△O4B繞點。順時針旋轉，每次旋轉

90°,則第2023次旋轉結束時，點B的坐標為()

A.(1,V3)B.(1,-V3)C.(-V3,1)D.(-1,V3)

8.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形4BCDEF的中心與原點。重

臺，ABII%軸，交y軸于點P.將AOZP繞點0逆時針旋轉，每次旋轉90。，則第

2023次旋轉結束時，點A的坐標為()

A.(V3,-1)B.(-1,-V3)C.(-V3,1)D.(1,V3)

9.如圖是一組有規律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個圖案有

4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，……，照此

規律，擺成第6個圖案需要的三角形個數是()

入MAV,......

第I個第2個籥3個第4個

A.19個B.22個C.25個D.26個

10.如圖，在矩形/夕①中，/夕=1,BC=2,連接/C,以對角線/C為邊，按逆時

針方向作矩形/CG身，使矩形/陽4s矩形力比及再連接/G,以對角線力G為邊,

按逆時針方向作矩形/GG&使矩形NGG^s矩形4/出，…，按照此規律作下

去，則邊/Go22的長為（）

20222021

A.V5X(y)B.2X《)2021C.遮X22。22D.75X(y)

二、填空題

11.如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，第一個圖形需要3個

黑色棋子，第二個圖形需要8個黑色棋子……，按照這樣的規律擺下去，第九

（n是正整數）個圖形需要黑色棋子的個數是（用含n的代數式表

12.如圖，在正方形ABCBi中，AB=LAB與直線1的夾角為30°,延長CB1交直

線1于點Ai,作正方形ABCB,延長CB交直線1于點A2,作正方形AB2c2B3；延

長C2B3父直線1于點A3,…，依此規律，則A2023B2023=.

13.如圖，在RtZkABC中，/C=90。，AC=2,BC=4,點N「PI分別在

AC.BC、AB上，且四邊形MiCNJi是正方形，點用2,電,P2分別在

Pi%、BN〉BP］上，且四邊形M2N1N2P2是正方形...，點“"，Nn,匕分別在

Pn-^n-rBN-,B4_］上，且四邊形刈4是正方形，則線段

^2022^*2022的長度是?

14.“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩

直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形

狀好似一棵樹而得名.假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾

股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數

為.

15.如圖，等腰RtZkOAMz，OA1=A1A2=1,以OA2為直角邊作Rt△OA2A3,

再以OA3為直角邊作RtAOA3A4,以此規律作等腰RtAOA8A9,則△。4八的面

積是

A8A9

A

1

16.如圖，4,A2,4,A4,-An,是直線y=%+2上的點，分別過點4,4,

A,4,…4,作x軸的垂線，垂足分別為4,民,人,以，…Bn,%1已知如=

為歸=笈區=兄區=3=反91=1,連接瓦4,和4笈，民4,…4%1依次相交于點

P\,￡,P3,…Pn,△A1B1P1,△AZB^PI,△A3&P3,…,△/,近的面積依次為S,W,

S3,…際則S等于.

三、實踐探究題

17.【觀察思考】

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

（1）【規律發現】請用含n的式子填空:

第n個圖案中的個數為.

（2）第1個圖案中的個數可表示為詈，第2個圖案中的個數可

表示為管，第3個圖案中的個數可表示為雷，第4個圖案中的個數

可表示為拶，……，第九個圖案中的個數可表示為.

(3)【規律應用】

結合圖案中的排列方式及上述規律，求正整數n,使得連續的正整數之

和1+2+3+……+n等于第n個圖案中的個數的2倍.

18.如圖，九+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設ABzACi的

面積為AB?。2c2的面積為$2，的面積為

探究一探究二探究三

C^AD^,VB2B3：AC2=1：2,VB3B4：AC3=1：3,

???BD：/Ci=?e?BD：D3c3=1：3,

11??B2D2：D2c2=1：2,33

1：1,^2=____________，^3=____________，

*

??Si—____________?*=____________?

Si—____________?

(2)【結論歸納】

Sn=.(用含〃的式子表示)

19.【觀察思考】

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【規律發現】

請用含九的式子填空：

(1)第九個圖案中的個數為;

(2)第1個圖案中“團”的個數可表示為等，第2個圖案中“團”的個數可表示

為等，第3個圖案中“團”的個數可表示為等，第4個圖案中“團”的個數可表示

為等，……，第九個圖案中“團”的個數可表示為.

(3)【規律應用】

結合圖案中“圖”的排列方式及上述規律，求正整數人使得連續的正整數之和1+

2+3+……+九等于第九個圖案中的個數的2倍.

20.閱讀材料，解決問題.

相傳古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題.他們在沙灘上

畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過1、3、6、10…，由于這些數可以用

圖中所示的三角點陣表示，他們就將每個三角點陣中所有的點數和稱為三角數.

第1個第2個第3個第〃個

則第ri個三角數可以用1+2+3+-+(n-2)+(n-l)+n="戶(n>1且

為整數)來表示.

(1)若三角數是55,則喉；

(2)把第n個三角點陣中各行的點數依次換為2,4,6,…，2n,請用含

九的式子表示前幾行所有點數的和；

(3)在(2)中的三角點陣中前九行的點數的和能為120嗎?如果能，求出九，

如果不能，請說明理由.

21.如圖，下列圖形是由邊長為1個單位長度的小正方形按照一定規律擺放的

“L”形圖形，觀察圖形:

圖1圖2圖3

(1)按此規律，圖4中小正方形的數量是個；

(2)我們把圖1中小正方形個數記作的，圖2中小正方形圖個數記作a2,

圖ri中小正方形個數記作時,若%+a2+???+an=165,求九的值.

22.圖形規律

序號12345.........

梯形數12469.........?

如圖，按此規律擺放，

(1)第6個圖中梯形數為,第7個圖中梯形數為,第8個圖

中梯形數為,第9個圖中梯形數為；

(2)第(2幾+2)個圖中梯形數與第(2九-1)個圖中梯形數的差為；

23.為了提高動手操作能力，安徽某學校九年級學生利用課后服務時間進行拼圖

大賽，他們用邊長相同的正方形和正三角形進行拼接，賽后整理發現一組有規律

的圖案，如圖所示.

【觀察思考】

第1個圖案有4個正三角形，第2個圖案有7個正三角形，第3個圖案有10個

正三角形，…依此類推

【規律總結】

（1）第5個圖案有個正三角形

（2）第n個圖案中有個正三角形，（用含n的代數式表示）

（3）【問題解決】

現有2023個正三角形，若按此規律拼第n個圖案，要求正三角形一次用完，則

該圖案需要正方形多少個？

24.18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數

（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多

面體模型，解答下列問題.

正十二面體

（1）根據上面的多面體模型，直接寫出表格中的in,n的值，則

m=，n=.

多面體頂點數（V）面數（F）棱數（E）

四面體446

長方體m612

正八面體n812

正十二面體201230

(2)你發現頂點數(V)、面數(F)、棱數(E)之間存在的關系式

是

(3)一個多面體的面數等于頂點數，且這個多面體有30條棱，求這個多面體

的面數.

25.

(1)觀察圖1所示的點陣圖和相應的等式，并在④后面的橫線上寫出相應的等

式.

??(

①②

①1=1;

②1+2==3；

③1+2+3=U-=6；

(2)結合⑴觀察圖2所示的點陣圖和相應的等式，并在⑤后面的橫線上寫出

相應的等式.

①②

①1=I2；

②1+3=22；

③3+6=32；

④6+10=42；

(3)請通過猜想，寫出⑵中與第n個點陣圖相對應的等式。

26.(問題)用n邊形的對角線把n邊形分割成(n-2個三角形，共有多少種不同

的分割方案(n>4)?

(探究)為了解決上面的數學問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最

簡單情形入手，再逐次遞進轉化，最后猜想得出結論.不妨假設〃邊形的分割方

案有f(ri)種.

探究一：用四邊形的對角線把四邊形分割成2個三角形，共有多少種不同的分

割方案？如圖①，圖②，顯然，只有2種不同的分割方案.所以，/(4)=2.

探究二：用五邊形的對角線把五邊形分割成3個三角形，共有多少種不同的分

割方案？不妨把分割方案分成三類：

第1類：如圖③，用點4,E與B連接，先把五邊形分割轉化成1個三角

形和1個四邊形，再把四邊形分割成2個三角形，由探究一知，有/(4)種不同

的分割方案，所以，此類共有7(4)種不同的分割方案.

第2類：如圖④，用點4,E與C連接，把五邊形分割成3個三角形，有

1種不同的分割方案，可視為|7(4)種分割方案.

第3類：如圖⑤，用點4,E與。連接，先把五邊形分割轉化成1個三角

形和1個四邊形，再把四邊形分割成2個三角形，由探究一知，有廣(4)種不同

的分割方案，所以，此類共有廣(4)種不同的分割方案.

所以，/⑸="4)+#(4)+/(4)=|X"4)=弓X"4)=5(種)

探究三：用六邊形的對角線把六邊形分割成4個三角形，共有多少種不同的分

割方案？不妨把分割方案分成四類:

第1類：如圖⑥，用A,F與B連接，先把六邊形分割轉化成1個三角形

和1個五邊形，再把五邊形分割成3個三角形，由探究二知，有/(5)種不同的

分割方案，所以，此類共有/(5)種不同的分割方案.

第2類：如圖⑦，用4,尸與C連接，先把六邊形分割轉化成2個三角形

和1個四邊形.再把四邊形分割成2個三角形，由探究一知，有/(4)種不同的

分割方案.所以，此類共有/(4)種分割方案.

第3類：如圖⑧，用4,F與。連接，先把六邊形分割轉化成2個三角形

和1個四邊形.再把四邊形分割成2個三角形，由探究一知，有/(4)種不同的

分割方案.所以，此類共有/(4)種分割方案.

第4類：如圖，用A,尸與E連接，先把六邊形分割轉化成1個三角形和

1個五邊形，再把五邊形分割成3個三角形，由探究二知，有/(5)種不同的分割

方案.所以，此類共有7(5)種分割方案.

所以，f⑹=f⑸+/TO+f(4)+f⑸

=f⑸+|f⑸+|f⑸+/⑸=3x/■⑸=14(種)

探究四：用七邊形的對角線把七邊形分割成5個三角形，則/(7)與/(6)的

關系為/(7)=?xf(6)，共有______________________________________________

種不同的分割方案.

(結論)用n邊形的對角線把n邊形分割成(n-2)個三角形，共有多少種

不同的分割方案(n>4)?(直接寫出f(n)與f(n-1)之間的關系式，不寫

解答過程)

(應用)用九邊形的對角線把九邊形分割成7個三角形，共有多少種不同的分

割方案？(應用上述結論中的關系式求解)

27.為迎接七一建黨節，某社區黨委在廣場上設計了一座三角形展臺，需在它的

每條邊上擺放上相等盆數的鮮花進行裝飾.若每條邊上擺放兩盆鮮花，共需要3

盆鮮花；若每條邊上擺放3盆鮮花，共需要6盆鮮花；……，按此要求擺放下去

(如圖所示，每個小圓圈表示一盆鮮花).

(1)填寫下表:

每條邊上擺放的盆數(n)