“立體幾何”小題強化保分練1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：選B由題意知圓錐的底面周長為2eq\r(2)π.設圓錐的母線長為l，則πl＝2eq\r(2)π，即l＝2eq\r(2).故選B.2．(多選)(2021·黃岡中學高三三模)若α，β是兩個相交平面，則在下列命題中，正確的是()A．若直線m⊥α，則在平面β內，一定不存在與直線m平行的直線B．若直線m⊥α，則在平面β內，一定存在無數條直線與直線m垂直C．若直線m?α，則在平面β內，一定存在與直線m異面的直線D．若直線m?α，則在平面β內，一定存在與直線m垂直的直線解析：選BD令平面α∩平面β＝直線l，對于A選項：當平面α⊥平面β時，在平面β內作直線n⊥l，則n⊥α，而m⊥α，則n∥m，A錯誤；對于B選項：m⊥α，則m⊥l，則平面β內與l平行的所有直線都與直線m垂直，B正確；對于C選項：直線m?α，則m與l重合時，即m?β，β內的所有直線都與m共面，C錯誤；對于D選項：當m⊥β時，結論成立；當直線m與β不垂直時，作與直線m垂直的平面γ，則γ必與β相交，所得交線與m垂直，D正確．故選B、D.3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：選C對于A項，CC1與B1E在同一個側面中，故不是異面直線，所以A錯誤；對于B項，由題意知，上底面是一個正三角形，故AC⊥平面ABB1A1不可能成立，所以B錯誤；對于C項，因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，由底面ABC是正三角形，E是BC的中點，可知AE⊥BC，結合棱柱性質可知B1C1∥BC，則AE⊥B1C1，所以C正確；對于D項，因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A1C1∥平面AB1E不可能成立，所以D錯誤．4.如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分別是A1C1，CC1的中點，BC＝CA＝CC1，則BN與AM所成角的余弦值為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A如圖，取BB1的中點為Q，AC的中點為P，連接C1Q，PQ，C1P，PB.因為BN∥C1Q，AM∥C1P，所以∠QC1P或其補角即為BN與AM所成角．設BC＝2，則AM＝C1P＝BN＝C1Q＝eq\r(5)，PQ＝2，在△PQC1中，cos∠QC1P＝eq\f(5＋5－4,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(3,5).5．過圓柱的上、下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則圓柱的側面積是()A．12eq\r(2)π B．12πC．8π D．10π解析：選C如圖所示，過圓柱的上、下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形ABCD，面積為8，故邊長AB＝AD＝2eq\r(2)，即底面半徑R＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，側棱長為AD＝2eq\r(2).則圓柱的側面積是S＝2πR·AD＝2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝8π.6．(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足MN⊥OP的是()解析：選BC對于選項A，建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱長為2，則O(1,1,0)，P(0，2,1)，M(2,0,2)，N(0,2,2)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝(－1,1,1)．因為eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝4≠0，故選項A中不滿足MN⊥OP.同理可得出選項B和選項C中，eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝0，即MN⊥OP，選項D中eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝4，不滿足條件．故選B、C.7．(2021·北京高考)對24小時內降水在平地上的積水厚度(mm)進行如下定義：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，則這一天的雨水屬于哪個等級()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨解析：選B由相似關系可得，小圓錐的底面半徑r＝eq\f(\f(200,2),2)＝50，故V小錐＝eq\f(1,3)×π×502×150＝503·π，從而可得積水厚度h＝eq\f(V小錐,S大圓)＝eq\f(503·π,π·1002)＝12.5，屬于中雨．8．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若F是DD1的中點，則B1到平面ABF的距離為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2\r(5),5)解析：選D如圖，設CC1的中點為E，連接FE，BE，可得FE∥DC，則FE⊥平面BB1C1C，而FE?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BB1C1C，且平面ABEF∩平面BB1C1C＝BE，在平面BB1C1C中，過B1作B1G⊥BE，垂足為G，則B1G⊥平面ABEF，則B1到平面ABF的距離為B1G.由正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，得S△BB1E＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，又BE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，由等面積法可得，S△BB1E＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),2)×B1G＝eq\f(1,2)，得B1G＝eq\f(2\r(5),5)，即B1到平面ABF的距離為eq\f(2\r(5),5).9．(2021·長春三模)已知圓錐SO的底面半徑為r，當圓錐的體積為eq\f(\r(2),6)πr3時，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)解析：選A設圓錐的高為h，則由題意可得，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(2),6)πr3，解得eq\f(h,r)＝eq\f(\r(2),2)，所以母線與底面所成角的正切值為eq\f(\r(2),2)，由同角三角函數基本關系可得，母線與底面所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).10.(多選)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結論中正確的是()A．AC⊥平面BDD1B1B．A1P的最小值為eq\f(\r(6),2)C．平面AD1C∥平面A1C1BD．異面直線A1P與AD1所成角的最大值是eq\f(π,3)解析：選ABC∵正方體中，BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1，故A正確；∵△A1BC1是正三角形，且邊長為eq\r(2)，當P為BC1中點時，A1P取得最小值為eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2)，故B正確；∵正方體中，AA1∥BB1∥CC1且AA1＝CC1，故四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴A1C1∥AC，∵A1C1?平面AD1C，AC?平面AD1C，∴A1C1∥平面AD1C，同理可得A1B∥平面AD1C，∵A1C1∩A1B＝A1，∴平面AD1C∥平面A1C1B，故C正確；易得AD1∥BC1，則異面直線A1P與AD1所成角即為A1P與BC1所成角，且當P為BC1中點時，A1P與AD1所成角的最大值為eq\f(π,2)，故D錯誤．11.(多選)如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M是線段PB的中點，下列命題正確的是()A．MO∥平面PACB．PA∥平面MOBC．OC⊥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC解析：選AD因為AB為圓O的直徑，M是線段PB的中點，所以OM∥PA，又OM?平面PAC，PA?平面PAC，所以MO∥平面PAC，即A正確；又PA?平面PAB，即PA?平面MOB，故B錯誤；因為點C在圓O的圓周上，所以AC⊥CB，故OC不與AC垂直，所以OC不可能與平面PAC垂直，即C錯誤；由直線PA垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BC.又AC⊥CB，AC∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，即D正確．故選A、D.12．(多選)如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是邊CD中點，將△ADE沿AE翻折，得到四棱錐D1-ABCE，在翻折的過程中，下列說法正確的是()A．BC∥面AD1EB．AE⊥CD1C．三棱錐D1-ABC體積的最大值是eq\f(1,3)D．點C到面ABD1距離的最大值是eq\f(\r(2),2)解析：選ABD由題意，CE＝eq\f(1,2)CD＝AB＝1，且AB∥CE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCE是正方形．∵BC∥AE，且BC?平面AD1E，AE?平面AD1E，∴BC∥面AD1E，即A正確；在梯形ABCD中，AE⊥CD，翻折過程中AE⊥CE，AE⊥ED1，∵CE∩ED1＝E，∴AE⊥平面CED1，∵CD1?平面CED1，∴AE⊥CD1，即B正確；在翻折過程中，當D1E⊥平面ABCE時，三棱錐D1-ABC體積最大，∴該三棱錐體積的最大值為V＝eq\f(1,3)S△ABC·D1E＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＝eq\f(1,6)，故C錯誤；作D1M⊥CE于M，作MN⊥AB于N，連接D1N，由AE⊥平面CED1，可得AE⊥D1M，∵AE∩EC＝E，且AE?平面ABCE，EC?平面ABCE，∴D1M⊥平面ABCE，∵AB?平面ABCE，∴D1M⊥AB，又∵AB⊥MN，且MN?平面MND1，D1M?平面MND1，MN∩D1M＝M，∴AB⊥平面MND1，∵AB?平面D1AB，∴平面D1MN⊥平面D1AB.在△MND1中，作MH⊥D1N于H，∵平面D1MN∩平面D1AB＝D1N，∴MH⊥平面D1AB，由題易知CE∥平面D1AB，可知MH即為點C到面ABD1的距離．設D1M＝x，則0＜x≤D1E，即0＜x≤1，在△D1MN中，∠D1MN＝90°，MN＝1，D1N＝eq\r(x2＋1)，∴MH＝eq\f(D1M·MN,D1N)＝eq\f(x,\r(x2＋1))＝eq\f(1,\r(1＋\f(1,x2)))，易知函數y＝eq\f(1,\r(1＋\f(1,x2)))在(0,1]上單調遞增，∴eq\f(1,\r(1＋\f(1,x2)))≤eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，當x＝1時，取得最大值．∴點C到面ABD1距離的最大值是eq\f(\r(2),2)，即D正確．故選A、B、D.13.(2021·南開中學高一期末)如圖為一個盛滿水的圓錐形玻璃杯，現將一個球狀物體放入其中，使其完全浸沒于杯中，球面與圓錐側面相切，且與玻璃杯口所在平面相切，則溢出水的體積為________．解析：作出圓錐的軸截面如圖所示，球心為截面三角形的中心，∵截面為正三角形，且邊長為2，則球的半徑為r＝eq\f(1,3)×eq\r(22－12)＝eq\f(\r(3),3).∴溢出溶液的體積等于球的體積，即eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3)π,27).答案：eq\f(4\r(3)π,27)14.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為________．解析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，0))，A(1,0,0)，C(0，3,0)，D1(0,0,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,3,0)，eq\o(AD1,\s\up7(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，0)).設平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝－x＋3y＝0，,n·eq\o(AD1,\s\up7(→))＝－x＋z＝0，))取y＝1，得n＝(3,1,3)，∴點E到面ACD1的距離d＝eq\f(|eq\o(AE,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(3\r(19),38).答案：eq\f(3\r(19),38)15．(2021·酒泉三模)已知三棱錐A-BCD，AB＝3，AD＝1，BC＝4，BD＝2eq\r(2)，當三棱錐A-BCD的體積最大時，則外接球的表面積為________．解析：如圖，在△ABD中，由AB＝3，AD＝1，BD＝2eq\r(2)，可得：AD2＋BD2＝AB2，所以△ABD為直角三角形，易知BC⊥平面ABD時三棱錐A-BCD的