第15章重點(diǎn)02將軍飲馬與最值問題

孽為6杵

學(xué)習(xí)目標(biāo)

①會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段，再根據(jù)三點(diǎn)共線、垂線段最短、三角形的兩邊之和大于

第三邊（兩邊之差小于第三邊）的原理求最最短距離；

②會(huì)綜合運(yùn)用圖形的變換與三角形的性質(zhì)定理求最短（大）距離問題.

如能清單

知識(shí)01對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段與對(duì)稱軸的關(guān)系

?對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段與對(duì)稱軸的關(guān)系：對(duì)稱軸經(jīng)過連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線

段

?應(yīng)用：對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等

知識(shí)02軸對(duì)稱的性質(zhì)

?經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫做線段的中

垂線.

（線段的垂直平分線是這條線段的對(duì)稱軸，線段是軸對(duì)稱圖形）

方法03利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值

?問題內(nèi)容：如圖1,尸是直線/上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求P4+P8的最小值

（圖3）

?解題方法：如圖2,作8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)夕，連結(jié)N夕與直線/交于點(diǎn)C,點(diǎn)C就是所

求的位置

?方法總結(jié)：利用軸對(duì)稱變換的思想，把力,2在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而

試卷第1頁，共10頁

可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”解決問題.

?題型總結(jié)：適用于求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值

鏤遺史甫

問題作法原理

已知直線1及點(diǎn)A.將點(diǎn)A對(duì)稱到點(diǎn)A:連接AP+BP=A'B

4?B,在直線1上作點(diǎn)AB,與1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P兩點(diǎn)之間,線段最短

-----------------------------------------/P,使AP+BP最小1/r

A'

分別在直線k，將點(diǎn)P分別關(guān)于直線I1、入PA+AB+BP=P1P2

上作點(diǎn)A.B,使對(duì)稱到點(diǎn)RR,連接PH兩點(diǎn)之間,線段最短

PA+AB+BP最小王與兩直線交點(diǎn)即為A、B

分別在直線1,、1,將點(diǎn)P、Q分別關(guān)于直線1卜PA+AB+BQ=P1Q1

上作點(diǎn)A.B,使「對(duì)稱到點(diǎn)HQ1.連接PQ1兩點(diǎn)之間，線段最短

PA+AB+BQ最小二與兩直線交點(diǎn)即為A、B

4?已知直線|]〃|?.將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位AP+PQ+QB=A'B+d

且距離為d,分別在長(zhǎng)度得到A1連接AB.與兩點(diǎn)之間,線段最短

???卜b上作點(diǎn)P.Q.%的交點(diǎn)即為Q,過Q作"

使AP+PQ+QB最小的垂線與h的交點(diǎn)即為點(diǎn)P

在直線1上求作1作線段AB的中垂線與直1線段中垂線上的

一點(diǎn)使：線的交點(diǎn)即為；②將點(diǎn)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)

1P.IBP-API3*、汗’-，IP

C最小；2最大A關(guān)于直線I對(duì)稱到點(diǎn)A：的距離相等；②

?B連接BA?并延長(zhǎng)與直線I的|BP-AP|=BA'

交點(diǎn)即為點(diǎn)P

分別在亶線1八%上過點(diǎn)P作直線"的垂線.垂PA+AB=PB

作點(diǎn)A.B.使足為B.與h的交點(diǎn)即為A垂線段最短

PA+AB最小土，

麴型錯(cuò)場(chǎng)

【題型一：三點(diǎn)共線求線段和的最小值】

例1.（24-25八年級(jí)上?江蘇連云港?期中）

1.如圖，直線加是△NBC中邊的垂直平分線，點(diǎn)尸是直線機(jī)上的一動(dòng)點(diǎn).若

AB=7,NC=5,則△/PC周長(zhǎng)的最小值是.

試卷第2頁，共10頁

變式1.（24-25八年級(jí)上?江蘇常州?階段練習(xí)）

2.如圖，已知等腰直角三角形N8C,點(diǎn)E是邊/C上的一點(diǎn)，AE=6,EC=2,尸為斜邊

AB上一點(diǎn)，則PE+PC的最小值為.

例2.（23-24八年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）

3.已知408=30。，在內(nèi)有一定點(diǎn)尸，點(diǎn)"，N分別是。4,08上的動(dòng)點(diǎn)，若

變式2.（24-25八年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）

4.如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形中，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，E、尸分別是/。和CD邊

上的點(diǎn)，則四邊形3EFG周長(zhǎng)的最小值為

例3.（24-25八年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí)）

5.如圖，NAOB=20°,M,N分別為。/,03上的點(diǎn)，OM=ON=3,P,。分別為

試卷第3頁，共10頁

OA,03上的動(dòng)點(diǎn)，則MQ+P0+PN的最小值為.

（利用對(duì)稱圖形轉(zhuǎn)化線段）

例4.（2024?安徽合肥?三模）

6.如圖，在UBC中，/3=/。,4/。=100。,加平分乙48。,己。分別為邊加）,"上一點(diǎn),

且8P=C0,若當(dāng)NP+/。的最小值為5時(shí)，則N2的長(zhǎng)為（）

9

A.4B.-C.5D.6

2

【題型二：根據(jù)垂線段最短求線段的最值】

例5.（24-25八年級(jí)上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）

7.如圖，在RtZXZBC中，N4cB=9。。,/C=3,8C=4,AB=5.將邊8c沿CE翻折,

點(diǎn)2落在點(diǎn)尸處，連接CF交于點(diǎn)。.則FD的最大值為（）

例6.（23-24八年級(jí)下?福建三明?期中）

8.如圖，在△/SC中，乙4。3=90。,乙4=30。，/3=8,點(diǎn)尸是NC上的動(dòng)點(diǎn)，連接3尸，以BP

為邊作等邊△2P。，連接CQ,則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段C。長(zhǎng)度的最小值是

試卷第4頁，共10頁

B

Q

變式6.（23-24八年級(jí)上?全國(guó),單元測(cè)試）

9.如圖，在等邊△NBC中，AOYBC,且/。=2,E是線段49上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,

線段8尸與線段BE關(guān)于直線區(qū)4對(duì)稱，連接。尸，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)O尸的長(zhǎng)取得最

小值時(shí)，NE的長(zhǎng)為.

例7.（22-23八年級(jí)上?湖北荊門?單元測(cè)試）

10.如圖，OE是等邊△NO8的中線，OB=8,C是直線OE上一動(dòng)點(diǎn)，以ZC為邊作等邊三

角形連接磯）,下列說法正確的是（）

A.￡0的最小值是2B.有最大值

C.瓦）的最小值是4D.ED沒有最小值也沒有最大值

【題型三：應(yīng)用“垂直”求面積的最大值】

例8.（24-25八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）

11.如圖，四邊形48C。，BD平分NABC,CD1BD,AC=6,BC-AB=3,則△/DC

面積的最大值為（）

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A

D

BC

A.8B.9D.10

【題型四：利用三角形的三邊關(guān)系求最值】

例9.（23-24八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）

12.如圖，在四邊形C4AD中，BD=AB=8,/C=2,點(diǎn)〃■為N8的中點(diǎn)，若

ZCAffl=120°,則C￡）的最大值是.

變式9.（24-25八年級(jí)上?福建福州?期中）

13.如圖，四邊形/BCD中，AB=4,BC=3,ZACD=60°,AD=AC,則5。的最大值

例10.（23-24八年級(jí)下?遼寧丹東?期中）

14.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形/8C的兩個(gè)頂點(diǎn)）,8分別在兩條直線4，%上滑動(dòng)，若

小，垂足為點(diǎn)。則。C的最大值與最小值的差是.

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【題型五：三角形綜合與最值問題】

例11.(24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)

15.已知：△NBC為等邊三角形.

(1)如圖1,點(diǎn)。、E分別為邊8C、/C上的點(diǎn)，且8O=CE.

①求證："BD咨ABCE；

②求NAFE的度數(shù).

⑵如圖2,點(diǎn)。為ZUBC外一點(diǎn)，ZBDC=60°,BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接,

猜想線段N。、CD、2。之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

(3)如圖3,。是等邊三角形43c外一點(diǎn).若BD=8,CD=6,連接直接寫出/。的最

大值與最小值的差.

能力提升

(24-25八年級(jí)上?重慶?階段練習(xí))

16.如圖，4D是△4BC的中線，且4B=4D,BC=2Q,E為AD的中點(diǎn)，P為4D的垂直

平分線G尸上一點(diǎn)，若△4BC的面積為100,貝IJAOEP周長(zhǎng)的最小值為.

試卷第7頁，共10頁

17.如圖，48=12,C為48邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)N、點(diǎn)8重合），以/C為邊在力B的上方

作等邊三角形過點(diǎn)C作CD的垂線，E為垂線上任意一點(diǎn)，連接DE,尸為DE的中點(diǎn),

連接2/，則8歹的最小值是.

（23-24八年級(jí)上?浙江寧波?期中）

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)/（2,0）,M\0,,N（5,2塢,NB'x軸于點(diǎn)

B,P為線段MV上一動(dòng)點(diǎn)，則川+尸8的最小值為

（24-25八年級(jí)上?浙江?期中）

19.如圖1,在△48C中，48=NC=6,NC=75。,A48(7的面積為9.

圖2

（2）如圖2,若點(diǎn)尸，。分別是線段/C和42上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則第+P。的最小值為

（23-24七年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）

20.如圖，某地有塊三角形空地NO3,已知N4O8=30。，尸是內(nèi)一點(diǎn)，連接P。后測(cè)

得尸。=10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏?。2中修一個(gè)三角形花壇尸。尺，點(diǎn)。，R分別

是04邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求APQR周長(zhǎng)的最小值.

試卷第8頁，共10頁

B

⑵-24八年級(jí)上?四川眉山?期末)

21.如圖，點(diǎn)尸是線段外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以尸4尸3為腰向外作等腰直角三角形尸4D和等

腰直角三角形P8C,連接/C、BD.

⑴求證：AC=BD；

(2)添加適當(dāng)字母，求證：ACJ.BD；

(3)若43=3,尸/=2,求線段/C的最大值.

素養(yǎng)拓展

(23-24七年級(jí)下?河南鄭州?期末)

22.古建筑中，三角形結(jié)構(gòu)被廣泛運(yùn)用在房梁設(shè)計(jì)中.如圖，在等腰三角形△NBC的房梁中，

53

4B=AC,AB=-m,BD=-m,AD=2m,是邊8c上的高.因年久失修，該房梁

22

需要加固，于是工人準(zhǔn)備在高/。上找一點(diǎn)￡,在邊/C上找一點(diǎn)尸，使得繩子從C點(diǎn)出發(fā),

先繞到點(diǎn)E,再繞到點(diǎn)R要使所用的繩子最短，則CE+E廠的最小值為.

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23.如圖，△/BC是等邊三角形，點(diǎn)。為邊/C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，且

ED=BD.

或者"=,,）；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段/C上移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)。作。廠〃BC交48于點(diǎn)尸，則△①*與

△DCE是否始終保持全等？若全等，請(qǐng)證明，若不全等，請(qǐng)說明你的理由；

⑶當(dāng)點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)時(shí)，BD=3,彘M,N分別是線段BC,8。上的動(dòng)點(diǎn)，連接

求+的最小值.

試卷第10頁，共10頁

1.12

【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及軸對(duì)稱求最短距離問題.根據(jù)題意得到△4PC周長(zhǎng)

的最小值是月B+4C,直接求解即可得到答案.

【詳解】解：???直線加是△NBC中8c邊的垂直平分線，點(diǎn)尸是直線加上一動(dòng)點(diǎn)，

PB=PC,

：.AP+CP=BP+AP>AB,當(dāng)/、B、P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

尸+CP最小值為42的長(zhǎng)，

??C小最小="+/C=5+7=12,

故答案為：12.

2.10

【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.作點(diǎn)C關(guān)于N3的對(duì)稱點(diǎn)C',連接/C',EC',CC',PC',先求出NC4C=90。，

AC=AC=8,PC=PC,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)C',P,E共線時(shí)，PE+PC的值

最小，最小值為EC',利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C,連接NC',EC',CC',PC',

???在等腰直角三角形N3C中，AE=6,EC=2,

.-.AC=AE+CE=S,ZBAC=45°,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，AC=AC==PC,ABAC=ABAC=45°,

?-?ZCAC=90°,PE+PC=PE+PC,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)C',P,E共線時(shí)，PE+尸C的值最小，最小值為EC',

此時(shí)EC=4AE-+CA1=10)

即PE+PC的最小值為10,

故答案為：10.

3.B

【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)；由對(duì)稱的性

答案第1頁，共24頁

質(zhì)得出產(chǎn)”O(jiān)P=OC,ACOA=APOA-PN=DN,OP=OD,ZDOB=2P0B,得

出乙4OB=g/COD,證出AOCD是等邊三角形，可得OC=OD=CO=OP,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：分別作點(diǎn)尸關(guān)于。2、。/的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別交。4、。2于點(diǎn)

M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

?.?點(diǎn)尸關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)為C,

PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,

OC=OP=OD,ZAOB=-ZCOD,

2

ZCOD=60°,

.?.△COD是等邊三角形，

OC=OD=CD=OP,

周長(zhǎng)的最小值是3,

:.PM+PN+MN=3,

:.DM+CN+MN=3,

即CD=3=OP,

故選：B.

4.30

【分析】作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G',作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接,得到EB=EB',

FG=FG',推出BE+EF+尸G+3G=?E+EF+Ry+3G,得到四邊形8EFG的周長(zhǎng)的最小值

為BG+2'G',根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和勾股定理可求出2G、B'G',即可解決問

題.

【詳解】解：作點(diǎn)G關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)G，，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接夕G，，

答案第2頁，共24頁

：EB'+EF+FG'>B'G',

二四邊形3EFG的周長(zhǎng)的最小值為8G+8'G',

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,

：.BG=-BC^5,BB'=1AB=20,BG'=15,

2

B'G'=yjBB'2+BG'2=A/202+152=25，

二四邊形3EFG的周長(zhǎng)的最小值為BG+8'G'=5+25=30,

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌

握軸對(duì)稱的性質(zhì)，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.

5.3

【分析】本題考查軸對(duì)稱-最短路線問題，能用一條線段的長(zhǎng)表示出三條線段的和的最小值

是解題的關(guān)鍵.

作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)ML點(diǎn)N關(guān)于0/的對(duì)稱點(diǎn)NL連接ATV交04于點(diǎn)P,交OB

于點(diǎn)0',連接PN'、QM',P'N,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到"P+P0+0N的最小值為

MN,推出△ATOM為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于。2的對(duì)稱點(diǎn)M，，點(diǎn)N關(guān)于。/的對(duì)稱點(diǎn)N，，連接

交。4于點(diǎn)P,交于點(diǎn)0',連接尸N'、QM',P'N,

答案第3頁，共24頁

則=PN=PN',

:.MQ+PQ+PN^M'Q+PQ+PN'>M'N',

.?.M0+P0+RV的最小值為MN'的長(zhǎng).

OM=OM',ON=ON',MM'±OB,NN'LOA,

ZM'OB=ZAOB=20°,ZN'OA=NAOB=20°,

ZM'ON'=60°,

.1△M'ON'為等邊三角形，

MN=OM'=3,

即〃P+尸0+QN的值最小為3；

故答案為：3

6.C

【分析】作CE〃8。，使得CE=AB,連接EQ,則ZCBD=ZECQ,結(jié)合角平分線的性質(zhì)

可證尸之△EC。，有/尸=妝，^\\AP+AQ=EQ+AQ,當(dāng)40,￡三點(diǎn)共線時(shí)，AP+AQ

的最小值等于/￡的長(zhǎng)，即可知NE的長(zhǎng)為5,進(jìn)一步判定是等邊三角形即可.

【詳解】解：如圖，作C￡〃8D,使得CE=/B,連接E。，

貝ljZCBD=ZECQ,

:BD平分N4BC.

答案第4頁，共24頁

,AABD=ZCBD,

:.ZABP=ZECQ.

AB=EC

在“BP和△EC。中<ZABP=ZECQ,

BP=CQ

...△45尸絲△EC。(SAS),

??.AP=EQ,

,AP+AQ=EQ+AQ,

.?.當(dāng)40,￡三點(diǎn)共線時(shí)，AP+AQ的最小值等于/￡的長(zhǎng)，

又?:/尸+/。的最小值為5,

&的長(zhǎng)為5,

???ZBAC100°,AB=AC,

:.ZABC=ZACB=40°.

■：CE=AB=AC,ZACE=40°+20°=60°,

.?.△/CE是等邊三角形，

AC=AE=5.

AB=5.

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三點(diǎn)共

線和等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉作平行線構(gòu)造全等和最小值點(diǎn)的確定.

7.D

【分析】本題考查直角三角形中的翻折問題、垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

根據(jù)將邊2C沿CE翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，可得FD=CF-CD=4-CD,即知當(dāng)CD最小

時(shí)，F(xiàn)D最大,此時(shí)CD1/3,用面積法求出。，即可得到答案.

【詳解】解：如圖：

???將邊BC沿CE翻折，點(diǎn)3落在點(diǎn)尸處,

答案第5頁，共24頁

.?.CF=BC=4,

.'.FD=CF-CD=4-CD,

當(dāng)C。最小時(shí)，F(xiàn)D最大,此時(shí)CD，48,

-ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5

,；2SARC=AC?BC=ABCD,

iACBC3x412

CD=----------=------=——,

AB55

122

...FD=CF-CD=4——=

55

故選：D.

8.2

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，30度角的直角三

角形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

如圖，取45的中點(diǎn)E連接C瓦尸E.由△尸阿，推出。。=尸推出當(dāng)成，/。

時(shí)，。。的值最小，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，取45的中點(diǎn)E,連接C￡,PE.

ZACB=90°fZA=30°

ZCBE=60°,

BE=AE,

??.CE=BE=AE,

??.△BC￡是等邊三角形,

??.BC=BE,

ZPBQ=ZCBE=60°,

ZQBC=/PBE,

???QB=PB,CB=EB,

答案第6頁，共24頁

...AQBCAPBE@AS),

：.QC=PE,

.?.當(dāng)￡尸，力C時(shí)，EP最小,即0C的值最小，

在RtzXNE尸中，

-：AE=-AB^A,4=30。，

2

；.PE=LAE=2,

2

??.CQ的最小值為2.

故答案為：2.

9.1

【分析】過點(diǎn)。作尸于〃，連接。尸，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)得

到點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)路線，再根據(jù)垂線段最短得到點(diǎn)產(chǎn)、，重合時(shí)。尸最小，證明

AABE^AABF(SAS),得至=/尸，ZBAF=ZBAO=30°,即/。4尸=60°,然后利用含

30度直角三角形的性質(zhì)求得即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作尸于〃，連接。尸，

???△4BC是等邊三角形，AO1BC,

ZBAO=NCAO=-ABAC=30°,

2

,??線段BF與線段BE關(guān)于直線BA對(duì)稱,

BE=BF,AABF=AABE,

丁AB=AB,

△ABE知ABF(SAS),

：.AE=AF,ABAF=ZBAO=30°,即/O/F=60°,

???點(diǎn)尸在射線4尸上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)尸和"重合時(shí)，。尸的值最小，即為O"

的長(zhǎng)度，此時(shí)/￡=AF=AH,

在RtA/HO中，ZAOH=90°-ZOAF=30°,

答案第7頁，共24頁

.-.AH=1,

2

即當(dāng)。尸的長(zhǎng)取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、

三角形全等的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，

找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線以及使。尸最小時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】取。4中點(diǎn)K,連接CK,EK,證明A/CK絲A/OE,得出CK=OE,當(dāng)CKLCE時(shí)，

CK最小,故。E皿nCKms，因此根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】如圖，取CM中點(diǎn)K,連接CK,EK,

???OE是等邊△/08的中線，

：.OA=AB,AK=AE,

???以AC為邊作等邊三角形，

ZCAD=ZOAB=60°,

；.NCAD-NOAD=ZOAB-ZOAD,即NOAC=ABAD,

:.AACK^AADE（SAS）,

CK=DE,

二當(dāng)。E最小時(shí)，CK最小,當(dāng)CK_LCE時(shí)，CK最小，

答案第8頁，共24頁

A

???ZADE=30°,OK=AK=4,

:.CK=-OK=2,

2

.■.DEmin=CKmm=KH=2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題是幾何最值問題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。

角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.C

【分析】本題考查角分線定義、等腰三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是通過

作輔助線找出與△4OC面積相關(guān)的面積最大的條件.延長(zhǎng)84CQ構(gòu)造等腰三角形,

AE與4D垂直時(shí)三角形ZCE的面積最大.

【詳解】解：延長(zhǎng)CO與A4交于點(diǎn)￡,

?.?80平分AABC.CDLBD^D,

："EBD=/CBD,ZBDE=ZBDC=90°,

???/E=/BCE,

；.BE=BC,。為CE中點(diǎn)，

.c_J_v

.._2"CE，

???BC-AB=3,

AE=BE—AB=BC—AB=3,

答案第9頁，共24頁

當(dāng)NEJ./C時(shí)，A/CE面積最大，

.??此時(shí)A4DC面積最大，

。1o1-19

一S.ADC=/S/CE=~X^X^X~=—>

故選：C.

12.14

【分析】本題主要考查了根據(jù)軸對(duì)稱求線段和最小問題，等邊三角形的性質(zhì)和判定，先作點(diǎn)

A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)4點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B',連接CA',MA',MB',4況4。，根據(jù)對(duì)

稱得出對(duì)應(yīng)線段相等，再證明AHMB'為等邊三角形，再根據(jù)04。4'+48'+8力得出答案.

【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CW的對(duì)稱點(diǎn)4點(diǎn)2關(guān)于。M的對(duì)稱點(diǎn)夕,連接CA',MA',MB',

AC=A'C,AM=A'M,BM=B'M,BD=B'D.

???點(diǎn)M是48的中點(diǎn)，

???AM=BM=AM=B'M.

■：ZCMD=120°,AAMC+ADMB=60°,

ZCMA'+ZDMB'=60°,

ZA'MB'=60°.

:MA'=MB',

.?.△4”夕為等邊三角形，

:.CD<CA'+A'B'+B'D^AC+AM+BD^2+4+S=}4,

??.8的最大值為14.

故答案為：14.

13.7

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.在的左側(cè)作等邊

三角形連接DK.由推出。K=8C=3,因?yàn)镈K+KBWBD,

DK=3,KB=AB=4,所以當(dāng)。、K、B共線時(shí)，8。的值最大，最大值為DK+K8=7.

答案第10頁，共24頁

【詳解】解：如圖，在48的左側(cè)作等邊三角形A4BK,連接DK.

則AK=AB=BK=4,NKAB=60°,

ZDAC=ZKAB,

ADAK=NCAB,

在“X4K和△C4B中，

DA=CA

<ADAK=ZCAB,

KA=BA

.“D4K均C/B(SAS)

:.DK=BC=3,

■：DK+KB>BD,DK=3,KB=AB=4

.??當(dāng)。、K、8共線時(shí)，3。的值最大，最大值為。K+K8=7.

故答案為：7

14.2

【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，勾股定理和直角三角中線的性質(zhì)，掌握這些定理和性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵，取N8的中點(diǎn)。，連接CZ),根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到

CD-OD<OC<OD+DC,當(dāng)。、D、。共線時(shí)，OC取得最小值，最小值為CA-OD,當(dāng)

點(diǎn)。為48中點(diǎn)時(shí)，OC取得最大值，最大值為OO+OC,根據(jù)。為N2中點(diǎn)，得到AD的

長(zhǎng)，在RtzYBCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在RtA/02中，。。為斜邊上的中線,

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】解：取的中點(diǎn)。，連接CD,OD、OC,如圖：

答案第11頁，共24頁

由三角形的三邊關(guān)系可得：CD-OD<OC<OD+DC,

.,.當(dāng)。、D、。共線時(shí)，0c取得最小值，最小值為CD-0D,

當(dāng)點(diǎn)。為48中點(diǎn)時(shí)，OC取得最大值，最大值為。。+OC,

vAC=BC=AB,

二△ABC為等邊三角形

"AB=2,。為的中點(diǎn)，

2

在RtZ\3CD中，由勾股定理可得：CD=NBC?-BD2=百，

在RS/OB中，OD=-AB=\,

2

■■■OD+DC=\+>5,CD-OD=y/3-l,

??.oc的最大值與最小值的差為：(1+6)-(百-1)=2.

故答案為：2.

15.⑴①證明見解析；②NAFE=60°

(2)猜想8。=/。+。。，證明見解析

(3)/。的最大值與最小值的差為12

【分析】(1)①先由等邊三角形的性質(zhì)得到48=8C,NABD=NC=60。,再根據(jù)“邊角

邊”，證明三角形全等即可.②利用全等三角形的性質(zhì)得到/歷1D=/CBE,再根據(jù)三角形

的外角的性質(zhì)即可解決問題；

(2)在上取一點(diǎn)J,使得CJ=C。，證明ABCJgANCO(SAS),得到5/=/，據(jù)此根

據(jù)線段的和差關(guān)系可證明BD=AD+DC；

(3)以為邊向外作等邊連接87,根據(jù)“邊角邊”，得出ATCB咨ADC4,再根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)，得出BT=/D,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，求出27的取值范圍，進(jìn)而

得出的取值范圍，即可得出4D的最大值和最小值，然后相減即可得出答案.

答案第12頁，共24頁

【詳解】(1)①證明：???△43。是等邊三角形，

AB=BC,ZABD=ZC=60°,

在△48。和△8C￡中，

AB=BC

</ABD=ZC,

BD=CE

公ABDABCE(SAS)；

②解：Z\ABD義ABCE,

.?./BAD=/CBE,

??.ZAFE=NFBA+/BAD=ZFBA+ZCBE=ZCBA=60。；

(2)解：猜想證明如下：

如圖2中，在。5上取一點(diǎn)使得C/=C。，連接C/,

圖2

vZCDJ=60°,CJ=CD,

??.△CD/是等邊三角形，

,"JCD=/ACB=6。。,DJ=DC=CJ,

??.ZBCJ=ZACD=60°-ZACJf

在△5C7和△ZCD中，

'CB=CA

<ZBCJ=ZACD,

CJ=CD

???△50/名△NCO(SAS),

BJ=AD,

:.BD=BJ+DJ=AD+DC；

(3)解：如圖3中，以CD為邊向外作等邊△CAT,連接5T,

答案第13頁，共24頁

A

??.ZTCB=ZDCA=60°+ZBCD,

在△TC?和△OC4中，

CT=CD

<ZTCB=/DCA,

CB=CA

(SAS)f

BT=AD,

?.?DT=CD=6,BD=8,

8—6WBTW8+6,

.*.2<5T<14,

???2<AD<14,

■■AD的最小值為2,最大值為14,

?-?14-2=12,

.?.40的最大值與最小值的差為12.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定和性

質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系和三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解本題的關(guān)鍵在正確添加輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

16.15

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握等腰三

角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接/￡、AP,由題意知，AE1BD,DP=AP,DE^-BD=-BC5,由

24

S/UBC=gx2Cx/E=gx20xZE=100,可求/E=10,ADEP周長(zhǎng)為

答案第14頁，共24頁

DE+DP+PE=DE+AP+PE,當(dāng)4P、E三點(diǎn)共線時(shí)，OE+4P+PE的值最小，然后求

解作答即可.

【詳解】解：如圖，連接NE、AP,

■.AB=AD,￡為8。的中點(diǎn)，尸為AD的垂直平分線Gb上一點(diǎn)，

AEA.BD,DP=AP,

???N。是△ABC的中線，SC=20,E為50的中點(diǎn)，

：.DE=-BD=-BC=5,

24

='X8CX/E='X20XNE=100,

22

AE—10,

△DEP周長(zhǎng)為DE+DP+PE=DE+4P+PE,

當(dāng)4P、E三點(diǎn)共線時(shí)，OE+4P+PE的值最小，為DE+AE=15,

尸周長(zhǎng)的最小值為15,

故答案為：15.

17.6

【分析】本題考查垂線段最短，含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是利用垂線段最短解決最值問題.

連接/尸，CF,設(shè)交。于點(diǎn)”，根據(jù)垂線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出C尸=。尸,

利用等邊三角的性質(zhì)證明"CF知ADF得出ZCAF=ZDAF=30。，再運(yùn)用垂線段最短及含30

度角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】連接/尸，如圖，連接/尸，CF,設(shè)交于點(diǎn)〃，

???DCYEC

：.NDCE=90°,

???尸為DE的中點(diǎn)，

CF=DF,

答案第15頁，共24頁

???A/CD為等邊三角形，

AC=AD,ZCAD=60°

在和尸中

AC=AD

<CF=DF,

AF=AF

：.AACF知4DF,

NCAF=ZDAF=30°,

AH1CD

當(dāng)8尸，4F時(shí)，B尸的值最小，如圖所示，設(shè)點(diǎn)尸'為垂足,

在RtAAF'B中=12,ZBAF'=30°,

BF=6,

故答案為：6.

18.373

【分析】作/尸交MW于尸，延長(zhǎng)/尸到E使得比=力尸，連接BE交MN于P,此時(shí)

P/+P8的值最小.

【詳解】解：作/尸_L九W交2W于尸，延長(zhǎng)/F到E使得相=AF,連接BE交MN于P,

此時(shí)P/+尸8的值最小.

答案第16頁，共24頁

設(shè)直線MN的解析式為y=+代入點(diǎn)/(o,g),Ng吟,得:

5左+6=2百

b=——

13

百

一

左-

-3

解得3

7-

P3

「?直線MN的解析式為產(chǎn)婦工+也，

33

由AE_LA/N可設(shè)直線4E1的解析式為y=-J3x+加，代入點(diǎn)，(2,0)得:

一2百+加=0,即加=26，

???直線AE的解析式為y=-V§x+26，

y——>j3x+2**/3

由166，

y=——x+——

I33

.5

x=—

4

解得K，

???AF=EF,

???根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：x2-2=!，縱坐標(biāo)為速X2-0=±8,

4242

PA=PE,

;.PA+PB=PB+PE=BE,

PA+PB的最小值為BE=J(5+(jV3)2=36,

故答案為：3G.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱一最短問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題

答案第17頁，共24頁

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考常考題

型.

19.303G

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，

理解軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算，掌握等腰三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；

(2)如圖所示，點(diǎn)8關(guān)于/C的對(duì)稱點(diǎn)為9，BB'馬AC交于點(diǎn)、D,作于點(diǎn)。，

交4C于點(diǎn)尸，連接8尸，由點(diǎn)到直線垂線段最短可得，最小，則8P+P0的值最小，根

據(jù)題意可得/48。=60°,在R/ANP。中，AP=2PQ,AQ=y/3PQ,設(shè)尸。=x,貝！|

AP=2x,AQ=yl3x,BQ=AB-AQ=6-^x,在尺床8'2。中，ZPQB=90°,ZABD=60°,則

NB'=30。,ZPBB'=ZB'=30°,由此可得2P=37=2尸0=2x,B'Q=^BQ,由此列式即

可求解.

【詳解】解：(1)"AB=AC,

：.ZB=4C=15。,

■-ZA+ZB+ZC=ISO°,

=180°-(ZS+ZC)=180°-(75°+75°)=30°；

(2)如圖所示，點(diǎn)8關(guān)于/C的對(duì)稱點(diǎn)為BB'與AC交于點(diǎn)、D,作于點(diǎn)。，

交NC于點(diǎn)P,連接8P,

...BP+PQ=B'P+PQ=B'Q,

由點(diǎn)到直線垂線段最短可得，*0最小，則BP+P。的值最小,

■.■AB=AC=6,ZC=-/5°,BB'1AC,

答案第18頁，共24頁

ZBDC=90°,/ABC=/C=75。,

???/CBZ）=90。—/C=90。-75。=15。，

???NABD=60。,

-B'QLAB,4=30。，

APQB=NPQA=90°,

在M△/尸。中，AP=2PQ,AQ=43PQ,

設(shè)尸0=%,貝!J/尸=2x,4Q=氐,50=/8—40=6—底，

在氏中，ZPQB=90°,ZABD=60°,

???N8'=30。,

；,/PBB'=/B'=30。,

ZPBQ=/ABD-ZPBBf=60°-30°=30°,

...BP=B'P=2PQ=2x,

B'Q=PQ+B'P=x+2x=3x,

■■■B'Q=W>BQ,

3x=V^（6-A/§X）,

解得，x=V3,

B'Q=3x=35

.?.3P+P。的最小值為36；

故答案為：（1）30°；（2）373.

20.AP。尺周長(zhǎng)的最小值等于10m

【分析】此題是幾何變換綜合題，考查軸對(duì)稱的性質(zhì)和最短路徑問題，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的

性質(zhì)得出線段相等解答.

分別作點(diǎn)P關(guān)于0408的對(duì)稱點(diǎn)MN,連接OMQN,MN,MN交OAQB于點(diǎn)、Q,R,連接

PR.PQ,此時(shí)APQ?周長(zhǎng)的最小值等于AW,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可.

【詳解】如圖所示，分別作點(diǎn)尸關(guān)于0408的對(duì)稱點(diǎn)監(jiān)N,連接。峪ON,MV,VN交0408

于點(diǎn)。，尺，連接網(wǎng)，尸。，此時(shí)APQ尺周長(zhǎng)的最小值等于"N.

答案第19頁，共24頁

OP=10,ZMOA=ZPOA,ZNOB=ZPOB,

AMON=2ZAOB=2x30°=60°,

則△?(7可為等邊三角形，

即2W=0N=0尸=10m.

即V0R周長(zhǎng)的最小值等于10m.

21.(1)見解析

(2)見解析

(3)3+2會(huì)

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì):

(1)證明AP/C&APDB,結(jié)合得出結(jié)果；

(2)設(shè)ADMC交于點(diǎn)O,NG8尸交于點(diǎn)￡,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定

理，得到N8OC=90。，即可；

(3)根據(jù)+=+求出AD的最大值即可.

【詳解】(1)解：???等腰直角三角形尸/D和等腰直角三角形P8C,

PA=PD,PB=PC,ZDPA=ZCPB=90°,

ZDPB=ZCPA=90°+ZAPB,

4PAeAPDB,

AC=BD；

(2)設(shè)5D,/C交于點(diǎn)O,AC,BP交于點(diǎn)、E,如圖:

答案第20頁，共24頁

???APACAPDB,

??.APAC=ZDBP,

?：4CEP=4BEO,

.-.180°-ZPCA-/PEC=180°-/DBP-ZBEO,

ZBOE=ZCPB=90°,

???AC1BD；

(3)?.?45=3,24=2,PD=PA,

BD4AD+AB=?AP+AB=3+2桓，

???BD的最大值為3+2A/2，

-AC=BD,

???AC的最大值為3+2A/2.

“12

22.—m

5

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，垂直平分線的判定與性質(zhì)，垂線段最短，三角形

的面積，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)B作BF/4C交4D于點(diǎn)H,交NC于點(diǎn)

F,根據(jù)等腰三角形三線合一，可知8。=。。，從而知道是線段2c的垂直平分線，推

導(dǎo)出BE=CE,那么CE+EF=BE+EF,當(dāng)點(diǎn)E和G重合時(shí)，尸與